tài liệu ôn thi môn toán trắc nghiệm lớp 12

ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
Môn: TOÁN

BÀI 01

Bài 01: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ( Tự luận)
Bài tập chuẩn bị Thứ 5 quay clip:



Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số H x  x  1  7  x  4

x  17  x   5

Bài giải:
Điều kiện xác định: 1  x  7 .
Đặt: t  x  1  7  x  t 2  x  1  7  x  2







x 1 7 x 







x 1 7 x 

t2  6
2

 t2  6 
2
Khi đó, H x  t  4 
  5  H x  2t  t  17 . Ta cần đi tìm điều kiện cho t .
2



 

 



Xét hàm số: g x  x  1  7  x với: x  1;7 



g' x 

1
2 x 1





1
2 7 x



;g ' x  0  x  4




 

Ta có: g 1  6; g 4  2 3; g 7  6 . Mà g  x  là hàm số liên tục và xác định trên: 1;7 
Suy ra: Min g x  6; Max g x  2 3  t   6;2 3 


 
 

 

x 1;7 

x 1;7 

 

Tới đây, ta chỉ cần khảo sát hàm số: H x  2t 2  t  17 trên  6;2 3  .



 

H ' x  4t  1  0 t   6;2 3  , suy ra: H  x  là hàm số nghịch biến trên đoạn  6;2 3 




Mà: H

 6  5 

 

6; H 2 3  7  2 3 . H  x  là hàm số liên tục và xác định trên  6;2 3 



 

 

Vậy: Max H x  5  6  x  1 và Min H x  7  2 3  x  4 .
x 1;7 

x 1;7 

Bài tập tự luyện









Bài toán 1: Cho hàm số: y  x 3  3 m  1 x 2  3m m  2 x  1 . Tìm m để hàm số:
a. Đồng biến trên
b. Nghịch biến trên
Tập xác định: D 

; y '  3x 2  6 m  1 x  3m m  2 

a. Hàm số đồng biến trên
Kết luận: Vậy m  

khi y '  0, x 


3
a  3  0

m 
 '  6m  9  0
2




3
để hàm số đồng biến trên
2

.



a  3  0
( Vô nghiệm )

 '  6m  9  0


Kết luận: Vậy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch biến trên .
khi y '  0, x 

b. Hàm số nghịch biến trên



Bài toán 2: Cho hàm số: y  x 3  3x 2  3mx  1 1 , với m là tham số thực. Tìm m để hàm số

1 nghịch biến trên khoảng  0;   .
Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số:
Ta có: y '  3x 2  6x  3m

 Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;    y '  0 x   0;   * 
Vì y '  x  liên tục tại x  0 nên  *   y '  0 x  0;    3x 2  6x  3m  0, x  0;  



 



 

 m  x 2  2x , x  0;   m  g x , x  0;  ( Trong đó: g x  x 2  2x )

 

 m  Min g x .
0; 
Xét

hàm

 

 

g x  x 2  2x trên

số







 

 

 0;   g ' x  2x  2  g ' x  0  x  1

 

lim g x   ; g 0  0; g 1  1  Min g x  1 tại x  1
x 
0; 
Kết luận: m  1 thì hàm số nghịch biến trên khoảng  0;   .
Cách 2: Sử dụng định lý dấu tam thức bậc 2:
Ta có: y '  3x 2  6x  3m   '  9  9m
Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;    y '  0 x   0;   * 
Trường hợp 1: Nếu  '  0  9  9m  0  m  1 . Theo định lý về dấu tam thức bậc hai ta
có y '  0 x 



 * luôn đúng

Trường hợp 2: Nếu  '  0  9  9m  0  m  1 , thì  *  đúng  phương trình y '  0 có
hai nghiệm phân biệt x 1, x 2  x 1  x 2  và thỏa mãn x 1  x 2  0 1


m  1
m  1
  0


1 
  x 1  0 x 2  0  0  x 1.x 2  0
x  x2  0
x  x
x  x  0
 1
2
2
 1
 1
0
 2









( Theo định lý Vi-et: x1  x 2  2; x1.x 2  m )

m  1

 m  0 ( Vô nghiệm )   *  không thỏa mãn).
2  0

Kết luận: Kết hợp TH1 và TH2 ta có m  1 thì hàm số nghịch biến trên khoảng  0;   .
Bài toán 3: Tìm m để hàm số: y  m  1 x 3  3 m  1 x 2  3  2m  3  x  m nghịch biến
trên
Tập xác định: D 
Ta có: y '  3 m  1 x 2  6 m  1 x  3  2m  3 
Hàm số nghịch biến trên

 y '  0, x 

Nhận xét: y ' chưa là tam thức bậc hai nên ta phải xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: m  1 khi đó: y '  3  0, x 

nên hàm số nghịch biến trên

Trường hợp 2: m  1 , khi đó y ' là tam thức bậc hai nên hàm số nghịch biến trên
 y '  0, x 


m  1  0

m 1
2
  m  1  2m  3 m  1  0





 





Kết luận: Kết hợp TH1 và TH2 ta có m  1 thì hàm số nghịch biến trên
Bài toán 4: Cho hàm số: y 

.

mx  4
x m

a.Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định



b. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; 
Tập xác định: D 

 

\ m ; y ' 



m2  4

x  m 

2

a. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi:

m  2
.
 y '  0, x  m  m 2  4  0  
m  2
Kết luận: Vậy m   ;  2   2;   để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b. Hàm số đồng biến trên khoảng  2;   khi và chỉ khi:

 m  2
 m  2
2

m

4

0





  m  2   m  2  m  2 .

m  2; 
m  2
m  2








Kết luận: Vậy m   2;   để hàm số đồng biến trên khoảng  2;   .


Bài toán 5: Tìm m để hàm số: y  x 3  3x 2  mx  m nghịch biến trên một khoảng có độ dài
bằng 1
Tập xác định: D 

; y '  3x 2  6x  m

Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi:
y '  0


x

x

1
1

2


3
9  3m  0
m  3

m 
 2
4
4  4m  1
S  4P  1 S  x 1  x 2 ; P  x 1.x 2

Kết luận: Vậy m 

3
để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1 .
4





m 1 3
x  m  2 x 2  3mx  5 , với m là tham số thực. Tìm m
3
để hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2  .



Bài toán 6: Cho hàm số: y  



Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số:
Ta có: y '   m  1 x 2  2 m  2  x  3m
Suy ra, hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2   y '  0 x   ; 2  * 
Vì y '  x  liên tục tại x  2 nên  *   y '  0  x   ; 2   * 











  m  1 x 2  2 m  1 x  3m  0, x  ; 2 







 



 m x 2  2x  3  x 2  4x , x  ; 2   m  g x , x  ; 2 

 

( Trong đó: g x 

x 2  4x
)  m  Min g x
x 2  2x  3
 ;2

 


x 2  4x
Xét hàm số: g x 
trên đoạn  ; 2 
x 2  2x  3

 

2


1
7 

6  x   


2
4
6 x 2  x  2

  0, x  ; 2 
g' x 

2
2

2
2
x  2x  3
x  2x  3

 














4
 g x là hàm số nghịch biến trên ; 2   Min g x  g 2  
5
 ;2

 



 

 

4
Kết luận: Vậy m   thì hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2  .
5
Cách 2: Sử dụng định lý dấu tam thức bậc 2:
2


1
15
 0, m
Ta có: y '   m  1 x  2 m  2 x  3m ;  '  4m  m  4   2m   
2
4






2





2


Suy ra, hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2   y '  0 x   ; 2  * 
Trường hợp 1: Nếu  m  1  0  m  1  y '  6x  3  0, x   ; 2 



 * không thỏa mãn.






 x 1

Trường hợp 2: Nếu  m  1  0  m  1 thì * đúng  phương trình y '  0 có hai nghiệm





phân biệt x 1; x 2 , x 1  x 2 và thỏa mãn 2  x 1

2

  0
m


x .x  2 x  x  4  0
1
2
 x 2  2 x 1  2  0
x 1.x 2  2 x 1  x 2  4  0
 1 2
1  x  x
 x  x
 m  1
1
2
1
2
 2
 2


x  x  4  0
2
 1
 2

 2
m

1
m

1













( Theo định lí Vi-et: x1  x 2 



 3m
2 m  2

 2
 m 1
 m 1



 m  1
2 m  2

40
 m 1




   4  0











2 m 2
m 1

 ; x .x
1

2





3m
)
m 1


4
m  
5

4
 m  1  m  
5

1
m 

3

Trường hợp 3: Nếu  m  1  0  m  1 , thì  *  không thỏa mãn vì phương trình y '  0 có
hai nghiệm phân biệt x 1; x 2 ,  x 1  x 2  và y '  0 x   x 1; x 2 

4
Kết luận: Kết hợp TH1, TH2, TH3 ta có: m   thì hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2  .
5
Bài toán 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 

x2  x  1
trên đoạn
x

1 
 ;2 
2 


1 
x

1


 ;2 
x2  1
2
2 

;y '  0  x  1  0 
Ta có: y ' 
2

1 
x
x  1   ;2 
2 


1 7
7
x2  x  1
Mà: y    ; y 1  3; y 2  . y 
là hàm số liên tục và xác định trên
x
2
2 2





1 
 ;2 
2 

1 7
1
Kết luận: Vậy Min f x  f 2  f     x  2; x  ; Max f x  f 1  3  x  1 .
2
2 2
1 
1 
;2
;2

 

 
2 

 



 
2 




Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

 

y  f x  x  1  3x 2  6x  9

Điều kiện xác định: 3x 2  6x  9  0  1  x  3
Ta có: y '  1 

6  6x
2 3x 2  6x  9

3x 2  6x  9  3  3x



3x 2  6x  9

y '  0  3x 2  6x  9  3x  3


3x  3  0
x  1

x 2
2  
12x 2  24  0
3x 2  6x  9  3x  3









Bảng biến thiên:

1

x

2


y'

3



0

y

6

4
0

Từ bảng biến thiên, ta được: Max y  6  x  2; Min y  0  x  1 .
Bài toán 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y  5cos x  cos 5x với 


4

x


4


k
 x  2

Ta có: y '  5sin x  sin 5x ; y '  0  sin 5 x  sin x  
k 

k

x  

5 3

Do: 


4

x



nên: x  

4


5

; x  0; x 





6

Bảng biến thiên:

x







4


y'
y



0

6
0



0

3 3







6

4

0



3 3

4
3 2
Từ bảng biến thiên, ta được: Max y=3 3  x 

3 2


6

; Min y  4  x  0 .


Bài toán 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y  f  x   2e x  e 42 x với x  0; 2 

Ta có: f '  x   2e x  2e 42 x ; f '  x   0  2e x  2e 42 x  0  2e x  2e 42 x  e x  e 42 x

 x  4  2x  x 

4
.Ta có: f  0   2  e 4 ; f  2   2e 2  1;
3

4
4
f    3e 3
3

Mà f  x  là hàm số liên tục và xác định trên 0; 2 
4
4
4
Kết luận: Vậy Max f  x   f  0   2  e  x  0; Min f  x   f    3e 3  x  .
3
3
0;2 
0;2 
4

m 3
.x  mx 2  7x  2 11 , với m là tham số thực. Tìm m để hàm
3
số 11 nghịch biến trên khoảng 1;  

 

Bài toán 11: Cho hàm số: y 

Đáp án: m  

Bài toán 12: Cho hàm số: y 

7
3

mx  m  2
x m

a.Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
b.Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 0 
Đáp án: a) m   2;1
b) m   2; 0 






Tìm m để hàm số 13  nghịch biến trên khoảng 1;  



Bài toán 13: Cho hàm số: y  x 3  m  1 x 2  m m  3 x 

1
13 , với m là tham số thực.
3

 

 1  5 7  33   7  33 1  5 
;
;
Đáp án: m  


8
8
2 
 2
 

Bài toán 14: Gọi x 1; x 2 là nghiệm của phương trình: 12x 2  6mx  m 2  4 
Tìm m để biểu thức: A  x 12  x 22 đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

12
0
m2


Đáp án: Max A 

3 3

3 3
 x  2 3 và Max A  
 x  2 3
4
4

Bài toán 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  x 2 2  x
Đáp án: Max y=

16 6
25 5

 x  0; Min y  0  x 

4
5