SKKN sáng kiến kinh nghiệm đề tài vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lí do chọn đề tài:

Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa học kỹ thuật.
Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường phổ
thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi. Toán học giúp cho học sinh
dần hình thành và phát triển được sự linh hoạt, sáng tạo và tư duy trừu tượng. Học toán
giúp con người nâng cao trình độ tính toán, giúp khả năng tư duy logic, sáng tạo ngày
càng nâng cao và phát triển. Khi học toán là qua hoạt động giải bài tập giúp học sinh nâng
cao dần khả năng suy luận, đào sâu, tìm hiểu và trình bày các vấn đề một cách logic.
Là một giáo viên dạy toán lớp 7 tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 từ việc tiếp thu
kiến thức về lý thuyết, định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập vẫn còn lúng túng nhiều. Từ việc
tìm ra hướng giải quyết đến việc thực hiện các bước giải, kể cả những bài tương đối bình
thường đến những bài toán khó.
Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau khá quan trọng không chỉ ở lớp 7 mà còn gặp ở các bài toán tìm độ dài đoạn thẳng,
tìm cạnh của một tam giác trong các bài toán tam giác đồng dạng ở lớp 8-9…
Chính vì vậy sau khi học xong kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh hai lớp 7A3, 7A4 do tôi trực tiếp giảng dạy về kiến
thức liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau và thấy kết quả như sau:
Lớp

Số HS được
khảo sát

Số học sinh
giải được
SL

%

Số HS biết hướng nhưng
không giải được
SL
%

7A3

34

4

11,8

9

26,5

7A4

33

3

9,1

7

21,2

Số HS không
thể giải được
SL
%
61,7
21
69,7
23

Đây là một kết quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở và băn khoăn. chính vì
thế nên tôi đã đi sâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra một số phương pháp giải để
giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào
việc thực hành giải bài tập.
GV: Nguyễn Thế Vinh

1


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

2. Mục đích nghiên cứu đề tài
a) Kiến thức.
- Học sinh hiểu và làm được một số dạng toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau

như: Tìm số hạng chưa biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia tỷ lệ,
tránh những sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số bằng nhau.
b) Kỹ năng:
- Học sinh có kỹ năng tìm số hạng chưa biết, giải toán chia tỉ lệ, giải các bài toán tỉ lệ
thuận, tỉ lệ nghịch.

c) Thái độ:
Học sinh có khả năng tư duy, thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận trong tính toán.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 7A3, 7A4 trường THCS Bùi Thị Xuân, Phú Giáo, Bình Dương
4. Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài bao gồm các dạng toán liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỷ số bằng
nhau trong chương trình toán học ở lớp 7 THCS.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu từ các tài liệu và sách tham khảo có liên quan.
- Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp.
- Thông qua dự giờ rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp.
- Hệ thống lý thuyết của từng tiết dạy, từng chủ đề về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau , chốt lại các vấn đề cần lưu ý, đưa ra ví dụ đã được chọn lọc từ dễ đến khó,
từ đơn giản đến phức tạp.
- Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra và đối chiếu kết quả học tập của học sinh từ đầu
năm học đến cuối học kì I.
6. Cơ sở lý luận:
Dạy Toán, học toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu tìm tòi, đúc
kết kinh nghiệm của người dạy Toán và học Toán là không thể thiếu được. Trong đó, việc
chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo viên. Việc truyền thụ
kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên hiểu ý đồ của sách giáo khoa,
GV: Nguyễn Thế Vinh

2


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

giúp học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống, dẫn đắt học sinh đi từ điều đã biết đến
điều chưa biết.

Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê học Toán,
phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình.
Chính suy nghĩ trên, bản thân tôi đã tìm tòi, sưu tập và hệ thống kiến thức, giúp học
sinh có những kinh nhgiệm giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
một cách nhẹ nhàng, đơn giản.
7. Cơ sở thực tiễn:

Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn ý
chí vượt qua mọi khó khăn.
Đứng trước một bài toán, học sinh phải có trong mình một vốn kiến thức cơ bản, vững
chắc về mặt lý thuyết. Có được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán đó, từ đó mới tìm
cho mình con đường giải bài toán nhanh nhất.
Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy
phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơ bản, sâu rộng, giúp
học sinh :
- Nhìn nhận từ một bài toán cụ thể thấy được bài toán khái quát
- Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ thể
- Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau
- Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán.
Với một sự lao động nghiêm túc tôi xin trình bày một phần nhỏ kinh nghiệm soạn bài
của mình nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải dạng toán vận dụng tính chất của tỉ lệ thức
và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7
II. NỘI DUNG
1. Lí thuyết:

Yêu cầu học sinh cần nhớ:
* Về tỉ lệ thức:
- Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số

GV: Nguyễn Thế Vinh

a c
= hoặc a : b = c : d (b ≠ 0; d ≠ 0)
b d

3


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

(a, b, c, d là các số hạng của tỉ lệ thức, a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là
các số hạng trong hay trung tỉ )
- Các tính chất của tỉ lệ thức:
+ Nếu

a c
= ⇔ ad = bc
b d

( Tích các ngoại tỉ bằng tích các trung tỉ)
+ Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:
a c a b d c d b
= ;
= ;
= ;
=
b d c d b a c a

( Hoán vị các trung tỉ, các ngoại tỉ, cả trung tỉ và ngoại tỉ ta sẽ được một tỉ lệ thức mới)
* Về tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

- Từ dãy tỉ số
*
*

a c e
a c
= hoặc = =
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
b d
f
b d

a c a+c a−c
= =
=
b d b+d b−d

a c e a+c+e
a+c−e
= = =
=
= ...
b d f b+d + f b+d − f

2. Phương pháp giải bài tập:

Dạng 1: Dạng áp dụng trực tiếp tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải.
Dạng này tập trung chủ yếu vào đối tượng học sinh trung bình, yếu để các em
củng cố và khắc sâu hơn kiến thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
VD1: Tìm x,y biết:

a)

x y
= và x + y = 21 ;
2 5

b)

x y
= và x − y = 6
2 5

Cách giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
a)

 x = 3.2 = 6
x y x + y 21
= =
=
=3⇒ 
2 5 2+5 7
 y = 3.5 = 15

b)

 x = −2.2 = −4
x y x− y
6
= =

=
= −2 ⇒ 
2 5 2−5 −3
 y = −2.5 = −10

GV: Nguyễn Thế Vinh

4


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

VD2: Tìm x,y,z biết:
a)

x y z
= = và x + y + z = 18 ;
2 3 4

b)

x y z
= = và x − y − z = 15
2 3 4

Cách giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x = 2 .2 = 4
x y z x + y + z 18


=
= 2 ⇒  y = 2 .3 = 6
a) = = =
2 3 4 2+3+ 4 9
 z = 2 .4 = 8

 x = −3.2 = −6
x y z x − y − z 15

=
= −3 ⇒  y = −3.3 = −9
b) = = =
2 3 4 2−3−4 −5
 z = −3.4 = −12


Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sau khi đã lập được các tỉ số mới
bằng các tỉ số đã cho để sử dụng được dữ kiện bài toán.
VD1: Tìm x, y biết:
a)

x y
= và 5 x + 3 y = 38 ;
2 3

b)

x y
= và 2 x − 3 y = 10
2 3

Ở đây học sinh sẽ băn khoăn vì không biết làm thế nào để áp dụng tính chất dãy tỉ số
bằng nhau.
Gợi ý: Vì bài cho điều kiện câu a) 5 x + 3 y = 38 như vậy muốn sử dụng dữ kiện này thì
từ dãy tỉ số

x y
=
ta phải biến đổi sao cho xuất hiện tỉ số mới bằng tỉ số đã cho trong
2 3

đó các số hạng trên của nó có dạng 5 x và 3 y
Cách giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
a)

 x = 2 .2 = 4
x y 5 x 3 y 5 x + 3 y 38
= =
=
=
=
=2⇒
2 3 10
9
10 + 9 19
 y = 2 .3 = 6

b)

 x = −2.2 = −4
x y 2 x 3 y 2 x − 3 y 10
= =
=
=
=
= −2 ⇒ 
2 3
4
9
4−9
−5
 y = −2.3 = −6

VD2: Tìm x, y,z biết:
GV: Nguyễn Thế Vinh

5


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

a)

x y z
= = và x + 2 y + 4 z = −93 ;
3 4 5

b)

x y z
= = và − 2 x + y − 3 z = 34
3 4 5

Tương tự ở trên chúng ta cũng phải biến đổi sao cho xuất hiện tỉ số mới bằng với tỉ
số đã cho để áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Cách giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x = −3.3 = 9
x y z 2 y 4 z x + 2 y + 4 z − 93

=
=
=
= −3 ⇒  y = −3.4 = 12
a) = = =
3 4 5
8
20
3 + 8 + 20
31
 z = −3.5 = 15

 x = −2.3 = −6
x y z 2 x 3 z − 2 x + y − 3z
34

=
=
=

= −2 ⇒  y = −2.4 = −8
b) = = =
3 4 5 6 15
− 6 + 4 − 15
− 17
 z = −2.5 = −10


Chú ý: Khi ta đặt dấu “-” số hạng ở trên của tỉ số thì ta cũng phải đặt dấu “-” ở số hạng
ở dưới của tỉ số.
Từ đó ta sẽ đi đến cách giải một dạng tổng quát:
Tìm x, y, z biết

x y z
= = và mx + ny + pz = d
a b c

Với a, b, c, d là các số cho trước và m ≠ ±1; n ≠ ±1; p ≠ ±1
Phương pháp giải như sau:
Từ

x y z
mx ny pz
= = ⇒
=
=
a b c
ma nb pc

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số

mx ny pz
=
=
ta được
ma nb pc

mx ny pz mx + ny + pz
d
=
=
=
=
ma nb pc ma + nb + pc ma + nb + pc

Dạng 3: Từ dữ kiện bài cho rút ra được dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng tính chất
dãy tỉ số bằng nhau giải.
VD1: Tìm x, y, z biết:
= ; =

GV: Nguyễn Thế Vinh

và 2x + 3y – z = 186

6


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Chắc chắn là chúng phải sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nhưng lại

chưa có, hãy làm thế nào xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau.
Gợi ý: Vì ở cả hai tỉ lệ thức đều có y, vậy nên ta sẽ biến đổi hai tỉ lệ thức trên sao
cho chúng sẽ có cùng một tỉ số chứa y bằng cách chia cả hai vế của hai tỉ lệ thức trên
cho số nào đó để cả hai tỉ lệ thức thu được đều có tỉ số chứa y như nhau tức là các mẫu
của các tỉ số chứa y sẽ là BCNN của các mẫu số ban đầu chứa y. Cụ thể: Biến đổi để
các tỉ số chứa y có mẫu là BCNN(4; 5)
Cách giải:
Ta biến đổi:

Do đó:

=

⇒

=

=

⇒

=

= = = = = = =3

Hay: +) = 3

⇒

x = 3.15 = 45

+) = 3

⇒

y = 3.20 = 60

+) = 3

⇒

z = 3.28 = 84

Vậy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84
VD2: Tìm x, y,z biết:
a)

x y y z
= ; = và x + 2 y + 4 z = −92 ;
2 3 4 5

b)

x y y z
= ; = và − 2 x + y − 3 z = −47
2 3 2 5

Ta thấy VD2 này tương tự với VD1. Ta thực hiện tương tự:
Cách giải

a) Từ

x y
x
y 
= ⇒ =
x y
z
2 3
8 12 
=
⇒ =
y z
y
z
8 12 15
= ⇒
= 
4 5
12 15 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x = −8
x y
z
x + 2 y + 4 z − 92

=
=
=

=
= −1 ⇒  y = −12
8 12 15 8 + 24 + 60
92
 z = −15


GV: Nguyễn Thế Vinh

7


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

b) Từ

x y
x y 
= ⇒ = 
x y
z
2 3
4 6 
⇒ = =
y z
y
z
4 6 15
= ⇒ = 


2 5
6 15 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
x = 4
x y
z − 2 x + y − 3z − 47

= =
=
=
= 1⇒ y = 6
4 6 15
− 8 + 6 − 45
− 47
 z = 15


VD3: Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a – b + c = 35
Đã có dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để có dãy tỉ số bằng nhau?
Gợi ý: Ta nên chia 2a, 3b, 4c cho BCNN (2,3,4) =12
Cách giải
Có: 2a = 3b = 4c

⇔

= = = = =

Khi đó: = = = = = 7
Hay: +) = 7

⇒ a = 7.6 = 42

+) = 7

⇒ b = 7.4 = 28

+) = 7

⇒ c = 7.3 = 21

Vậy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21
VD4: Tìm x, y, z biết:
a)

2x 3y 4z
=
=
và x + 2 y + 4 z = 220 ;
3
4
5

b)

2 x 5 y 3z
=
=
và − 2 x + y − 3 z = 216
3

4
5

Ở đây vì dãy tỉ số đã cho có dạng không thuận tiện cho việc áp dụng tính chất dãy tỉ
số bằng nhau. Vậy làm thế nào để sử dụng dãy tỉ số bằng nhau đã cho cho phù hợp.
Gợi ý: Ta nên ta chia các tỉ số đó cho BCNN của các hệ số của tử số
Cụ thể Câu a) ta chia các tỉ số đó cho BCNN(2;3;4)=12
Câu b) ta chia các tỉ số đó cho BCNN(2;5;3)=30
Cách giải:
a) Từ

2x 3y 4z
x
y
z
=
=
⇒
=
=
3
4
5
18 16 15

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
GV: Nguyễn Thế Vinh

8

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

 x = 2.18 = 36
x
y
z
x + 2 y + 4 z 220

=
=
=
=
= 2 ⇒  y = 2.16 = 32
18 16 15 18 + 32 + 60 110
 z = 2.15 = 30


b) Từ

2 x 5 y 3z
x
y
z
=
=
⇒
=
=
3

4
5
45 24 50

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x = −45
x
y
z
− 2 x + y − 3z
216

=
=
=
=
= −1 ⇒  y = −24
45 24 50 − 90 + 24 − 150 − 216
 z = −50


VD5: Tìm x, y biết:
a) 5 x = 7 y và x + 2 y = 51 ;

b) a.x = b. y (a ≠ 0, b ≠ 0, b ≠ a) và x − y = b − a

Cách giải:
a) Từ 5 x = 7 y ⇒

x y

=
7 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x = 21
x y x + 2 y 51
= =
=
=3⇒ 
7 5 7 + 10 17
 y = 15
b) Từ a.x = b. y ⇒

x y
=
b a

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
x = b
x y x− y b−a
= =
=
=1⇒ 
b a b−a b−a
y = a

VD6 : Tìm x,y,z biết
a.

x − 4 y −6 z −8

=
=
và x +y +z =27
2
3
4

b.

x −1 y − 2 z − 3
=
=
( 1) và 2 x + 3 y – z = 50
2
3
4

Giải:
a. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x − 4 y −6 z −8
=
=
2
3
4
GV: Nguyễn Thế Vinh

9

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

=

x − 4 + y − 6 + z − 8 x + y + z − 18 27 − 18
=
=
=1
2+3+ 4
9
9

x−4
=1⇒ x = 6
2
y −6
=1⇒ y = 9
3
z −8
= 1 ⇒ z = 12
4

⇒

Vậy x = 6; y= 9; z = 12
b. Gặp bài này, các em không tránh khỏi băn khoăn: Tạo ra 2x, 3y bằng cách nào đây?
Vì x còn vướng -1, y vướng -2 và z vướng -3. Cứ bình tĩnh và chúng ta sẽ làm từng
bước xem như thế nào.
Ta biến đổi (1) như sau :

2 ( x − 1) 3 ( y − 2 ) z − 3
2.( x − 1) 3.( y − 2) z − 3
=
=
=
=
hay
2.2
3.3
4
4
9
4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
2 ( x − 1) 3 ( y − 2 ) z − 3 2 x − 2 + 3 y − 6 − z + 3 ( 2 x + 3 y − z ) + −2 − 6 + 3 50 − 5
=
=
=
=
=
=5
4
9
4
4+9−4
9
9

Do đó:

x −1
= 5 ⇒ x = 11
2
y−2
= 5 ⇒ y = 17
3
z −3
= 5 ⇒ z = 23
4

VD 7. Tìm x1, x2, x3, …, x9 biết rằng:
= = =…=

và x1 + x2 + x3 + … + x9 = 90

Nhìn có vẻ khó vì nhiều số chưa biết tính như thế nào. Không vấn đề gì, dựa vào
tính chất cuả dãy tỉ số bằng nhau ta có thể làm được dễ dàng.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
= = =…=
=

GV: Nguyễn Thế Vinh

10


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

=
=

( x1 + x2 + ... + x9 ) − ( 1 + 2 + ... + 9 )
9 + 8 + ... + 1
90 − 45
=1
45

Do đó:
+) = 1

⇒

x1 = 9 + 1 = 10

+) = 1

⇒

x2 = 8 + 2 = 10

+) = 1

⇒

x3 = 7 + 3 = 10

………………
+) = 1

⇒

x9 = 1 + 9 = 10

Vậy: x1 = x2 = x3 = … = x9 = 10.
Dạng 4: Dạng bài tập có sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau mà phần điều kiện cho
thêm các biến có dạng luỹ thừa.
VD1: Tìm x,y biết:
a)

x y
= và x 2 + 2 y 2 = 22 ;
2 3

b)

x y
= và 2 x 2 − 3 y 2 = −19
2 3

Đến đây học sinh thấy ở phần dữ kiện bài toán có xuất hiện luỹ thừa của các biến.
Vậy phải biến đổi dãy tỉ số trên như thế nào để sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau?
Gợi ý: Vì ở điều kiện bài cho x 2 + 2 y 2 = 44 có luỹ thừa bậc hai của cả x và y nên để
suất hiện hai luỹ thừa này ta có thể bình phương các tỉ số của dãy tỉ số đã cho lên.
Cách giải:
x y
x2 y2
=
(
1
)

⇒
=
a) Ta có:
2 3
4
9

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
2

x 2 y 2 2 y 2 x 2 + 2 y 2 22
 x = 4 ⇒ x = ±2
=
=
=
=
=1⇒  2
4
9
18
4 + 18
22

 y = 9 ⇒ y = ±3

x = 2
 x = −2
hoặc 
y = 3
 y = −3

kết hợp với (1) ⇒ 

GV: Nguyễn Thế Vinh

11


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

b) Ta có:

x y
x2 y2
= (1) ⇒
=
2 3
4
9

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

x 2 y 2 2 x 2 3 y 2 2 x 2 − 3 y 2 − 19
=
=
=
=
=
= 1⇒
4

9
8
27
8 − 27
− 19

 x 2 = 4 ⇒ x = ± 2
 2
 y = 9 ⇒ y = ± 3

x = 2
 x = −2
hoặc 
y = 3
 y = −3

kết hợp với (1) ⇒ 

VD2: Tìm x, y,z biết:
a)

x y z
= = và x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 =141
3 4 5

b)

x y z
= = và − 2 x 2 + y 2 − 3 z 2 = −77
3 4 5

Cách giải:
x y z
x2 y2 z2
=
=
a) Từ = = (1) ⇒
3 4 5
9 16 25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

 x 2 = 9 ⇒ x = ±3

x
y
z
2y
4z
x + 2 y + 4z
141
=
=
=
=
=
=
= 1 ⇒  y 2 = 16 ⇒ y = ±4
9 16 25
32 100

9 + 32 + 100
141
 z 2 = 25 ⇒ z = ±5

2

2

2

2

2

2

2

2

x = 3
 x = −3


kết hợp với (1) ⇒  y = 4 hoặc  y = −4
z = 5
 z = −5



b) Từ

x y z
x2 y2 z2
= = (1) ⇒
=
=
3 4 5
9 16 25

GV: Nguyễn Thế Vinh

12


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

 x 2 = 9 ⇒ x = ±3

x
y
z
2x
3z
− 2 x + y − 3z
− 77
=
=

=
=
=
=
= 1 ⇒  y 2 = 16 ⇒ y = ±4
9 16 25 18
75
− 18 + 16 − 75
− 77
 z 2 = 25 ⇒ z = ±5

2

2

2

2

2

2

2

2

x = 3
 x = −3



kết hợp với (1) ⇒  y = 4 hoặc  y = −4
z = 5
 z = −5



Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x,y,z biết

x y z
= = và mx k + ny k + pz k = d
a b c

Với a, b, c, d , m, n, p, d , k là các số cho trước và k ∈ N
Phương pháp giải như sau:
x y z
mx k ny k
pz k
= = ⇒
=
=
Từ
a b c
ma k nb k
pc k
mx k ny k
pz k
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số k = k = k ta được:
ma
nb

pc
mx k ny k
pz k
mx k + ny k + pz k
d
=
=
=
=
k
k
k
k
k
k
k
ma
nb
pc
ma + nb + pc
ma + nb k + pc k

Dạng 5: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh sự tồn tại của các dãy tỉ số
mới từ các tỉ số ban đầu.
VD1: Cho tỉ lệ thức:

a c
= (a, b, c, d ≠ 0; a ≠ ±b; c ≠ ± d )
b d

Chứng minh rằng:
a)

a+b c+d a−b c−d
=
;
=
;
b
d
a
c

b)

a+b c+d
=
a −b c −d

Cách giải:
Từ

a c
a b
= ⇒ = . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
b d
c d

GV: Nguyễn Thế Vinh

13


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

a b a+b a−b
= =
=
c d c+d c−d

a) Từ
Từ
c) Từ

b a+b
a+b c+d
=
⇒
=
d c+d
b
d

a a −b
a −b c −d
=
⇒
=
c c−d
a

c
a +b a −b
a+b c+d
=
⇒
=
c+d c−d
a−b c−d

VD2: Nếu

a c
= thì:
b d

a.

5a + 3b 5c + 3d
=
5a − 3b 5c − 3d

b.

a 2 + b 2 ab
=
c 2 + d 2 cd

GV: Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
Giải:
a. Từ

a c
a b
5a 3b
5a 5c
5a + 3b 5c + 3d
= ⇒ = ⇒
=
⇒
=
⇒
=
(Áp dụng kết quả của
b d
c d
5c 3d
3b 3d
5a − 3b 5c − 3d

câu c )
a c
a b
a 2 b2 a 2 + b2
b. Từ = ⇒ = ⇒ 2 = 2 = 2
(1)
b d
c d
c
d
c +d2

và từ

a c
a b
a a b a
a 2 ab
= ⇒ = ⇒ . = . ⇒ 2 =
(2)
b d
c d
c c d c
c
cd

từ (1) và (2) suy ra

a 2 + b 2 ab
=
(đpcm)
c 2 + d 2 cd

Dạng 6: Dạng bài tập không sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nhưng học sinh
hay nhầm lẫn.
VD2: Tìm x,y,z biết:
a)

x y
= và xy = 12 ;
2 3

GV: Nguyễn Thế Vinh

b)

x y z
= = và xyz = −48
2 3 4

14


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Dạng này học sinh rất hay nhầm lẫn vì các em thấy có xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau ở
phần đầu, vì thế đa số các em áp dụng luôn tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.
Ví dụ một số em đã giải như sau:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
x
2

a) =

x = 4
y xy 12
=
=
=2⇒
3
6

6
y = 6

 x = −4
x y z xyz − 48

=
= −2 ⇒  y = −6
b) = = =
2 3 4 24
24
 z = −8


Tuy nhiên kết quả trên không được chấp nhận vì tính chất dãy tỉ số bằng nhau không
đúng đối với phép nhân. Vì vậy với dạng này các em nên giải như sau:
Cách giải:
a)

Đặt

x y
= = k ⇒ x = 2k ; y = 3k
2 3

Thay x = 2k ; y = 3k vào xy = 24 ta được:
2k .3k = 6k 2 = 24 ⇒ k 2 = 4 ⇒ k = ±2

-Với k = 2 ⇒ x = 4; y = 6
-Với k = −2 ⇒ x = −4; y = −6

b)

Đặt

x y z
= = = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k
2 3 4

Thay x = 2k ; y = 3k ; z = 4k vào xyz = −48 ta được:
x = 2

2k .3k .4k = 24k = 24 ⇒ k = 1 ⇒ k = 1 ⇒  y = 3
z = 4

3

3

Vậy các giá trị x,y,z thoả mãn bài toán là: x=-2; y=-3; z=-4
Lưu ý: Cách giải này học sinh có thể áp dụng cho hầu hết các bài toán áp dụng tính
chất dãy tỉ số bằng nhau ở trên, tuy nhiên trong quá trình giải bài tập cụ thể các em có
thể chọn lựa phương pháp giải phù hợp nhất với bài.
Dạng 7: Bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống con người, vào hình học.
VD 1: Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết rằng số đo các góc này tỉ lệ với 2, 3, 4.
GV: Nguyễn Thế Vinh

15


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Giải:

) ) )
Số đo các góc của ABC là A ; B ; C . Giả sử theo thứ tự này, các góc đó tỉ lệ với 2, 3 và 4
) ) )
A B C
) ) )
= =
nghĩa là A : B : C = 2 : 3 : 4 hay
2 3 4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
) ) ) ) ) )
A B C A + B + C 1800
= = =
=
= 200
2 3 4
2+3+ 4
9
)
)
)
Do đó: A = 400 ; B = 600 ; C = 800

VD 2:
Một cửa hàng có 3 tấm vải, dài tổng cộng 126m. Sau khi họ bán đi
nhất,

1
tấm vải thứ
2

2
3
tấm vải thứ hai và tấm vải thứ ba, thì số vải còn lại ở ba tấm bằng nhau. Hãy
3
4

tính chiều dài của ba tấm vải lúc ban đầu .
Bài cho rất rõ ràng, dễ hiểu. Chỉ cần học sinh biểu diễn được số vải còn lại ở mỗi
tấm sau khi bán thì bài toán trở nên đơn giản và rất dễ dàng.
Giải:
Gọi số mét vải của ba tấm vải lần lượt là a, b, c (m)(a ,b, c > 0)
Số mét vải còn lại ở tấm thứ nhất:

1
a (m)
2

Số mét vải còn lại ở tấm thứ hai:

2
b
3

Số mét vải còn lại ở tấm thứ ba:

3

c
4

Theo đề bài, ta có:

(m)
(m)

a + b + c = 126 và

1
1
1
a= b= c.
2
3
4

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a b c a + b + c 126
= = =
=
=14
2 3 4 2+3+ 4
9
GV: Nguyễn Thế Vinh

16

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Do đó
a
=14 → a = 14.3 = 28
2

+)

b
+) =14 → b = 14.3 = 42
3

c
+) =14 → c = 14.4 = 56
4

Vậy: chiều dài của mỗi tấm vải lúc đầu lần lượt là: 28m, 42m, 56m.
VD3:
Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn sách. Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ thứ nhất sang
tủ thứ 3 thì số sách ở tủ thứ 1, thứ 2, thứ 3 tỉ lệ với 16;15;14. Hỏi trước khi chuyển thì
mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách ?
Bài này khá phức tạp ở chỗ: số lượng sách trong mỗi tủ trước và sau khi chuyển.
Lời giải:
Gọi số quyển sách của tủ 1, tủ 2, tủ 3 lúc đầu là: a, b, c (quyển) (a, b, c ∈ N * và a, b,
c < 2250). Thì sau khi chuyển ,ta có:
Tủ 1: a –100

(quyển)

Tủ 2: b

(quyển)

Tủ 3: c + 100 (quyển)
Theo đề bài ta có :

a − 100 b c + 100
= =
16
15
14

và a + b + c = 2250.

2250
a − 100 b c + 100 a − 100 + b + c + 100
→
= =
=
= 45 =50
16
15
14
16 + 15 + 14

+)
+)
+)

a − 100
=50 → a –100 = 50.16 ⇔ a = 800 + 100 = 900 (t/m)
16
b
15

=50 → b = 50.15 = 750

(t/m)

c + 100
=50 → c + 100 = 50.14 ⇔ c = 700 – 100 = 600
14

(t/m)

Vậy: Trước khi chuyển thì: Tủ 1 có : 900 quyển sách
GV: Nguyễn Thế Vinh

17


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Tủ 2 có : 750 quyển sách
Tủ 3 có : 600 quyển sách.
VD4: Một ô tô đi từ A → B mỗi giờ đi đươc 60,9 km. Hai giờ sau, một ô tô thứ hai
cũng đi từ A → B với vận tốc 40,6 km. Hỏi ô tô thứ nhất đi từ A → B mất mấy giờ. Biết
rằng xe ô tô thứ hai đến muộn hơn ô tô thứ nhất là 7 giờ.
Với bài toán này, học sinh phải nhớ được mối quan hệ giữa ba đại lượng trong

chuyển động: Quãng đường = Vận tốc.Thời gian
Nhưng nhớ được công thức rồi mà đầu bài cho rắc rối quá. Giáo viên giúp học
sinh nhận ra mối quan hệ về thời gian đi từ A → B của hai xe ô tô.
Lời giải:
* Gọi thời gian ô tô thứ 1 đi từ A → B là : x (h)

(Đ/k x>0)

ô tô thứ 2 xuất phát sau 2h nhưng lại tới B muộn hơn 7h nên thời gian ô tô thứ 2 đi từ
A → B là : x – 2 + 7 = x + 5 (h)
Vì cùng là quãng đường đi từ A → B nên ta có: 60,9.x = 40,6.(x + 5)
⇔

x
x+5
=
40, 6
60,9

→

x
x+5
x+5− x
5
50
=
=
=
=

40, 6 60,9 60,9 − 40, 6 20,3 203

⇔

x
50
=
40, 6 203

→

x=

50
50 406
.40,6 =
.
= 10 (t/m)
203
203 10

Vậy ô tô thứ nhất đi từ A → B mất 10 giờ.
VD5:
Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cây cầu hết 38 triệu đồng. Xí nghiệp I có
40 xe ở cách cầu 1,5 km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3 km, xí nghiệp III có 30 xe
ở cách cầu 1 km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu bao nhiêu tiền, biết
rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp
đến cầu?

GV: Nguyễn Thế Vinh

18


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Chắc chắn nhiều học sinh không làm được bài toán này vì đầu bài rắc rối quá, vừa
tỉ lệ thuận lại vừa tỉ lệ nghịch thì làm như thế nào? Thật đơn giản, cứ làm bình
thường thôi:
Lời giải:
Gọi số tiền mỗi xí nghiệp I, II, III phải trả lần lượt là a, b, c (triệu đồng) với
0 < a, b, c < 38.
Theo bài ta có: a + b + c = 38 và a : b : c =

40 20 30
:
=
= 8: 2:9
1,5 3
1

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a + b + c 38
= = =
=
=2
8 2 9 8 + 2 + 9 19

+)

a
= 2 ⇒ a = 2.8 = 16 (t/m)
8

+)

b
= 2 ⇒ b = 2.2 = 4
2

+)

c
= 2 ⇒ c = 2.9 = 18 (t/m)
9

(t/m)

Vậy: Mỗi xí nghiệp I, II, III theo thứ tự phải trả: 16 triệu đồng, 4 triệu đồng, 18 triệu
đồng.
VD6: Chia số 84 thành ba phần tỉ lệ nghịch với các số 3; 5; 6. tìm ba phần đó
Giải: Gọi x, y, z là ba phần lần lượt tỉ lệ nghịch với các số 3; 5; 6 ta có

x
y
z
=
=
1
1

1 và x + y + z =84
3
5
6
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

x
y
z
x+y+z
84
= =
=
=
= 120
1
1
1
1 1 1
21
+ +
3
5
6
3 5 6
30
Do đó

GV: Nguyễn Thế Vinh

19


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

x
1
= 120 => x = 120. = 40
1
3
3
y
1
= 120 => y = 120. = 24
1
5
5
z
1
= 120 => z = 120. = 20
1
6
6
Vậy ba phần lần lượt là 40; 24; 20
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Tìm các s a, b, c bit rằng:
a,

a b c
= = và a + 2b - 3c = -20.

2 3 4

b,

a b b c
= ; = và a – b + c = -49.
2 3 5 4

c,

a b c
= =
và a 2 − b 2 + 2c 2 = 108 .
2 3 4

Bài 2: Tìm các s x, y, z bit rằng:
a,

x y z
= =
và 5x + y - 2z = 28.
10 6 21

b, 3x = 2y ; 7y = 5z và x – y + z = 32.
c,

x y y z
= ; = và 2x – 3y + z = 6.
3 4 3 5

d,

2x 3y 4z
=
=
và x + y +z = 49.
3
4
5

e,

x −1 y − 2 z − 3
=
=
và 2x + 3y – z = 50.
2
3
4

g,

x y z
= = và xyz = 810.
2 3 5

GV: Nguyễn Thế Vinh

20

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Bài 3. Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 144 học sinh. Nếu rút ở lớp 7A
lớp 7B

1
số học sinh, rút ở
4

1
1
số học sinh, rút ở lớp 7C
số học sinh thì số học sinh còn lại ở 3 lớp bằng
7
3

nhau. Tính số học sinh lúc đầu ở mỗi lớp.
Bài 4. Số học sinh 3 khối 6, 7, 8 tỉ lệ với 10, 9, 8. Tính số học sinh mỗi khối, biết rằng số
học sinh khối 8 ít hơn số học sinh khối 6 là 50 học sinh.
Bài 5. Học sinh lớp 7A chia thành 3 tổ lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 4. Tìm số học sinh mỗi tổ
biết lớp 7A có 45 học sinh.
Bài 6. Một trường có 3 lớp 6. Biết rằng
bằng

2
số học sinh lớp 6A bằng số học sinh lớp 6B và
3

4

số học sinh lớp 6C. Lớp 6C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh 2 lớp kia là 57
5

học sinh. Tính số học sinh mỗi lớp.
Bài 7. Một bể chứa hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài tỉ lệ với 4 và 5; Chiều rộng
và chiều cao tỉ lệ với 5 và 4. Thể tích của bể là 64m 3. Tính chiều rộng, chiều dài và chiều
cao của bể.
Bài 8. Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết số đo các góc Â, Bˆ , Cˆ tỉ lệ với:
a) 2; 3; 4.

b) 1; 2; 3.

Bài 9. Tính 2 cạnh của một hình chữ nhật, biết rằng tỉ số giữa 2 cạnh là

2
và chu vi bằng
3

90 m.
Bài 10. Tìm 3 cạnh của một tam giác. Biết chu vi tam giác đó bằng 30cm và ba cạnh của
nó tỉ lệ với 3;5;7.
Bài 11. Độ dài 3 cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với 3
cạnh đó tỉ lệ với 3 số nào?
Bài 12. Ba đường cao của một tam giác có độ dài bằng 4; 12; x. Biết rằng x là một số tự
nhiên. Tìm x( Cho biết mỗi cạnh của tam giác nhỏ hơn tổng hai cạnh kia và lớn hơn hiệu
của chúng)
GV: Nguyễn Thế Vinh

21

Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Bài 13.. Một người đi bộ từ A đến B đã tính rằng: Nếu đi với vận tốc 6 km/h thì đến B
lúc 11h 45phút. Nhưng người đó chỉ đi được

4
quãng đường với vận tốc dự định trước,
5

đoạn đường còn lại chỉ đi với vận tốc 4,5 km/h nên đã đến B lúc 12h. Hỏi người đó khởi
hành lúc mấy giờ và quãng đường AB bao nhiêu km?
Bài 14. Trên một công trường xây dựng có 3 đội công nhân làm việc. Biết rằng
công nhân đội I bằng

2
số
3

8
4
số công nhân đội II và số công nhân đội III; Số công nhân đội
11
5

I ít hơn tổng số công nhân đội II và đội III là 18 người. Tính số công nhân của mỗi đội.
Bài 15. Ba đội công nhân phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến
3 địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho
khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển.
Bài 16. Ba công nhân tiện được tất cả 860 dụng cụ trong cùng một thời gian. Để tiện một

dụng cụ, người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 6 phút, người thứ ba cần 9 phút.
Tính số dụng cụ mỗi người tiện được.
C. KẾT LUẬN
1/ Tính mới của đề tài:
- Phát huy tính tích cực,độc lập họat động của học sinh trong tiết học.
- Phát huy tính sáng tạo, khả năng suy luận và phán đoán của học sinh trong quá trình
giải bài tập toán.
- Trình bày bài giải một cách logic, có thể giải bài toán bằng nhiều cách.
- Giáo dục tính cẩn thận của học sinh.
- Thu hút sự chú ý của học sinh
Tuy nhiên cũng còn gặp một số hạn chế:
- Do thời gian còn hạn chế nên muốn thực hiện được giải pháp thì phải đưa vào giờ
dạy trái buổi hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi nếu không sẽ không có thời gian để luyện tập
cho học sinh.

GV: Nguyễn Thế Vinh

22


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

-Toán về chứng minh các đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, nếu ta nghiên cứu sâu
hơn đối với các đẳng thức phức tạp còn rất nhiều dạng toán phức tạp mà chưa đưa ra
trong sáng kiến kinh nghiệm này được. Do đó, giáo viên còn phải tiếp tục nghiên cứu, đó
là một phần hạn chế mà đề tài chưa đề cập đến.
2. Hiệu quả áp dụng:
Qua việc thực hiện sáng kiến kinh nghiệm trên, tôi nhận thấy từ đầu năm học đến giờ
tinh thần học tập của các em được nâng cao, các em hứng thú học hơn, tiếp thu tốt, kết
quả học tập của học sinh được nâng lên. Không những các em lĩnh hội kiến thức về giải

toán về tỉ lệ thức và tính chất về dãy tỉ số bằng nhau mà các em còn vận dụng vào việc
giải quyết các vấn đề khác của Toán học cấp II như: Hai đại lượng tỉ lệ thuận, Hai đại
lượng tỉ lệ nghịch,…
Mặc dù trong quá trình làm bài tập một số em còn vướng mắc nhưng với sự gợi ý của
tôi hầu hết các em đều tìm ra hướng giải quyết và làm được hết bài tập mà tôi đã ra.
Trong đó một số em có tiến bộ rõ rệt. Ngoài bài toán trên các em còn có sưu tầm thêm các
bài toán liên quan đến tỷ lệ thức ở các sách nâng cao để làm.
Để một làn nữa khẳng định lại kết quả đã đạt được và khép lại phần tỷ lệ thức cũng là lúc
kết thúc của đề tài. Tôi đã tiến hành khảo sát lại và kết quả thật đáng mừng như sau:
Lớp

Số HS được

Số học sinh giải

khảo sát

được

7A3

34

SL
25

7A4

33

23

%
73,4
69,7

Số HS biết hướng nhưng
không giải được
SL
%
4
11,8
6

18.1

Số HS không thể
giải được
SL
%
4
11,8
4

12,2

Kết quả trên là sự cố gắng mà các em đã thu được sau một thời gian nghiên cứu và
thực hiện, hy vọng rằng khả năng học toán nắm vững kiến thức sau mỗi bài học, sự ham
thích học toán của các em ngày một tăng lên.
Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra trong quá trình giảng dạy toán 7

của bản thân. Do điều kiện về thời gian và trình độ có hạn của tôi nên đề tài không thể
tránh khỏi những thiếu sót tồn tại nhưng tôi xin mạnh dạn trình bày. Rất mong các đồng

GV: Nguyễn Thế Vinh

23


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

nghiệp và hội đồng thẩm định góp ý kiến chân tình để đề tài được hoàn thiện hơn. Tôi
chân thành xin cảm ơn.
Tân Long, ngày 15 tháng 02 năm 2013
Người thực hiện

NGUYỄN THẾ VINH

GV: Nguyễn Thế Vinh

24


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài tốn đại số 7

M Ụ C L Ụ C
NỘI DUNG

A/.MỞ ĐẦU

TRANG

1

1/.Lí do chọn đề tài.............................................................................................................
2/.Mục đích của đề tài.........................................................................................................
3/.Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................................
4/.Phạm vi nghiên cứu........................................................................................................
5/.Phương pháp nghiên cứu................................................................................................
6/.Cơ sở lí ln....................................................................................................................
7/.Cơ sở thực tiễn................................................................................................................
B/.NỘI DUNG

2

1. Lí thuyết ...............................................................................................................2
2. Phương pháp giải bài tập.......................................................................................3
Các dạng toán .....................................................................................................3
Dạng 1...............................................................................................................3
Dạng 2...............................................................................................................4
Dạng 3...............................................................................................................5
Dạng 4...............................................................................................................9
Dạng 5.............................................................................................................10
Dạng 6.............................................................................................................11
Dạng 7.............................................................................................................12
Bài tập tương tự...................................................................................................15
C/.KẾT LUẬN

17

1. Tính mới của đề tài...............................................................................................18

GV: Nguyễn Thế Vinh

25