sáng kiến kinh nghiệm dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán hình không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

ĐỀ TÀI

DÙNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
Nhóm nghiên cứu: Phạm Thị Xuân Đoan , Nguyễn Hồng Tính
Đơn vị: Trường THPT Trần Phú

Năm học: 2012 – 2013


MỤC LỤC

1. Tóm tắt đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 1
2. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 1
2.1. Hiện trạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 1
2.2. Giải pháp thay thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 2
2.3. Một số nghiên cứu gần đây liên quan đến đề tài . . . . . . . . . . . . trang 2
2.4. Vấn đề nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 2
2.5. Giả thiết nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 2
3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 2
3.1. Khách thể nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 2
3.2. Thiết kế nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 3
3.3. Quy trình nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 3
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 4
4. Phân tích dữ liệu và bàn luận kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 4
4.1. Phân tích dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 4
4.2. Bàn luận kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 4
5. Kết luận và khuyến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 5

5.1. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 5
5.2. Khuyến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 5
6. Tài lệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 5
7. Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 6


DÙNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
Phạm Thị Xuân Đoan, Nguyễn Hồng Tính
Trường THPT Trần Phú – Tuy An – Phú Yên
1. TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là một trong những
môn học đòi hỏi tính tư duy quan sát rất cao mà đặc biệt là trí tưởng tượng hình
học. Chính vì thế mà đại số hóa hình học là một phương pháp hữu ích giúp học sinh
có thể giải nhanh một bài toán hình học. Giải pháp tôi đưa ra ở đây là sử dụng
phương pháp tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian,
có nghĩa là gán hệ trục tọa độ Descast trong không gian vào hình vẽ.
Nghiên cứu được tiến hành trên hai lớp tương đương: Lớp 12A1 và lớp 12A2
trường THPT Trần Phú. Lớp 12A1 là lớp thực nghiệm và lớp 12A2 là lớp đối
chứng. Lớp thực nghiệm được trang bị cách sử dụng phương pháp tọa độ trong các
tiết tự chọn. Kết quả cho thấy lớp thực nghiệm có kết quả học tập cao hơn lớp đối
chứng. Điểm bài kiểm tra của lớp thực nghiệm có giá trị trung bình là 8,1 ; Điểm
bài kiểm tra của lớp đối chứng có giá trị trung bình là 7,2 . Kết quả kiểm chứng ttest cho thấy p < 0,05 có nghĩa là có sự khác biệt lớn giữa điểm trung bình của lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng. Điều đó chứng minh rằng nếu được trang bị cách sử
dụng phương pháp tọa để giải các bài toán hình thì học sinh sẽ có kết quả học tập
tốt hơn đối với môn hình học.
2. GIỚI THIỆU
2.1 Hiện trạng
Trong khuôn khổ bộ môn Toán học, Descast – người sáng lập ra phương
pháp tọa độ nói : “ Tôi có thể giải mọi bài toán hình học”. Vì vậy, việc quy đổi về

đại số hay tọa độ hóa chúng quả thật là rất thuận lợi, đặc biệt là đối với những học
sinh có trí tưởng tượng trong hình học không được phong phú. Cho dù biết rằng
mỗi bài toán hình học đẹp với bản chất hình học của nó chứ không phải ở bản chất
đại số. Giải một bài toán hình học bằng đại số, là chỉ cần tính toán mà không phải
cầu kì về hình vẽ. Điều này càng chứng minh câu nói của Descast là có căn cứ. Ở
trường phổ thông hiện nay, giáo viên cũng đã vận dụng phương pháp tọa độ để giải
toán hình học nhưng chưa nhiều, cần có những nghiên cứu tiếp tục bổ sung góp
phần nâng cao hơn nữa chất lượng dạy hoc.
Xuất phát từ những điều trên nên chúng tôi nghiên cứu đề tài :
DÙNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
nhằm góp phần tích cực hóa hoạt động học tập theo hướng giúp học sinh phát hiện
và giải quyết vấn đề qua việc tổ chức dạy học các tiết luyện tập hình học lớp 12
nâng cao.
1


Qua việc thăm lớp, dự giờ trước khi tác động, chúng tôi nhận thấy học sinh
rất lúng túng khi giải các bài toán hình học bởi vì học sinh không những phải quan
sát hình vẽ một cách kỹ càng mà còn phải tư duy logic. Để thay đổi hiện trạng trên,
đề tài nghiên cứu này đã sử dụng giải pháp đại số hóa hình học.
2.2 Giải pháp thay thế
Gán hệ trục tọa độ Descast trong không gian vào hình vẽ để giải các bài toán
hình không gian bằng phương pháp tọa độ.
2.3. Một số nghiên cứu gần đây liên quan đến đề tài
Vấn đề dùng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình không gian đã có
rất nhiều bài viết. Ví dụ :
- “ Rèn luyện phương pháp tọa độ cho học sinh phổ thông để giải các bài toán
hình học không gian” – luận văn thạc sĩ của Nguyễn Đình Phùng, ĐHSP Hà Nội,
năm 2000.

- “ Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề kết hợp sử
dụng phần mềm GSP trong dạy học một số chủ đề của hình học không gian” – luận
văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Kim Nhung, ĐHSP Hà Nội, năm 2004.
- “ Biên soạn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khắc quan trợ giúp dạy học về
phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 THPT” – luận văn thạc sĩ của Nguyễn
Thị Thu Hằng, K14 ĐHSP Đại Học Thái Nguyên , năm 2008.
Trong đề tài nghiên cứu này, chúng tôi muốn trình bày cụ thể hơn, rõ ràng
hơn việc dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán hình không
gian.
2.4. Vấn đề nghiên cứu
Việc dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài hình không gian
có nâng cao kết quả học tập môn hình của học sinh lớp 12 hay không ?
2.5. Giả thiết nghiên cứu
Dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán hình không gian sẽ
nâng cao kết quả học tập môn hình của học sinh lớp 12 trường THPT Trần Phú.
3. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.1. Khách thể nghiên cứu.
Chúng tôi lựa chọn trường THPT Trần Phú vì trường có những điều kiện
thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng.
* Giáo viên:
Hai thầy giáo dạy hai lớp 12 nâng cao có lòng nhiệt tình và trách nhiệm cao
trong công tác giảng dạy và giáo dục học sinh.
1. Nguyễn Hồng Tính – Giáo viên dạy toán lớp 12A1 ( Lớp thực nghiệm)
2. Nguyễn Khắc Ngân – Giáo viên dạy toán lớp 12A2 ( Lớp đối chứng)
* Học sinh:
Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng với nhau.
Cụ thể:
- Về sĩ số : Lớp 12A1 có 41 học sinh, lớp 12A2 có 43 học sinh.
2

- Về chương trình học: Hai lớp 12A1 và 12A2 là hai lớp chọn của trường,
cùng học chương trình nâng cao.
- Về ý thức học tập: Tất cả các học sinh ở hai lớp này đều tích cực, chủ động.
- Về thành tích học tập của năm học trước: Hai lớp tương đương nhau về
điểm số ở tất cả các môn học.
3.2. Thiết kế nghiên cứu.
Chọn hai lớp nguyên vẹn: Lớp 12A1 là lớp thực nghiệm, lớp 12A2 là lớp đối
chứng. Chúng tôi dùng bài kiểm tra 1 tiết môn toán làm bài kiểm tra trước tác động.
Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp có sự khác nhau, do đó
chúng tôi dùng phép kiểm chứng t-test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số
trung bình của hai lớp trước khi tác động.
Kết quả:
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tƣơng đƣơng.
Thực nghiệm
Đối chứng
Điểm trung bình
6,3
6,0
p
0,3418
P = 0,3418 > 0,05 , từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai lớp thực
nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai lớp được coi là tương đương.
Kiểm tra trước và sau tác động của hai lướp tương đương được mô tả trong bảng 1.
Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu:
Nhóm
Kiểm tra trước
TĐ
Thực nghiệm
O1

Tác động

Dạy hình không gian có
dùng phương pháp tọa độ
Đối chứng
O2
Dạy hình không gian
không dùng phương pháp
tọa độ
Ở thiết kế này chúng tôi đã sử dụng phép kiểm chứng t-test độc lập

Kiểm tra sau
TĐ
O3
O4

3.3. Quy trình nghiên cứu.
* Chuẩn bị bài của giáo viên:
- Thầy Tính dạy lớp thực nghiệm: Sưu tầm và sắp xếp từ dễ đến khó các bái toán
hình không gian và thiết kế bài giảng theo hướng giải bằng phương pháp tọa độ.
- Thầy Ngân dạy lớp đối chứng: Thiết kế bài giảng hình học không gian thuần túy,
không sử dụng phương pháp tọa độ.
* Tiến hành dạy thực nghiệm:
Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường và
theo thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan.
3


3.4. Đo lƣờng và thu thập dữ liệu

Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra 1 tiết sau khi học sinh học xong
chương I : “Khối đa diện và thể tích của chúng ” do tổ Toán thống nhất nội dung và
ra đề chung cho toàn khối 12.
Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong phần phương pháp
tọa độ trong không gian do hai giáo viên dạy toán lớp 12A1 và 12A2 cùng thống
nhất và thiết kế. Bài kiểm tra sau tác động gồm 1 câu tự luận.
* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:
Sau khi thực hiện dạy xong các phần về phương pháp tọa độ trong không gian,
chúng tôi tiến hành kiểm tra 1 tiết ( nội dung kiểm tra ở phần phụ lục), sau đó tiến
hành chấm bài theo đáp án đã xây dựng.
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
4.1. Phân tích dữ liệu
Bảng 3. So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
Thực nghiệm
Đối chứng
Điểm trung bình
8,1
7,2
Độ lệch chuẩn
0,842
0,996
Giá trị p của t-test
0,00003
Theo trên đã chứng minh được rằng kết quả hai lớp trước tác động là tương đương.
Sau tác động, kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng t-test cho kết quả p =
0,00003 cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng là rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình lớp thực nghiệm
cao hơn điểm trung bình lớp đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác
động. Hơn nữa điều này cho thấy mức độ ảnh hưởng của dạy hình không gian có
trang bị phương pháp tọa độ của lớp thực nghiệm là lớn.

Giả thuyết của đề tài “Dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các
bài toán hình không gian sẽ nâng cao kết quả học tập môn hình của học sinh lớp 12
trường THPT Trần Phú ” đã được kiểm chứng.
4.2. Bàn luận kết quả
Kết quả bài kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm là 8,1 ; kết quả bài
kiểm tra tương ứng của lớp đối chứng là 7,2 . Độ chênh lệch điểm số của hai lớp là
0,9 . Điều đó cho thấy điểm trung bình của hai lớp đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp
được tác động có điểm trung bình cao hơn lớp đối chứng. Phép kiểm chứng t-test
điểm trung bình sau tác động của hai lớp là p = 0,00003 < 0,05. Kết quả này khẳng
định sự chênh lệch điểm trung bình của hai nhóm không phải là do ngẫu nhiên mà
là do tác động.
* Hạn chế:
Khi gán hệ tọa độ vào hình vẽ thì cần chọn gốc tọa độ, các trục Ox, Oy, Oz sao cho
thật sự phù hợp, nếu không, bài toán trở nên “rắc rối ” hơn.

4


5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
5.1. Kết luận
Việc trang bị cho học sinh phương pháp tọa độ trong không gian để giải các
bài toán hình không gian đã nâng cao hiệu quả học tập của học sinh, giúp cho học
sinh có thêm một cách nhìn, một cách suy nghĩ và một cách giải quyết các bài toán
hình không gian theo hướng đại số hóa hình học. Học sinh có thể giải nhanh một
bài toàn hình không gian bằng các công thức quen thuộc trong phần phương pháp
tọa độ.
5.2. Khuyến nghị
- Đối với học sinh: Cần nắm vững các kiến thức về phương pháp tọa độ trong
không gian, các công thức tính góc, tính khoảng cách, tính thể tích; nắm được định
nghĩa và các tính chất của hệ tọa độ trong không gian

- Đối với giáo viên: Không ngừng tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp
vụ, luôn trau dồi kiến thức và phương pháp sư phạm. Đặc biệt, biết khai thác thông
tin trên mạng internet, có kĩ năng sử dụng thành thạo các trang thiết bị dạy học hiện
đại và các phần mềm toán học.
- Đối với các cấp lãnh đạo: Cần quan tâm về cơ sở vật chất và đội ngũ giáo
viên. Cụ thể cần trang bị đầy đủ phòng học, đủ các trang thiết bị, giảm số lượng học
sinh trên mỗi lớp. Biên chế đủ giáo viên trên từng bộ môn ( có thể dư) để tăng tiết
học tự chọn ở mổi lớp.
6. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Rèn luyện phương pháp tọa độ cho học sinh phổ thông để giải các bài toán
hình học không gian – luận văn thạc sĩ của Nguyễn Đình Phùng, ĐHSP Hà Nội,
năm 2000.
- Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề kết hợp sử
dụng phần mềm GSP trong dạy học một số chủ đề của hình học không gian – luận
văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Kim Nhung, ĐHSP Hà Nội, năm 2004.
- Biên soạn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khắc quan trợ giúp dạy học về
phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 THPT – luận văn thạc sĩ của Nguyễn
Thị Thu Hằng, K14 ĐHSP Đại Học Thái Nguyên , năm 2008.
- Tuyển tập 750 bài toán hình học 12- Nguyễn Sinh Nguyên (chủ biên)- Nhà
xuất bản Đà Nẵng.
- 1234 bài tập tự luận điển hình Hình học, lượng giác- Lê Hoành Phò- Nhà
xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
- Mạng internet: ;

5


7. PHỤ LỤC
Phụ lục 1. Giáo án giảng dạy trong các tiết tự chọn.
I. Mục tiêu:

- Về kiến thức : Học sinh hiểu được cách gán hệ trục tọa độ trong không gian vào
hình vẽ để giải các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ.
- Về kỹ năng : Vận dụng được các kiến thức về phương pháp tọa đọ để giải toán.
- Về thái độ : Rèn luyện tư duy logic, cẩn thận, chính xác, biết quy lạ về quen.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
- Giáo viên : Giáo án, bảng phụ, phấn màu, thước vẽ hình.
- Học sinh : Thước kẻ, các kiến thức về phương pháp tọa độ.
III. Phƣơng pháp: Dùng phương pháp gợi mở vấn đáp xen kẽ hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình bài học:
Hoạt động 1:
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a). Chứng minh rằng A’C  (AB’D’).
b). Gọi M là trung điểm AD, N là trung điểm BB’. Chứng minh rằng A’C  MN.
c). Tính côsin của góc giữa hai vecto MN và AC ' .
d). Tính thể tích của khối tứ diện A’CMN theo a.
Hoạt động
Hoạt động
Ghi bảng
của GV
của HS
z
- Gọi 1 học
- Vẽ hình
sinh lên bảng
A'
D'
vẽ hình.
- Nêu cách
C'
B'

- Gọi 1 học
gán hệ tọa độ
y
M
A
sinh nêu cách
N
D
gán hệ tọa độ
C
B
vào hình vẽ.
x
- Gọi 1 học
sinh nêu cách - Nêu cách
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với A,
chứng minh
chứng minh
B  Ox, D  Oy, A’  Oz.
đường thẳng
đường thẳng
Từ đó suy ra: A(0 ; 0 ; 0), B(a ; 0 ; 0), C(a ; a ; 0),
vuông góc với vuông góc với A’(0 ; 0 ; a) , B’(a ; 0 ;a) ,
mặt phẳng.
mặt phẳng
C’(a ; a ; a) , D’(0 ; a ; a).
- Gọi 1 học
a). Ta có A ' C  (a; a; a) , AB '  (a ;0; a) ,
sinh lên bảng
AD '  (0; a ; a)

trình bày
- Trình bày
Do đó : A ' C . AB '  0 và A ' C . AD '  0
- Nhận xét và bài giải
hoàn chỉnh bài
 A ' C  AD ' và A ' C  AB '
giải của học
Vậy A’C  (AB’D’).
sinh
6


- Gọi 1 học
sinh nêu cách
chứng minh
hai đường
thẳng vuông
góc.
- Gọi 1 học
sinh lên bảng
trình bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh

- Nêu cách
chứng minh
hai đường
thẳng vuông

góc

- Gọi 1 học
sinh nêu công
thức tính góc
giữa hai vecto
- Gọi 1 học
sinh lên bảng
trình bày
- Gọi 1 học
sinh nêu các
công thức tính
thể tích của
một khối tứ
diện
- Gọi 1 học
sinh lên bảng
trình bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh

- Nêu công
thức tính góc
giữa hai vecto

a
a
; 0) , N (a ; 0 ; )

2
2
a a
 MN  (a ;  ; )
2 2
 A ' C . MN  0  A’C  MN.

b). Ta lại có M (0 ;

- Trình bày
bài giải

c). Ta có AC '  (a ; a ; a)
Vậy
a2 a2
a  
MN. AC '
2 2  2.
cos(MN, AC ') 

3
MN . AC '
3a 2
. 3a 2
2
- Trình bày
a
bài giải
d). Ta có A ' N  (a ; 0 ;  ) ,
2

a
- Nêu các
A ' M  (0 ; ;  a )
công thức tính
2
thể tích khối
a2 2 a2
  A ' N . A ' M   ( ; a ; )
tứ diện
4
2
1
a3
Vậy : VA'CMN   A ' N . A ' M  . A ' C 
( đvtt)
6
8
- Trình bày
bài giải
2

7


Hoạt động 2:
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB = a 2 , SC  (ABC). Tam giác
ABC vuông tại A. Các điểm M SA , N BC sao cho AM = CN = t ( 0 < t < 2a ).
a). Tính độ dài đoạn MN. Tìm t để đoạn MN ngắn nhất.
b). Khi đoạn MN ngắn nhất , chứng minh rằng MN là đoạn vuông góc chung
của BC và SA.

Hoạt động của Hoạt động của
Ghi bảng
GV
HS
z
- Gọi 1 học sinh - Vẽ hình
S
lên bảng vẽ
hình.
M

y

A
B

- Gọi 1 học sinh - Nêu cách gán
nêu cách gán hệ hệ tọa độ
tọa độ vào hình
vẽ.

N
C

x

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với A ,
trục Ox chứa AC , trục Oy chứa AB ,
trục Oz  (ABC).
Khi đó cạnh SC song song trục Oz và ta có :

A( 0 ; 0 ; 0), B(0 ; a 2 ; 0) , C( a 2 ; 0 ; 0),
S( a 2 ; 0 ; a 2 )
- Gọi 1 học sinh - Nêu công thức
a). Từ giả thiết ta suy ra :
nêu công thức
tính độ dài
t 2
t 2
tính độ dài
đường thẳng
;0;
M 
 và
2
2
đường thẳng.


- Gọi 1 học sinh - Trình bày bài
lên bảng trình
giải
bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh


t 2 t 2 
;

; 0
N a 2 
2
2



t 2
t 2 
; 
 MN   2(a  t ) ;

2
2 

t2 t2
2
2
 MN = 2(a  2at  t )  
2 2
3t 2  4at  2a 2
=
2

2a 
2a 2
a 6

3 t 
=


 
3 
3
3

2a
a 6
Vậy MN ngắn nhất bằng
khi t =
.
3
3
8


- Gọi 1 học sinh
nêu cách chứng
minh MN là
đoạn vuông góc
chung của hai
đường thẳng
chéo nhau.

- Nêu cách
chứng minh
MN là đoạn
vuông góc
chung của hai
đường thẳng

chéo nhau

- Gọi 1 học sinh - Trình bày bài
lên bảng trình
giải
bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh

a 2
a 2 
b). Khi MN ngắn nhất thì M 
;0;

3 
 3
 2a 2 a 2 
;
; 0
và N 
3
 3

a 2 a 2
a 2
;
;
 MN = 


3
3
3



Ta lại có : SA  ( a 2 ; 0 ;  a 2 ) và
BC  (a 2 ;  a 2 ; 0)

 MN . SA  0
Do đó : 
 MN . BC  0
 MN là đường vuông góc chung của SA và
BC.

9


Hoạt động 3:
Bài 3.
Cho hình chóp S.ABCD , SA  (ABCD) và ABCD là hình chữ nhật có AB = a ,
AD = b , SA = 2a. Gọi N là trung điểm SD.
a). Tính d(SB, CN).
b). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
1
c). Gọi M là trung điểm SA . Tìm điều kiện của a và b để cos CMN =
.
3
Hoạt động của Hoạt động của

Ghi bảng
GV
HS
- Gọi 1 học
- Vẽ hình
z
sinh lên bảng
vẽ hình.
S
- Gọi 1 học
sinh nêu cách
gán hệ tọa độ
vào hình vẽ.

M

- Nêu cách gán
hệ tọa độ

N
y

A
D
B

C

x

- Gọi 1 học
sinh nêu công
thức tính
khoảng cách
giữa hai đường
thẳng chéo
nhau.

- Nêu công
thức tính
khoảng cách
giữa hai đường
thẳng chéo
nhau

- Gọi 1 học
sinh lên bảng
trình bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh

- Trình bày bài
giải

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với A,
B  Ox, D  Oy, S  Oz.
Từ đó suy ra : A( 0 ; 0 ; 0) , S(0 ; 0 ; 2a) ,
B(a ; 0 ; 0) , C(a ; b ; 0) , D(0 ; b ; 0).

Từ giả thiết ta suy ra : M(0 ; 0 ; a ) ,
b
N (0 ; ; a )
2
a). Ta có : SB  (a ; 0 ;  2a )
b
CN  ( a ;  ; a )
2
SC  (a ; b ;  2a )
Vậy d(SB , CN) =
 SB , CN  . SC
2ab



 SB , CN 
4a 2  5b 2



10


b). SC  (a ; b ;  2a ) và SD  (0 ; b ;  2a ) .

- Gọi 1 học
sinh nêu công
thức tính góc
giữa hai mặt
phẳng.

- Nêu công
thức tính góc
giữa hai mặt
phẳng

- Gọi 1 học
sinh lên bảng
trình bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh
- Gọi 1 học
sinh nêu cách
tính góc CMN
- Gọi 1 học
sinh lên bảng
trình bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh

- Trình bày bài
giải

n1   SC , SD   (0 ; 2a 2 ; ab )
SC  (a ; b ;  2a ) và SB  (a ; 0 ;  2a ) .

Suy ra

Suy ra n2   SC , SB   ( 2a ; 0 ;  ab )
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và
(SBC). Ta có :
n1 .n 2
a 2b 2
cos =

n1 . n 2
4 a 4  a 2b 2 . 4 a 2b 2  a 2b 2


- Nêu cách tính
góc CMN

- Trình bày bài
giải

b
20a 2  5b 2

c). Ta có : MC  (a ; b ;  a ) và
b
MN  (0 ; ; 0)
2
Ta lại có :
MC . MN
b
cosCMN 


MC . MN
2a 2  b 2
Do đó :
b



2a 2  b 2
 ab

11



1
b
1


2a 2  b 2
3
3


Hoạt động 4:
Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a , AD = 2a , AA’ = a 2 ;
M là một điểm thuộc đoạn AD , K là trung điểm của B’M
a). Đặt AM = m ( 0 < m < 2a ). Tính thể tích tứ diện A’KID theo a và m,
trong đó I là tâm hình hộp.

b). Khi M là trung điểm AD, mặt phẳng (B’CK) cắt hình hộp theo thiết diện
là hình gì ? Tính diện tích thiết diện đó theo a.
Hoạt động của Hoạt động của
Ghi bảng
GV
HS
z
- Gọi 1 học sinh - Vẽ hình
lên bảng vẽ
D'
C'
hình.
B'

A'

y

D

- Gọi 1 học sinh - Nêu cách gán
nêu cách gán hệ hệ tọa độ
tọa độ vào hình
vẽ.

- Gọi 1 học sinh - Nêu cách giải
nêu cách giải
câu a)
câu a).
- Gọi 1 học sinh - Trình bày bài

lên bảng trình
giải
bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh

C
A
B
x

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với D,
A  Ox, C  Oy, D’  Oz.
Từ đó suy ra D( 0 ; 0 ; 0), D’(0 ; 0 ; a 2 ),
A(2a ; 0 ; 0) , B(2a ; a ; 0) , C(0 ; a ; 0).
a). Ta có : M (2a – m ; 0 ; 0 )


m a a 2
a a 2
; ;
K  2a 
 , I a ; ;

2
2
2
2

2







Ta lại có : A ' D   2a ; 0 ;  a 2



,


a
a 2
A' I    a ; ; 

2
2 

 a2 2

  A ' D , A ' I   
; 0 ;  a 2  và
 2

 m a
a 2

A' K    ; ; 

2
2
2


1
Vậy : VA' KID   A ' D , A ' I  . A ' K
6
1 ma 2 2 a 3 2
1 2
 


a 2 (2a  m)
6
4
2
24
12


- Gọi 1 học sinh - Nêu cách tìm
nêu cách tìm
thiết diện
thiết diện.
- Gọi 1 học sinh - Nêu cách giải
nêu cách giải
câu b).

câu b).
- Gọi 1 học sinh - Trình bày bài
lên bảng trình
giải
bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh

b). Mặt phẳng (B’CK) trùng với mặt phẳng
(B’CM) cắt hai mặt phẳng (BB’C’C) và mặt
phẳng (AA’D’D) song song theo hai giao
tuyến song song. Suy ra B’C // MN.
Thiết diện B’CMN là hình thang.
 SB 'CMN  SB ' MN  SB 'CM
M là trung điểm AD  m = a  N là trung
điểm AA’

a 2
 M ( a ; 0 ; 0) và N  2a ; 0 ;

2 




Ta có : B ' M   a ;  a ;  a 2



và


a 2
B'N  0 ; a ; 
 ,
2





B ' C   2a ; 0 ;  a 2



 a2 2 a2 2 2 
;
;a  ;
  B ' M , B ' N    
2
2


 B ' M , B ' C   a 2 2 ; a 2 2 ; 2a 2


1
 S B ' MN   B ' M , B ' N 

2
1 2a 2 2a 2
a2 2


 a4 
2 4
4
2
1
S B 'CM   B ' M , B ' C 
2
1

2a 4  2a 4  4a 4  a 2 2
2
Vậy : S B 'CMN  S B ' MN  S B 'CM





a2 2
3a 2 2
2
a 2 
=
2
2

13


Phụ lục 2 : Đề và đáp án kiểm tra sau tác động
Đề kiểm tra sau tác động
Họ và tên : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lớp
:....................
Đề kiểm tra :
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xét hai điểm
M AD’, N BD sao cho AM = DN = k ( 0 < k < a 2 ) và P là trung điểm B’C’.
a). Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AP và BC.
b). Tính thể tích khối tứ diện APBC.
c). Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
d). Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung
của AD’ và BD.

14


Đáp án bài kiểm tra sau tác động

z
A'
B'

D'
C'

M

y

A
D

N
B

C

x

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với A, B  Ox,
D  Oy, A’  Oz. Từ đó suy ra A( 0 ; 0 ; 0), A’(0 ; 0 ; a),
B(a ; 0 ; 0), B’(a ; 0 ;a), C(a ; a ; 0), C’(a ; a ; a),
D(0 ; a ; 0), D’(0 ; a ; a).
a
a). Ta có P (a ; ; a )
2
a
 AP  (a ; ; a ) và BC '  (0 ; a ; a )
2
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AP và BC’, Ta có
cos 

AP . BC '



AP . BC '

1

2

 = 450

a
; a ) , AB = (a ; 0 ; 0) , AC ' = ( a ; a ; a)
2
a2
2
  AP . AB   (0 ; a ;  )
2
1
a3
Vậy : VAPBC '   AP . AB  . AC ' 
( đvtt)
6
12
c). Theo giả thiết MAD’, N BD , AM = DN = k
k a 2 k
k
k
;
; 0)
;
) và N (
 M (0 ;

2
2
2
2
2
2
2


k
a
2

k
k
k 



2
 0  

Do đó MN = 
  0 

2
2
2
2


 
 

b). Ta có : AP  (a ;

15


= 3k2 – 2a 2 k + a2 với 0 < k < a 2
2

a 2k
a2 
a2
2
 MN = 3  k 
   
9
9
2 


a 2
a2
2
MN nhỏ nhất bằng
khi k =
3
9
a

a 2
MN nhỏ nhất bằng
khi k =
3
3
a a
a
a 2
d). Khi MN ngắn nhất thì k =
 MN  ( ; ;  )
3 3
3
3
Ta lại có : AD ' = ( 0 ; a ; a) , BD = (-a ; a ; 0)
 MN . AD '  0
Do đó : 
 MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD.
MN
.
BD

0


16


Phụ lục 3 : Bảng điểm
Lớp thực nghiệm ( lớp 12A1)
TT

Họ và tên

01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27

28
29
30
31
32
33
34
35

Nguyễn Thị Kim Anh
Nguyễn Thị Ngọc Ánh
Phạm Nhật Biển
Trần Mạnh Cầm
Nguyễn Thị Ngọc Công
Nguyễn Chí Cường
Đặng Bảo Dâng
Trần Thị Mỹ Duyên
Trương Thị Duyên
Trần Quốc Đạt
Trần Quốc Đạt
Đinh Thị Ninh Giang
Nguyễn Thị Hải
Bùi Thị Bích Hạnh
Trần Thị Bích Hạnh
Thái Thị Linh Hảo
Bùi Thị Ánh Huệ
Nguyễn Quốc Huy
Trần Thị Mỹ Khiêm
Trần Nguyễn Yến Kiều
Nguyễn Thanh Lam

Nguyễn Thị Kim Lành
Đoàn Nữ Ái Linh
Hồ Yến Loan
Nguyễn Thị Khánh Ly
Trần Nguyễn Trúc Ly
Ngô Thị Thu Nga
Phan Trần Hiếu Nghi
Châu Ngọc Nha
Bùi Thị Ý Như
Phan Kiều Lam Phương
Trần Minh Quốc
Nguyễn Thị Hồng Thắm
Lê Văn Thiện
Hoàng Thị Kim Thoa

Điểm kiểm tra
trƣớc tác động
7
6
7
8
6
8
9
7
9
7
5
6
8

7
6
7
6
6
7
5
7
7
6
6
5
7
7
6
4
6
4
5
5
6
7
17

Điểm kiểm tra
sau tác động
8
8
9
10

7
9
10
8
9
8
7
8
9
10
8
8
8
8
9
8
9
8
7
9
7
8
8
8
7
8
8
7
7
8

8


36
37
38
39
40
41

Nguyễn Thị Bích Tiển
Nguyễn Hữu Toàn
Nguyễn Minh Triều
Huỳnh Trương Gia Trí
Trần Thanh Trúc
Nguyễn Trần Hiền Vy

7
8
4
4
5
5

18

9
8
7
8

7
8


Lớp đối chứng ( lớp 12A2)
TT

Họ và tên

01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36

Nguyễn Đức Anh
Vũ Trần Kim Chi
Trần Thị Kim Dân
Đặng Hoàng Duy
Đỗ Thị Hồng Đào
Nguyễn Tiến Đạt
Lê Trung Đô
Lê Thị Tiết Hạnh
Phan Thị Thu Hiền
Nguyễn Kim Hoài
Ngô Thị Mỹ Hồng
Huỳnh Phạm Hồng Huyên
Bùi Anh Khoa
Nguyễn Thị Bích Lài

Võ Nhật Linh
Ngô Hoàng Phương Linh
Bùi Thị Hạnh Nhân
Huỳnh Thị Quỳnh Như
Nguyễn Thanh Phong
Nguyễn Thị Trúc Phương
Cao Thị Bích Phượng
Nguyễn Thị Lệ Quyên
Phạm Xuân Quỳnh
Phạm Thanh Sang
Lê Cao Nhất Sinh
Nguyễn Tấn Thành
Nguyễn Thị Mai Thảo
Phạm Thị Thắm
Phạm Ngọc Thiện
Nguyễn Thị Nhật Thúy
Nguyễn Ngọc Minh Thư
Trần Thị Cẩm Tiên
Trương Phạm Trung Tín
Lê Hoàng Tính
Hồ Văn Toàn
Nguyễn Thị Phương Trà
19

Điểm kiểm tra
trƣớc tác động
5
5
8
6

8
7
9
4
7
9
5
4
5
5
6
5
6
7
4
6
7
8
7
3
5
7
7
5
5
8
8
6
5
4

5
6

Điểm kiểm tra
sau tác động
5
7
8
6
8
7
9
4
9
9
7
6
6
7
8
7
7
8
7
8
8
8
7
7
7

8
8
7
7
8
8
8
6
7
7
7


37
38
39
40
41
42
43

Đỗ Thị Hoài Trâm
Bùi Thị Ngọc Trí
Nguyễn Thị Cẩm Trúc
Lê Ngọc Tuấn
Tô Hoàng Anh Tuấn
Lê Hoàng Vị
Võ Tài Vương

7

5
8
7
4
4
6

7
7
8
8
7
6
7

Tuy An , ngày 25 tháng 02 năm 2013
Người viết :

Phạm Thị Xuân Đoan

20