Sự tồn tại nghiệm của các bất đẳng thức biến phân với các toán tử giả đơn điệu

−i−

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥

❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➭② ❣✐➳♦✱ ❝➠ ❣✐➳♦ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❝❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤
❚♦➳♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ P❤➵♠ ❍➭ ◆é✐ ✷ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝
t❐♣ ✈➭ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ➤Ò t➭✐✳ ➜➷❝ ❜✐Öt✱ t➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ t❤➬② ❣✐➳♦ ❚❙ ❇ï✐ ❚rä♥❣ ❑✐➟♥
❣✐➯♥❣ ✈✐➟♥ ❑❤♦❛ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣ t✐♥✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❳➞② ❞ù♥❣ ❍➭ ◆é✐ ➤➲ trù❝
t✐Õ♣ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❧ù❛ ❝❤ä♥ ➤Ò t➭✐ ✈➭ ❤♦➭♥ ❝❤Ø♥❤
➤Ò t➭✐✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ ❜➵♥ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❧í♣ ❝❛♦ ❤ä❝ ❑✶✶ ❚♦➳♥ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ➤➲ ❣✐ó♣
➤ì ✈➭ ❝ã ♥❤÷♥❣ ➤ã♥❣ ❣ã♣ q✉Ý ❜➳✉ ❝❤♦ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
❍➭ ◆é✐✱ t❤➳♥❣ ✶✵ ♥➝♠ ✷✵✵✾
❚➳❝ ❣✐➯


−1−

▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥

❚➠✐ ①✐♥ ❝❛♠ ➤♦❛♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ñ❛ r✐➟♥❣ t➠✐ ➤➢î❝
t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝ñ❛ t❤➬② ❣✐➳♦ ❚❙✳ ❇ï✐ ❚rä♥❣ ❑✐➟♥ ❣✐➯♥❣ ✈✐➟♥ ❑❤♦❛
❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣ t✐♥✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❳➞② ❞ù♥❣ ❍➭ ◆é✐✳
◆❣♦➭✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➢î❝ trÝ❝❤ ❞➱♥✱ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ß♥ ❧➵✐ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ♠í✐
♠➭ ❝❤ó♥❣ t➠✐ t❤✉ ➤➢î❝ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ➤Ò t➭✐✱ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯
♥➭② ❝❤➢❛ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ ❜è ë ❜✃t ❦ú t➵♣ ❝❤Ý ♥➭♦✳
❍➭ ◆é✐✱ t❤➳♥❣ ✶✵ ♥➝♠ ✷✵✵✾
❚➳❝ ❣✐➯


−2−

▼ô❝ ❧ô❝
▼ë ➤➬✉

✹

❈❤➢➡♥❣ ✶✳

❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ❜æ trî

✶✳✶✳ ❈➳❝ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣
✶✳✷✳ P❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ♠❡tr✐❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✸✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

❈❤➢➡♥❣ ✷✳

❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉

❈❤➢➡♥❣ ✸✳

❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉

✸✳✶✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❑❛r❛✲
♠❛r❞✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✸✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❇rÐ③✐s ✷✶

❈❤➢➡♥❣ ✹✳

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛

❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s✲❑♦❧✉♠❜➳♥

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✷✺

✸✼


−3−

❇➯♥❣ ❦ý ❤✐Ö✉
❱■

❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❱■s

❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

❱■(K, f )

❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤
❜ë✐ t❐♣

❙(K, f )

K ✈➭ ➳♥❤ ①➵ f

t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■(K, f )


−4−

▼ë ➤➬✉

✶✳ ▲ý ❞♦ ❝❤ä♥ ➤Ò t➭✐

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭❱■✱ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t②✮ ➤➢î❝ ①❡♠ ♥❤➢ ♠ét ♠➠
❤×♥❤ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ➤Ó ❣✐➯✐ q✉②Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ①✉✃t ❤✐Ö♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉
❝ñ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ♥❤➢✿ ❧ý t❤✉②Õt tè✐ ➢✉✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥
❜➺♥❣ ❦✐♥❤ tÕ✱ ❝➡ ❤ä❝✳ ❑Ó tõ ❦❤✐ r❛ ➤ê✐ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ❍❛r♠❛♥❞✲❙♣❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ♥➝♠
✶✾✻✻✱ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈➭ ❝➳❝ ❝❤ñ ➤Ò ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✈➱♥ ➤❛♥❣ t❤✉ ❤ót sù q✉❛♥
t➞♠ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝✳ ◆❤✐Ò✉ ❝➞✉ ❤á✐ ♠ë tr♦♥❣ ❤➢í♥❣ ♥➭② ✈➱♥ ❝ß♥ ➤❛♥❣ tå♥
t➵✐✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❦✐♥❤ ➤✐Ó♥ tr➢í❝ ➤➞② ❝❤ñ ②Õ✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝❤♦ ❱■s ✈í✐

❝➳❝ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ●➬♥ ➤➞② ♠ét sè ❝➠♥❣ tr×♥❤ ①✉✃t ❤✐Ö♥ tr➟♥ ❝➳❝ t➵♣ ❝❤Ý ❝❤✉②➟♥
♥❣➭♥❤ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ➤➢î❝ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ♠í✐ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ ❝➳❝
t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❑❛r❛♠❛❞✐❛♥ ✈➭ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❇rÐ③✐s✳ ◆❣➢ê✐ t❛ ➤➲
❜✐Õt r➺♥❣ ❤❛✐ ❧í♣ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥➭② ❧➭ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ◆➝♠ ✷✵✵✵✱
❉♦♠♦❦♦s ✈➭ ❑♦❧✉♠❜➳♥ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ♠ét ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♠í✐ ❝❤♦ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥
➤✐Ö✉✳ ▲í♣ ❝➳❝ t♦➳♥ tö t❤♦➯ ♠➲♥ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥➭② ❝❤ø❛ ❝➯ ❤❛✐ ❧í♣ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉
t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❑❛r❛♠❛❞✐❛♥ ✈➭ ❇rÐ③✐s✳ ❉ù❛ tr➟♥ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠í✐ ♥➭② ❤ä ➤➲ ➤➵t ➤➢î❝
♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❦❤➳ t❤ó ✈Þ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s✳
▼ô❝ t✐➟✉ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ t✐Õ♣ tô❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛
❱■s ✈í✐ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s ✈➭ ❑♦❧✉♠❜➳♥ ✈➭ ➤➢❛ r❛
♠ét ❦Õt q✉➯ ♠í✐ ♠ë ré♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr➢í❝ ➤ã ❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s ✈➭ ❑♦❧✉♠❜➳♥✳ ➜Ó
➤➵t ➤➢î❝ ❦Õt q✉➯ ♥➭② tr➢í❝ ❤Õt ❝❤ó♥❣ t❛ ♣❤➯✐ ❦❤➯♦ s➳t ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛


−5−

❱■s ❝❤♦ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❑❛r❛♠❛❞✐❛♥ ✈➭ ❇rÐ③✐s ✈➭ ❝➳❝ ❦Õt
q✉➯ ❣➬♥ ➤➞② ❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s ✈➭ ❑♦❧✉♠❜➳♥✳ ❚r➟♥ ❝➡ së ➤ã ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ ➤➷t ❜➭✐ t♦➳♥
✈➭ ❣✐➯✐ q✉②Õt ✈✃♥ ➤Ò ❜➺♥❣ ✈✐Ö❝ ➤➢❛ r❛ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét ❦Õt q✉➯ ♠í✐ ♥❤♦ ♥❤á✱
♠ë ré♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr➢í❝ ➤ã ❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s ✈➭ ❑♦❧✉♠❜➳♥✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ♠❛♥❣ t➟♥ ✧❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥
♣❤➞♥ ✈í✐ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✧✱ ❜❛♦ ❣å♠ ✹ ❝❤➢➡♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✶ ❝❤ó♥❣
t❛ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❜æ trî ❧✐➟♥ q✉❛♥ tí✐ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ➤➡♥
➤✐Ö✉✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ❣å♠ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯
➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❑❛r❛♠❛❞✐❛♥ ✈➭ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❇rÐ③✐s✳ ❈❤➢➡♥❣ ✹ ➤➢î❝
❞➭♥❤ ❝❤♦ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♠í✐ ♥❤✃t ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ❝❤♦ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯
➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s✲❑♦❧✉♠❜➳♥✳ ❈✉è✐ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯
♠í✐ ♠ë ré♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s✲❑♦❧✉♠❜➳♥✳

✷✳ ▼ô❝ ➤Ý❝❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉

❍Ö t❤è♥❣ ❤♦➳ ❧➵✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ ❝➳❝ t♦➳♥ tö
❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❑❛r❛♠❛❞✐❛♥ ✈➭ ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❇rÐ③✐s✱ tr➟♥
❝➡ së ➤ã ➤➢❛ r❛ ♠ét ❦Õt q✉➯ ♠í✐ ♠ë ré♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s✲❑♦❧✉♠❜➳♥✳

✸✳ ◆❤✐Ö♠ ✈ô ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉

◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳


6

ố tợ ứ

ự tồ t ệ ủ s ớ t tử ệ t ĩ r
ệ t ĩ rés ệ t ĩ s


P ứ

ử ụ ứ ũ ỹ tt ủ tí ổ
ể tí tí ồ tí tr tí trị ý tết
tố

tết ọ

ề t r ợ ết q ở rộ ề sự tồ t ệ ủ s
ớ t tử ệ t ĩ s

−7−

❈❤➢➡♥❣ ✶
❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ❜æ trî

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❜æ trî ❜❛♦ ❣å♠ ❝➳❝
➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✱ ➤✐♥❤ ❧ý ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ❝❤➞♥ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò sù tå♥
t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉✳

✶✳✶✳

❈➳❝ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣

❚r♦♥❣ s✉èt ♠ô❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐➯ sö r➺♥❣

A⊆X

❧➭ ♠ét t❐♣ ➤ã♥❣✳ ●✐➯ sö

❧➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳

f

♥Õ✉

➳♥❤ ①➵ f

f :A→X

X

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➭

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵✳ ➜✐Ó♠

x¯ ∈ A ➤➢î❝ ❣ä✐

f (¯
x) = x¯✳
:A→X

❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ sè

α ∈ [0, 1)

s❛♦ ❝❤♦

f (x) − f (y) ≤ α x − y
✈í✐ ♠ä✐

✭✶✳✶✮

x, y ∈ A✳

❈❤ó♥❣ t❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ q✉❡♥ t❤✉é❝ s❛✉ ➤➞② ✈Ò ❧➭ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳ ●✐➯ sö
➤ã

f

A⊆X

❧➭ ♠ét t❐♣ ➤ã♥❣ ✈➭

❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ t❤✉é❝

A✳

f : A → A ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❝♦✳ ❑❤✐


8

CX

r ột t

ợ ọ ồ ế ớ ọ

x, y C

ớ

[0, 1] t ó x + (1 )y C ó ý ể t ộ rr

ọ

s

K X

ị ý tr sử
tụ ó



h:K K

t ồ t

ột

h ó ể t ộ

Pé ế tr



KX

ột t ó

x X ể y K

t

x y = inf x z
zK

ợ ọ ì ế tr ủ
t ứ ỗ

xX

ớ

x t K

ý ệ

y = PK (x) Pé

y = PK (x) ọ é ế tr t K ý ệ

PK
ết q s t sự tồ t ủ ì ế tr
rt
ổ ề tr sử


K

t ồ ó tr rt

x H ó tồ t t y K

s

x y = inf x z .



zK

ứ t



zm K

s

d = inf zK x z

ừ ị ĩ ủ tồ t

limm x zm = d. ử ụ q t ì ì
x+y

2

+ xy

2

=2 x

2

+ 2 y 2,

t ó

zm zk

2

= 2 x zm

2

H

+ 2 x zk

2

1
4 x (zm + zk )
2

2


−9−

❱×

K

❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ t❛ ❝ã

1
2 (zm

zm − zk
❉♦ ➤ã

+ zk ) ∈ K
2

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ ♥➟♥

2

≤ 2 x − zm

limk,m→∞ zm − zk → 0

x − 12 (zm + zk ) ≥ d. ❍Ö q✉➯ ❧➭

✈➭

✈➭ ✈× ✈❐②

+ 2 x − zk
(zm )

zm → y0 ∈ H ✳ ❱× K

2

− 4d2 .

❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤②✳ ▼➷t ❦❤➳❝

❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✱ t❛ ❝ã

H

❧➭

y0 ∈ K ✳ ❍➡♥ ♥÷❛

x − y0 = lim x − zm = d.
m→∞

●✐➯ sö r➺♥❣ tå♥ t➵✐

y1 , y2 ∈ K

x − y1 = x − y2 = d✳ ❙ö ❞ô♥❣ q✉✐ t➽❝

s❛♦ ❝❤♦

❜×♥❤ ❤➭♥❤ t❛ ❧➵✐ ❝ã

y1 − y2

2

2

= 2 x − y1

❚õ ➤➞② s✉② r❛
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

y1 = y2

+ 2 x − y2

1
− 4 x − (y1 + y2 )
2

✈➭ ❞♦ ➤ã ❝❤➞♥ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝ñ❛

x

2

≤ 4d2 − 4d2 = 0.

❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ ❇æ ➤Ò ➤➢î❝

✷

❇æ ➤Ò ✶✳✺✳ ❬✻✱ tr ✾✲✶✵❪ ●✐➯ sö
✈➭

2

K

❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

H

x ∈ H ✳ ❑❤✐ ➤ã y = PK x ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉
y, z − y ≥ x, z − y , ∀z ∈ K.

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ●✐➯

y = PK x✳ ❱× K

✭✶✳✸✮

❧➭ t❐♣ ❧å✐ t❛ ❝ã

(1 − t)y + tz = y + t(z − y) ∈ K, ∀z ∈ K, t ∈ [0, 1].
❈è ➤Þ♥❤ t✉ú ý

z∈K

✈➭ ①Ðt ❤➭♠ sè

Φ(t) = x − ((1 − t)y + tz) 2 .
❱×

y

❧➭ ❝❤➞♥ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝ñ❛

x ❧➟♥ t❐♣ K ✱ t❛ ❝ã

Φ(t) = x − ((1 − t)y + tz)
➜✐Ò✉ ♥➭② s✉② r❛

✭✶✳✹✮

2

≥ x−y

2

= Φ(0).

Φ (0) ≥ 0✳ ▼➷t ❦❤➳❝ t❛ ❧➵✐ ❝ã

Φ(t) = x − y

2

− 2t x − y, z − y + t2 z − y 2 .


− 10 −

❉♦ ➤ã

Φ (0) = −2 x − y, z − y ≥ 0. ➜✐Ò✉ ♥➭② s✉② r❛ ✭✶✳✸✮✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐ ♥Õ✉

y, z − y ≥ x, z − y

✈í✐ ♠ä✐

z∈K

t❤×

y = PK x.

❚❤❐t

✈❐②✱ t❛ ❝ã

0 ≤ y − x, z − y = y − x, z − x + x − y =
= y − x, z − x + y − x, x − y =
= y − x, z − x − y − x

2

❉♦ ➤ã

y−x

2

≤ y − x, z − x ≤ y − x z − x .

➜✐Ò✉ ♥➭② s✉② r❛

x − y = inf x − z .
z∈K

❱❐② t❛ ❝ã

y = PK x✳ ❇æ ➤Ò ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷

❇æ ➤Ò ✶✳✻✳ ❬✻✱ tr ✶✵❪ ●✐➯ sö
❑❤✐ ➤ã ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ♠❡tr✐❝

K

PK

❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❞➲♥✱ tø❝ ❧➭

PK x − PK x
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜➷t

H✳

≤ x−x

y = PK x ✱ y = PK x

, ∀x, x ∈ K.
t❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✶✳✺ t❛ ❝ã

y, z − y ≥ x, z − y , ∀z ∈ K

✭✶✳✺✮

y , z − y ≥ x , z − y , ∀z ∈ K.

✭✶✳✻✮

✈➭

❚❤❛②

z=y

✈➭♦ ✭✶✳✺✮ t❛ ➤➢î❝

y, y − y ≥ x, y − y .

✭✶✳✼✮

− 11 −

❚➢➡♥❣ tù t❤❛②

z=y

tr♦♥❣ ✭✶✳✻✮ t❛ ❝ã

−y , y − y ≥ −x , y − y .

✭✶✳✽✮

❈➠♥❣ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✼✮ ✈➭ ✭✶✳✽✮ t❛ ➤➢î❝

y − y ,y − y ≥ x − x ,y − y .
➜✐Ò✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

y − y ,y − y ≤ x − x ,y − y .
❚õ ➤➞② s✉② r❛

y−y

2

≤ x−x

y−y

❉♦ ➤ã

PK x − PK x
❇æ ➤Ò ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✳✸✳

= y−y

≤ x−x .

✷

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉

❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐➯ sö
❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵✳ ❇➭✐ t♦➳♥ t×♠

x∈K

K

❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ tr♦♥❣

Rn

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐

x ∈ K

f : K → Rn

s❛♦ ❝❤♦

f (x), y − x ≥ 0 , ∀y ∈ K

➜✐Ó♠

✈➭

K

✭✶✳✾✮
✈➭

f

❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ ❱■(K, f )✳

t❤♦➯ ♠➲♥ ✭✶✳✾✮ ❣ä✐ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■(K, f )✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❦ý ❤✐Ö✉

❙(K, f ) ❧➭ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■(K, f )✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✼✳ ●✐➯ sö

K ⊂ Rn

❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✱

f : K → Rn

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ✈➭

x ∈ K ✳ ❑❤✐ ➤ã ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
f (x), z − x ≥ 0 , ∀z ∈ K

✭✶✳✶✵✮


− 12 −

t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

x = PK (x − f (x)).
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✶✳✺ t❛ ❝ã

x = PK (x − f (x)) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐

x, z − x ≥ x − f (x), z − x , ∀z ∈ K.
➜✐Ò✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

f (x), z − x ≥ 0 , ∀z ∈ K.
❚❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✷

➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ t❛ ♠ét ❦Õt q✉➯ ➤➬✉ t✐➟♥ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✽✳ ●✐➯ sö r➺♥❣

K ⊂ Rn

❧➭ t❐♣ ❧å✐ ❝♦♠♣❛❝t ✈➭

f : K → Rn

❧➭ ♠ét ➳♥❤

①➵ ❧✐➟♥ tô❝✳ ❑❤✐ ➤ã ❱■(K, f ) ❝ã ♥❣❤✐Ö♠✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳Ðt ➳♥❤ ①➵

◆❤➢ ✈❐②

Φ:K→K

➤➢î❝ ❝❤♦ ❜ë✐

Φ = PK ◦ (I − f ) ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝✳ ❚❤❡♦ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣

✭➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✮✱ tå♥ t➵✐
➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

Φ(x0 ) = x0

x0 ∈ K

s❛♦ ❝❤♦

Φ(x0 ) = x0 ✳

▼➷t ❦❤➳❝ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✼

t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

f (x0 ), y − x0 ≥ 0 , ∀y ∈ K.
❉♦ ➤ã

Φ(x) = PK (x − f (x))✳

x0 ∈ S(K, f )✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷


13


ự tồ t ệ ủ s ớ t tử ệ

r sốt ú t sử r

X

ố ủ

ị ĩ

X



KX

X

ột

t ồ ó rỗ

f : K X ọ ệ ế
f (x) f (y), x y 0 , x, y K.

r ột



g : K R ồ ế

g(tx + (1 t)y) tg(x) + (1 t)g(y) , x, y K, t [0, 1].



í ụ s t ột t tử ệ
í ụ sử
ở tr
ọ

X

g : U K R ột ồ ở ó U

ó t tử

x, y K



f = g : K X

ệ t ớ

t [0, 1] từ t ó
g(y + t(x y)) t(g(x) g(y)) + g(y).

ó

g(y + t(x y)) g(y)
(g(x) g(y)).
t
ừ s r

lim[
t0

ột t ồ

g(y + t(x y)) g(y)
] (g(x) g(y)).
t


14

ệ q

g (y), x y g(x) g(y).



g (x), y x g(y) g(x).



tự t ó

ộ t tứ t ó

g (x) g (y), x y 0.
ị ĩ tử
ữ ề ủ
ế
tì

f : K X

X

f : E X X

f (xn ), y f (x), y

ợ ọ tụ tr

ế ớ t ỳ ữ ề
tụ ế tứ ế
ớ ọ

(xn ) E X



E X
xn x

y X

ị ý s t ết q tồ t ệ ủ s ớ t tử ệ tr
ề
ị ý tr sử


f : K X

ữ ề ủ

K X

t ồ ó rỗ ị

ột t tử ệ tụ tr

X ó tồ t x K

s

f (x), y x 0 , y K.



ể ứ ị ý tr ú t ổ ề t s
ổ ề tr sử

K X

t ó ồ sử

F : K X

ệ tụ tr ữ ề ủ

X ì

ề ệ

x K : f (x), y x 0 , y K




− 15 −

t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

x ∈ K : f (y), y − x ≥ 0 , ∀y ∈ K.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö tå♥ t➵✐

f

❉♦

x∈K

s❛♦ ❝❤♦

✭✷✳✼✮

f (x), y − x ≥ 0,

∀y ∈ K.

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❛ ❝ã

0 ≤ f (y) − f (x), y − x = f (y), y − x − f (x), y − x , ∀x, y ∈ K.
❚õ ➤➞② s✉② r❛

f (y), y − x ≥ f (x), y − x ≥ 0.
❚❛ ❝ã ✭✷✳✼✮✳ ◆❣➢î❝ ❧➵✐ ❣✐➯ sö r➺♥❣ ✭✷✳✼✮ t❤♦➯ ♠➲♥✳ ❉♦

tw + (1 − t)x = x + t(w − x) ∈ K

✈í✐ ❜✃t ❦ú

x, w ∈ K

K
✈➭

❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ t❛ ❝ã

yt =

t ∈ [0, 1]✳ ❚❤❛② y = yt

✈➭♦ ✭✷✳✼✮ t❛ ➤➢î❝

f (x + t(w − x)), x + t(w − x) − x = f (x + t(w − x)), t(w − x) ≥ 0.
➜➝t

M

M = w, x

✈➭

yt → x

✳ ❑❤✐ ➤ã

❦❤✐

❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛

M

t → 0✱

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉✳ ❱×

yt = tw + (1 − t)x ∈

sö ❞ô♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉

f ✱ t❛ ❝ã
f (x), w − x = lim f (yt ), w − x .
t→0

❱×

f (yt ), w − x ≥ 0 t❛ s✉② r❛ f (x), w − x ≥ 0. ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã ✭✷✳✻✮✳ ❇æ ➤Ò ➤➢î❝

❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳✷
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✳

●✐➯ sö

M ⊂X

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛

j:M →X
✈➭

j∗ : X ∗ → M ∗

X ✳ ❳Ðt ♣❤Ð♣ ♥❤ó♥❣


16

t ị ĩ t tử ợ t ó

A, jx = j A, x , A X , x M.
KM = K M

t

ét

j f j : KM M

tr ữ ề
tụ

f

M



KM

ì

KM

t ó ị

t t t

tụ ị ý tồ t

uM KM

j f j

s

j f j(uM ), v uM 0 , v KM .
ề t ớ

f j(uM ), j(v uM ) 0 , v KM .


f (uM ), v uM ) 0 , v KM .



ổ ề t ớ

f (v), v uM 0 , v KM .
ét t

S(v) = {u K : f (v), v u 0}.
ì

K

vK

t ó ị

S(v) t t ế ủ K ứ r S(v) ó tí t

ữ tứ ớ ọ
t

S(v) t ó ị ớ ỗ v K

M = v1 , v2 , ..., vn

v1 , v2 , ..., vn K

tì ề ủ

ứ tr tồ t

u KM

M

tứ

d(M ) n

n
i=1 S(vi )
t

s

f (v), v u 0 , v KM .


v = vi KM , i = 1, 2, ..., n t ó
f (vi ), vi u 0 , i = 1, 2, ..., n.

=

t

KM = K M =


− 17 −

❚õ ➤➞② s✉② r❛

n

u∈

S(v).
i=1

❱❐②

n

S(vi ) = ∅.
i=1
❙ö ❞ô♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❣✐❛♦ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤♦ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t t❛ ❝ã

S(v) = ∅.
v∈K
❙✉② r❛ tå♥ t➵✐

x0 ∈ S(v) ✈í✐ ♠ä✐ v ∈ K ✳ ❱× ✈❐②
f (v), v − x0 ≥ 0 , ∀v ∈ K.

▲➵✐ t❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✷✳✺ t❛ ❝ã

f (x0 ), v − x0 ≥ 0 , ∀v ∈ K.
❉♦ ➤ã

x0

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■(K, f )✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✷

− 18 −

❈❤➢➡♥❣ ✸
❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐➟♠
❝ñ❛ ❱■s ❝❤♦ ❤❛✐ ❧í♣ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❜❛♦ ❣å♠ ❧í♣ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❑❛r❛♠❛❞✐❛♥ ✈➭ ❧í♣ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❇rÐ③✐s✳
◆❤➢ tr♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✷✱
♥❣➱✉ ❝ñ❛

✸✳✶✳

X

✈➭

X

K⊂X

✈➱♥ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱

X∗

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤è✐

❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✳

❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦

♥❣❤Ü❛ ❑❛r❛♠❛r❞✐❛♥

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✸✳✶✳

➳♥❤ ①➵ f

❑❛r❛♠❛r❞✐❛♥ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐

: K → X∗

❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛

x, y ∈ K

f (y), x − y ≥ 0 ⇒ f (x), x − y ≥ 0.
❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ r➺♥❣ ♥Õ✉

f

✭✸✳✶✮

❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤× ♥ã ❝ò♥❣ ❧➭ ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥

➤✐Ò✉ ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣ ♥❤➢ ✈Ý ❞ô s❛✉ ➤➞②✳
❱Ý ❞ô ✸✳✷✳

f (x) =



2 − x

x

♥Õ✉
♥Õ✉

x ∈ [0, 1]
x ∈ (1, 2].


19

ết q s t ề ệ ủ ề sự tồ t ệ ủ s
t tử ệ
ị ý tr sử
t ồ ó sử

f : K X

K X

ệ tụ tr

ữ ề ủ ó ệ ề ớ t

(a) ồ t ể xref K

s t

L< (f, xref ) := {x K : f (x), x xref < 0}



ị ó tể rỗ

(b) ồ t ì ở tr xref K

s

f (x), x xref 0, x K .



(c) t (K, f ) ó ệ
ữ ế tồ t

xref K

s t

L (f, xref ) := {x K : f (x), x xref 0}
ị tì t ệ



S(K, f ) rỗ ị

ể ứ ị ý tr ú t ột ết q ở rộ ủ ổ ề
t s
ổ ề tr sử t ồ ó tr
tự

f : K X

ớ ọ ể

ệ sử

x, y K
[0, 1]

tụ t

f

tụ tứ



t f (tx + (1 t)y), x y

0+ ó x K

ệ ủ ỉ

f (y), y x 0 , y K.

20

f

ể r ế

X

t

f

tụ tr ữ ề ủ

tụ

ứ ủ ị ý

(a) (b). sử (a) tỏ ó tồ t ì ở X

s

L< (f, xref ) {xref } .
ó

L< (f, xref ) = , ở ó ủ ì ề s r
f (x), x xref 0 , x K .

(b) (c).

sử tồ t ì

tỏ ớ ỗ

xK

X

tr

xref K

s

ú t t

Q(x) = {y K : f (x), x y 0}
rõ r
t

Q(x)

{Q(x)}xK

K

ú t sẽ ỉ r r ọ

ú t ý ệ

L

x1 , x2 , ..., xn

tế tí ủ

X

x1 , x2 , ..., xn t KL = K L, L = L sử L L

ờ ủ


K

ó tí t ữ t ữ

tr tr
ở tr

t ó ế ủ



L

fL : KL L

tr t s ủ

L

ì

t

t

L L = () L

ét

ợ ị ĩ ở

fL (x), y = f (x), y , y L.
ị ý tồ t tr

uL L



s

f (uL ), y uL 0 , y KL .
ì

f

tụ tr ữ ề ủ

ó t ổ ề t ó

f (y), y uL 0 , y KL .

X f

tụ


− 21 −

❉♦ ➤ã

f (xi ), xi − uL ≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., m.
❚õ ➤➞② s✉② r❛

m

Q(xi ).

uL ∈
i=1
❱❐② ❤ä t❐♣
❱×

Ω∩K

{Q(x)}x∈K

❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❣✐❛♦ ❤÷✉ ❤➵♥✳

❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t ②Õ✉ ❝❤ø❛

Q(x)✱ t❛ ❝ã
Q(x) = ∅.

x∈K
❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ✈❡❝t♦r

❉♦

f

u∈Ω∩K

s❛♦ ❝❤♦

f (x), x − u ≥ 0,

∀x ∈ K.

f (u), x − u ≥ 0,

∀x ∈ K.

❧➭ ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❛ ❝ã

u ∈ S(K, f )✳

❱❐②

(c) ⇒ (a)✳ ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ x0 ∈ S(K, f )✳ ❑❤✐ ➤ã
f (x0 ), x − x0 ≥ 0,
➜➷t

xref = x0

✈➭ sö ❞ô♥❣ tÝ♥❤ ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝ñ❛

f (x), x − xref ≥ 0,
❱❐②

✸✳✷✳

∀x ∈ K.
f ✱ t❛ ❝ã
∀x ∈ K.

L< (f, xref ) = φ ✈➭ (a) t❤á❛ ♠➲♥✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦

♥❣❤Ü❛ ❇rÐ③✐s

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✸✳✺✳

➳♥❤ ①➵ f

: K → X∗

❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛


22

rés ế ớ ọ

(xi ) K

ớ ọ

x, y K

t

x lim inf f (xi ), x xi 0

xi
tì

lim sup f (xi ), y xi f (x), y x .
í ụ ế

X

ữ ề

f

tụ tì

f

ệ t ĩ

rés

í ụ s ỉ r r ớ t tử ệ t ĩ r
rés trù

í ụ ét

K R2

ợ ở

K = {(x, y) R2 : x + y 1, x 1, y 1}


f

ợ ị ĩ ở

ề

f

v = (1, 0)

f (x, y) = (x3 , y 2 )

ì

f

tụ

t ĩ rés ế ọ
tì t ó

f (v), u v = 2



f (u), u v = 2

X

ữ

u = (1, 0)

ó

f

ệ t ĩ ủ r

í ụ

f

t tử ệ tụ tứ ớ ọ

u, v, w K



[0, 1]
tụ t

0+ ó f

t f ((1 t)u + tv), w

ệ t ĩ ủ rés Prst



ị ý s t ột ết q ề sự tồ t ủ s t
tử ệ t ĩ ủ rés


23

ị ý sử

X

KX

t ồ t

f :K

ệ t ĩ rés tụ tr

ữ ề ủ

X ó ó ệ

ứ ý ệ

L ọ tt ữ ề ủ

X ớ ỗ L L ú t t KL = K L ị ĩ fL : KL L
ở tứ

y L.

fL (x), y = f (x), y ,
ét
t

V I(KL , fL ) ì KL

xL KL

t ồ t

fL

tụ t ị ý tồ

s

fL (x), y xL 0,
ớ ỗ

Y L ú t ý ệ SY



LY

ớ tí t

y L.

t tt

x KL

xK

s tồ t



fL (x), y x 0 , y KL .
ừ ú t t

SY =

t ữ ở

SY

ở ì

xY SY

ó ủ

SY



ữ ọ

{S Y }Y L

ó tí

tr t ế ủ t

L1 , L2 , ..., Ln L t M = L1 , L2 , ..., Ln

ú t ó

M L

n

SM

SLi .
i=1

ó

n

= SM S M

n

SLi
i=1

ễ t r

{S Y }Y L

SY K



K

S Li .
i=1

t t í t ữ ủ t

tỏ

S Y = .
Y L


− 24 −

◆❤➢ ✈❐② ❝ã ➤✐Ó♠

x0 ∈ S Y

y∈K

✈➭ ❝❤ä♥

▲✃② t✉ú ý

❝❤✃t ❜❛♦ ➤ã♥❣ tå♥ t➵✐ ❞➲②
t❐♣

SY

✈í✐ ♠ä✐

Y ∈ L✳

Y ∈ L s❛♦ ❝❤♦ Y

❝❤ø❛

xi ∈ SY

xi → x0 ✳

s❛♦ ❝❤♦

y

✈➭

x0 ✳

❱×

x0 ∈ S Y ✱ t❤❡♦ tÝ♥❤

❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛

t❛ ❝ã

f (xi ), v − xi ≥ 0,

∀v ∈ KY .

➜➷❝ ❜✐Öt

f (xi ), x0 − xi ≥ 0

✈➭

f (xi ), y − xi ≥ 0.

❍➡♥ t❤Õ ♥÷❛

lim inf f (xi ), x0 − xi ≥ 0.
❱×

f

❧➭ ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❇rÐ③✐s t❛ ❝ã

f (x0 ), y − x0 ≥ lim sup f (xi ), y − xi ≥ 0.
◆❤➢ ✈❐② ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➲ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣

f (x0 ), y − x0 ≥ 0,
➜✐Ò✉ ♥➭② ❝ã ♥❣❤Ü❛ r➺♥❣

✷.

x0

∀y ∈ K.

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■(K, f )✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳