Hội giảng nguyên hàm

LUYỆN TẬP
(NGUYÊN HÀM)
I. Mục tiêu
1. Về kiến thức.
Giúp học sinh ôn tập vận dụng bảng nguyên hàm vào các bài toán cụ thể, vận dụng các tính chất và
các phương pháp tính nguyên hàm để tính nguyên hàm của một hàm số.
2. Về kĩ năng.
Từ các bài toán cụ thể ta rèn cho học sinh cách giải theo một số dạng nguyên hàm tổng quát.
3. Về tư duy, thái độ.
Tích cực tham gia vào bài học, có tinh thần hợp tác.
Phát huy trí tưởng tượng, biết quy lạ về quen, rèn tư duy logic toán học.
II. Chuẩn bị
1. Giáo viên : Bảng phụ, phiếu học tập, máy chiếu.
2. Học sinh : Nhớ các công thức tính nguyên hàm, bảng các nguyên hàm cơ bản, công thức tính nguyên
hàm từng phần.
III. Phương pháp dạy học
Sử dụng phương pháp dạy học gợi mở vấn đáp, đan xen hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình bài học
HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng – Trình chiếu
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
Học sinh thực hiện theo
yêu cầu của giáo viên
- Ra câu hỏi yêu cầu học
sinh trả lời.
- 10 nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.
- Công thưc tính nguyên hàm từng phần
Hoạt động 2: Học sinh làm bài tập
- Học sinh thực hiện theo
yêu cầu của giáo viên.
- Học sinh lựa phải chọn
phép đặt sao cho thích

hợp.
1, Đặt
2
7 3u x= -
2, Đặt
3 2u x= +

3, Đặt
sin
3
x
u
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø

4, Đặt
2
x
u =

hoặc đặt
1
sinu

x
=
6, Đặt
1u x= -

- Học sinh có thể lựa chọn
các cách giải khác
- Học sinh phải nhớ công
thức
1
sin .cos [sin( )
2
sin( )]
a b a b
a b
= +
+ -
Chuẩn bị phiếu học tập
bài 1, yêu cầu học sinh
giải theo 4 nhóm
- Nhấn mạnh các vi
phân cần nhớ.
'( ) ( )
1
( ) ( 0)
f x dx df x
dx d ax b a
a
=
= + ¹

-Nhấn mạnh công thức
biến đổi từ tích thành
tổng
1
sin .cos [sin( )
2
sin( )]
a b a b
a b
= +
+ -
- Yêu cầu hs đại diện
cho mỗi nhóm trình bày
- Đánh giá và cho điểm
học sinh.
- Từ câu 3 yêu cầu hs
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số
1,
2
( ) 3 7 3f x x x= -
Giải :
2
( ) 3 7 3f x dx x x dx= -
ò ò
Cách 1:
Đặt
2
1
7 3 6 3
2

u x du xdx xdx du= - = - = -Þ Þ

3
1
2
2
3
1 1
( ) .
3
2 2
2
1
(7 3 )
3
u
f x dx u du C
x C
= - = - +
= - - +
ò ò
Cách 2:

1
2
2
1
( ) (7 3 ) (7 3 ) ...
2
f x dx x d x= - - - =

ò ò
2,
2
1
( )
cos (3 2)
f x
x
=
+
Giải:
2 2
1 (3 2)
( )
cos (3 2) 3 cos (3 2)
dx d x
f x dx
x x
+
= =
+ +
ò ò ò
1
tan(3 2)
3
x C= + +

3,
5
( ) sin cos

3 3
x x
f x
æö æö
÷ ÷
ç ç
=
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
1
- Cách tìm nguyên hàm
dạng

*
cos ( )sin ( )
( , , )
m n
x x dx
m n N R
a a
a
Î Î
ò
+ Nếu m, n cùng lẻ thì đặt
cos( )
hoÆc sin( )
u x

u x
a
a
=
=
+ Nếu m lẻ, n chẵn thì đặt
sin( )u x
a
=
+ Nếu m chẵn, n lẻ thì đặt
cos( )u x
a
=
+ Nếu m, n cùng chẵn thì
sử dụng công thức hạ bậc
2
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
cos
2
x
x
x
x
-
=
+

=
đưa ra cách tìm nguyên
hàm dạng
*
cos ( )sin ( )
( , , )
m n
x x dx
m n N R
a a
a
Î Î
ò
Giải:
5
( ) sin cos
3 3
x x
f x dx dx
æö æö
÷ ÷
ç ç
=
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
ò ò
Đặt

1
sin cos 3 cos
3 3 3 3
x x x
u du dx du dx
æö æö æö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= = =Þ Þ
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
6
5 6
1
( ) 3 sin
2 2 3
u x
f x dx u du C C
æö
÷
ç
= = + = +
÷
ç
÷
ç
è ø

ò ò
4,
2 2
1 1 1 1 2
( ) sin cos sin
2
f x
x x x x x
æö
÷
ç
= =
÷
ç
÷
ç
è ø
Giải:
2
1 2
( ) sin
2
f x dx dx
x x
æö
÷
ç
=
÷
ç

÷
ç
è ø
ò ò
Đặt
2 2
2 2 1 1
4 2
u du dx du dx
x x x
= = - - = -Þ Þ
1 1 1 2
( ) sin cos cos
4 4 4
f x dx udu u C C
x
= - = + = +
ò ò
Cách khác: Đặt
1
sinu
x
=
5,
( ) sin 5 cos3f x x x=
Giải:
1
( ) [sin 8 sin 2 ]
2
1 1

cos8 cos 2
16 4
f x dx x x dx
x x C
= +
= - - +
ò ò
6,
9
( ) (1 )f x x x= -
Giải:
9
( ) (1 )f x dx x x dx= -
ò ò
Đặt
1u x du dx dx du= - = - = -Þ Û
9 10 9
11 10 11 10
( ) (1 )
(1 ) (1 )
11 10 11 10
f x dx u u du u du u du
u u x x
C C
= - - = -
- -
= - + = - +
ò ò ò ò
Bài tập tương tự về nhà: Tính các nguyên hàm
4 2 4

5 2 3
sin .cos ; cos .sin
2 2
sin ; cos .sin
x x
x xdx dx
xdx x xdx
æö æö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
ò ò
ò ò
Hoạt động 3: Học sinh làm bài tập
- Học sinh làm theo yêu
cầu của giáo viên.
- Học sinh phải ghi nhớ
cách tách

1

( 1)( 2)
1 1

2 1
x x

x x
- -
= -
- -
- Học sinh phải dùng
- Chuẩn bị phiếu học tập
bài 2
- Yêu cầu hs giải theo 4
nhóm
- Nhấn mạnh phương
pháp tách
Bài 2. Tìm các nguyên hàm
1,
2
3 2
dx
x x- +
ò
Giải:
2
3 2 ( 1)( 2)
dx dx
x x x x
=
- + - -
ò ò
Ta tìm 2 số a, b sao cho
1

( 1)( 2) 1 2

a b
x
x x x x
= + "
- - - -
2
phương pháp thêm bớt để
làm câu 3 và dùng phương
pháp đổi biến số để làm
câu 4
1

( 1)( 2)
1 1

2 1
x x
x x
- -
= -
- -
- Yêu cầu hs đại diện
cho nhóm trình bày và
đánh giá
1 ( 2) ( 1)
1, 1
a x b x x
a b
= - + - "Û
= =Û

2
( 2) ( 1)
3 2 ( 2) ( 1)
2
ln
1
dx d x d x
x x x x
x
C
x
- -
= -
- + - -
-
= +
-
ò ò ò
2,
2
( 1) 1
2 ( 1) 1
x
x x x x
dx d e
C
e e e e
-
+ -
= = +

+ + + +
ò ò
3,
2
1
...
( 1)
x x
x x x x
dx e e
dx
e e e e
+ -
= =
+ +
ò ò
4,
x
2
2
§Æt t= e 1
1
1 1
x x
dx dx dt
t
e e
+ =Þ
-
+ +

ò
2
2 2
...
1 ( 1)( 1)
1
x
dx dt dt
t t t
e
= = =
- + -
+
ò ò ò
Hoạt động 4: Học sinh làm bài tập
- Học sinh làm theo nhóm
theo yêu cầu của giáo
viên.
- Qua việc làm bài tập 3
hs phải tổng kết được:
Dạng 1:
Đặt
n
[ln ( )]
( )
ì
ï
=
ï
í

ï
=
ï
î
u Q x
dv P x dx
Dạng 2:
Đặt

( )
+
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
a x b
u P x
dv e dx
Dạng 3:
Đặt
( )
sin( )
ì
=
ï

ï
í
ï
= +
ï
î
u P x
dv ax b dx

Dạng 4:
Đặt
sin( )
+
ì
ï
=
ï
í
ï
= +
ï
î
ax b
u e
dv cx d dx
hoặc
sin( )
sin( )
+
ì

= +
ï
ï
í
ï
= +
ï
î
ax b
u cx d
dv cx d e dx
- Chuẩn bị phiếu hoc tập
bài 3
- Yêu cầu hs giải theo 4
nhóm, tổng kết các
nguyên hàm tổng quát
dạng:
Dạng 1:

*
( )[ln ( )]
( )
n
P x Q x dx
n N∈
∫
Dạng 2:

( )
( 0)

ax b
P x e dx
a
+
≠
∫
Dạng 3:
( )sin( )
( )cos( )
P x ax b dx
P x ax b dx
+
+
∫
∫
Dạng 4:
sin( )
cos( )
( 0, 0)
ax b
ax b
e cx d dx
e cx d dx
a c
+
+
+
+
≠ ≠
∫

∫
- Đánh giá, cho điểm
Bài 3. Tìm các nguyên hàm.
1,
3 3
2 2
2 4
ln ln
3 9
x xdx x x x C= - +
ò
( Đặt
3
2
1
ln
2
3
du dx
u x
x
dv xdx
v x
ì
ï
ï
=
ï
ì
=

ï
ï
ï ï
Þ
í í
ï ï
=
ï ï
î
=
ï
ï
ï
î
).
2,
3 x
x e dx
ò
Giải: Đặt
3
x
u x
dv e dx
ì
ï
=
ï
í
ï

=
ï
î
Lấy nguyên hàm từng phần 3
lần ta được
3 3 2
( 3 6 6)
x x
x e dx e x x x C= - + - +
ò
3,
2
cos2x xdx
ò
Giải: Đặt
2
cos 2
u x
dv xdx
ì
ï
=
ï
í
ï
=
ï
î
Lấy nguyên hàm từng
phần 2 lần ta được

2 2
cos2 sin 2 cos 2 sinx xdx x x x x x C= + - +
ò
4,
3 9 3 9
2
...
3
x x t
e dx e dx e tdt
- -
= =
ò ò ò

3 9
2
( 3 9 1)
3
x
e x C
-
= - - +
( Đặt
2
9 2
3 9
3 3
t
t x x dx tdt

+
= - = =Þ Þ
)
5,
sin
x
e xdx
ò
Giải: Đặt
sin
hoÆc
sin
x
x
u x
u e
dv e dx
dv xdx
ì
ì
=
ï
=
ï
ï ï
í í
ï ï
=
=
ï

î
ï
î
3
Hoạt động 5: Phần củng cố và hướng dẫn bài tập về nhà
Học sinh nhớ công việc
được giao về nhà
Giáo viên ra bài tập về
nhà
Bài 1. Tìm các nguyên hàm
3
2 .3
tan ; ;
sin cos 9 4
x x
x x
dx
xdx dx
x x+ −
∫ ∫ ∫
Bài 2. Tìm nguyên hàm
( ) ( 2 1 3 2)F x x x dx= + + +
∫
biết F(0)=
3
2
2
.
Bài 3. Tính các nguyên hàm
2

2
2
2
ln( 1) ; ; ;
sin ; sin(ln ) ; 2003 ;
1 ln
ln ; tan ;
1 ( 1)
x x
x x dx e dx xe dx
xdx x dx x dx
x x
x dx x xdx dx
x x
+ +
+
−
 
 ÷
+ +
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫

4