bài tập tiểu luận môn lý thuyết nội suy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA SAU ĐẠI HỌC
——————–o0o——————–

BÀI GIỮA KÌ
MÔN LÝ THUYẾT NỘI SUY

Giáo viên giảng dạy: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu
Học viên: Cù Thị Ngọc Mai
Lớp: K7Y

HƯNG YÊN 06 - 2015


Mở đầu
Trong chương trình toán học phổ thông đa số học sinh chỉ biết cách giải và
biện luận các phương trình bậc thấp như phương trình bậc hai và phương
trình bậc nhất. Khi gặp phương trình bậc ba nếu như không phải là các
phương trình dạng đặc biệt hay nhẩm được nghiệm là các em lúng túng. Đây
là lí do em chọn viết bài tiểu luận "Giải phương trình bậc ba bằng phương
pháp nội suy" dựa trên những kiến thức được thầy Nguyễn Văn Mậu giảng
dạy. Em muốn có nhiều thầy cô biết được phương pháp này để dạy cho các
em học sinh giải được tất cả các phương trình bậc ba mà không cần dùng số
phức.

1


Chương 1
Nội dung
1.1

Lý thuyết

Ta có các bất đẳng thức sau:
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α
Nếu x ∈ (−1, 1) thì ta đặt x = cos α

(1)
1
2

1
a

Nếu x < −1 hoặc x > 1 thì ta đặt x = (a + )
1
1
(a + )
2
a
1 3
1
= (a + 3 )
2
a

4x3 − 3x = 4

Như vậy

3

1
1
− 3 (a + )
2
a

1 3
1
1
1
(a + 3 ) = 4 (a + )
2
a
2
a

3

1
1
− 3 (a + )
2
a

(2)

1 3
1

1
1
(a − 3 ) = 4 (a − )
2
a
2
a

3

1
1
+ 3 (a − )
2
a

(3)

Bài toán 1.1.1. Giải phương trình 4x3 − 3x = m,|m| < 1
Lời giải
α
m = cos α = cos(3. )
3

Khi đó phương trình có các nghiệm là:
α
α ± 2π
x1 = cos , x2,3 = cos(
).
3

3
2


Bài toán 1.1.2. Giải phương trình 4x3 − 3x = m,|m| > 1
Lời giải
1
1
m = (a3 + 3 ) suy ra a =
2
a
1
1
1
Khi đó x1 = (a + =
2
a
2

3

√
m2 − 1
√
m + m2 − 1 +

m±
3

3

m−

√

m2 − 1 là nghiệm của

phương trình đã cho
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.Thật vậy,
x1 > 1 và 4x31 − 3x1 = m. Khi đó phương trình:
4(x3 − x31 ) − 3(x − x1 ) = 0
⇔ (x − x1 )(4x2 + 4x1 x + 4x21 − 3) = 0

Phương trình 4x2 + 4x1 x + 4x21 − 3 = 0 có ∆ = 4x21 − 4(4x21 − 3) = 12(1 − x21 ) < 0
Vậy x = x1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Bài toán 1.1.3. Giải phương trình 4x3 − 3x = 1
Lời giải
4x3 − 3x = 1 ⇔ (x − 1)(2x + 1)2 = 0

Do vậy phương trình đã cho có một nghiệm đơn x = 1 và một nghiệm kép
1
x=− .
2

Bài toán 1.1.4. Giải phương trình 4x3 − 3x = −1
Lời giải
4x3 − 3x = −1 ⇔ (x + 1)(2x − 1)2 = 0

Do vậy phương trình đã cho có một nghiệm đơn x = −1 và một nghiệm kép

1
x= .
2

3


Bài toán 1.1.5. Giải phương trình 4x3 − 3x = m, m ∈ R
Lời giải
Phương trình này luôn có nghiệm duy nhất với mọi m do

• Phương trình bậc ba luôn có nghiệm
• Vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm hằng.
√
1
3
)
suy
ra
a
=
m
±
m2 + 1
a3
√
√
1
1 3
1

3
Khi đó x1 = (a − =
m + m2 + 1 + m − m2 + 1 là nghiệm của
2
a
2
1
2

Đặt m = (a3 −

phương trình đã cho

Bài toán 1.1.6. Giải và biện luận phương trình:

at3 + bt2 + ct + d = 0, a = 0, a, b, c, d ∈ R

Lời giải
Đặt t = −

b
+ y ta được phương trình y 3 + py + q = 0
3a

• Nếu p = 0 thì y =

√
3

−q suy ra t = −

• Nếu p > 0. Đặt y = 2
• Nếu p < 0. Đặt y = 2

√
b
+ 3 −q
3a

p
x ta được 4x3 + 3x = m (Bài toán (1.1.5))
3
−p
x ta được 4x3 − 3x = m (Bài toán (1.1.1),
3

(1.1.2), (1.1.3) hoặc (1.1.4))
Kết luận: Theo cách này thì không có phương trình bậc ba không giải được.

4


1.2

Một vài ví dụ áp dụng

Bài toán 1.2.1. Giải phương trình x3 − 12x + 16 = 0
Lời giải
Đặt x = 4y ta được phương trình
64y 3 − 48y + 16 = 0

⇔4y 3 − 3y = −1

(∗)

Theo bài (1.1.4) phương trình (*)có hai nghiệm y1 = −1, y2 =
x1 = −4, x2 = 2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = −4, x2 = 2.

Bài toán 1.2.2. Giải phương trình 2x3 − 3x2 + 6x + 4 = 0
Lời giải
Đặt x = y +

1
ta được phương trình
2

1
1
1
2(y + )3 − 3(y + )2 + 6(y + ) + 4 = 0
2
2
2
3
3
1
1
⇔2(y 3 + y 2 + y + ) − 3(y 2 + y + ) + 6y + 3 + 4 = 0
2

4
8
4
3
1
3
⇔2y 3 + 3y 2 + y + − 3y 2 − 3y − + 6y + 7 = 0
2
4
4
9
13
=0
⇔2y 3 + y +
2
2
9
13
⇔y 3 + y +
=0
4
4

Đặt y =

√

3t ta được phương trình

5

1
Suy ra
2


√
9√
13
3 3t3 + . 3t +
=0
4
4
3
13
⇔t3 + t + √ = 0
4
12 3
13
⇔4t3 + 3t = − √
3 3

(∗)

Theo bài (1.1.5) phương trình (*) có nghiệm duy nhất

t=

1
2

13
− √ +
3 3

1
√ +
3 3
√
1 1
√ − 3
=
2
3
1
= −√
3
=

1
2

3

3

3

169
+1+

27

3

13
− √ −
3 3

169
+1
27

27
− √
3 3

1
2

Suy ra y = −1.Do đó x = − .
1
2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = − .

Bài toán 1.2.3. Giải phương trình 2x3 + 3x2 − x − 1 = 0
Lời giải
Đặt x = y −

1

ta được phương trình
2

6


1
1
1
2(y − )3 + 3(y − )2 − (y − ) − 1 = 0
2
2
2
3
3
1
1
1
⇔2(y 3 − y 2 + y − ) + 3(y 2 − y + ) − y + − 1 = 0
2
4
8
4
2
3
1
3
1
⇔2y 3 − 3y 2 + y − + 3y 2 − 3y + − y − = 0
2

4
4
2
5
⇔2y 3 − y = 0
2
5
⇔y(2y 2 − ) = 0
2
√

√
5
5
Do đó phương trình ẩn y có ba nghiệm y1 = 0, y2 =
, y3 = −
2
2
√
√
1
5−1
5+1
Suy ra x1 = − , x2 =
, x3 = −
.
2
2
2
√

√
1
5−1
5+1
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x1 = − , x2 =
, x3 = −
.
2
2
2

Bài toán 1.2.4. Giải phương trình x3 − 6x2 + 9x − 10 = 0
Lời giải
Đặt x = y + 2 ta được phương trình

(y + 2)3 − 6(y + 2)2 + 9(y + 2) − 10 = 0
⇔y 3 + 6y 2 + 12y + 8 − 6(y 2 + 4y + 4) + 9y + 18 − 10 = 0
⇔y 3 + 6y 2 + 12y + 8 − 6y 2 − 24y − 24 + 9y + 8 = 0
⇔y 3 − 3y = 8

Đặt y = 2t ta được phương trình
7


8t3 − 6t = 8
⇔4t3 − 3t = 4

(∗)

Theo bài (1.1.2) thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất

1
2
1
=
2

3

t=

Suy ra y =

3

3

4+

4+

Suy ra x = 2 +

3

3

42 − 1 +

4+

√
15 +

√

15 +

4+

3

3

4−

4−

√
15 +

3

4−

42 − 1

√
15

√

15

4−

√
15

Bài toán 1.2.5. Giải phương trình x3 − 3x − 1 = 0
Lời giải
Đặt x = 2t ta được phương trình
8t3 − 6t − 1 = 0 ⇔ 4t3 − 3t =
π
π
1
= cos = cos(3. )
2
3
3

1
2

(∗)

Theo bài (1.1.1) ta có phương trình (*) có ba nghiệm
π
5π
7π

t1 = cos ; t2 = cos ; t3 = cos
9
9
9
π
5π
7π
Suy ra x1 = 2 cos ; x2 = 2 cos ; x3 = 2 cos
9
9
9

π
9

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x1 = 2 cos ; x2 = 2 cos

8

5π
7π
; x3 = 2 cos
9
9


Bài toán 1.2.6. Giải phương trình x3 + 12x2 + 40x + 16 = 0
Lời giải
Đặt x = y − 4 ta được phương trình

(y − 4)3 + 12(y − 4)2 + 40(y − 4) + 16 = 0
⇔y 3 − 12y 2 + 48y − 64 + 12(y 2 − 8y + 16) + 40y − 160 + 16 = 0
⇔y 3 − 12y 2 + 48y − 64 + 12y 2 − 96y + 192 + 40y − 144 = 0
⇔y 3 − 8y = 16

√
4 6
t ta được phương trình
Đặt y =
3
√
√
384 6 3 32 6
t −
t = 16
27
√3
3 6
⇔4t3 − 3t =
4

(∗)

Theo bài (1.1.2) thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất

√
√
√
√
3 3

3 6
3 6 2
6
3 6 2
+ (
) −1+
− (
) −1
4
4
4
4
√
√
√
√
1
3
3
3 3 + 15 + 3 3 − 15
= √
2 2
√
√
√
2 3 √
3
Suy ra y = √
3 3 + 15 + 3 3 − 15
3

√
√
√
2 3 √
3
3 3 + 15 + 3 3 − 15 − 4
Suy ra x = √
3
1
t=
2

3

9


Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
x= √
3

3

√
√
3 3 + 15 +

3

√
√
3 3 − 15 − 4

Bài toán 1.2.7. Giải phương trình 2x3 − 5x2 − 4x + 3 = 0
Lời giải
Đặt x = y +

5
ta được phương trình
6

5
5
5
2(y + )3 − 5(y + )2 − 4(y + ) + 3 = 0
6
6
6
75
125
25
125
10
⇔2y 3 + 5y 2 + y +
− 5y 2 − y −
− 4y −
+3=0
18
108

3
36
3
49
143
⇔2y 3 − y −
=0
6
54
49
143
⇔y 3 − y −
=0
12
108

7
3

Đặt y = t ta được phương trình

343 3 343
143
t −
t=
27
36
108
143
⇔4t3 − 3t =

343

143
α
13
= cos α. Suy ra cos =
343
3
14
α + 2π
11
cos
=−
3
14
α − 2π
1
cos
=−
3
7
10

(∗)


Theo bài (1.1.1) thì phương trình (*) có ba nghiệm

α
13

=
3
14
α + 2π
11
t2 = cos
=−
3
14
α − 2π
1
t3 = cos
=−
3
7
13
Suy ra y1 =
6
11
y2 = −
6
1
y3 = −
3
t1 = cos

Do vậy x1 = 3
x2 = −1
x3 = −

1
2

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm
1
x1 = 3; x2 = −1; x3 = − .
2

11


Kết luận
Tiểu luận “Giải phương trình bậc ba bằng phương pháp nội suy” đã giải quyết
được những vấn đề sau:
1. Tiểu luận đã trình bày phương pháp giải phương trình bậc ba.
2. Tiểu luận trình bày ứng dụng của phương pháp trong một vài bài toán đại
số.
Kết quả của Tiểu luận góp phần nâng cao chất lượng dạy và học Toán ở
trường phổ thông trong giai đoạn hiện nay.

12


Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Văn Mậu, 2007, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo Dục.
2. Nguyễn Văn Mậu, 1994, Phương pháp giải phương trình và bất phương
trình, NXB Giáo Dục.

13