HƯỚNG DẪN DÙNG SKETCHPAD TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Hớng dẫn sử dụng công cụ dựng hình
trong hình học không gian
Phần này đợc đa vào để hớng dẫn cách sử dụng các công cụ có sẵn nhằm thiết
kế mô hình, vẽ các hình không gian phục vụ cho việc dạy, học hình học trong
không gian, đặc biệt là hình học giải tích trong không gian. Các công cụ này đ-
ợc xây dựng trên cơ sở lí thuyết của hình học giải tích trong không gian, do vậy
học sinh có thể vừa học chơng 3 (HH 12) vừa sử dụng chúng để củng cố kiến
thức, thực hành dựng hình, giải toán trên máy tính, đồng thời có thể tạo ra các
công cụ tiện dụng khác trên cở sở kiến thức đã đợc học.
Để tiện trình bày, chúng ta sử dụng một số kí hiệu:
- Toạ độ của điểm đợc kí hiệu A(x, y, z).
- Đờng thẳng l qua điểm A(x; y; z) có vectơ chỉ phơng
u
r
(a; b; c) kí hiệu
l(xyz,abc).
- Mặt phẳng có phơng trình: Ax + By + Cz + D = 0 kí hiệu mp(ABCD) hoặc
(ABCD).
- Mặt cầu có phơng trình: (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
= R
2
kí hiệu (abc,R).
- Các chữ cái x, y, z thờng đợc dùng để viết tọa độ các điểm, các chữ cái a, b,
c thờng đợc dùng để viết tọa độ của các vectơ.
Muốn sử dụng các công cụ này ta có thể mở trang có chứa các công cụ trớc khi
thực hiện các thao tác trên trang hình, hoặc có thể copy các file có chứa các

công cụ trên vào Tool Folder, khi khởi động GSP thì các công cụ này có sẵn,
cách làm nh sau:
- Mở trang có chứa công cụ nằm trong các Folder CongcuHHKG (công cụ
Hình học không gian) hoặc CongCuThuongDung ( công cụ thờng dùng)
- Vào File | Save as | C: \ Program files\Sketchpad\Tool Folder | Save.
(Nếu GSP đợc lu ở ổ dĩa C).
1
Sau khi đặt các tệp tin có chứa công cụ vào
Tool Folder, khi mở Sketchpad, nhấn vào
nút lệnh Custom Tool (Công Cụ Thờng
Dùng), một trình đơn dọc xuất hiện cho ta
biết các công cụ thờng dùng đang sẵn sàng.
Trên hình 1.1 minh họa các tệp tin có chứa
công cụ là: 1. HetrucOxyz, 2.Dung,
3.HesocuaMatphang, ... Đó là các công cụ
đợc dùng để dựng hình trong không gian.
Sau đây chúng tôi sẽ trình bày chi tiết cách
sử dụng những Công Cụ Thờng Dùng này.
1. HetrucOxyz
Hình 1.1
Công cụ này dùng để thiết lập hệ trục toạ độ Đề các trong không gian có thể
quay đợc.
Có 3 lựa chọn:
Oxyz(O): Gốc toạ độ O bất động
khi hệ trục quay ngang, quay dọc.
Công cụ này tỏ ra thuận tiện hơn
nhiều so với hai công cụ sau.
(Nháy đúp trên nút lệnh Oxy trớc
khi dùng để có trục Oz ở vị trí
thẳng đứng).

Oxyz(Oz): Hệ trục quay theo
chiều ngang quanh trục Oz
Oxyz: Hệ trục quay theo chiều
ngang quanh một trục nào đó
vuông góc với mặt phẳng Oxy
Hình 1.1a
Để sử dụng công cụ này ta nhấn nút lệnh Công Cụ Thờng Dùng (Custom
Tool), chọn Hetruc Oxyz / Oxyz2 (hoặc Oxyz(Oz) , hoặc Oxyz) , nháy chuột
vào hai vị trí trên trang hình ta sẽ có hệ trục. Nháy chuột vào ô Mũi Tên Chọn
2
(Selection Arrow Tool) trên Hộp Công Cụ (Toolbox) để thôi làm việc với
công cụ này.
Để chỉnh kích cỡ của hệ trục, di
chuyển vạch Co (cỡ); di chuyển các
vạch N (nghiêng mặt phẳng Oxy), vạch
Q (quay quanh trục Oz), vạch Z
(nghiêng trục Oz) đến các vị trí thích
hợp để đặt hình ở góc nhìn thuận lợi.
Các nút lệnh Quay, Oxy, Oxz, Oyz
làm quay hệ trục, chiếu hệ trục lên
mpOxy, mp Oxz, mpOyz.
Hình 1.1b
Sau khi có hệ trục ta có thể giấu (Hide) các đối tợng không cần thiết (trừ các
điểm O, i, j, k) bằng cách chọn các đối tợng đó rồi dùng lệnh Ctrl + H , hoặc
Display | Hide.
Chú ý : Khi sử dụng hệ trục Oxyz thì các chữ O; i; j; k; là mặc định , do vậy
không đặt tên cho các đối tợng khác bằng các chữ cái này ; có thể giấu (hide)
các đối tợng tuỳ ý, nhng không thể giấu các điểm O, i, j, k khi còn dùng hệ trục
hay các công cụ có liên quan đến hệ trục. Đơn vị đo góc đợc dùng trong các
trang hình có chứa hệ trục là Ra-đi-an.

2. Dung (Dựng)
3
Hình 2.1
Các công cụ này dùng để dựng điểm, dựng đờng thẳng xác định bởi vectơ chỉ
phơng (tọa độ) và điểm, dựng mặt phẳng xác định bởi vectơ pháp tuyến (xác
định bởi các tọa độ) và điểm; mp(ABCD) (có phơng trình Ax+By+Cz+D=0),
dựng hình chiếu vuông góc của điểm lên đờng thẳng, lên mặt phẳng, dựng đoạn
vuông góc chung của hai đờng thẳng đợc xác định bởi điểm (xác định bởi tọa
độ) và vectơ chỉ phơng (xác định bởi tọa độ), tiếp diện của mặt cầu tâm I(a;b;c)
bán kính R, đi qua đờng thẳng l(x1y1z1,u1u2u3), trong hệ trục tọa độ Oxyz cho
trớc.
Hình trên là các công cụ dựng điểm, đờng thẳng , mặt phẳng
2.1 Diem(xyz)
4
Công cụ này
dùng để dựng
điểm khi biết
toạ độ
(x; y; z)
của nó đối với
hệ trục Oxyz đã
xác định.
Hình 2.1a
Sau khi có hệ trục toạ độ Oxyz, ví dụ cần
dựng điểm A(1;2;3) ta làm nh sau:
Dùng lệnh Alt + = hoặc vào Measure |
Calculate , xuất hiện bảng tính, chọn số
1, tơng tự chọn 2; 3, dùng Công Cụ Chữ
(Text Tool) , nháy đúp vào tham số vừa
chọn (số 1), vào thẻ Label để đổi tên

thành x ( tơng tự cho y, z ) , nếu các số x,
y, z cha có sẵn.
Hình 2.1b
Vào Custom Tool | Dung | Diem(xyz), nháy chuột lần lợt vào các số x, y, z.
Lúc này trên trang hình xuất hiện một điểm có toạ độ tơng ứng. Dùng Công Cụ
Chữ (Text Tool) để đặt tên cho điểm A.
Khi nháy vào nút lệnh Quay hệ trục di chuyển, điểm A di chuyển theo.
2.2 Diem tuy y thuoc (ABCD)
5
Công cụ này cho phép ta
dựng một điểm tùy ý thuộc
mặt phẳng (ABCD), điểm đ-
ợc dựng chỉ di chuyển trong
mặt phẳng (ABCD), trong tr-
ờng hợp cần thiết muốn có
tọa độ của điểm này ta dùng
công cụ 8.ToadocuaDiem
để tính.
Hình 2.2
Sau khi có hệ trục tọa độ và
các số A, B, C, D ta muốn dựng
một điểm tùy ý thuộc mặt
phẳng (ABCD) ta thực hiện lần
lợt các bớc sau:
- Vào Custom Tool | 2.Dung
| Diem tuy y thuoc
(ABCD).
- Nháy chuột lần lợt vào các
số A, B, C, D ta sẽ đợc một
điểm tùy ý trên mặt phẳng

(ABCD).
Hình bên cho ta biết điểm M
thuộc mặt phẳng Oxy do các hệ
số của mặt phẳng (ABCD) là
(0010).
Hãy thử di chuyển điểm M,
thay đổi vị trí của hệ trục để
quan sát.
Hình 2.2a
2.3 Diem tuy y thuoc Mp (3 Diem)
6
Công cụ này cũng đợc dùng để
dựng điểm tùy ý thuộc một mặt
phẳng đợc xác định bởi ba
điểm thuộc mặt phẳng.
Ta muốn dựng một điểm L tùy
ý thuộc mặt phẳng qua ba
điểm M, N, P cho trớc (có sẵn
trên trang hình)
Hình 2.3
- Vào Custom Tool | 2.Dung | Diem tuy y thuoc Mp(3 Diem).
- Nháy chuột lần lợt vào các điểm
M, N, P ta sẽ đợc điểm L, dựng tứ
giác MLNQ và phần trong của nó,
rê điểm L, cho hệ trục quay để
quan sát.
Đôi khi điểm đợc dựng không nằm
trong vùng làm việc của trang hình
mà xuất hiện bên ngoài khung hình,
quan sát thanh cuốn biên để xác

định nó và kéo về vị trí thích hợp.
Hình 2.3a
2.4 Diem tuy y trong KG
Tơng tự nh hai công cụ
trên, công cụ này giúp ta
dựng điểm tùy ý trong
không gian cùng với tọa
độ của nó đối với hệ trục
cho trớc.
Hình 2.4
Trong hệ trục cho trớc, muốn dựng điểm tùy ý trong không gian:
7
- Vào Custom Tool | 2.Dung | Diem tuy y trong KG.
- Trên trang hình có ngay một điểm tùy ý đợc tự động đặt tên và có các tọa độ
tơng ứng. Trong một số trờng hợp cần đặt tên lại cho điểm và các tọa độ ta
làm nh sau
Để đổi tên điểm (lúc này tại vị trí
của điểm có hai điểm chồng nhau, ta
phải đổi tên cả hai điểm). Trớc hết ta
nháy chuột vào điểm hai lần rời rạc (
không phải là nháy đúp) vào Edit |
Properties | Label, đổi tên rồi nhấn
Ctrl + H để giấu luôn. Sau đó nháy
chuột phải một lần vào điểm, vào
properties | Label đổi tên, hoặc
dùng công cụ chữ A đổi tên bình th-
ờng.
Hình 2.4a
Đối với các tọa độ dùng Công Cụ Chữ để đổi tên.
2.5 Dthang(VTCP+Diem)

Công cụ này dùng để dựng
đờng thẳng khi biết tọa độ
(a; b; c) của vectơ pháp
tuyến (VTPT) của đờng
thẳng và một điểm thuộc
đờng thẳng.
Hình 2.5
Giả sử muốn dựng đờng thẳng d qua điểm A thuộc Oz, có VTCP(a;b;c) trong
hệ trục cho trớc, với các số a, b, c có sẵn. Ta làm nh sau
8
- Vào Custom Tool | Dung |
Dt(VTCP+Diem).
Nháy chuột lần lợt vào các số a, b,
c và điểm A để có d .

2.6 Dt(xyz,abc)
Hình 2.5a
Công cụ này dùng để
dựng đờng thẳng d qua
điểm
(x; y; z)
có VTCP
(a; b; c)
trong hệ trục
cho trớc.
Hình 2.6
Giả sử muốn dựng đờng thẳng qua
điểm (x; y; z), có vectơ chỉ phơng
(a; b; c), với các số x, y, z, a, b, c
có sẵn.

- Vào Custom Tool | Dung |
Dt(xyz,abc). Nháy chuột lần lợt
vào các số x, y, z, a, b, c.
Hình 2.6a
2.7 Mp(VTPT+Diem)
9
Công cụ này dùng để dựng
mặt phẳng khi biết một
VTPT
(a; b; c)
và một
điểm của nó.
Giả sử muốn dựng mặt
phẳng có VTPT
(A; B; C)
đi qua điểm A
nào đó thuộc trục Oz, với
các số A, B, C và điểm A
có sẵn. Ta làm nh sau:
Hình 2.7
- Dùng bảng tính tạo các
tham số d, r, q.
- Vào Custom Tool | Dung
| Mphang(VTPT+Diem).
- Sau đó dùng chuột nháy
lần lợt vào các số A, B, C,
d, r, q và điểm A.
Hình 2.7a
Ta sẽ đợc một hình chữ nhật, hình biểu diễn của mặt phẳng có VTPT
(A; B; C)

qua điểm A, có chiều dài là tham số d, có chiều rộng là tham số r,
tham số q (đơn vị là Radian) dùng để điều chỉnh góc quay của hình chữ nhật
quanh điểm A.
Thay đổi các tham số d, r, q để chỉnh độ lớn ,vị trí của hình chữ nhật, muốn vậy
ta chọn tham số (chẳng hạn q) rồi nhấn phím (+) hoặc (-) để tăng hoặc giảm
giá trị của tham số q một đơn vị. Để đổi đơn vị đo góc ta làm nh sau:
10
Vào Edit | Preferences, xuất
hiện hộp thoại bên, nháy chuột
vào chữ radians, đánh dấu
kiểm vào các ô: This Sketch và
New Sketches, chọn OK.
Hình 2.7b
2.8 Mphang(ABCD)-d,r,q
Công cụ này dùng để dựng
mp(ABCD) (mặt phẳng có phơng
trình Ax+By+Cz+D=0) trong hệ
trục Oxyz cho trớc.
Giả sử muốn dựng mp(ABCD)
trong hệ trục Oxyz, với các hệ số
A, B, C, D có sẵn.
Hình 2.8
Dùng bảng tính tạo các tham số d,
r, q.
- Vào Custom tool | Dung |
Mphang(ABCD)-d,r,q.
- Nháy chuột lần lợt vào các số A,
B, C, D, d, r, q ta sẽ có hình chữ
nhật-mp(ABCD) có chiều dài là
d, chiều rộng là r, tham số quay

là q.
Hình 2.8a
11
2.9 Hchieu-Diem len Dt(Diem+VTCP)
Công cụ này dùng để dựng hình chiếu vuông góc của điểm có tọa độ
(x0; y0 ; z0)
lên đờng thẳng qua điểm
(x1; y1; z1)
có VTCP
(a; b; c)
.
Hình2.9
Giả sử trong hệ trục Oxyz muốn dựng hình chiếu vuông góc của điểm
A(x0;y0;z0) trên đờng thẳng qua điểm B(x1;y1;z1) và có VTCP(a;b;c) với các
số x0, y0, z0, x1, y1, z1, a, b, c có sẵn ta làm nh sau.
- Dựng đờng thẳng bằng cách vào Custom Tool | Dung | Dthang(xyz,abc),
nháy chuột lần lợt vào x1, y1, z1, a, b, c (nếu đờng thẳng cha có sẵn)
- Vào Custom Tool | Dung | Hchieu-Diem len Dt, nháy chuột lần lợt vào x0,
y0, z0, x1, y1, z1, a, b, c.

Ta sẽ có điểm A(x0;y0;z0)
và tọa độ của A(x
A
;y
A
;z
A
)
hình chiếu vuông góc của
A, và đoạn nối AA.

Trờng hợp đờng thẳng đã
đợc dựng ta chỉ cần thực
hiện bớc 2.
Hình 2.9a
12
2.10 Hchieu-Diem len Mp(ABCD)
Công cụ này dùng để
dựng hình chiếu vuông
góc của một điểm
(x0; y0; z0)
lên mặt
phẳng có các hệ số
(ABCD) trong hệ trục
cho trớc.
Hình 2.10
Giả sử muốn dựng hình chiếu vuông
góc của điểm A
(x0; y0; z0)
lên mặt
phẳng (ABCD), với các số x0, y0, z0, A,
B, C, D có sẵn.
- Vào CustomTool | Dung | Hchieu-
Diem len Mp(ABCD), nháy chuột
lần lợt vào các số x0, y0, z0, A, B, C,
D. Ta sẽ có đoạn nối điểm A và hình
chiếu A1, A1 có tọa độ (x
A1
,y
A1
,z

A1
).
Hình 2.10a
Để có hình ảnh trực quan hơn ta có thể dựng mp(ABCD) bằng cách tạo thêm
các tham số d, r, q, sau đó vào Custom Tool | Dung | Mphang(ABCD), nháy
chuột lần lợt vào các số A, B, C, D, d, r, q (đơn vị là Radian).
2.11 Doanvgochung2Dt(Diem-VTCP)
Công cụ này dùng để
dựng đoạn vuông góc
chung của hai đờng
thẳng chéo nhau đợc
xác định qua các tọa độ
của điểm và VTCP của
các đờng thẳng trên.
Hình 2.11
13
Giả sử muốn dựng đoạn vuông góc chung của 2 đờng thẳng chéo nhau
d
1
(x1y1z1,a1b1c1) và d
2
(x2y2z2,a2b2c2) trong hệ trục Oxyz , với các số x1, y1,
z1, a1, b1, c1, x2, y2, z2, a2, b2, c2 có sẵn, ta làm nh sau
- Vào Custom Tool | Dung | Doanvgochung2Dt (Diem+VTCP).
- Nháy lần lợt vào các số x1,
y1, z1, a1, b1, c1, x2, y2, z2,
a2, b2, c2.
Khi đó xuất hiện đoạn vuông
góc chung HL của hai đờng
thẳng, độ dài của HL, và tọa độ

các chân H, L của đoạn vuông
góc chung.
Hình 2.11a
Muốn có hai đờng thẳng d
1
, d
2
ta dùng công cụ dựng đờng thẳng.
Vào CustomTool | Dung | Dthang(xyz,abc), nháy chuột lần lợt vào các số: x1,
y1, z1, a1, b1, c1, và x2, y2, z2, a2, b2, c2.
3. HesocuaMatphang
Công cụ này dùng để xác định các hệ số: A, B, C, D của mặt phẳng có phơng
trình: Ax+By+Cz+D=0 khi biết các yếu tố xác định mặt phẳng.
Hình 3.1
14
3.1 HesoMp3Diem
Công cụ này cho ta xác định các hệ số (ABCD) của mặt phẳng qua ba điểm có
toạ độ
(x1, y1,z1)
,
(x2, y2,z2)
,
(x3, y3,z3).
Hình 3.1a
Giả sử ta cần xác định các hệ số (ABCD) của mặt phẳng qua ba điểm có tọa độ
A(x
A
; y
A
; z

A
), B(x
B
; y
B
; z
B
), C(x
C
; y
C
; z
C
) trong hệ trục cho trớc.
- Vào Custom Tool |
HesocuaMatphang | HesoMp-
3Diem, nháy chuột lần lợt vào các
số: x
A
, y
A
, z
A
, x
B
, y
B
, z
B
, x

C
, y
C
, z
C
. Ta
sẽ có các hệ số A, B, C, D của mặt
phẳng qua ba điểm A, B, C.
Lúc này các điểm A, B, C là các điểm
có hai điểm chồng nhau, để tiện chúng
ta giấu điểm thứ hai bằng cách nháy hai
lần vào điểm A, nhấn Ctrl + H, tơng tự
cho B và C.
Hình 3.1b
3.2 HesoMp:Diem+VTPT
Công cụ này cho ta xác định các hệ số của mặt phẳng qua điểm (
x0; y0; z0
) có
toạ độ vectơ pháp tuyến là (
A; B;C
).
Hình 3.2
15
3.3 HesoMp:Diem+Dt(Diem+VTCP)
Công cụ này cho ta xác định các hệ số (ABCD) của mặt phẳng qua điểm
(x0,y0,z0) và đờng thẳng (x1y1z1,abc) (đờng thẳng qua điểm(x1,y1,z1) có
VTCP(a,b,c)).
Hình 3.3
Giả sử muốn xác định các hệ số (ABCD) của mặt phẳng qua điểm A(x
A

,y
A
,z
A
)
và đờng thẳng (x
B
y
B
z
B
,abc) trong hệ trục xác định, với các số x
A
, y
A
, z
A
, x
B
, y
B
,
z
B
, a, b, c có sẵn.
- Vào Custom Tool | HesocuaMatphang | HesoMp:Diem+Dt(Diem+VTCP).
Sau đó dùng chuột nháy
lần lợt vào các số : x
A
, y

A
,
z
A
, x
B
, y
B
, z
B
, a, b, c.
Trên trang hình xuất hiện
các hệ số A, B, C, D của
mặt phẳng chứa điểm A và
đờng thẳng qua B có
VTCP(a,b,c).
Có thể dựng đờng thẳng có
VTPT(a,b,c) qua điểm B để
có hình ảnh trực quan hơn.
Hình 3.3a
4. Khoangcach
Công cụ này cho ta biết đợc khoảng cách giữa hai điểm; khoảng cách từ một
điểm đến một đờng thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,
khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau.
16