Phonon âm trong hình thức luận dao động biến dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN MINH HÙNG

PHONON ÂM TRONG HÌNH THỨC LUẬN
DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN MINH HÙNG

PHONON ÂM TRONG HÌNH THỨC LUẬN
DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan,
người đã hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này. Cô đã cung cấp những
tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức mang tính khoa học và hơn
nữa là phương pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm, bồi dưỡng của
cô đã giúp tôi vượt qua những khó khăn trong qua trình hoàn thành luận
văn cũng như trong quá trình học tập và nghiên cứu. Đối với tôi, cô luôn
là tấm gương sáng về tinh thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say
với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng thế hệ trẻ.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Vật Lý
trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô trong phòng sau đại
học, tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa học.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Học viên thực hiện

Nguyễn Minh Hùng


LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình nghiên cứu luận văn về đề tài: “Phonon âm trong
hình thức luận dao động biến dạng”, tôi đã thực sự cố gắng tìm hiểu,
nghiên cứu đề tài để hoàn thành khóa luận. Tôi xin cam đoan luận văn
này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn
chỉ bảo tận tình hiệu quả của PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan. Đây là đề tài
không trùng với các đề tài khác và kết quả đạt được không trùng với kết
quả của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Học viên thực hiện

Nguyễn Minh Hùng

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 1
5. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 2
6. Những đóng góp mới của đề tài ................................................................ 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
Chương 1. DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ ................................................... 3
1.1. Dao động mạng tinh thể ......................................................................... 3
1.1.1 Dao động tử điều hòa ....................................................................... 3
1.1.2 Dao động mạng tinh thể ................................................................... 5
1.2. Phonon âm .............................................................................................. 8
1.2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa ....................................... 8
1.2.2 Phonon âm ........................................................................................ 9
Chương 2. DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA MẠNG TINH THỂ ................ 15
2.1 Dao động biến dạng của mạng tinh thể: ................................................ 15
2.1.1 Dao động biến dạng –q ................................................................. 15
2.1.2 Dao động biến dạng –q của mạng tinh thể .................................... 16
2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng: .. 18
2.2.1 Phổ năng lượng của dao động biến dạng –q: ................................. 18
2.2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng 19
Chương 3. DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG –(q, R) CỦA MẠNG TINH THỂ .... 22
3.1 Dao động biến dạng –(q, R) của mạng tinh thể: ................................... 22
3.1.1 Dao động biến dạng –(q, R) .......................................................... 22


3.1.2 Dao động biến dạng –(q, R) của mạng tinh thể ............................ 23

3.2. Phonon âm trong hình thức luận biến dạng –(q, R) ............................. 25
3.2.1 Phổ năng lượng của dao động biến dạng –(q, R) .......................... 25
3.2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động biến dạng –(q, R) của
mạng tinh thể ........................................................................................... 27
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 31


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Biến dạng lượng tử có nhiều dạng khác nhau và chỉ trong thời gian gần
đây việc thống nhất các dạng mới được nghiên cứu đầy đủ. Dao động biến
dạng lượng tử đang được nhiều nhà Vật lý trong và ngoài nước nghiên cứu
bởi chúng có nhiều ứng dụng trong các mô hình Vật lý. Ví dụ chúng liên quan
đến những vấn đề đa dạng trong Vật lý lí thuyết như nghiên cứu nghiệm của
phương trình Yâng – Blaster lượng tử, vấn đề tán xạ ngược lượng tử, mẫu hoà
tan chính xác trong Cơ học thống kê, trong quang lượng tử, sự quay và sự
rung động của hạt nhân và đặc biệt là trong môi trường đậm đặc, dao động
mạng tinh thể...
Theo xu hướng trong và ngoài nước, tôi áp dụng hình thức luận dao
động biến dạng để nghiên cứu về tính chất vật lý của môi trường đậm đặc.
Một trong những ứng dụng đó là nghiên cứu phonon âm.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu phonon âm bằng hình thức luận dao động biến dạng của
mạng tinh thể.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm phonon âm bằng hình thức luận dao động biến dạng của mạng
tinh thể.

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu dao động mạng tinh thể biến dạng.
- Tìm toán tử năng lượng của dao động mạng tinh thể.
- Giải phương trình để tìm phonon âm trong hình thức luận dao động
mạng tinh thể biến dạng.


2

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng các kiến thức trong Vật lý thống kê, cơ học lượng tử và các
phương pháp giải tích toán học.
- Các phương pháp nghiên cứu của Vật lý lí thuyết và Vật lý toán.
- Các phương pháp nghiên cứu của Vật lý chất rắn.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Viết tổng quan vể dao động mạng tinh thể biến dạng, áp dụng giải
phương trình để tìm phonon âm của dao động mạng tinh thể và có thể tìm
hiểu các cơ sở cho các quá trình lượng tử hóa mới.


3

NỘI DUNG
Chƣơng 1. DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ
1.1. Dao động mạng tinh thể
1.1.1 Dao động tử điều hòa
Để nghiên cứu các hệ vật lý cụ thể khác nhau, người ta thường sử dụng
một số mô hình lượng tử trong vật lý hiện đại. Một trong số các mô hình đó là
dao động tử lượng tử.
Các toán tử sinh a  , toán tử hủy a của dao động tử lượng tử thỏa mãn

các hệ thức giao hoán

 a, a    1

(1)

Toán tử số dao động N được biểu diễn qua các toán tử sinh a  , toán tử
hủy a theo hệ thức:
N  aa

(2)

Toán tử số dao động N , toán tử sinh a  , toán tử hủy a thỏa mãn các hệ
thức giao hoán

 N , a   a

(3)

 N , a    a 

Thật vậy:
[N,a] = Na – aN
=

aa

a

a

=

aa

(

a + 1)a

=

aa

aa – a

= a
[N,

]=N
=

N
a

a


4

=

=

(

a + 1)

a

a+

=
Toán tử số dao động N xác định dương và N  N  .
Gọi n là vecto riêng của toán tử N ứng với trị riêng n trong không
gian Hilbert. Ta có

N n n n

(4)

Từ hệ thức (3) và (4) ta có thể chứng minh được:
Na n  (aN  a ) n
 a  N  1 n
 a  n  1 n
  n  1 a n
Na  n  (a  N  a  ) n
 a   N  1 n

(5)

 a   n  1 n

  n  1 a  n

Có nghĩa là nếu n là một vecto riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì

a n và a  n là vecto riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n – 1) và (n +1).
Chứng minh tương tự ta sẽ có … a 2 n , a n , n , a  n ,  a   n , …. là dãy các
2

vecto riêng của N ứng với các trị riêng … n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2, …
Vì N là toán tử xác định dương (các trị riêng của nó phải không âm) nên
dãy sẽ có kết thúc nào đó ở cận dưới. Giá trị riêng của cận dưới này là n = 0.
Vì vậy ta định nghĩa một vecto đặc biệt 0 trong không gian Hilbert có tính
chất sau:


5

a 0 0
0 0 1

Ở đây 0 là trạng thái chân không.
Ta có N 0  0 nên 0 là vecto riêng của N ứng với trị riêng bằng không.
Dãy

các

toán

tử

a

tác

dụng

lên

chân

không

0 , a  0 ,  a   0 , ...,  a   0 ... là dãy các vecto riêng của N ứng với các trị
2

n

riêng 0, 1, 2, …, n, …
Vậy trong không gian Hilbert thì dãy các vecto riêng đã chuẩn hóa của
toán tử N có thể viết như sau:
n 

n
1
a  0

n!

n n '   nn '
Trong đó: n! = n(n

1)(n

(6)
(7)

2)....1

1.1.2 Dao động mạng tinh thể[6]
Việc nghiên cứu các tính chất của tinh thể gặp khó khăn vì phải xác
định chuyển động của rất nhiều hạt (nguyên tử, phân tử) tương tác với
nhau. Vì vậy chúng ta áp dụng các phương pháp gần đúng và một trong các
phương pháp đó là phương pháp chuẩn hạt. Trong phương pháp này ta coi
trạng thái kích thích của tinh thể như trạng thái của một khối khí lí tưởng
gồm các kích thích sơ cấp không tương tác với nhau. Các kích thích đó mô
tả chuyển động của tập thể các nguyên tử chứ không phải chuyển động của
từng nguyên tử riêng lẻ. Các kích thích sơ cấp chuyển động trong thể tích
tinh thể như là các chuẩn hạt (phonon) có năng lượng và xung lượng xác
định. Chúng ta đi xem xét với từng trường hợp của mạng tinh thể.Chuỗi
các nguyên tử cùng loại xếp đặt cách đều nhau một khoảng bằng a (hằng số


6

mạng tinh thể) trên trục Ox, mỗi nguyên tử có khối lượng M và dao động
xung quanh vị trí cân bằng của nó.
Tọa độ của nguyên tử thứ n ở vị trí cân bằng:
Độ dịch chuyển của nguyên tử thứ n:
(t) u(

,t)

Giả thiết thế năng giữa 2 nguyên tử kề nhau , ở các nút thứ n và n+1 tỉ lệ
với độ dời bình phương tương đối

(t)] và bỏ qua tương tác giữa

(t)

các nút không kề nhau. Khi đó thế năng toàn phần của hệ là:
∑

U
Trong đó:

( )

( )

là hệ số tỉ lệ.

Động năng toàn phần của hệ:

( )

∑

T

Xung lượng của nguyên tử thứ n ứng với tọa độ

(t) M

( ) là:

( )

Động năng toàn phần:
T

∑

(t)

Năng lượng toàn phần của hệ:
E

∑

(t) + ∑

Khi lượng tử hóa ta thay hàm

( )

( )

(t) bằng toán tử xung lượng ̂ và hàm

( ) bằng toán tử tọa độ suy rộng ̂. Hamiltonian của hệ trở thành:
H

∑

(t) + ∑

( )

( )

Giữa các toán tử ̂ và ̂ có các hệ thức giao hoán:
[ ̂ ̂] = iћ

(8)


7

[̂ ̂ ] = 0
[̂ ̂ ] = 0
Các toán tử ̂ và ̂ tương ứng với nút thứ n và phụ thuộc vào tọa độ
của nút này. Ta khai triển các toán tử này theo các sóng phẳng với vectơ sóng
nằm trong vùng Brillouin thứ nhất:
̂

√

̂

√

̂

(9)

∑

̂

(10)

rồi lấy tổng ∑

Nhân hai vế của (9) với
∑

∑

̂

=

(

∑

√

:
)

̂

Theo khai triển Fourier ta có:
√

Nên:

∑

∑

(

)

=√ ∑

̂

̂

√ ̂

Hay

̂

√

∑

̂

Tương tự nhân 2 vế của (10) với
̂

√

(11)

rồi lấy tổng ∑

∑

Ta có các hệ thức giao hoán sau:
[ ̂ ̂] = iћ
[̂ ̂ ] = 0
[̂ ̂ ] = 0
Mặt khác thay (9) và (10) vào (8) ta được:

̂

(12)


8

̂=∑ (

̂̂

( ) ̂ ̂)

Thay:
(

)

( )

Cuối cùng ta được:
̂

∑ (

̂̂

( ) ̂ ̂)

(13)

1.2. Phonon âm
1.2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa
Toán tử năng lượng của dao động tử điều hòa có dạng
p2 1
H
 m 2 x 2
2m 2

(14)

Toán tử xung lượng p và toán tử tọa độ x có thể biểu diễn qua các toán
tử sinh  a   , toán tử hủy  a  dao động theo hệ thức sau:
p
xi

m
a  a 

2

a  a 
2m

(15)



Các toán tử sinh  a   , toán tử hủy  a  có thể biểu diễn ngược lại qua
các toán tử xung lượng p và toán tử tọa độ x như sau:
1
 p  im x 
2m 
1
a 
 p  im x 
2m 
a

(16)

Từ hệ thức (14) và (15) ta có thể biểu diễn toán tử năng lượng của
dao động tử điều hòa qua các toán tử sinh  a   , toán tử hủy  a  dao động
như sau:


9



H

2

 aa



 aa 

(17)

Để tìm phổ năng lượng của dao động tử điều hòa ta phải đi giải phương
trình sau:
H n  En n


2

(aa   a  a ) n  En n



aa
2


2



2



2



2



n  a  a n   En n

 N  1 n
 n  1 n

 N n   En n
 n n   En n

 n  1  n n
 2n  1 n

 En n

 En n

Vậy phổ năng lượng của dao động tử điều hòa En 


2

 2n  1 .

1.2.2 Phonon âm
Để tìm phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể ta hãy đưa toán tử
năng lượng của dao động mạng tinh thể ở công thức (13) về dạng viết trong
biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai bằng cách đặt như sau:
√

√

( )̂
̂ = -i√

√
( )

( )

(̂

(̂
̂)

̂)

(18)
(19)

Trong các biểu thức trên ̂ và ̂ là các toán tử mới được biểu diễn
ngược lại qua ̂ và ̂ như sau:


10

̂
̂=

( )

√

( )

√

(

( )̂
( )̂

(

̂)

√

̂)

√

[̂ ̂ ] =

Và

(20)

[̂ ̂ ] = 0
[̂ ̂ ] = 0
Từ (18) và (19) ta suy ra:
√

̂

( )

√

̂

̂)

(̂

( )

(̂

̂)

(̂

̂)

Hay ta có:
√

̂

( )

√

̂

( )

̂)

(̂

Nên:
( )

̂̂

(̂

( )
̂̂

=
=

( )
( )

̂ )( ̂

(̂̂

(̂

(̂̂

̂ )( ̂
̂ ̂

̂)

̂ ̂

̂̂

̂ ̂)

̂)
̂̂

̂ ̂)


11

Suy ra (13) trở thành:
̂

( )

∑

(̂ ̂

̂̂ )

(21)

Theo hệ thức giao hoán (20) ta có:

̂̂
→ ̂̂

̂̂ = 1
̂̂ + 1

Do đó:
̂

( ) ̂̂

∑

(22)

Có thể chọn gốc tính năng lượng sao cho “const” ở công thức (22) trở
nên bằng 0 do đó:
̂

∑

( ) ̂̂

Như vậy có thể coi mạng tinh thể dao động như một hệ nhiều hạt mà
là các toán tử hủy và sinh hạt có vec tơ sóng k xung lượng k và
năng lượng

( ). Các hạt này là các lượng tử trong dao động của mạng tinh

thể gọi là các phonon.

Trong thực tế ta không có các hạt thật mà chỉ có các trạng thái dao động
khác nhau của mạng tinh thể được mô tả giống như một hệ hạt có nghĩa là các
phonon không phải là các hạt thật mà chỉ là các giả hạt hay còn gọi là các
chuẩn hạt. Dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là các sóng âm và các
phonon trong trường hợp này gọi là các phonon âm. Việc nghiên cứu phổ
năng lượng của dao động mạng tinh thể quy về bài toán tìm các véc tơ riêng
và trị riêng của Hamiltonian (21) trong đó các toán tử ̂ và ̂ thỏa mãn các
hệ thức giao hoán (20). Để làm điều này ta đưa vào toán tử số dao động
=

(23)

Hệ thức giao hoán giữa toán tử
[

:

]=

với các toán tử

có dạng:
(24)


12

[

]=

Từ hệ thức giao hoán (20) ta có thể chứng minh hệ thức (24) như sau:
[

,

]=
=

=

(

+ 1)

=
=
[

,

]=

=
=

(

)

=

+
=

Gọi |

⟩ là véc tơ riêng của toán tử

ứng với trị riêng

trong không

gian Fock đã trực chuẩn thì:

|

|

⟩=

⟩=

(

|
)

√

⟩

(25)

| ⟩

(26)

Ở đây | ⟩ là trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện:
⟨ | ⟩=1

(27)

| ⟩=0
Từ hệ thức (20) và (26) có thể chứng minh được rằng:

Thật vây:
|

⟩=

(

)
√

| ⟩

|

⟩=√

|

⟩=√

|

⟩
|

(28)
⟩


13

(

=

)

| ⟩

√

=(

)

=(

)
(

=

√

)

| ⟩

)
)

√(

|

| ⟩

⟩

(

)

| ⟩

√
(

| ⟩

√

)(

⟩=
=

(

)

√

| ⟩

√

√(

= √
|

)

)

(

=

(

)

| ⟩

√

(

= √(

)

= √(

)|

)

| ⟩

)

√(

⟩

Để tìm phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử
cùng loại chúng ta giải phương trình:
|

⟩=

|

⟩

(29)

Hay thay H từ công thức (21) vào biểu thức (29) ta thu được:

∑
∑(

( )

)

∑(

|

{

( )

)

∑(

)

( )

⟩+
)|

{(
{(

( )

|
⟩+
)|

|
⟩} =
|
⟩+

|

⟩

⟩} =
|

⟩=

⟩} =

|

⟩
|

⟩

|

⟩

(30)


14

∑(
∑(

)
)

( )

{(

)

( )(

)|

⟩=

=∑

( )

⟩=

}|
|

|

⟩

⟩

Vậy:
( )(

)


15

Chƣơng 2. DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA MẠNG TINH THỂ
2.1 Dao động biến dạng của mạng tinh thể:
2.1.1 Dao động biến dạng –q [2]
Dao động biến dạng –q được mô tả bởi các toán tử sinh dao động a  ,
toán tử hủy dao động a , tuân theo các hệ thức giao hoán

aa  qa a  q N

(31)

Ở đây N là toán tử số dao động biến dạng:

 N q  a  a

(32)

Dùng kí hiệu

  q

q   q

q  q 1

(33)

Và toán tử N thỏa mãn hệ thức giao hoán

 N , a   a

(34)

 N , a    a 
Gọi n

q

là vecto riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì

N n q n n

(35)

q

Trong không gian Fock thì các vecto cơ sở là các vecto riêng đã chuẩn
hóa của toán tử số dao động N có dạng

nq

(a  )n

 nq !

0

(36)

Ở đây 0 là trạng thái chân không và ở trên ta dùng kí hiệu:

 nq !   nq .n  1q .n  2q ....1q

(37)


16

Từ hệ thức (31) và (36) ta có thể chứng minh được các hệ thức sau:
aa n
aa  n

q

  n q n

q

  n  1q n

q

(38)
q

Thật vậy từ công thức (32) ta có:
| ⟩ =

| ⟩
=

| ⟩

Từ công thức (31) ta có:
| ⟩ = (q
= (q

)| ⟩

+

)| ⟩

+

=q

| ⟩ +

| ⟩

=q

| ⟩ +

| ⟩

= (q

)| ⟩

+

)| ⟩

= (q

| ⟩

=
=
=

| ⟩
| ⟩

2.1.2 Dao động biến dạng –q của mạng tinh thể [2]
Ở phần này ta xây dựng dao động biến dạng –q của mạng tinh thể, nó là
cơ sở để nghiên cứu dao động mạng tinh thể theo những quá trình lượng tử
hóa mới.
Các toán tử sinh dao động  ak  , toán tử hủy dao động  ak  ứng với
vecto sóng k thỏa mãn các hệ thức giao hoán biến dạng –q như sau:


17

ak ak'  qak ak '  q  Nk  kk '

(39)

 ak , ak '   ak , ak'   0
Toán tử số dao động N k được định nghĩa:

 N k q  ak ak

(40)

Sử dụng các hệ thức (39) và (40) có thể chứng minh được:

 N k , ak '   ak kk '

(41)

 N k , ak'   ak kk '
Gọi nk

q

là vecto riêng của toán tử N k ứng với trị riêng nk thì

N k nk

q

 nk nk

Trong không gian Fock biến dạng –q thì nk
nk

Trong đó 0

q

q



a 

 nk
k

 nk q !

(42)

q

có dạng

q

0

(43)

q

là trạng thái chân không biến dạng –q và

nk q !  nk q .nk  1q .nk  2q ....1q

(44)

Từ các hệ thức (39), (40) và (42) có thể chứng minh được rằng
ak nk
ak nk

q

q




 nk  1q
 nk q

nk  1 q

(45)

nk  1 q

Thật vậy:

|

⟩ =
=
=

(

)

| ⟩

√
(
√

)

| ⟩
(
√

)

| ⟩


18

|

=
|

=√
|

(

⟩ =

⟩

⟩
)

| ⟩

√

(

=√

)

| ⟩

√

|

=√

⟩

2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng:
2.2.1 Phổ năng lượng của dao động biến dạng –q:
Toán tử năng lượng H của dao động biến dạng –q được biểu diễn qua
các toán tử sinh dao động a  , toán tử hủy dao động a theo hệ thức
H


2

 aa



 aa 

(46)

Để tìm phổ năng lượng của dao động biến dạng –q chúng ta đi giải
phương trình sau

H n q  En n

(47)

q

Thay (36) và (46) vào phương trình (47) và giải


2



(a  ) n



(aa  a a)

 nq !

0  En n

(48)

q

Từ (32) và (48) ta có:



 N  1   N   n  E n

 N  1 n   N  n   E

2

n  1  n  n  E n
2
q

2

q

q

q

q

q

n

q

q

q

q

n

q

n

q

n

q


19

Từ đó suy ra phổ năng lượng En có dạng



En 

n  1

q

2

  n q



(49)

Như vậy phổ năng lượng của dao động biến dạng –q bị gián đoạn và các
vạch quang phổ không cách đều nhau.
2.2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng:
Toán tử năng lượng của dao động biến dạng –q của mạng tinh thể có
thể biểu diễn qua các toán tử sinh dao động ak , toán tử hủy dao động ak
theo hệ thức

H   (1)

 k 

Ở đây



(1)

k

2

k

a a


k

 ak ak 

(50)

là lấy tổng theo vecto sóng k trong vùng Brillouin thứ nhất.

k

Để tìm phổ năng lượng của dao động biến dạng –q của mạng tinh thể ta
cần giải phương trình

H nk

q

 Enk nk

(51)

q

Thay (47) và (50) vào phương trình (51) ta có



(1)

 k 
2

k

 ak ak  ak ak  nk

q

 Enk nk

q

(52)

Từ hệ thức (40) và phương trình (52) ta có thể viết



(1)

 k 
2

k

 N

k



 1q   N k q nk

q

 Enk nk

q

(53)

Dùng hệ thức (42) thì phương trình (53) có dạng


k

(1)

 k 
2

n  1
k

q



  nk q nk

q

 Enk nk

q

(54)

Suy ra phổ năng lượng có dạng:
Enk 

 k 
2

n

k

 1q   nk q



(55)