Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ngược với hàm trọng

2

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS.Trịnh Tuân,
người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình
thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các
thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn
thành luận văn này.
Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban giám hiệu
trường THPT Tân Yên 2 - Bắc Gang cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều
kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên
cứu.
Hà Nội, ngày 27 tháng 5 năm 2011.
Học viên

Nguyễn Thị Viển.


3

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ
cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả

Nguyễn Thị Viển


4

MỤC LỤC
trang
Lời cảm ơn..............................................................................................

2

Lời cam đoan..........................................................................................

3

Các ký hiệu dùng trong luận văn ........................................................

5

Mở đầu ...................................................................................................

7

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

11

1.1. Một số phép biến đổi tích phân ............................................. 11
1.1.1 Phép biến đổi Fourier ............................................... 11
1.1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine .......... 14

1.1.3 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ....................... 17
1.2. Tích chập và tích chập suy rộng ............................................ 18
1.2.1 Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân ......... 18
1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép
biến đổi tích phân ................................................... 21
1.2.3 Một số ví dụ về tích chập suy rộng với hàm trọng... 24
1.3. Kết luận.................................................................................. 32
Chương 2. Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân
Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev với hàm trọng

33

2.1. Định nghĩa ............................................................................. 34
2.2. Đẳng thức nhân tử hóa và các tính chất ................................ 34
2.1.1 Đẳng thức nhân tử hóa ............................................. 34
2.1.2 Các tính chất ............................................................

40

2.3. Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân .............................

45

2.4. Kết luận.................................................................................. 56
Kết luận .................................................................................................

57

Tài liệu tham khảo ................................................................................ 58

5

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

· F

: phép biến đổi Fourier.

· F -1

: phép biến đổi Fourier ngược.

· Fs

: phép biến đổi Fourier sine.

· Fs-1

: phép biến đổi Fourier sine ngược.

· Fc

: phép biến đổi Fourier cosine.

· Fc-1

: phép biến đổi Fourier cosine ngược.

· K

: phép biến đổi Kontorovich-Lebedev.

· K -1 : phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược.
· L

: phép biến đổi Laplace.

· L-1

: phép biến đổi Laplace ngược.

· Jg

: phép biến đổi Hankel.

· J g-1

: phép biến đổi Hankel ngược.

· ( f * g)

: Tích chập của hai hàm f , g .

·

æ g ö
ç f * g ÷ : Tích chập của hai hàm f , g với hàm trọng g .
è
ø

·

( f * g ) : Tích chập của hai hàm f , g đối với phép biến đổi T .

·

æ g ö
ç f *T g ÷ :Tích chập của hai hàm f , g đối với phép biến đổi T với
è
ø

T

hàm trọng g .

·

¡ + = { x Î ¡ : x ³ 0} .


6

·

L1 ( ¡ ) là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên ( -¥; +¥ ) sao cho:
+¥

ò f ( x) dx < +¥ .

-¥

·

L1 ( ¡ + ) là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên ( 0; + ¥ ) sao cho:
+¥

ò f ( x ) dx < +¥ .
0

·

1ö
æ
L1 ç ¡ + , ÷
xø
è
+¥

ò
0

là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên ( 0; + ¥ ) sao cho:

1
f ( x ) dx < +¥ .
x


7

M U
1. Lý do chn ti
Phộp bin i tớch phõn l mt trong nhng vn quan trng ca gii
tớch Toỏn hc v c phỏt trin liờn tc trong sut gn 200 trm nm qua.
Phộp bin i tớch phõn úng mt vai trũ quan trng trong Toỏn hc cng nh
trong nhiu lnh vc khoa hc t nhiờn khỏc, c bit l trong vic gii cỏc bi
toỏn iu kin ban u, iu kin biờn ca phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh
o hm riờng, phng trỡnh tớch phõn, phng trỡnh vi tớch phõn v cỏc bi
toỏn ca Vt lý - toỏn. Cỏc phộp bin i tớch phõn cũn l cụng c cú hiu lc
chuyn cỏc toỏn t vi phõn, toỏn t o hm riờng, toỏn t tớch phõn v cỏc
bi toỏn n gin hn. Mt s phộp bin i tớch phõn u tiờn cú nhiu ng
dng l cỏc phộp bin i Fourier, Fourier cosine, Fourier sine (xem [12]).
Cỏc phộp bin i ny c ra i rt sm, t u th k XIX. Tip n l cỏc
phộp bin i Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel, Stieltjes v KontorovichLebedev.... Cựng vi s phỏt trin ca lý thuyt cỏc phộp bin i tớch phõn,
mt hng nghiờn cu mi ca lý thuyt cỏc phộp bin i tớch phõn l xõy
dng tớch chp ca cỏc phộp bin i tớch phõn c xut hin vo khong
u th k XX.
Cỏc tớch chp c xõy dng u tiờn l cỏc tớch chp ca cỏc phộp
bin i tớch phõn Fourier (xem [12]), Laplace(xem [20]), Mellin, Hilbert,
Hankel,.... Tớch chp ca phộp bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev c
V.A.Kakichev xõy dng u tiờn vo nm 1967 (xem [7]) v sau ú c
S.B.Yakubovich hon thin li vo nm 1987 (xem[18])

(

)

1
f * g ( x) =

K
2x

+Ơ +Ơ

ộ 1 ổ xu xv uv ử ự
+
+ ữ ỳ f ( u ) g ( v ) dudv ,vi x > 0 . (01)
v
u
x ứỷ

ũ ũ exp ờở - 2 ỗố
0

0


8

Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

(

K f *g
K

) ( y ) = ( Kf )( y )( Kg )( y ) ,

với "y > 0 .

(02)

Tích chập của các phép biến đổi tích phân ra đời cho ta nhiều ứng dụng
phong phú và thú vị chẳng hạn dùng tích chập để tính tích phân, tính tổng của
một chuỗi, giải phương trình tích phân, phương trình vi phân, phương trình
đạo hàm riêng và có nhiều ứng dụng trong xác suất cũng như các bài toán Vật
lý - toán.
Tuy nhiên, trước những năm 50 của thế kỷ trước các tích chập đã được
biết đến đều có cùng một đặc điểm là trong đẳng thức nhân tử hóa của chúng
chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân tham gia. Điều này ít nhiều làm
hạn chế ứng dụng của chúng vào giải các bài toán thực tế.
Năm 1951, lần đầu tiên nhà toán học người Mỹ I.N.Sneddon đã xây
dựng được tích chập suy rộng đầu tiên đối với hai phép biến đổi tích phân
Fourier sine, Fourier cosine cho hai hàm f , g Î L1 ( ¡ + ) (xem [12]):

( f * g )( x ) =

1
2p

+¥

ò f ( y ) éë g ( x - y ) - g ( x + y )ùû dy.

(03)

0

Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

Fs ( f * g )( y ) = ( Fs f )( y )( Fc g )( y ) , "y > 0.

(04)

Sau đó, vào năm 1967, trong một công trình công bố trên tạp chí DAN,
V.A.Kakichev đã xây dựng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng
g ( y ) đối với phép biến đổi tích phân K bất kì, thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

K ( f * g )( y ) = g ( y ) ( Kf )( y )( Kg )( y ) .

(05)

Nhờ phương pháp này, một số tích chập với hàm trọng đã được xây
dựng và nghiên cứu (xem [7], [19]).


9

Đến đầu những năm 1990 của thế kỉ trước, S.B.Yakubovich đã đưa ra
một số tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân với chỉ số,
chẳng hạn tích chập đối với phép biến đổi Mellin, biến đổi KontorovichLebedev, biến đổi G, biến đổi H.
Vào năm 1998, V.A.Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra phương
pháp mới kiến thiết tích chập suy rộng đối với ba phép biến đổi tích phân bất
kì K1 , K 2 , K 3 với hàm trọng g ( y ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (xem [8]):

æ g ö
K1 ç f * g ÷ ( y ) = g ( y )( K 2 f )( y )( K3 g )( y ) .
è
ø

(06)

Nhờ đó mà trong thời gian gần đây đã có một số công trình xây dựng
tích chập suy rộng với hàm trọng được công bố, đó là các công trình [9], [10],
[13], [14], [15], [16], [17]...
Tiếp tục hướng nghiên cứu này, dưới sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân
tôi đã chọn đề tài: ‘‘Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích
phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược với hàm trọng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng g ( y ) =

1
đối
y.sinh ( p y )

với các biến đổi tích phân Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ngược,
các tính chất và ứng dụng của chúng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các tính chất của tích chập suy rộng với hàm trọng đối với
hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ngược.
- Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân dạng chập.


10

4. Đối tượng nghiên cứu
Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine
và Kontorovich-Lebedev ngược với hàm trọng g ( y ) =

1
.
y.sinh ( p y )

5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng một số kỹ thuật của Giải tích hàm.
- Lý thuyết các phép biến đổi tích phân.
- Phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng với hàm trọng của
V.A.Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo năm 1998.
6. Dự kiến những đóng góp mới
Làm phong phú thêm về phép biến đổi tích phân với quan điểm xem
tích chập là một phép biến đổi tích phân. Nhờ việc làm phong phú đó đã cho
ta ứng dụng thú vị là giải đóng được một lớp hệ phương trình tích phân dạng
chập mà những hệ phương trình tích phân dạng chập ở đây khó có thể giải
được bằng công cụ khác.


11

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một cách tóm tắt lại một số
kiến thức về các phép biến đổi tích phân, tích chập và tích chập suy rộng, đặc
biệt là hai sơ đồ kiến thiết tích chập và tích chập suy rộng với hàm trọng
(1.14), (1.29). Sau mỗi sơ đồ đó chúng tôi đều trích dẫn một số tích chập và
tích chập suy rộng làm ví dụ minh họa. Một trong số các tích chập này sẽ
được dùng ở chương sau.

1.1.

Một số phép biến đổi tích phân

1.1.1. Phép biến đổi Fourier
Cho hàm f ( x ) Î L1 ( ¡ ) .
Định nghĩa 1.1.1. Phép biến đổi Fourier của hàm f ( x ) là một hàm kí hiệu
F f và được xác định bởi công thức (xem [12]):

°f ( x ) = ( Ff )( x ) = 1
2p

+¥

òe

-iyx

f ( y ) dy

-¥

với x Î ¡ .

(1.1)

Ở đó F đươc gọi là toán tử Fourier hoặc phép biến đổi Fourier.
Định nghĩa 1.1.2. Phép biến đổi Fourier ngược của một hàm được xác định
bởi công thức (xem [12]):

(
Ở đó F

ngược.

-1

F °f
-1

)( x) =

1
2p

+¥

òe

-¥

iyx

°f ( y ) dy
với x Î ¡ .

(1.2)

đươc gọi là toán tử Fourier ngược hoặc phép biến đổi Fourier


12

Nhận xét 1.1.1.
- Vì e

± iyx

= 1 và f ( x) Î L1 ( ¡) nên các tích phân (1.1), (1.2) hội tụ

với mỗi y Î ¡ .

F , F -1 là các toán tử tích phân tuyến tính.

-

Định lí 1.1.1. Cho hàm f ( x ) Î L1 ( ¡ ) . Khi đó:

Ff bị chặn trên ¡ ,

i)

ii) Ff liên tục trên ¡ .
iii) lim
( Ff )( x ) = 0 .
x ®¥
Chứng minh
i)

Từ định nghĩa ta có:

Ff ( x ) =

1
£
2p

=
=
+¥

ở đó

c =

ò

f

( x )d x

+¥

1
2p

òe

- iyx

f ( y ) dy

-¥

+¥

òe

-iyx

f ( y ) dy

-¥

+¥

1
2p

ò f ( x ) dx

-¥

c
2p

= constant.

-¥

Vậy Ff bị chặn trên ¡ .
ii)

Ta có:

1
( Ff )( x + h ) - ( Ff )( x ) =
2p

+¥

òe

-¥

- iy ( x + h )

1
f ( y ) dy 2p

+¥

òe

-¥

- iyx

f ( y ) dy


13

1

=
2p

+Ơ

ũe

- iyx

-Ơ

ộởe -iyh - 1ựỷ f ( y ) dy

nờn:

( Ff )( x + h ) - ( Ff )( x )

1
2p

Ê

+Ơ

-Ơ

1
=
2p

+Ơ

ũ

e - ihy - 1 f ( y ) dy

-Ơ

2
p

Ê

e - iyx e - ihy - 1 f ( y ) dy

ũ

+Ơ

ũ

f

( y )d y

.

-Ơ

e - ihx - 1 = 0 vi "x ẻ Ă , nờn ta cú:

Vỡ lim
hđ 0
lim ( Ff
hđ 0

)( x + h ) - ( Ff )( x )

1
2p

Ê lim

hđ 0

+Ơ

ũ

e - ihx - 1 f ( y ) dy = 0

-Ơ

Vy F liờn tc trờn Ă .
iii)

Vỡ

e - iyx = - e - iyx - ip = - e
1
2p

( F f )( x ) = -

1
2p

=-

+Ơ

ũe

p ử
ổ
- ix ỗ y + ữ
xứ
ố

p ử
ổ
- ix ỗ y + ữ
xứ
ố

f

, nờn

( y ) dy

-Ơ

+Ơ

p ử
ổ
- iyx
e
f
y
ỗ
ữ dy .
ũ-Ơ
x
ố
ứ

Suy ra
+Ơ
+Ơ
1 ỡù 1 ộ - iyx
- iyx
( Ff )( x ) = ớ
ờ ũ e f ( y ) dy - ũ e f
2 ùợ 2p ở -Ơ
-Ơ

1 1
=
2 2p

Do ú

+Ơ

ũe

-Ơ

-iyx

ộ
ờ f ( y) ở

p ử ự ỹù
ổ
y
ỗ
ữ dy ỳ ý
x ứ ỷ ùỵ
ố

p ửự
ổ
f ỗ y - ữỳ dy.
x ứỷ
ố


14

1
( Ff )( x ) £
2 2p

+¥

æ pö
ò f ( y ) - f çè y - x ÷ø dy.

-¥

Vậy
+¥

1
p
æ
lim ( Ff )( x ) £
lim ò f ( y ) - f ç y x ®¥
x
2 2p x ®¥ -¥
è

lim ( Ff

Hay

x ®¥

)( x )

ö
÷ dy = 0 .
ø

= 0.

Định lí được chứng minh.
Định lí 1.1.2. Cho f ( x ) , g ( x ) Î L1 ( ¡ ) . Khi đó:
+¥

+¥

-¥

-¥

ò ( Ff )( x ) g ( x ) dx = ò f ( x )( Fg )( x ) dx .

Chứng minh
Theo định lí (1.1.1), biến đổi Fourier của một hàm thuộc L1 ( ¡ + ) là
một hàm bị chặn trong ¡ . Do đó tích phân trên luôn tồn tại. Hơn nữa,
+¥

ò ( Ff )( x ) g ( x ) dx =

1
2p

=

1
2p

-¥

æ +¥ - iyx
ö
e
f
y
dy
(
)
ç
÷g ( x ) dx
ò ò
-¥ è -¥
ø
+¥

+¥

ò

-¥

æ +¥
ö
f ( y ) ç ò e - iyx g ( x )dx ÷ dy

è -¥
ø

+¥

=

ò f ( y )( Fg )( y ) dy

-¥
+¥

=

ò f ( x )( Fg )( x ) dx.

-¥

Định lí được chứng minh.
1.1.2. Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine
Cho hàm f ( x ) Î L1 ( ¡ + ) .


15

Định nghĩa 1.1.3.
. Phép biến đổi Fourier cosine ( Fc ) của một hàm f là một hàm và
được xác định bởi công thức (xem [10], [12]):

°f ( x ) = ( F f

c

2
)( x ) =
p

+¥

ò cos xy. f ( y )dy ,

với x > 0 .

(1.3)

0

-1
. Phép biến đổi Fourier cosine ngược ( Fc ) của một hàm được xác

định bởi công thức (xem[10], [12]):

(F

-1

c

°f

)

+¥

ò cos xy.°f ( y )dy ,

2
( x) =
p

với x > 0 .

(1.4)

0

Định nghĩa 1.1.4.
. Phép biến đổi Fourier sine ( Fs ) của một hàm f là một hàm và được
xác định bởi công thức (xem[10], [12]):

°f ( x ) = ( F f
s

)( x ) =

2
p

+¥

ò sin xy. f ( y )dy ,

với x > 0 .

(1.5)

0

-1
. Phép biến đổi Fourier sine ngược ( Fs ) của một hàm được xác định

bởi công thức (xem[10], [12]):

(F

s

Nhận xét 1.1.2.

-1

°f

)( x) =

2
p

+¥

ò sin xy.°f ( y )dy ,

với x > 0 .

Vì cos ( xy ) £ 1, sin ( xy ) £ 1 và f ( x ) Î L1 ( ¡ + ) nên các

tích phân (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) đều hội tụ với mỗi y Î ¡ .
Định lí 1.1.3. Nếu f ( x) , g ( x) Î L1 ( ¡+ ) thì
1
Fc {( Fc f )( Fc g )} ( x ) =
2p
-1

Hay

(1.6)

0

+¥

ò f (x ) éë g ( x + x ) + g ( x - x )ùû dx
0


16
+¥

1
F
f

F
g
y
cos
xy
dy
=
(
)(
)
(
)
(
)
{
}
c
c
ò0
2

+¥

ò f (x ) éë g ( x + x ) + g ( x - x )ùû dx .
0

Chứng minh
Ta có:
2
F {( Fc f )( Fc g )} ( x ) =

p
-1
c

2
=
p

2
=
p

+¥

ò {( F f )( F g )} ( y ) cos ( xy ) dy
c

(1.7)

c

0

+¥

+¥

ò cos ( xy )( F g )( y ) dy ò f (x ) cos ( yx ) dx
c

0

0

+¥

+¥

0

0

ò f (x )dx ò cos ( xy ) cos ( yx )( F g )( y ) dy
c

12
=
2p

+¥

+¥

0

0

ò f (x )dx ò éëcos ( y ( x + x ) ) + cos ( y ( x - x ) )ùû ( F g )( y ) dy
c

1 2
=
2 p

+¥

ò
0

é 2
f (x )dx ê
ë p

+¥

ò cos y ( x + x )( F g )( y ) dy
c

0

2
+
p
1
=
2p

+¥

ò cos y ( x - x

ù

) ( F g )( y ) dy ú
c

0

û

+¥

ò f (x ) éë g ( x + x ) + g ( x - x )ùû dx
0

Vậy

1
Fc {( Fc f )( Fc g )} ( x ) =
2p
-1

+¥

ò f (x ) éë g ( x + x ) + g ( x - x )ùû dx
0

Từ (1.7),(1.8) ta có
+¥

1
F
f
F
g
y
cos
xy
dy
=
(
)(
)
(
)
(
)
{
}
c
c
ò0
2

Định lí được chứng minh.

+¥

ò f (x ) éë g ( x + x ) + g ( x - x )ùû dx
0

(1.8)


17

Định lí 1.1.4. Nếu f ( x) , g ( x) Î L1 ( ¡+ ) thì
+¥

1
Fc {( Fs f )( Fs g )} ( x ) =
2p

ò f (x ) éë g (x + x ) + g (x - x )ùû dx

-1

0

Hay
+¥

1
F
f
F
g
y
cos
xy

dy
=
(
)(
)
(
)
(
)
{
}
s
s
ò0
2

+¥

ò f (x ) éë g (x + x ) + g (x - x ) ùû dx .
0

Định lí 1.1.4 được chứng minh hoàn toàn tương tự như định lí 1.1.3.
1.1.3. Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev
Cho hàm f ( x ) Î L1 ( ¡ + )
Định nghĩa 1.1.5. Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ( K ) của một hàm
được xác định bởi (xem [6],[17]):
°f ( t ) = ( Kf )( t ) =

+¥

ò f ( x )K ( x ) dx,
it

t Î ¡+ ,

(1.9)

0

ở đó

Kit

là hàm Macdonald và được xác định bởi :

K it ( x ) =

+¥

òe

- x .cosh u

0

Nhận xét 1.1.3.

cos ( tu ) du , x Î ¡ + .

(1.10)

Từ (1.10) ta có K it ( x ) £ K 0 ( x ) do đó,

( Kf )( t )

+¥

£

ò f (x)

K it ( x ) dx

0
+¥

£

ò

f

(x )K 0 (x )dx

0

Từ công thức 1.8.52 [6] ta có
K 0 ( x ) : - log x / 2

Và từ công thức 1.8.53 [6] ta có

khi x ® 0 +

(1.11)


18

ổp ử
K0 ( x ) : ỗ ữ
ố 2x ứ

1/ 2

e- x

khi x đ +Ơ .

(1.12)

Mt khỏc f ( x ) ẻ L1 ( Ă + ) nờn tớch phõn (1.9) hi t.
nh ngha 1.1.6. Phộp bin i Kontorovich-Lebedev ngc ( K - 1 ) ca mt
hm c xỏc nh bi cụng thc sau (xem [6]):

(

K f
-1

)

2
( x) = f ( x) = 2
p

+Ơ

ũ x sinh (p x ) K ( t ) t

-1

ix

f ( t )dt , x > 0.

(1.13)

0

1.2. Tớch chp v tớch chp suy rng
1.2.1. Tớch chp i vi cỏc phộp bin i tớch phõn
nh ngha 1.2.1. Cho U1 ( X ) , U 2 ( X ) l cỏc khụng gian tuyn tớnh, V (Y ) l
i s. Khi ú

( *) : U1 ( X ) U 2 ( x ) đ V ( Y ) .
( f , g ) a ( f * g )( y ) .
c gi l phộp toỏn tớch chp. Kớ hiu: ( *) .
Gi s K l mt toỏn t tuyn tớnh t khụng gian tuyn tớnh U ( X ) vo
i s V (Y )
K : U ( X ) đ V (Y ) .

Tớch chp ca hai hm f ẻ U1 ( X ) , g ẻ U 2 ( X ) i vi phộp bin i K l
mt hm, kớ hiu

(f

* g ) , sao cho ng thc nhõn t húa sau õy c tha

món
K ( f * g )( y ) = ( Kf )( y )( Kg )( y )

(1.14)

Khi ú U ( X ) cựng phộp nhõn chp nh trờn xỏc nh mt i s.
Cho n nay hu ht cỏc phộp bin i tớch phõn ó c xõy dng tớch
chp chng hn nh phộp bin i Fourier, phộp bin i Fourier sine, phộp


19

biến đổi Fourier cosine, phép biến đổi Hilbert, phép biến đổi Stieltjes, phép
biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, phép biến đổi KontorovichLebedev,...
Ví dụ 1.1.
Cho f , g Î L1 ( ¡ ) . Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier
(1.1) của hai hàm f và g , kí hiệu:

( f * g ) ( x ) , được xác định bởi công thức
F

(xem [9], [10]):

(

)

1
f * g ( x) =
F
2p

+¥

ò f ( x - y ) g ( y ) dy

-¥

với x Î ¡

(1.15)

Tích chập (1.15) thuộc không gian L1 ( ¡ ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

(

)

F f * g ( y ) = ( Ff )( y )( Fg )( y )
F

với y Î ¡

(1.16)

Ví dụ 1.2.
Cho f , g Î L1 ( ¡ + ) . Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier

( ) ( x ) , được xác định bởi công

cosine (1.3) của hai hàm f và g , kí hiệu f F* g
c

thức (xem 10]):

( )

1
f * g ( x) =
Fc
2p

+¥

ò f ( y) éëg ( x + y) + g ( x - y )ùû dy , với

x>0

(1.17)

0

Tích chập (1.17) thuộc không gian L1 ( ¡ + ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

( ) ( y ) = ( F f )( y )( F g )( y ) , với

Fc f * g

c

Fc

c

y>0

(1.18)

Ví dụ 1.3.
Cho f , g Î L1 ( ¡ + ) . Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Laplace

( L ) của hai hàm

f và g được xác định bởi công thức (xem [20]):

( f * g ) ( x ) = ò f ( x - t ) g (t ) dt
x

L

0

với x > 0

(1.19)


20

Tích chập này thuộc không gian L1 ( ¡ + ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

(

)

L f * g ( y ) = ( Lf )( y )( Lg )( y )
L

với y > 0 .

(1.20)

ở đó phép biến đổi tích phân Laplace được xác định bởi (xem [20]):

°f ( y ) = ( Lf )( y ) =

+¥

òe

- yx

f ( x ) dx

0

với y Î £

(1.21)

phép biến đổi Laplace có biến đổi ngược là:

( )

c +i¥

1
L °f ( x ) =
exy °f ( y ) dy.
ò
2p i c-i¥

(1.22)

Tuy nhiên trước những năm 50 của thế kỷ trước, các tích chập đã được
biết đến là các tích chập không có hàm trọng. Đến năm 1967, V.A.Kakichev
đã đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập đối với phép biến đổi tích phân

æ g ö
K với hàm trọng g ( y ) , kí hiệu ç f * g ÷ và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:
è
ø

K ( f * g )( y ) = g ( y )( Kf )( y )( Kg )( y )

(1.23)

Nhờ phương pháp này một số tích chập với hàm trọng đã được xây
dựng và nghiên cứu (xem [7], [19]).
Ví dụ 1.4.
Cho f , g Î L1 ( ¡ + ) . Tích chập với hàm trọng g 1 ( y ) = sin y của hai hàm
f và g đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine (1.5) được xác định như

sau (xem [7]):
1
æ g1 ö
ç f F*s g ÷ ( x ) =
2 2p
è
ø

+¥

ò f ( x ) éë g ( x + 1 + t ) + sign ( x + 1 - t ) g ( x + 1 - t )
0

+ sign ( x - 1 + t ) g ( x - 1 + t ) + sign ( x - 1 - t ) g ( x - 1 - t )

] dt , x > 0
(1.24)


21

Tớch chp (1.24) thuc khụng gian L1 ( Ă + ) v tha món ng thc nhõn t húa:
ổ g1 ử
Fs ỗ f * g ữ ( y ) = sin y ( Fs f )( y )( Fs g )( y ) , y > 0
ố Fs ứ

(1.25)

Chỳ ý rng cho n nay tớch chp i vi phộp bin i Fourier sine
ca hai hm f v g vn cha xõy dng c khi khụng cú hm trng g ( y )
tham gia vo.
Vớ d 1.5.
Cho f , g ẻ L1 ( Ă + ) . Tớch chp vi hm trng g 2 ( y ) = cos y ca hai hm
f v g i vi phộp bin i tớch phõn Fourier cosine (1.3) c xỏc nh

nh sau (xem [13]):
1
ổ g2 ử
ỗ f F*c g ữ ( x ) =
2 2p
ố
ứ

+Ơ

ũ f ( x ) ộở g ( x + 1 + t ) + g ( x + 1 - t )
0

+ g ( x -1 + t ) + g ( x -1- t )

] dt , x > 0

(1.26)

Tớch chp (1.26) thuc khụng gian L1 ( Ă + ) v tha món ng thc nhõn t húa:
ổ g2 ử
Fc ỗ f * g ữ ( y ) = cos y ( Fc f )( y )( Fc g )( y ) , y > 0
ố Fc ứ

(1.27)

Cỏc tớch chp trờn u cú chung mt c im l trong ng thc
nhõn t húa ca chỳng ch cú duy nht mt phộp bin i tớch phõn tham gia.
Do ú cỏc tớch chp ny khụng phi l tớch chp suy rng. Nm 1998,
V.A.Kakichev v Nguyn Xuõn Tho ó xõy dng c s kin thit tng
quỏt nht ca tớch chp suy rng vi hm trng i vi ba phộp bin i tớch
phõn bt kỡ (xem [8]).
1.2.2. Tớch chp suy rng vi hm trng i vi cỏc phộp bin i tớch
phõn (xem [8])
Cho cỏc toỏn t tuyn tớnh


22
K j :U j ( X j ) ® V ( X ) ,

j = 1,3

Trong đó U j ( X j ) là các không gian tuyến tính, còn V ( X ) là đại số
Fj ( x ) = ( K j f j ) ( x ) =

ò k ( x, x ) f ( x ) dx , f
j

j

j

j

j

j

Î U j ( X j ) , j = 1,3

(1.28)

Xj

Giả sử l , m, n là một hoán vị bất kì của tập hợp {1, 2,3} , g l là một hàm
thuộc U ( X ) . Tích chập suy rộng của hai hàm f m , f n với hàm trọng g l đối
với các phép biến đổi tích phân Kl , K m , K n là một hàm, kí hiệu là
æ gl ö
ç f m * f n ÷ ( xl ) sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây được thỏa mãn:
è
ø

æ gl ö
K l ç f m * f n ÷ ( x ) = g l ( x )( K m f m )( x )( K n f n )( x )
(1.29)

è
ø
Dưới đây ta sẽ đưa ra một số điều kiện cần để có tích chập suy rộng.

Giả sử các phép biến đổi K j có biến đổi ngược K -j 1

f j ( x j ) = ( K -j 1 F j ) ( x j ) = ò k -j 1 ( x j , x ) Fj ( x ) dx Î U j ( X j ) , j = 1,3

(1.30)

X

Trong đó k j ( x, x j ) và k -j 1 ( x j , x ) là nhân tương ứng của các phép biến đổi K j
và K -j 1 .
a) Nếu xảy ra đẳng thức

g l ( x) k

-1
l

p

( xl , x ) km ( x, xm ) = å ci kn-1 (a i ( xl , xm ) , x )
i =1

(1.31)

thì tích chập suy rộng của hai hàm f m , f n với hàm trọng g l đối với các phép
biến đổi tích phân K l , K m , K n được xác định như sau:

p
æ gl ö
ç f m * f n ÷ ( xl ) = å ci ò f m ( xm ) f n (a i ( xl , xm ) ) dxm .
è
ø
i =1
Xm

b) Nếu tồn tại tích phân

(1.32)


23

Ql ,m,n ( xl , xm , xn ) = ò g l ( x ) kl-1 ( xl , x ) km ( x, xm ) kn ( x, xn ) dx

(1.33)

X

khi đó tích chập suy rộng của hai hàm f m , f n với hàm trọng g l đối với các
phép biến đổi tích phân Kl , K m , K n được xác định như sau:

æ gl ö
ç f m * f n ÷ ( xl ) = ò ò Ql , m, n ( xl , xm , xn ) f m ( xm ) f n ( xn ) dxm dxn
è
ø
Xm Xn

(1.34)

Tích chập (1.32) được gọi là tích chập suy rộng loại một.
Tích chập (1.34) được gọi là tích chập suy rộng loại hai.
Nhận xét
1) Các tích chập (1.32) và (1.34) đều thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
(1.29)
2) Trong các trường hợp riêng ta có
a) Nếu K j = K , j = 1,3 thì ta được tích chập (1.23)
Do đó với ba phép biến đổi tích phân K j , nói chung có ba tích chập khác
nhau.
b) Nếu hai trong ba phép biến đổi tích phân trùng nhau, chẳng hạn
g1

g3

K1 = K2 ¹ K3 ta có thể có hai tích chập suy rộng f1 * f 3 và f1 * f 3 thường gặp
trong các hệ phương trình tích phân kiểu tích chập; và các tích chập suy rộng
g3

g1

f1 * g1 và f3 * g3 tác dụng tương ứng theo sơ đồ sau:
U1 ( X 1 ) ´ U 3 ( X 3 ) ® U1 ( X 1 ) ,

U1 ( X 1 ) ´ U 3 ( X 3 ) ® U 3 ( X 3 ) ,

Và
U1 ( X 1 ) ´ U1 ( X 1 ) ® U 3 ( X 3 ) ,

U 3 ( X 3 ) ´ U 3 ( X 3 ) ® U1 ( X 1 ) .

-1
c) Nếu các toán tử K i , i = 1,3 là các toán tử đối xứng, nghĩa là K i = K i

thì theo định nghĩa tích chập suy rộng ta suy ra các tích chập suy rộng


24
g1

g3

g2

f1 * f 2 , f 2 * f 3 , f1 * f 3 hoc cựng tn ti hoc cựng khụng tn ti v
chỳng cú cựng mt nhõn.
Cựng vi vic a ra s kin thit tớch chp suy rng, mt lot cỏc
tớch chp suy rng mi ó c xõy dng da trờn s trờn (xem [9], [10],
[12], [13], [16], [17],...).
1.2.3. Mt s vớ d v tớch chp suy rng vi hm trng
Trong mc ny chỳng tụi s a ra mt s vớ d v tớch chp suy rng
vi hm trng nhm minh ha cho s trờn.
Vớ d 1.6.
Cho f , g ẻ L1 ( Ă + ) . Gi s K1 = F (1.1), K 2 = Fc (1.3), K 3 = Fs (1.5).
1) Gi s f 2 l hm chn, khi ú ( Fc f 2 ) ( y ) = ( Ff 2 )( y ) , v g3 l hm
l, khi ú ( Fs g3 ) ( y ) = isigny ( Fg3 )( y ) . Vi g 1 ( x ) = signx v x, x2 > 0
ta cú:

g 1 ( x ) k1-1 ( x1 , x ) k2 ( x, x2 ) =

1
ix x - x
signxe ( 1 2 )
2p

Vy ta cú tớch chp suy rng:
+Ơ

-i
ổ g1 ử
ỗ f 2 * g 3 ữ ( x1 ) =
ũ f 2 ( x2 ) g3 ( x1 - x2 ) dx2
2p -Ơ
ố
ứ
+Ơ
-i
=
ũ f2 ( x2 ) ộở sign ( x1 - x2 ) g3 ( x1 - x2 )ựỷ dx2 , v x1 > 0
2p -Ơ

(1.35)
Tớch chp (1.35) thuc khụng gian L1 ( Ă + ) v tha món ng thc nhõn t húa

ổ g1 ử
F ỗ f 2 * g 3 ữ ( y ) = signy ( Fc f 2 ) ( y ) ( Fs g 3 ) ( y ) , vi y > 0 .
ố
ứ
Tng t, ta cú:

25

2) Giả sử f1 là hàm lẻ, khi đó

( Ff1 )( y ) = -isigny ( Fs f1 ) ( y ) ,

với

g 2 ( x ) = 1 và x, x1 > 0 ta có:

g 2 ( x ) k2-1 ( x2 , x ) k1 ( x, x1 ) =
=

-2i
sin ( xx1 ) cos ( xx2 )
p
-i
ésin x ( x1 + x2 ) + sign ( x1 - x2 ) sin x ( x1 - x2 ) ùû
pë

Vậy ta có tích chập suy rộng

-i
( f1 * g3 )( x2 ) =
2p

+¥

ò f ( x ) éësign( x - x ) g ( x - x ) + g ( x + x )ùû dx , x > 0 (1.36)
1

1

1

2

3

1

2

3

1

2

1

2

0

Tích chập (1.36) thuộc không gian L1 ( ¡ + ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:
Fc ( f1 * g3 )( y ) = ( Ff1 )( y )( Fs g3 )( y ) , với y > 0 .

3) Giả sử f 1 là hàm lẻ, khi đó

( Ff1 )( y ) = -isigny ( Fs f1 ) ( y ) , với

g 3 ( x ) = 1 và x, x1 > 0 ta có:

g 3 ( x ) k3-1 ( x3 , x ) k1 ( x, x1 ) =

-2i
écos ( x x1 - x3 ) - cos ( x ( x1 + x3 ) ) ùû
p ë

Vậy ta có tích chập suy rộng:

( f1 * g 2 )( x3 ) =

-i
2p

+¥

ò f ( x ) éë g ( x - x ) - g ( x + x )ùû dx , x
1

1

2

1

3

2

1

2

1

3

>0

(1.37)

0

Tích chập (1.37) thuộc không gian L1 ( ¡ + ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:
Fs ( f1 * g 2 )( y ) = ( Ff1 )( y )( Fc g 2 )( y ) , với y > 0 .

Ví dụ 1.7.
Cho f i , g i Î L1 ( ¡ + ) với i = 1, 3 .
1) Giả sử K1 = L là phép biến đổi Laplace (1.21), K 2 = Fs (1.5),
K 3 = J g , Re g > -

1
là phép biến đổi Hankel:
2

26

°f ( y ) = ( J f ) ( y ) =
g

+¥

ò xJ ( xy ) f ( x ) dx

(1.38)

g

0

với phép biến đổi ngược

(J

g

-1

°f

+¥

) ( x ) = ò yJ

g

( xy ) °f ( y ) dy

(1.39)

0

Khi đó nhân của các phép biến đổi trên cùng với các phép biến đổi ngược của
chúng là:
k1 ( x , y ) = e - xy , k1-1 ( x , y ) =

1 xy
e ; k 2 ( x , y ) = k 2-1 ( x , y ) =
2p i

2
sin ( xy ) ;
p

k 3 ( x , y ) = k 3-1 ( x , y ) = yJ g ( xy ) .
-1
Với g 2 ( x ) = x ta có:

g 2 ( x ) k 2-1 ( x2 , x ) k1 ( x , x1 ) k 3 ( x , x3 ) = x -1

2
sin ( xx2 ) e - xx1 x3 J g ( xx3 ) .
p

Áp dụng công thức 2.12.25.3 trong [21]

Q1 ( x1 , x2 , x3 ) =

+¥

òt

-1 - x1t

e

sin ( x2t ) Jg ( x3t ) dt

(1.40)

0

( 2x3 )
=

g

g

(

c + c2 - 2 x32

)

-g

sin a ,

trong đó

a = g arcsin

2 x2
1
2
2
, c = x12 + ( x2 + x3 ) + x12 + ( x2 - x3 ) , Re g > ,
c
2

ta có tích chập suy rộng sau:

2
æ g2 ö
ç f1 * g3 ÷ ( x2 ) = p
è
ø

+¥ +¥

ò ò Q ( x , x , x ) x f ( x ) g ( x ) dx dx , với
1

1

2

3

3 1

1

3

3

1

3

x2 > 0 .

0 0

(1.41)