Đề thi HSG huyện (bảng A)

phòng gd - đt đề thi học sinh giỏi huyện bảng a
huyện lơng tài Năm học: 2006 - 2007
Thời gian làm bài: 120 phút
-----------***-----------
Bài 1: (2,5 điểm)
1. Tìm n

N biết: (3
3
:9).3
n
= 729
2. Tính:
( )














++

7
6
5
4
3
2
7
3
5
2
3
1
4,0
2
2
9
4
2
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho a,b,c

R và a,b,c

0 thoả mãn: b
2
=ac. Chứng minh rằng:

( )
( )
2
2
.2007
.2007
cb
ba
c
a
+
+
=
Bài 3: (2 điểm)
Ba đội công nhân làm ba công việc có khối lợng nh nhau. Thời gian làm việc
của đội I, đội II, đội III lần lợt là 3 ngày, 5 ngày, 6 ngày. Biết rằng đội II nhiều
hơn đội III là 2 ngời và năng suất làm việc của mỗi công nhân là nh nhau. Hỏi
mỗi đội có bao nhiêu công nhân?
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Trên nửa mặt phẳng
không chứa C có bờ AB vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao
cho AD=AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc
AC, trên đó lấy điểm E sao cho AE=AC. Chứng minh rằng:
a) AM=
2
1

DE
b) AM

DE
Bài 5: (1 điểm)
Cho m,n

N và p là số nguyên tố thoả mãn:
p
nm
m
p
+
=

1
.
Chứng minh rằng: p
2
=n+2
--------------- Hết ----------------
phòng gd - đt đề thi học sinh giỏi huyện bảng a
huyện lơng tài Năm học: 2005 - 2006
Thời gian làm bài: 120 phút
-----------***-----------
Bài 1: (2,5 điểm)
Tìm x biết: a)
3:
4
1

4
3
=+
x
b)
6253
=+
x
c)
2006
1
2005
2
2004
3
2003
4
+
+
+
=
+
+
+
xxxx
d)
x
yyy
6
61

24
41
18
21
+
=
+
=
+
Bài 2: (1,5 điểm)
Rút gọn: a) A = 2
100
-2
99
+2
98
-2
97
+ ... +2
2
-2
b) B = 3
2006
-3
2005
+3
2004
-3
2003
+ ... +3

2
-3+1
Bài 3: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, góc A=108
0
. Gọi O là một điểm nằm trên tia
phân giác của góc C sao cho góc CBO=12
0
. Vẽ tam giác đều BOM (M và A
cùng thuộc nửa mặt phẳng BO). Chứng minh rằng:
a) Ba điểm C, A, M thẳng hàng
b) Tam giác AOB cân
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn thẳng AD bằng và vuông góc với AB (D và C
nằm khác phía đối với AB). Vẽ đoạn thăng AE bằng và vuông góc với AC (E và
B nằm kkhác phía đối với AC), vẽ AH vuông góc với BC. Đờng thẳng HA cắt
DE ở K. Chứng minh rằng: DK=KE
Bài 5 : (1 điểm)
Tìm số tự nhiên n để phân số
32
87


n
n
có giá trị lớn nhất
------------ Hết --------------

phòng gd - đt đề thi học sinh giỏi huyện bảng a
huyện lơng tài Năm học: 2004 - 2005

Thời gian làm bài: 120 phút
-----------***-----------
Bài 1: (2 điểm)
1) Cho p và 10p+1 là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh 5p+1

6
2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng các bình phơng
của ba số này cũng là một số nguyên tố
Bài 2: (3 điểm)
1) Tìm x biết:
2
1
3
2
1
=
x
2) Tìm x biết:
0
5
1
2
1

+







xx

3) Tìm x, y, z biết:
( )
03
2
1
5
1
=






+

zyx
và x+1=y+2=z+3
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho biểu thức f(x)=ax
2
+bx+c
1) Tính f(0), f(1), f(-1)
2) cho biết 5a+b+2c=0. Chứng tỏ rằng: f(2).f(-1)

0
Bài 4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam
giác vuông cân tại A là

ABD và

ACE. Chứng minh:
1) AM=
2
DE
2) AM

DE
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân, góc A=gócC=80
0
. Từ các đỉnh A và C vẽ 2 đờng
thẳng cắt các cạnh đối theo thứ tự tại điểm D và E sao cho góc CAD=60

0
, góc
ACE=50
0
. Tính góc ADE
--------------- Hết ------------------
phòng gd - đt đề thi học sinh giỏi huyện bảng a
huyện lơng tài Năm học: 2003 - 2004
Thời gian làm bài: 120 phút
-----------***-----------
Bài 1: (2 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A=
10109
49319
22.6
9.4.1527.2
+
+
2) Tính:

81
2007
3
....81
7
3
81
6
3
81
5
3
81
4
3
2004432
3) Tìm x biết: a)
( )
5
10
4912
=
x
b)
325
=+
xx
Bài 2: (1,5 điểm)

1) Vẽ đồ thị của hàm số: y=
( )
xx 2
2
1
+
2) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn: x+xy+2y=9
Bài 3: (2 điểm)
1) Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn
b
bac
a
acb
c
cba
+
=
+
=
+
Hãy tính giá trị của biểu thức: P=






+

+






+
a
c
c
b
b
a
111
2) Tìm các số nguyên tố a,b,c thoả mãn: a
b
+b
a
=c
3) Cho đa thức P(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d với a,b,c,d là các hệ số nguyên. Biết rằng
P(x)

5 với mọi x

Z. Chứng minh rằng các số nguyên a,b,c đều chia hết cho
5
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân ở A. Lấy M trên cạnh AC, N trên tia đối của tia CA
sao cho BM=CN. Đờng thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đờng thẳng vuông
góc với AC kẻ từ C tại O, gọi giao của AO và BC là H. Kẻ HD vuông góc với
AC tại D
1) Chứng minh: Tam giác OMN cân
2) Giả sử AH=5, HD=3. Tính độ dài HC
3) Gọi MN giao BC tại F. Chứng minh: OF vuông góc với MN
Bài 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC có gócA=120
0
, AB=2AC. Vẽ tam giác DBC đều sao cho
D và A nằm cùng phía so với BC. Hỏi gócDAB có vuông không?
Vì sao?
-------------- Hết---------------