công thức toán cho HS THCS

• a3  b3  c3  (a  b  c)3  3(a  b)(b  c)(c  a)
• a  b  (a  b)(a
n

n

n 1

• a  b  (a  b)(a
* Căn thức
n

n

n 1

a

 tập số hữu tỉ    ; a, b  ; b  0 
b


 tập số thực     I  (; )
 tập số phức
* Các phép toán
 a ,a  0
a b ab
• a 
•  

a

,a

0
m
m
m

a b a b
a c ac
a c ad
•
• . 
• : 
 
m m
m
b d bd
b d bc
* Dấu hiệu chia hết
• a m,b m  (a  b) m
• a  m,b m  (a  b)  m
Chia Dấu hiệu
2
Số tận cùng là số chẵn {0; 2; 4; 6; 8}
3
Tổng các chữ số chia hết cho 3
4
Hai chữ số tận cùng chia hết cho 4
5
Số tận cùng là {0; 5}

6
Đồng thời chia hết cho 2; 3
8
Chữ số tận cùng chia hết cho 8
9
Tổng các chữ số chia hết cho 9
25
Hai chữ số cuối chia hết cho 25
* Lũy thừa ( x; y  ;m;n   ) • x m .y n  x m  n
m

• (x.y)m  x m .y m • (x m )n  x m.n
m

1
x
x
•x  m
•   m
y
x
 y
* Hằng đẳng thức đáng nhớ
• (a  b)2  a 2  2ab  b2
m

m

• n xm  x n
m

x
mn
• n x
y

• a 2  b2  (a  b)(a  b)
• (a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3
• a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )
• (a  b  c)2  a2  b2  c2  2(ab  bc  ca)

a

n2

b  ...  ab

n 1

b )

n2

 bn 1 )

• a.b  a. b
• a b  a 2 .b,a  0

• a b   a 2 .b,a  0

•
•

a

b

a
b

•

,b  0

a
ab

,b  0
b
b

•
•

a

b  ...  ab

n2

a b
,b  0
b
b
• a 2 .b  a . b ,b  0

• a2  a

* Tập số
 tập số tự nhiên   {0;1;2;3;4;...}
 tập số nguyên   {...; 2; 1;0;1;2;3;...}

a

n2



c
a b



c
a b

c ( a  b)
a  b2


c( a  b )
a b

PHƢƠNG TRÌNH – HỆ PT – BẤT PT
* Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn
ax  by  c

a' x  b' y  c'
D

a b
c
 ab'  a' b ; Dx 
a' b'
c'

b
b'

; Dy 

a c
a' c'

• D  0 : Hệ có nghiệm duy nhất
Dy
D
x  x ;y 
D
D

• D  0 ; Dx  0 hoặc Dy  0 : Hệ vô nghiệm
• D  Dx  Dy  0 : Hệ có vô số nghiệm
* Phƣơng trình bậc hai ax2  bx  c  0,a  0
  b2  4ac
•   0 pt vô nghiệm
b
•   0 pt có nghiệm kép 
2a
b   b  
•   0 pt có hai nghiệm
;
2a
2a
Nhẩm nghiệm
c
• a  b  c  0 thì x1  1 , x2 
a
c
• a  b  c  0 thì x1  1 , x2  
a
b
c
Định lý Viet S  x1  x2   ;
P  x1 x2 
a
a
Khi đó x1 ; x2 là nghiệm của pt X 2  SX  P  0
* Phƣơng trình bậc ba ax3  bx2  cx  d  0
d
Nếu x1 ; x2 ; x3 là nghiệm của pt thì x1 x2 x3  

a

b
c
x1  x2  x3   ; x1 x2  x2 x3  x3 x1 
a
a
Nhẩm nghiệm
• a  b  c  d  0 thì x  1
• a  b  c  d  0 thì x  1
* Phƣơng trình trùng phƣơng
ax4  bx2  c  0 . Đặt t  x2 ,t  0
* Phƣơng trình, bất phƣơng trình trị tuyệt đối
 A, A  0
B  0
• A 
• A B
  A, A  0
 A  B
• A  B  A  B
• A  B  A2  B 2

A  B
A  B
• A B
• A B
 A  B
 A  B
* Phƣơng trình, bất phƣơng trình căn thức

A  0
 A  0


• A  B   B  0 • A  B   B  0
A  B

2

A  B
B  0
A  0
• AB
• A B 
2
A  B
A  B
 A  0 B  0
• AB

2
B  0  A  B
* Phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ
0  a  1
a  1
• a f ( x)  a g ( x)  

 f ( x)  g ( x)  f ( x), g ( x), xd
a  0
• a f ( x)  a g ( x)  

(a  1)[f ( x)  g ( x)]  0
BẤT ĐẲNG THỨC
* Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
 x  a
• x  a  a  x  a
• x a
x  a
* Dấu của tam thức bậc hai
f ( x)  ax2  bx  c, a  0, ,  ,   
  0
  0
• 
• 
 f ( x)  0
 f ( x)  0
a  0
a  0
• x1    x2  a. f ()  0

  x1  x2
  0

•
a. f ( x)  0
 x1  x2  
a. f ()  0
• x1      x2  
a. f ()  0
a. f ()  0
• x1    x2    

a. f ()  0

a. f ()  0
•   x1    x2  
a. f ()  0


0


•   x1  x2  a. f ()  0
S 2    0


 x1    x2  
 f (). f ()  0
•
  x1    x2
 0

• x1  x2     a. f ()  0
S 2    0

 0
 a. f ()  0

•   x1  x2     a. f ()  0
S 2    0

 S 2    0

* Bất đẳng thức Cauchy
• a, b  0  a  b  2 ab . Dấu “=” xảy ra a  b .
• a1 , a2 ,..., an  0  a1  a2  ...  an  n n a1a2 ...an
Dấu “=” xảy ra khi a1  a2  ...  an .
* Bất đẳng thức Bunyakovsky
• (a1b1  a2b2 )2  (a12  a22 )(b12  b22 ), ai , bi  
a
a
Đẳng thức xảy ra khi 1  2
b1 b2
• (a1b1  a2b2  ...  anbn )2  (a12  a22  ...  an2 )(b12  ...  bn2 )
a
a a
Đẳng thức xảy ra khi 1  2  ...  n
b1 b2
bn
* Bất đẳng thức Bernoulli
• x  1 , n    (1  x)n  1  nx
Đẳng thức xảy ra khi x  0 hoặc n  1
DÃY SỐ
* Cấp số cộng u1 , u1  d , u1  2d , u1  3d ..
Số hạng thứ n: un  u1  (n  1)d
Tổng của n số hạng đầu
n
n
Sn  (u1  un )  [2u1  (n  1)d ]
2
2
* Cấp số nhân
u1 ; u1q; u1q 2 ; u1q3 ;...

Số hạng thứ n: un  u1q n 1
Tổng của n số hạng đầu Sn  u1
Khi 1  q  1 thì lim Sn 
n 

1  qn
1 q

u1
.
1 q

Web: khaitrisg.com – Gia sư Khai Trí


LƢỢNG GIÁC
Hệ thức cơ bản
• sin 2 x  cos2 x  1
sin x
• tan x 
cos x
cos x
• cot x 
sin x
Cung đối – bù
• cos( x)  cos x
• sin( x)   sin x
• tan (  x)   tan x
• cot (  x)   cot x
Cung phụ


• sin (  x)  cos x
2

• cos (  x)  sin x
2

• tan x.cot x  1
1
• 2  1  cot 2 x
sin x
1
•
 1  tan 2 x
cos 2 x
• cos (  x)   cos x
• sin (  x)  sin x
• tan (  x)   tan x
• cot (  x)   cot x


• sin (  x)  cos x
2

• cos (  x)   sin x
2

3  tan 2 a
1  3tan 2 a
Công thức hạ bậc

1  cos 2a
1  cos 2a
• sin 2 a 
• cos 2 a 
2
2
1  cos 2a
2
• tan a 
• 1  sin 2 x  (sin x  cos x)2
1  cos 2a
Công thức biến tổng thành tích
1
• cos a.cos b  [ cos (a  b)  cos (a  b)]
2
1
• sin a.sin b  [ cos (a  b)  cos (a  b)]
2
1
• sin a.cos b  [sin (a  b)  cos (a  b)]
2


• sin a  cos a  2 sin (a  )  2 cos (a  )
4
4


• sin a  cos a  2 sin (a  )  2 cos (a  )
4

4
HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIAC
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
• BC 2  AB2  AC 2
A
• AB2  BH.BC
AC 2  CH.CB
b
c
• AB.AC  BC.AH
1
1
1
•
=
+
C
2
2
H a M
AH AB AC2 B
• BC  2 AM
b
c
b
c
• sin B  , cos B  , tan B  , cot B 
a
a
c

b
Hệ thức lượng trong tam giác thường
• a2  b2  c2  2bc.cos A
• b2  a2  c2  2ac.cos B
• c2  a2  b2  2ab.cos C
a
b
c
•


 2R
sin A sin B sin C
Diện tích tam giác
1
1
1
abc
 pr
• S  a.ha  b.hb  c.hc 
2
2
2
4R
abc
 p(p  a)(p  b)(p  c) ; p 
2
1
1
1

 bc sin A  ab sin C  ac sin B
2
2
2
TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON
• tan 3a  tan a.



• tan (  x)  cot x
• tan (  x)   cot x
2
2


• cot (  x)  tan x
• cot (  x)   tan x
2
2
Hơn kém 
• cos (  x)   cos x
• sin (  x)   sin x
• tan (  x)  tan x
• cot (  x)  cot x
Công thức cộng cung
• sin (a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
• cos (a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b
tan a  tan b
• tan (a  b) 
1  tan a.tan b

tan a  tan b
• tan (a  b) 
1  tan a.tan b
Công thức cộng
ab
a b
.cos
• cos a  cos b  2cos
2
2
ab
a b
.sin
• cos a  cos b  2sin
2
2
ab
a b
.cos
• sin a  sin b  2sin
2
2
ab
a b
.sin
• sin a  sin b  2cos
2
2
Công thức nhân đôi
2 tan a

• sin 2a  2sin a.cos a
• tan 2a 
1  tan 2 a
• cos 2a  cos2 a  sin 2 a  2cos2 a 1  1  2sin 2 a • Pn  n!  n(n  1)(n  2)...
Công thức nhân ba
n!
• sin 3a  3sin a  4sin3 a
 n(n  1)(n  2)...(n  k  1)
• Ank 
3
(n  k )!
• cos3a  4cos a  3cos a

n!
• Cnn  Cn0  1
k !(n  k )!
• Cnk  Cnn  k
• Cnk 1  Cnk  Cnk1
•
(a  b)n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  Cn2 a n 2b2  ...  Cnnbn
• (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnn x n
LOGARIT
• log a x  y  x  a y
• log a b   log a b
logb c
• log a a  1
•a
 clogb a
• C nk 

• ln x  loge x

• aloga b  b

• log x  log10 x

• loga (bc)  loga b  loga c

• log a b 

log c b
log c a

• log a b 

1
log b a

1
b
log a b • log a  log a b  log a c

c
* Phƣơng trình, bất phƣơng trình logarit
0  a  1

• log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  0, ( g ( x)  0)
 f ( x)  g ( x)

0  a  1

 f ( x)  0

log a f ( x)  log a g ( x)  
 g ( x)  0

(a  1)[f ( x)  g ( x)]  0
ĐẠO HÀM
•  c  '  0 • ( x )'   x 1 • (u  )  u 1u

• log a b 

1
 1 
•    2
x
 x
1

• x 
2 x
x 
• e  ex

 

 
•  a   a ln a
1
•  ln x  
x

x

x

u
 1 
•    2
u
u
u

• u 
2 u
u
• (e )  u ' eu

 

•  au   u au ln a

•  sin x   cos x

u
•  ln u  
u
u
•  log a u  
u.ln a



•  sin u   u cos u

•  tan x  

•  tan u  

•  log a x  

1
x.ln a

1
cos 2 x
1
•  cot x    2
sin x

u
cos 2u
u
•  cot u    2
sin u

• dx  x  c


TÍCH PHÂN

x 1
 c,   1 • dx  ln x  c

x
 1
ax
c
•  e x dx  e x  c
•  a x dx 
ln a
•  cos xdx  sin x  c
•  sin xdx   cos x  c
•  x dx 

dx
 tan x  c
cos 2 x
1
•  eax b dx  eax b  c
a

•

•
•

dx
  cot x  c
sin 2 x
dx
 x c
•
2 x

•

dx
1
dx
1
xa
 ln ax  b  c

ln
c •
2
ax  b a
2a x  a
x a
2

dx
x a
2

2

 ln x  x 2  a 2  c

1
sin  ax  b   c
a
1

•  sin(ax  b)dx   cos  ax  b   c
a
SỐ PHỨC
• z  a  bi , i 2  1; a  Re z; b  Im z , z  a  bi
• Cho hai số phức z  a  bi; z   a  bi
z  z  a  a  (a  b)i
z.z  aa  bb  (ab  ab)i

•  cos  ax  b dx 

z  z  z aa  ab  (ab  ab)i


z
a 2  b2
zz
• z  a  bi  r (cos   i sin ) với
Môđun của z: r  a 2  b2
b
a
• Công thức Moivre cho hai số phức
z  r (cos   i sin ); z '  r '(cos  ' i sin  ')
z.z '  r.r '[cos(   ')  i sin(   ')]
z r
 [ cos(   ')  i sin(  )]
z' r'

Acgument của Z là  : tan  