Trình chiếu bài toán cauchy dirichlet đối với phương trình parabolic trong miền không chính quy

Chương 1

Chương 2

BÀI TOÁN CAUCHY-DIRICHLET ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TRONG MIỀN
KHÔNG CHÍNH QUY
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Anh
Học viên: Trần Thị Hòa
Mã học viên: K24-0109

Hà Nội, 26-10-2016

Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

1 / 15


Chương 1

Chương 2

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Các bài toán biên không dừng (hyperbolic, parabolic, . . . ) thường được
xét trên miền chính quy, nghĩa là miền không thay đổi theo thời gian. Tuy
nhiên, do nhu cầu thực tiễn, các bài toán biên đối với phương trình không

dừng trên miền thay đổi theo thời gian cũng được nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu. Miền như vậy người ta gọi là miền không chính quy
(non-regular). Có nhiều cách tiếp cận đối với những bài toán loại này.
Trong khuôn khổ đề tài luận văn, chúng tôi quan tâm đến phương pháp
xấp xỉ miền để xét phương trình parabolic trong miền không chính quy.
Bởi vậy, chúng tôi chọn đề tài
“Bài toán Cauchy-Dirichlet đối với phương trình parabolic trong
miền không chính quy”,
trong đó nội dung nghiên cứu dựa trên các kết quả trong công trình [8].
Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

2 / 15


Chương 1

Chương 2

Mở đầu
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính giải được duy nhất của bài toán Cauchy-Dirichlet đối với
phương trình parabolic trong miền không chính quy.
3. Phương pháp nghiên cứu
Vận dụng phương pháp xấp xỉ miền để chứng minh tính giải được duy
nhất của bài toán đặt ra.
4. Cấu trúc của luận văn

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Bài toán Cauchy-Dirichlet đối với phương trình parabolic trong
miền không chính quy
2.1. Phát biểu bài toán
2.2. Tính duy nhất nghiệm
2.3. Nghiệm của bài toán trong miền xấp xỉ
2.4. Sự tồn tại nghiệm
Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

3 / 15


Chương 1

Chương 2

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian H 1,2 (Q).
Giả sử 0 < T < ∞, kí hiệu
Q = (0, T ) × Ω = {(t, x) : t ∈ (0, T ); x ∈ Ω}
gọi là trụ trong Rn+1 với đáy Ω, chiều cao T . Khi đó
H 1,2 (Q) = {u(t, x) ∈ L2 (Q) :

∂u
; Dx u; Dx2 u ∈ L2 (Q)}.
∂t

Chuẩn trên H 1,2 (Q) được xác định
T

(|u|2 + |∇u|2 + |Dx2 u|2 + |

u =(
0

Học viên: Trần Thị Hòa

Ω

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

∂u 2
| )dxdt)1/2 .
∂t

Hà Nội, 26-10-2016

4 / 15


Chương 1

Chương 2

Kiến thức chuẩn bị

1.2. Định lý xấp xỉ miền
Giả sử Ω là miền tùy ý, bị chặn trong Rn . Khi đó, tồn tại một dãy miền
Ω , > 0 sao cho
Ω = {x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > }
và
lim Ω = Ω nghĩa là lim µ(Ω\Ω ) = 0, khi

→ 0.

với ∂Ω trơn.

Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

5 / 15


Chương 1

Chương 2

2.1. Phát biểu bài toán

Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

6 / 15


Chương 1

Chương 2

2.1. Phát biểu bài toán
Giả sử Ω là một tập mở trong R2 , xác định bởi
Ω = {(t, x1 ) ∈ R2 : 0 < t < T ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)},
trong đó T là số dương, hữu hạn; ϕ1 , ϕ2 là các hàm giá trị thực, liên tục
Lipschitz trên [0, T ] sao cho:
ϕ(t) := ϕ2 (t) − ϕ1 (t) > 0, khi t ∈ [0, T ].
Hàm ϕ có thể triệt tiêu tại t = 0 hoặc t = T .
Giả thiết các hàm ϕ1 và ϕ2 thỏa mãn

Học viên: Trần Thị Hòa

ϕi (t)ϕ(t) → 0 khi t → 0, i = 1, 2,

(1)

ϕi (t)ϕ(t) → 0 khi t → T , i = 1, 2.

(2)

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

6 / 15


Chương 1

Chương 2

2.1. Phát biểu bài toán
Cho các số dương cố định bi , với i = 1, 2, ..., N − 1. Giả sử Q là miền
thuộc không gian (N + 1) chiều, xác định bởi
Q =Ω×
Xét bài toán

N−1
i=1 (0, bi ).

2
∂t u − N
k=1 ∂xk u = f trong Q,
u = 0 trên ∂Q\ΓT ,

(3)

trong đó ΓT là phần biên của Q khi t = T và f ∈ L2 (Q).
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính giải được duy nhất của bài
toán (3) trong không gian Sobolev H01,2 (Q), với
H01,2 (Q) = {u ∈ H 1,2 (Q) : u|∂Q\ΓT = 0},

Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

7 / 15


Chương 1

Chương 2

2.2. Tính duy nhất nghiệm

Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

8 / 15


Chương 1

Chương 2

2.2. Tính duy nhất nghiệm

Định nghĩa
Nghiệm mạnh của bài toán (3) là hàm u thuộc không gian H01,2 (Q) và
thỏa mãn
N

∂x2k u = f với h.k.n. (t, x) ∈ Q.

∂t u −
k=1

Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

8 / 15


Chương 1

Chương 2

2.2. Tính duy nhất nghiệm

Định nghĩa
Nghiệm mạnh của bài toán (3) là hàm u thuộc không gian H01,2 (Q) và
thỏa mãn
N

∂x2k u = f với h.k.n. (t, x) ∈ Q.

∂t u −
k=1

Định lý 2.1
Nghiệm của bài toán (3) là duy nhất.

Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

8 / 15


Chương 1

Chương 2

2.3 Nghiệm của bài toán trong miền xấp xỉ

Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

9 / 15

Chương 1

Chương 2

2.3 Nghiệm của bài toán trong miền xấp xỉ
Ở phần này chúng ta thay miền Q bởi
Qα = {(t, x1 ) ∈ R2 :

1
1
< t < T − ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)} ×
α
α

N−1

(0, bi ),
i=1

với α > 0. Do đó ϕ( α1 ) > 0 và ϕ(T − α1 ) > 0.

Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

9 / 15

Chương 1

Chương 2

2.3 Nghiệm của bài toán trong miền xấp xỉ
Ở phần này chúng ta thay miền Q bởi
Qα = {(t, x1 ) ∈ R2 :

1
1
< t < T − ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)} ×
α
α

N−1

(0, bi ),
i=1

với α > 0. Do đó ϕ( α1 ) > 0 và ϕ(T − α1 ) > 0.

Định lý 2.2
Bài toán

2
∂t u − N
k=1 ∂xk u = f trong Qα ,
u = 0 trên ∂Qα \ΓT − 1 ,

(4)

α

có một nghiệm duy nhất u ∈
Qα khi t = T −

1
α

Học viên: Trần Thị Hòa

và f ∈

H01,2 (Qα ).

Trong đó, ΓT − 1 là phần biên của

L2 (Qα ).

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

α

Hà Nội, 26-10-2016

9 / 15

Chương 1

Chương 2

2.4. Sự tồn tại nghiệm

Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

10 / 15


Chương 1

Chương 2

2.4. Sự tồn tại nghiệm
Kí hiệu un ∈ H 1,2 (Qn ) là nghiệm của bài toán (3) tương ứng với số hạng
bên vế phải fn = f |Qn ∈ L2 (Qn ) trong
N−1

Qn = Ωn ×

(0, bi ),
i=1

khi

Ωn = {(t, x1 ) ∈ R2 :

Học viên: Trần Thị Hòa

1
1
< t < T − ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)}.
n
n

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

10 / 15


Chương 1

Chương 2

2.4. Sự tồn tại nghiệm
Kí hiệu un ∈ H 1,2 (Qn ) là nghiệm của bài toán (3) tương ứng với số hạng
bên vế phải fn = f |Qn ∈ L2 (Qn ) trong
N−1

Qn = Ωn ×

(0, bi ),
i=1

khi
Ωn = {(t, x1 ) ∈ R2 :

1
1
< t < T − ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)}.
n
n

Mệnh đề 2.1
Tồn tại một hằng số K1 không phụ thuộc vào n sao cho
un
Học viên: Trần Thị Hòa

H 1,2 (Qn )

≤ K 1 fn

L2 (Qn )

≤ K1 f

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

L2 (Q) .
Hà Nội, 26-10-2016

(5)
10 / 15

Chương 1

Chương 2

2.4. Sự tồn tại nghiệm

Định lý 2.3
Bài toán (3) có nghiệm u ∈ H01,2 (Q) thỏa mãn đánh giá
u

Học viên: Trần Thị Hòa

2
H 1,2 (Q)

≤K f

2
L2 (Q) .

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

11 / 15


Chương 1

Chương 2

2.4. Sự tồn tại nghiệm
Định lý 2.3. Bài toán (3) có nghiệm u ∈ H01,2 (Q) thỏa mãn đánh giá
u

2
H 1,2 (Q)

≤K f

2
L2 (Q) .

Chứng minh. Chọn một dãy miền Qn , n = 1, 2, ... tương tự như trong
Mục 2.3 sao cho Qn ⊆ Q. Khi đó Qn → Q, khi n → ∞.
Xét nghiệm un ∈ H 1,2 (Qn ) của bài toán Cauchy-Dirichlet
2
∂t un − N
k=1 ∂xk un = f trong Qn ,
un = 0 trên ∂Qn \ΓT − 1 ,

(6)

n

trong đó ΓT − 1 là phần biên của Qn khi t = T − n1 .
n

Giả sử un là 0-mở rộng của un đến Q, tức là
un (t, x) =
Học viên: Trần Thị Hòa

un (t, x) nếu (t, x) ∈ Qn ,
0 nếu (t, x) ∈ Q\Qn .

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

12 / 15


Chương 1

Chương 2

2.4. Sự tồn tại nghiệm
Định lý 2.3. Bài toán (3) có nghiệm u ∈ H01,2 (Q) thỏa mãn đánh giá
u

2
H 1,2 (Q)

≤K f

2
L2 (Q) .

Chứng minh.(tiếp) Mệnh đề 2.1 cho thấy tồn tại một hằng số C sao cho
un

L2 (Q)

+ ∂t un

L2 (Q)

∂ α un

+

L2 (Q)

≤C f

L2 (Q) .

|α|≤2

Do vậy, nếu ta cho một dãy tăng thích hợp các số nguyên nj , j = 1, 2, ...
thì tồn tại các hàm u(t, x), v (t, x) và vα (α là một đa chỉ số và |α| ≤ 2)
trong L2 (Q) sao cho
unj
u trong L2 (Q),
∂t unj

v trong L2 (Q),

∂ α unj

vα trong L2 (Q),

khi j → ∞. Ta sẽ chỉ ra u là nghiệm mạnh cần tìm.
Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

13 / 15


Chương 1

Chương 2

Kết luận

Luận văn xét bài toán Cauchy-Dirichlet đối với phương trình parabolic
trong miền không chính quy. Kết quả chính nhận được là:
• Chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán, thể hiện trong Định lý
2.1.
• Vận dụng phương pháp xấp xỉ miền chứng minh sự tồn tại nghiệm của
bài toán, thể hiện trong Định lý 2.3.

Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

14 / 15


Chương 1

Chương 2

EM XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN!

Học viên: Trần Thị Hòa

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Anh

Hà Nội, 26-10-2016

15 / 15