Luận văn hấp thụ vi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ điện tử PHONON âm)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------

NGUYỄN THỊ LOAN

HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU
THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
(TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM)

Hà Nội

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------NGUYỄN THỊ LOAN

HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU
THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
(TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết & vật lý toán
Mã số: 604401
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:PGS.TS NGUYỄN VŨ NHÂN

Hà Nội

2


Lời cảm ơn
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS
Nguyễn Vũ Nhân. Cảm ơn thầy đã hướng dẫn chỉ bảo tôi trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này.
Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong tổ vật lý lý
thuyết, các thầy cô trong khoa vật lý, ban chủ nhiệm khoa vật lý trường Đại
học khoa học tự nhiên đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong thời
gian làm luận văn cũng như trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại
trường.
Đồng thời tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới các anh chị nghiên cứu
sinh, các bạn trong lớp cao hoc vật lý khóa 2010 -2012 đã đóng góp những ý
kiến quý báu và động viên tôi thực hiện luận văn này.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
gia đình tôi, những người thân yêu của tôi đã luôn động viên tạo điều kiện
tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trình hoàn thành
luận văn này.
Học viên
Nguyễn Thị Loan

3


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN…………………………………………………………….i
MỤC LỤC………………………………………………………………..ii
DANH MỤC HÌNH VẼ…………………………………………………iii
MỞ ĐẦ……………………………………………………………………1

CHƯƠNG 1: SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ
GIAM CẦM TRONG BÁN DẪN KHỐI………………………………..4
1.1: Tổng quan về siêu mạng hợp phần…………………………………4
1.1.1: Khái niệm về siêu mạng hợp phần………………………………..4
1.1.2: Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần……………………………………………………………5
1.2: Bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên
độ bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối……………………………7
1.2.1: Sự hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử
giam cầm trong bán dẫn khối…………………………………………….7
1.2.2: Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn
khối……………………………………………………………………….10
1.2.3: Biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ
bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối……………………………...15
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC
GIẢI TÍCH CHO HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ
MẠNH BIẾN ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN(TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN
TỬ-PHONON ÂM)…………………………………………………….22
2.1: Hamiltonian tương tác của điện tử - phonon trong siêu mạng hợp
phần………………………………………………………………………22
2.2: Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp
phần………………………………………………………………………24
4


2.3: Tính hệ số hgấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần…………………………..35
CHƯƠNG 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ BÀN LUẬN……………………….42

KẾT LUẬN ……………………………………………………………….46
Tài liệu tham khảo………………………………………………………..48
Phụ lục …………………………………………………………………….51

5


MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, việc chế tạo và nghiên cứu các tính chất
của các vật liệu có cấu trúc nano là vấn đề mang tính thời sự thu hút nhiều
nhà khoa học hàng đầu trong nước và quốc tế tham gia nghiên cứu. Trong
đó, bán dẫn thấp chiều là một điểm nóng trong các nghiên cứu hiện đại vì
khả năng ứng dụng rộng rãi trong đời sống và trong khoa học kĩ thuật, tạo ra
các linh kiện hiện đại siêu nhỏ, đa năng, thông minh.
Chính sự hạn chế chuyển động này đã làm cho các hiệu ứng vật lý,
các tính chất vật lý trong dây lượng tử khác nhiều so với bán dẫn khối.
τllΩ
τ ra đời đã mở ra một hướng nghiên
Khi các nguồn bức xạ cao tần ±ΩΩ

cứu mới về các hiệu ứng cao tần gây bởi tương tác của các trường sóng điện
từ cao tần lên bán dẫn siêu mạng. Khi sóng điện từ cao tần (có tần số thỏa
mãn điều kiện >>1, : thời gian hồi phục xung lượng) tương tác với vật liệu
thì định luật bảo toàn xung lượng bị thay đổi do sự tham gia của photon vào
quá trình hấp thụ và phát xạ phonon (trong đối số của hàm Delta - Dirac mô
tả định luật bảo toàn khi >>1, ngoài năng lượng electron, phonon còn có cả

đại lượng liên quan tới năng lượng photon , là số nguyên). Kết quả là hàng
loạt các hiệu ứng mới xuất hiện - hiệu ứng cao tần. Khi đó electron có thể
tương tác với phonon và gây ra các hiệu ứng có bản chất mới khác hoàn toàn
trường hợp không có sóng điện từ cao tần (khi không có đại lượng liên quan
tới năng lượng photon vào đối số của hàm Delta - Dirac).
Trong số các hiệu ứng vật lý gây bởi tương tác trường sóng điện từ
mạnh cao tần (lazer) lên bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng
thì đáng chú ý trong đó có hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử
giam cầm trong siêu mạng hợp phần. Bài toán này đã được giải quyết vào
những năm 80 của thế kỉ XX đối với bán dẫn khối nhưng bài toán hấp thụ
6


phi tuyến sóng điên từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm
trong siêu mạng hợp phần vẫn bị bỏ ngỏ. Bởi vậy trong luận văn này, chúng
tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu
theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có tính toán cụ
thể cho trường hợp tán xạ phonon - âm và khảo sát kết quả thu được đối với
siêu mạng hợp phần GaAs - Al0.3Ga0.7As .
2.

Về phương pháp nghiên cứu:

- Để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong siêu mạng
hợp phần có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp
hàm Green, phương pháp tích phân phiếm hàm, phương pháp phương trình
động lượng tử…Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp
phương trình động lượng tử cho điện tử để giải quyết. Đây là phương pháp
được sử dụng nhiều khi nghiên cứu các hệ thấp chiều và cho hiệu quả
cao[11,12,13,14,15].

- Sử dụng phần mềm Matlab để tính số và vẽ đồ thị.
3.

Về mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
•

Mục đích:

- Nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo
biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ
điện tử - phonon âm)
- Tính toán số các kết quả lý thuyết cho một loại siêu mạng hợp phần
GaAs - Al0.3Ga0.7As .
•

Đối tượng: Siêu mạng hợp phần.

•

Phạm vi: Tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh

biến điệu theo biên độ (trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm).

7


4.

Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu

tham khảo và phụ lục, luận văn được chia làm 3 chương, 7 mục, 4 hình vẽ,
tổng cộng là 55 trang và 25 tài liệu tham khảo:
Chương 1: Giới thiệu về siêu mạng hợp phần và bài toán về hệ số
hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối.
Chương 2: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ
số hấp thụ phi tuyến sóng điện mạnh biến điệu theo từ bởi điện tử giam cầm
trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ phonon – âm).
Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần GaAs Al0.3Ga0.7As .
Các kết quả chính của luận văn

∆Ω
Ω

được chứa đựng trong chương 2 và

chương 3. Trong đó, trên cơ sở phương trình động lượng tử cho điện tử
trong siêu mạng hợp phần dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh theo biên
độ với giả thiết tán xạ điện tử - phonon âm là chủ yếu, đã thu được hàm
phân bố không cân bằng của điện tử và lấy nó là cơ sở tính hệ số hấp thụ
phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm
trong siêu mạng hợp phần. Phân tích sự phụ thuộc phức tạp và không tuyến
tính của hệ số hấp thụ vào cường độ điện trường E 0 và tần số của sóng điện
từ mạnh, nhiệt độ T của hệ. Ngoài ra, với sóng điện từ mạnh biến điệu theo
biên độ, sự thay đổi biên độ sóng theo thời gian với tần số cũng ảnh hưởng
tới hệ số hấp thụ. Từ kết quả giải tích thu được, tính toán số và vẽ đồ thị cho
siêu mạng hợp phần GaAs-Al0.3Ga0.7As.

8

CHƯƠNG 1
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ SÓNG
ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM
CẦM TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1.

Tổng quan về siêu mạng hợp phần

1.1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần

9


ε

B
A
g

Siêu mạng hợp phần là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu
trúc chuẩn hai chiều, được cấu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày d 1,
ký hiệu là A, độ rộng vùng cấm hẹp (ví dụ như GaAs) đặt tiếp xúc với lớp
bán dẫn mỏng có độ dày d2 ký hiệu là B có vùng cấm rộng (ví dụ AlAs). Các
lớp mỏng này xen kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu mạng (hướng vuông
góc với các lớp trên). Trong thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng kế tiếp dưới
10


dạng B/A/B/A…, và độ rộng rào thế đủ hẹp để các lớp mỏng kế tiếp nhau
như một hệ tuần hoàn bổ sung vào thế mạng tinh thể. Khi đó, điện tử có thể

xuyên qua hàng rào thế di chuyển từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp này sang lớp
bán dẫn có vùng cấm hẹp khác. Do đó, điện tử ngoài việc chịu ảnh hưởng
của thế tuần hoàn của tinh thể nó còn chịu ảnh hưởng của một thế phụ. Thế
phụ này được hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm
đáy vùng dẫn của hai bán dẫn siêu mạng, và cũng biến thiên tuần hoàn
nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với hằng số mạng. Sự có mặt của thế
siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản phổ năng lượng của điện tử. Hệ điện tử
trong siêu mạng hợp phần khi đó là khí điện tử chuẩn hai chiều. Các tính
chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện tử của chúng thông
qua việc giải phương trình Schodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn
của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng. Từ sự tương quan
của đáy và đỉnh vùng cấm của bán dẫn tạo thành siêu mạng, ta có thể phân
biệt siêu mạng hợp phần làm ba loại.
Loại I: được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm
hoàn toàn bao nhau (Siêu mạng AlxGa1-xAs/GaAs gồm vài trăm lớp xen kẽ
nhau bởi tỷ lệ pha tạp x đối với Al thay đổi từ 0,15 đến 0,35 và chu kỳ thay
đổi từ 50Ao đến 200Ao). Trong siêu mạng này các tương tác giữa các hạt tải
từ các lớp riêng biệt chỉ xảy ra giữa các vùng năng lượng cùng loại.
Loại II: được tạo ra từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm nằm
gần nhau nhưng không bao nhau hoặc chỉ trùng một phần (siêu mạng Ga xIn1As/ GaAsySb1-y được tạo ra năm 1977). Trong siêu mạng này có thể xảy ra

x

tương tác giữa các hạt tải nằm trong các vùng khác nhau, tức là điện tử của
bán dẫn này tương tác với lỗ trống của bán dẫn kia.
Loại III: Siêu mạng hợp phần loại này được tạo ra từ một bán
dẫn thông thường và một bán dẫn khác với khe năng lượng bằng 0(zero gap). Ngoài ra người ta còn có thể tạo ra siêu mạng pha tạp hay siêu mạng

11

"nipi". Siêu mạng loại này được tạo ra bởi sự pha tạp lớp A loại n với lớp B
loại p.
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm
trong siêu mạng hợp phần.
Các tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện
tử của chúng thông qua việc giải phương trình Schrodinger với thế năng bao
gồm thế tuần hoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng.
Bằng cách giải phương trình Schrodinger trong đó ta đưa vào thế tuần hoàn
một chiều có dạng hình chữ nhật ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng
của điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng như sau:
r
ε n k ⊥ = 2∆ − ∆ ( cos k x d + cos k y d )

( )

∆

(1.1)

Trong biểu thức (1.1), là độ rộng của vùng mini; d=d 1+d2 là chu kỳ
siêu mạng; kx, ky là các véc tơ xung lượng của điện tử theo hai trục tọa độ

12


x,y trong mt phng siờu mng. Ph nng lng ca mini vựng cú dng:
r
n k = n n cos k z d

( )

(1.2)

n
là độ rộng của mini vùng thứ n, xác định bởi biểu thức:
n = 4 ( 1)

n

d0
n
d d0

{

exp 2m ( d d 0 ) U 0 / h2
2

2m ( d d 0 ) U 0 / h2
2

}

(1.3)

U0 vc==h
2cvcA+2 vcB2v

=

Trong cụng thc (1.3), d0 l rng ca h th bit lp; l sõu n 2md 2 n

ca h th bit lp; l sõu ca h th giam gi in t c xỏc nh bi
13


cực tiểu của hai vùng dẫn của hai bán dẫn A và B; là độ sâu của hố thế giam
giữ lỗ trống được xác định bởi hiệu các cực đại của các khe năng lượng giữa
hai bán dẫn A và B; n là chỉ số mini vùng;là các mức năng lượng trong hố
thế biệt lập [5,17,23].
k12 − k22
cos ( k z d ) = cos ( k1a ) sinh ( k2b ) −
sin ( k1a ) sinh ( k2b )
2k1k2
1/2 1/2
1 1
∗2
k2 =k1 = 2m∗2(m
∆ (( r) E
) −s (εksz()k z ) )  ;
h h

(

)

Từ đó ta có:
r h2 k 2 h2π 2 n 2
⊥
εn k =

+
− ∆ n cos ( k z d )
2 m ∗ 2 m∗ d 2

( )

∆ ( r ) =∆∆εεvc c + ∆ε v

(1.4)

là thế siêu mạng được

xác định bởi hiệu các khe năng lượng hai bán dẫn. Như vậy, thế của siêu
mạng bằng tổng năng lượng chênh lệch của các vùng dẫn và độ chênh lệch
năng lượng các vùng hóa trị của hai lớp bán dẫn kế tiếp. Như đã trình bày ở
trên, vì chu kỳ của siêu mạng lớn hơn nhiều so với hằng số mạng, trong khi
đó biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so với biên độ của thế mạng
tinh thể. Do đó, ảnh hưởng của thế tuần hoàn trong siêu mạng chỉ thể hiện ở
các mép vùng năng lượng. Tại các mép của vùng năng lượng, quy luật tán
sắc có thể xem là dạng bậc hai, phổ năng lượng có thể tìm thấy trong gần
đúng khối lượng hiệu dụng. Đối với các vùng năng lượng đẳng hướng
không suy biến, phương trình Schrodinger có dạng:
h2 2
− ∗ ∆ ψ ( r ) + ∆ ( r ) ψ ( r ) = Eψ ( r )
2m

Vì

là tuần hoàn nên hàmψ∆ ( r ) sóng của điện tử

có dạng hàm

Block thỏa mãn điều kiện biên trên mặt tiếp xúc giữa hố thế và hàng rào thế.
Hàm sóng tổng cộng của điện tử trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần
(trong gần đúng liên kết mạnh) có dạng[15]:

14


r
ψ r =

( )

Nd
1
exp i ( k x x + k y y )  ∑ exp ( ik z md )ψ s ( z − md )
Lx Ly N
m =1

(1.5)
Trong đó, Lx, Ly là độψ s ( z ) dài chuẩn hóa theo hướng x và y; d
và Nd là chu kỳ và số chu kỳ siêu mạng hợp phần; là hàm sóng của điện

σ
ω
τ

tử trong hố cô lập.
1.2.

Bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến

điệu theo biên độ trong bán dẫn khối.

1.2.1. Sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối
hω <<
ε 0 kT

Việc nghiên cứu hiệu ứng động của bán dẫn nói chung, cấu trúc hệ
thấp chiều nói riêng cho ta nhiều thông tin có giá trị về tính chất và các hiệu
ứng của hệ điện tử trong hệ bán dẫn thấp chiều. Một trong những hiệu ứng
động được các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm quan tâm nghiên
cứu đó là độ dẫn cao tần của bán dẫn và sự hấp thụ sóng điện từ trong các hệ
vật liệu bán dẫn. Ngay từ những thập niên cuối của thế kỷ trước, trên quan
điểm cổ điển, dựa vào phương trình động học Bolzmann, độ dẫn cao tần đã
15


được quan tâm nghiên cứu rộng rãi. Trong các công trình đó, bài toán vật lý
được giới hạn trong miền tần số cổ điển (nhiệt độ cao), với giả thiết thời

rr
−kk

gian phục hồi xung lượng trung bìnhcủa điện tử không phụ thuộc vào tần số
của sóng điện từ. Khi sóng điện từ được truyền vào vật rắn thì có thể xảy ra
các hiện tượng sau đây: sóng truyền qua, sóng phản xạ, sóng bị hấp thụ. Sự
khác nhau giữa sóng truyền trong chân không và truyền trong vật rắn thể
hiện qua hằng số điện môivà độ dẫn điện. Hằng số điện môicho phép xác

định gián tiếp độ xê dịch của dòng hạt tải; độ dẫn điện xác định khả năng
của dòng thực mà điện trường gây ra.

16


Phổ hấp thụ của bán dẫn rất phức tạp, gồm ba phần chính sau: chuyển
dịch trực tiếp từ vùng dẫn lên vùng hóa trị; chuyển dịch gián tiếp giữa vùng
dẫn và vùng hóa trị và chuyển dịch nội vùng [1,6,9,7,8,17,18]. Sự hấp thụ
do chuyển dịch trực tiếp giữa vùng dẫn và vùng hóa trị xuất hiện khi điện tử
vùng hoá trị hấp thụ một photon có năng lượng lớn hơn độ rộng vùng cấm
và chuyển dịch lên vùng dẫn với vector sóng gần như không thay đổi (do
vector sóng của photon coi là rất nhỏ). Khi đó, tại vùng hoá trị xuất hiện
vector sóng . Sự hấp thụ này xảy ra đối với những chất bán dẫn có khe vùng
cấm như InSb, InAs, GaAs, GaSb. Hai loại hấp thụ do chuyển dịch trực tiếp
và gián tiếp của điện tử từ vùng hoá trị lên vùng dẫn có thể được tính trực
tiếp bằng lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian[1,6,17]. Tuy nhiên, có thể
sử dụng biểu thức của tensor độ dẫn điện để tính những chuyển dịch loại
này. Hệ số hấp thụ sóng điện từ chỉ phụ thuộc vào phần thực của tensor độ
dẫn điện. Khi không xét tới tương tác điện tử-phonon cũng như bỏ qua các
tương tác khác, biểu thức phần thực độ dẫn điện có dạng giống như quy tắc
Fermi:
Re σ xx =

2
π
e − β Em
m H n δ ( Em − En − hω )
∑
ω m ,n Z

(1.6)

Sự hấp thụ do chuyển dịch nội vùng: ngoài các chuyển dịch giữa
các vùng dẫn ở trên, sự hấp thụ sóng điện từ còn phụ thuộc vào chuyển dịch
nội vùng, được thể hiện khi tần số sóng điện từ nhỏ hơn độ rộng vùng cấm
hoặc nếu như trong cùng một vùng năng lượng của kim loại hay bán dẫn tồn
tại các trạng thái lấp đầy và các trạng thái không lấp đầy. Sự hấp thụ do
chuyển dịch nội vùng là sự hấp thụ mà các điện tích tự do hấp thụ hoặc bức
xạ phonon liên tục để có thể chuyển dịch từ trạng thái này sang trạng thái
khác. Do đó, có thể coi chuyển dịch loại này là chuyển dịch liên tục giữa các
trạng thái kế tiếp nhau[5,9,16]. Ngoài các chuyển dịch nội vùng do tương
tác điện tử-phonon, điện tử tự do có thể chuyển dịch giữa các trạng thái do

17


các tương tác khác như tương tác điện tử-ion nút mạng, điện tử-tạp chất,…
[12,13,19,22], trong đó tương tác điện tử - phonon có đóng góp đáng kể nhất

α zz ( ω )
đối với chuyển dịch của điện tử tự do.

Như đã phân tích ở trên, dù là hấp thụ do chuyển dịch giữa các vùng
dẫn và vùng hóa trị hay hấp thụ do dịch chuyển nội vùng thì tương tác giữa
hạt tải và phonon có đóng góp đáng kể nhất đối với sự dịch chuyển của các
hạt tải tự do. Điều này có nghĩa là khi điện tử chuyển động trong mạng tinh
thể của bán dẫn chịu ảnh hưởng của sóng điện từ theo hướng làm tăng tốc,
đồng thời chịu ảnh hưởng của dao động mạng tinh thể theo hướng cản trở
chuyển động. Với giả thiết, điện trường biến thiên mạnh là sóng điện từ

phẳng và sự truyền sóng điện từ này dọc theo trục (giả thiết 0z) có cường độ
sóng điện từ giảm dần. Đại lượng đặc trưng cho quá trình giảm cường độ
của sóng điện từ khi đi sâu vào trong bán dẫn gọi là hệ số hấp thụ sóng điện
từ, ký hiệu , có dạng[1,6,19,22,23,25]
 4π 
α zz ( ω ) =  ∗ ÷Re σ zz ( ω )
 cN 
18


(1.7)
Ở đây, N* là chiết suất tinh thể; c là vận tốc ánh sáng.
Khảo sát độ dẫn điện của vật liệu và hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh
do tương tác điện tử-phonon gây ra là một bài toán mang tính chất kinh điển
nhưng rất quan trọng vì đây là các hiệu ứng xảy ra khi các vật liệu bán dẫn
có mặt trong các linh kiện hoạt động. Dưới tác dụng của điện trường và từ

uurr
Re
σ
EE0

trường, độ dẫn điện của hạt dẫn cho ta nhiều thông tin về tính chất chuyển
tải lượng tử. Sự chuyển dịch của điện tử giữa vùng dẫn và vùng hoá trị như
đã trình bày ở trên có thể được khảo sát nhờ sử dụng lý thuyết phản ứng của
hệ dưới tác dụng của trường ngoài (điện trường, từ trường). Hệ số hấp thụ
tương ứng với chuyển dịch giữa vùng dẫn và vùng hoá trị là phức tạp, đặc
biệt khi xét tới các số hạng bậc cao (sóng điện từ mạnh, tần số cao).

19

Hệ số hấp thụ sóng điện từ tỷ lệ thuận với , vì vậy hệ số hấp thụ
tuyến tính sóng điện từ không phụ thuộc vào cường độ điện trường (ở đây ta
chỉ tính đến số hạng bậc nhất của tensor độ dẫn cao tần). Trong trường hợp
sóng điện từ có cường độ mạnh cao tần, đóng góp của số hạng bậc cao vào
tensor độ dẫn cao tần là đáng kể và phải được tính đến. Khi đó xuất hiện sự
phụ thuộc phi tuyến của tensor độ dẫn cao tần vào cường độ điện trường của
sóng điện từ.Vì vậy, hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ là đại lượng phụ
thuộc phi tuyến vào cường độ điện trường .
1.2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử
trong bán dẫn khối
Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn
khối khi có mặt trường sóng điện từ mạnh. Ta có Hamilton của hệ điện tử phonon trong bán dẫn khối là:
(1.8)

H = H e + H ph + H e − ph

Với:
+

e


H e = ∑ ε k − A( t ) a k+ a k
c


k

(

H e− ph = ∑ C q ak +q ak bq + b−q
+

q ,k

+

H ph = ∑  ωqbq+bq

+

)

q

+

rr

( )

+ + là trạng thái của điện tử ε qkk trước và sau tán xạ; là năng lượng
của điện tử.
+

lần lượt là toán tử ar+ , ar sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt
k
k

fecmi )
{a[kra, akr+ kr,+a'}kr+=' ]=[
{aakr k'r,,aakr+kr}=
] =δ 0kr,kr '
'
+

;

lần lượt là toán tử br+ , br sinh và hủy phonon (kiểu hạt
q
q

boson)

20


r ,δ
[bkr+ [, bkr+,' ]=[
bkr+' ]b=
bkrkr',]kr '= 0
k

+ là hằng số tương tác điện tử Cqr -

;

phonon

âm,

có

biểu

thức:

+

là

hàm

năng

[16,19,22,23,25]
2

Cqr =

ξ 2hq
2 ρυ sV0

rr ee urur 
εkk−− AA((t t))÷÷
 hhcc

+ là

thế

vector

(1.9)

lượng theo biến

ur

của A ( t ) trường điện từ, được xác định bởi

biểu thức:
ur
ur
ur
ur
E 0 cos(
E 0 (τ )c
d∆Ω
A (τt))c uur
1
A(t ) = −
) = ( Ωt ) cos(Ωt )
=cos(
E0Ω
(τt)sin
Ω
c Ω dt

Ta có

(1.10)
Từ đó ta suy ra Hamilton của hệ điện tử - phonon âm trong bán dẫn
khối là:
 r e ur  r+ r
H =∑
ε
hωqrbqr+bqr + ∑
C rar+ ra r b−+qr + bqr
 k − A ( t ) ÷ak ak + ∑
r
r
r r q k +q k
hc


k
q
q ,k

(

)

(1.11)
ψ

t

=ψw
Tr t( wψ )

Để thiết lập phương

trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối, sử dụng:, với là toán tử
ma trận mật độ, là kí hiệu trung bình thống kê tại thời điểm t:
ih

∂nkr ( t )
∂t

= ih

∂ r+ r
ak ak =  akr+ akr , H 
∂t

t

(1.12)

Hay:
ih

∂nkr (t )
∂t

r+ r

r r
r+ r r r+ 
 r e r  rr+ rr
rb r br +
ra r ra r (br + b r )
=  akr+ akr , ∑
ε
k
'
−
A
(
t
)
a
a
+
h
ω
C
∑
∑
q
q
q
q
q
−q 

÷

k
'
k
'
k '+ q k '
r
r
r r
hc


q
k'
q ,k '



(1.13)
21

t


Vế phải của (1.13) có ba số hạng. Ta lần lượt tính từng số hạng.
- Số hạng thứ nhất:

 r e ur  r+ r 
st1 t =  akr+ akr ; ∑
ε
 k '− A(t ) ÷ak ' ak ' 

r
hc


k'



-

=
t

r

e ur



∑ ε  k '− hc A(t ) ÷ a a ; a
+
r r
k k

r
k'

a 

+

r r
k' k'

t

Ta có

 akr+ akr ; akr+' akr '  = akr+ akr akr+' akr ' − akr+' akr ' akr+ akr = akr+ (δ kr,kr ' − akr+' akr )akr ' − akr+' (δ kr, kr ' − akr+ akr ' )akr
akr+ akr 'δ kr,kr' − akr+' akrδ kr,kr '

st1 t =

-

r

e ur



∑ ε  k '− hc A(t ) ÷ (a a δ
r
k'

+
r r rr
k k ' k ,k '

− akr+' akrδ kr,kr ' )

Vậy

=0

(1.14)

t

Số hạng thứ hai:


+
rbr br
sh 2 t =  akr+ akr ; ∑
h
ω

q
q
q
r
q



(1.15)

=0

( Do toán tử a, b

t

là hai loại độc lập, chúng giao hoán với nhau).
-

Số hạng thứ ba:



+
+
r a r r a r br + b r
sh3 t =  akr+ akr ; ∑
C
q
−q 
r uur q k ' + q k '
q,k '



(

)

=
t

∑C

rr
q ,k '

r
q

(

 ar+ ar ; ar+ r a r  br + b +r
 k k k '+ q k '  q − q

)

t

Ta có
 ar+ a r ; ar+ ra r  = ar+ ar ar+ r ar − a r+ rar++a r+ ar = ar+ (δ r+ r r − ar+ r a r )ar +− a r+ r (δ r r − a r+ ar+ )ar =
k sh
k 3k ' + q= k '
 k k k '+ q k ' 
Ck '+qrq akkr' akkr 'δkkr,kr ' + qrk− akkr,'k+'qr+aq krδ kr,kkr''+ q bkqr +kb' − qr k '+ q k ,k ' k k ' k
∑
t
rr
+
+
q ,k '
t
akr akr 'δ kr,kr' + qr − akr '+ qr akrδ kr,kr '

(

)(

)

Vậy

(

=∑
Cqr − akr+ akr−qrbqr − akr+ akr−qrb−+qr + akr++ qr akrbqr + akr++ qr akrb−+qr
r
q

t

t

22

t

t

)


=∑
Cqr  − Fkr, kr− qr,qr (t ) − Fkr*−qr,kr, − qr (t ) + Fkr+ qr,kr,qr (t ) + Fkr*, kr+ qr, − qr (t ) 

r


q

Với

Fk ,k ,q ( t ) = a k+ a k bq
1

2

1

2

(1.16)

t

Vậy phương trình (1.13) trở thành:
ih

∂nkr (t )
∂t

=∑
Cqr  Fkr+ qr,kr, qr (t ) + Fkr*,kr+ qr,− qr (t ) − Fkr,kr− qr,qr (t ) − Fkr*−qr, kr,− qr (t ) 
r



q

Hay
∂nkr ( t )
∂t

=

i
Cqr  Fkr+ qr,kr,qr ( t ) + Fkr∗,kr+ qr,− qr − Fkr,kr−qr,qr ( t ) − Fkr∗−qr,kr,− qr 
∑
r
h q

(1.17)
Fkuur,kr2 ,qr (Ftkuur)1 ,kr=2 ,qr (atkr+)1 akr2 bkr
1

Trong đó, . Tương tự
t

như trên, thiết lập phương
trình cho và giải phương trình này thu được. Thay vµo (1.17), thu ®îc ph¬ng
tr×nh ®éng lîng tö cho ®iÖn tö trong b¸n dÉn khèi.
∂nkr ( t )
∂t

1
=− 2

h

λ λ
J s  ÷J l  ÷exp −
C qr
∑
 i ( s − l ) Ωt  ∑
r
Ω Ω
s ,l =−∞
q
∞

( (

) ( )

( (

) ( )

)

2 t

∫ dt

1

−∞

r r
r

i

× exp  ε k + q − ε k − hωqr − l hΩ + iδ ( t − t1 ) 
h





r
r
r
r
r
× nk ( t1 ) N q − nk + q ( t1 ) N q + 1 + nkr ( t1 ) N qr + 1 − nkr+ qr ( t1 ) N qr 

 

r r
r
i

× exp  ε k + q − ε k + hωqr − l hΩ + iδ ( t − t1 ) 
h

r

r r
i

− exp  ε k − ε k − q − hωqr − l hΩ + iδ ( t − t1 ) 
h

×  nkr− qr ( t1 ) N qr + 1 − nkr ( t1 ) N qr  −  nkr−qr ( t1 ) N qr + 1 − nkr ( t1 ) N qr 

 


(

)

( () (

(

(

Với ; , là cường độ điện

ur
r
Ω
δ 0 ()τ ) q
EeE
0 (τ
λ=

mΩ
23

)

(

( () (

r
r r
i
× exp  ε k − ε k − q + hωqr − l hΩ + iδ
h

)

)

)

)

)

) ( t − t )  
1

δ →0

)

(1.18)


trường biến điệu và tần số của sóng điện từ. Tham số dương vô cùng bé đưa
vào để đảm bảo giả thiết đoạn nhiệt. Sử dụng phép gần đúng lặp liên tiếp:
nkrn+−krqr ( t11 ) ≈≈ n krkr+−qr

;

;

(1.19)
Đặt s-k =l, giải phương trình (1.18) thu được:
= −∑
Cqr
r
q

2

ur
r
ur
r
 eE 0 ( nτkr) (qt )
 eE 0 ( τ ) q  1 − ilΩt
∑ J k  m∗Ω2 ÷÷J k +l  m∗Ω2 ÷÷lΩ e
k ,l =−∞

r
r


∞

(

)

(

)


n kr N q − n kr+ qr N q + 1
n kr N qr + 1 − n kr+ qr N qr

× r r
+ r r
r
r
ω r − k hΩ + iδ
ε 1k −+ nqkr N−qrε k + h
n kr− qr N qr −εn krk +Nqqr +−1ε k − hωqr − k hΩn kr+−qr iδN qr +
 q
− r
+ r
r r
r r


ε k − ε k + q − hωqr − k hΩ + iδ ε k − ε k − q + hωqr − k hΩ + iδ 


( ) (

)

(( ) )( )

( ) (

(

)

()

) ( )

(1.20)
Biểu thức (1.20) là hàm phân bố điện tử không cân bằng trong bán
dẫn khối. Phương trình này là cơ sở để tính hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh
biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối .
1.2.3. Biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu
theo biên độ trong bán dẫn khối
Véc tơ mât độ dòng xác định bởi công thức:
ur
eh  r e ur  r
J ( t) = ∗ ∑

 k − A ( t ) ÷nk ( t )
m kr 
hc


(1.21)

ur
cE 0 ( τ )
A( t ) =
cosΩt
Ω

víi . Thay (1.10) vµo ur
(1.19), ta ®îc:

ur
r
e 2 n0 E0 ( τ )
e
J ( t) =
c
os
Ω
t
+
kn
∑ r ( t ) (1.22)
m∗Ω
m∗ kr k

Xét số hạng thứ hai của (1.20), kết hợp với (1.18), ta được:
ur
r
ur
r
r
2 ∞
 eE 0 ( τ ) q 
 eE 0 ( τ ) q  1 − ilΩt r
e
e
1
Jk 
J
e ∑
k
∑ knr ( t ) = − m∗ lΩ ∑r Cqr k ,∑
r
 m∗Ω 2 ÷
÷ k +l  m∗Ω 2 ÷
÷l Ω
m∗ kr k
l =−∞
q
k





24


(

)

(

)


n kr+ qr N qr + 1 − n kr N qr
n kr−qr N qr + 1 − n kr N qr

× r r
+ r
r
r r
r − k hΩ + iδ
ε
k
+
q
−
ε
k
−
h

ω
ε
k
−
ε
k
− q + hωqr − k hΩ + iδ

q

(

) ( )

(

( ) (

)

)

(

)


n kr+ qr N qr − n kr N qr + 1
n kr− qr N qr − n kr N qr + 1


+ r r
+ r
r
r r

ε k + q − ε k + hωqr − k Ω + iδ ε k − ε k − q − hωqr − k hΩ + iδ 


(

) ( )

( ) (

)

(1.23)
J − µ ( x ) = ( −1) J µ ( x ) = J µ ( − x )
µ

Sử

dụng

tính

chất hàm Bessel,
r
r
qk → −qk

Số hạng thứ nhất (1.23), đổi

biến ; , ta được:

∑C
r
q

2

(

(

r
q

)

ur
r
ur
r
n kr+ qr N qr + 1 − n kr N qr
r
 eE 0 ( τ ) q 
 eE 0 ( τ ) q  −ilΩt
∑ J k  m∗Ω2 ÷÷J k +l  m∗Ω2 ÷÷e ∑r −k ε kr + qr − ε kr + hωr − k hΩ + iδ
k ,l =−∞

k




q
∞

) ( )

(1.24)
r
r
kkq →
→−
−qkk

Số hạng thứ hai, đổi biến ; ;

, ta được:

(

)

urur rr
ur
r
n kr+ qr N qr − n kr N qr + 1
r

 eE
 eE 0 ( τ ) q  − ilΩt
eE0 0( τ( τ) )qq 
=∑
C C ∑∑J J   ∗ ∗ 2 2 ÷÷JJ− k +−l 
e ∑
−k r r
r
∑
r
  mmΩΩ ÷÷
 m∗Ω 2 ÷
÷
ε
k
+
q
−
ε
k
+ hωqr − k hΩ − iδ
k




2 2∞ ∞
r r
−k k
r r q q

k ,l =−∞
k ,l =−∞
q q

(

) ( )

(1.25)
k → −k

Sè h¹ng thø ba gi÷ nguyªn.

Số hạng thứ tư, đổi biến , ta được:

∑C
r
q

2
r
q

(

)

ur
r
ur

r
n kr+ qr N qr − n kr N qr + 1
 eE 0 ( τ ) q 
 eE 0 ( τ ) q  − ilΩt r
J
J
e
k
∑ − k  m∗Ω2 ÷÷ − k +l  m∗Ω2 ÷÷ ∑r ε kr + qr − ε kr + ωr − k Ω − iδ
k ,l =−∞
k




q
∞

(

25

) ( )