Luận văn phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm composite lớp trên nền đàn hồi

MỞ ĐẦU
Vật liệu composite ngày nay được sử dụng rộng rãi khi thiết kế chế tạo
những kết cấu hàng không, tên lửa, vũ trụ, tàu thuyền. Composite được ứng dụng
ngày càng nhiều trong những lĩnh vực khác nhau của ngành chế tạo máy và nền
kinh tế quốc dân.
Composite được ứng dụng và phát triển như vậy vì chúng rất nhẹ và bền.
Để có thể thiết kế tối ưu vật liệu và các kết cấu composite, cần thiết phải hiểu rõ
bản chất và những quy luật ứng xử cơ học khá phức tạp của loại vật liệu này.
Trong thực tế thường gặp các kết cấu đặt tiếp xúc trên bề mặt một môi
trường hoặc vật thể đàn hồi khác, ví dụ dầm móng đặt trên nền đất, cầu phao phà
đặt trên mặt nước. Bài toán xác định nội lực và chuyển vị của kết cấu trên nền
đàn hồi là dạng bài toán siêu tĩnh, trong đó phản lực nền là một hệ lực phân bố
liên tục trên bề mặt tiếp xúc, phụ thuộc vào biến dạng của kết cấu cũng như quan
niệm về mô hình nền. Trong luận văn này ta sử dụng mô hình đơn giản, thường
dùng trong kỹ thuật là mô hình Vinkler. Theo đó, cường độ phản lực của nền tại
một điểm tỷ lệ thuận với độ lún của nền tại điểm đó. Nếu kí hiệu p là áp suất
phản lực, y là độ lún, K là hệ số nền thì p = Ky. Thứ nguyên của hệ số nền là
[Lực/(chiều dài)3].
Dao động là một hiện tượng phổ biến trong tự nhiên và trong kỹ thuật. Các
máy, các phương tiện giao thông vận tải, các tòa nhà cao tầng, các cầu, các mạch
điện là các hệ dao động trong kỹ thuật. Nghiên cứu về dao động ngày nay trở
thành bộ phận không thể thiếu được cho tất cả các kết cấu, công trình.
Trong [1], [6] đã nghiên cứu bài toán dao động của vỏ trụ và vỏ thoải
composite có gân gia cường. Dao động phi tuyến của tấm composite lớp có gân
gia cường được tính toán trong [2]. Trong [5] đã nghiên cứu bài toán phi tuyến,
đưa ra các hệ thức tính toán tĩnh và động cho vỏ thoải composite hai độ cong bất
kỳ. Trong [7] đã tính toán dao động vỏ thoải composite.

1

Mục đích của luận văn là tìm nghiệm giải tích gần đúng của bài toán tĩnh
và động lực tấm composite lớp trên nền đàn hồi theo mô hình Vinkler. Từ hệ
phương trình cân bằng đã sử dụng hàm ứng suất và phương pháp BubnovGalerkin để nhận được phương trình dao động phi tuyến của tấm. Lời giải số tìm
được theo phương pháp bước lặp và sơ đồ tính toán Newmark, đã xem xét quan
hệ tần số - biên độ dao động phi tuyến, ảnh hưởng của hệ số nền và tần số dao
động ngoại lực đến lời giải bài toán động lực của tấm. Báo cáo đã sử dụng phương
pháp phần tử hữu hạn tính toán độ võng tấm composite lớp trên nền đàn hồi. Đã so
sánh kết quả thu được theo hai phương pháp giải tích và phần tử hữu hạn.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Các hệ thức cơ sở của tấm composite lớp trên nền đàn hồi.
Chương 2. Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm composite lớp trên nền đàn hồi.
Chương 3. Tính toán số cho tấm composite lớp trên nền đàn hồi.
Qua đây, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Vũ Đỗ Long người
đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Em cũng xin bày tỏ
lòng biết ơn đến các thầy cô trong bộ môn Cơ học và các thầy cô trong khoa Toán –
Cơ – Tin học đã trang bị kiến thức giúp em hoàn thành luận văn này.
Các kết quả chính của luận văn đã được trình bày và thảo luận tại Hội nghị
khoa học toàn quốc “Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 10”. Tác giả đã nhận được
những góp ý bổ ích từ các thành viên của Hội nghị. Tuy nhiên do bước đầu tiếp cận
nghiên cứu khoa học về lĩnh vực vật liệu composite, chắc chắn luận văn không
tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong tiếp tục nhận được những đánh
giá và góp ý của các thầy cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Học viên
Nguyễn Thị Huệ

2


CHƯƠNG 1
CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ CỦA TẤM COMPOSITE LỚP TRÊN

NỀN ĐÀN HỒI
1.1. Phương trình tổng quát của tấm composite lớp trên nền đàn hồi
1.1.1. Mối liên hệ chuyển dịch – biến dạng của tấm composite lớp
Xét một tấm composite lớp có , x3x≡12 z là các trục tọa độ nằm trong mặt
phẳng giữa theo các cạnh, còn hướng theo phương pháp tuyến với mặt giữa
(Hình 1).
x1
x1

x3

x2

0
Hình 1

Theo lý thuyết của Kirchhoff – Love mối liên hệ phi tuyến dịch chuyển –
biến dạng của tấm:

ε11 = ε10 + zφ1
ε 22 = ε 20 + zφ2
2
0 ∂w 
∂
u
1
0
= ε 6 + zφ6
ε1 = γ 12 +


÷
∂x1 2  ∂x1 
2
∂v 1  ∂w 
0
ε2 =
+ 
÷
∂x2 2  ∂x2 
∂u ∂v ∂w ∂w
ε 60 =
+
+
∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2
∂ 2w
φ1 = − 2
∂x1
∂2w
φ2 = − 2
∂x2 3
∂2w
φ6 = −
∂x1∂x2

Trong đó:


(1.1)
Còn là chuyển vị của phương
εφ1u01,,,φεv22,0,w

,φε660
ngang, phương dọc và độ võng của các điểm giữa thuộc mặt phẳng của tấm; là
các biến dạng tại mặt giữa; là các biến thiên độ cong của tấm. Chúng thỏa mãn
phương trình tương thích biến dạng:
2

∂ 2ε10 ∂ 2ε 20 ∂ 2ε 60  ∂ 2 w  ∂ 2 w ∂ 2 w
+ 2 −
=
÷ − 2
∂x1∂x2  ∂x1∂x2 
∂x22
∂x1
∂x1 ∂x22 (1.2)
1.1.2. Quan hệ
ứng suất biến dạng của tấm composite lớp
Sử

dụng

giả

thiết σ 13 = σ 23 = σ 33 = 0

Kirchhoff có thể bỏ qua thành phần ứng suất vuông góc với mặt giữa:
Liên hệ ứng suất biến dạng của lớp composite thứ k của tấm là [5]:
σ 11 
 
σ 22 
σ 

 12 

(k )

 Q11 Q12 Q16 


=  Q12 Q22 Q26 


Q 16 Q26 Q66 

(k )

 ε1 
 
ε 2 
ε 
 6

(k )

(1.3)
Trong đó ký
hiệu các thành phần

biến dạng trong mặt phẳng lớp thứ k:
εε22
611≡≡εε12
12 , ,

Trường hợp phương của sợi lệch Q
Qθx1ijijkk một góc với trục của tấm, thay ma
trận bằng ma trận . Trong đó tính qua theo công thức [4]:

4


Q11 = Q11 cos 4 θ + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ cos 2 θ + Q22 sin 4 θ

(

Q12 = ( Q11 + Q22 − 4Q66 ) sin 2 θ cos 2 θ + Q12 sin 4 θ + cos 4 θ

)

Q16 = ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin θ cos3 θ + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin 3 θ cosθ
Q22 = Q11 sin 4 θ + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ cos 2 θ + Q22 cos 4 θ
Q26 = ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin 3 θ cosθ + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin θ cos3 θ

(

Q66 = ( Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 ) sin 2 θ cos 2 θ + Q66 sin 4 θ + cos 4 θ

)

(1.4)
Biểu thức các hằng số độ cứng qua các mô đun đàn hồi trong hệ trục chính
như sau:
QQ6616
=G

012
26=E
2E
12
QQ
=
=
ν 12
1211
22
E
E
ν
G
E
trong đó: ,là các môđun đàn
22
2
2
12
12
1
2
(1.5)
1 1− − ν 12
ν12
E1E1
hồi của tấm theo phương trục
chính của lớp vật liệu composite; là hệ số Poisson của vật liệu, là môđun trượt
trong hệ trục chính của lớp vật liệu.

Lực pháp, lực tiếp, mômen uốn, mômen xoắn được xác định theo công thức:
,

,

Ở đây:

N12 =

Thay (1.3) vào (1.6) ta được:

hh
22
h
h
M
N161 == 22 σσ11
dz
11
12zdz
N 21MN=262N==6−−, hh22M
= M 21
σσ22
dz
12
22zdz
−−hh
22

∫

∫

5

= M6

(1.6)


h

4

N1 = ∑

k =1 −

=∑

k =1 −

h

=

∫h

h

4

2

(Q

2

11

2

2

∫h

( k)

( k)

( k)

)

ε1 + Q12 ε 2 + Q16 ε 6 dz

(

)

(

)

(

Q ( k ) ε 0 + zφ + Q ( k ) ε 0 + zφ + Q ( k ) ε 0 + zφ
1
1
12
2
2
16
6
6
 11

2

(

)

(

)

(

Q ( 1) ε 0 + zφ + Q ( 1) ε 0 + zφ + Q ( 1) ε 0 + zφ
1

1
12
2
2
16
6
6
 11

∫
h

4

h

4

(

0
0

+
−

∫h

(

4

−h

+
−

)

(

)

) dz +

(

Q ( 2) ε 0 + zφ + Q ( 2 ) ε 0 + zφ + Q ( 2 ) ε 0 + zφ
1
1
12
2
2
16
6
6
 11

∫

+

∫h

)

(

)

) dz

) dz +

(

)

Q ( 3) ε 0 + zφ + Q ( 3) ε 0 + zφ + Q ( 3) ε 0 + zφ dz +
1
1
12
2
2
16
6
6 
 11


4

2

(

)

(

)

(

Q ( 4) ε 0 + zφ + Q ( 4 ) ε 0 + zφ + Q ( 4 ) ε 0 + zφ
1
1
12
2
2
16
6
6
 11

) dz

= A11ε10 + A12ε 20 + A16ε 60 + B11φ1 + B12φ2 + B16φ6

4

N2 = ∑

h

∫ (Q
2

k =1 − h

=

2
A12ε10 +

12

( k)

( k)

( k)

)

ε1 + Q22 ε 2 + Qh26 ε 6 dz
4

2

(

( k)

N 6 = ∑ ∫ Q16 ε1 + Q26
A22ε 20 + A26ε 60 + B12
k =φ
11− h+ B22φ2 + B26φ6
2

( k)

( k)

)

ε 2 + Q66 ε 6 dz

= A16ε10 + A26ε 20 + A66ε 60 + B16φ1 + B26φ2 + B66φ6
4

M1 = ∑

h

2

∫

k =1 − h

4

=∑

h

2

2

∫

k =1 − h

2

(

( k)

( k)

( k)

)

Q11 ε1 + Q12 ε 2 + Q16 ε 6 zdz

(

)

(

)

(

)

Q ( k ) ε 0 + zφ + Q ( k ) ε 0 + zφ + Q ( k ) ε 0 + zφ zdz
1
1
12
2
2
16
6
6 
 11


6


h

2

(

4

h

)

(

)

(

)

Q ( 1) ε 0 + zφ + Q ( 1) ε 0 + zφ + Q ( 1) ε 0 + zφ zdz +
1
1
12
2
2
16
6
6 
 11


∫
h

=

4

(

)

(

)

(

) zdz +

(

)

(

) zdz +

( 2)
( 2) 0
( 2)
+ ∫ Q11 ε10 + zφ1 + Q12
ε 2 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6


0
0

+
−

∫h

(

4

)

Q ( 3) ε 0 + zφ + Q ( 3) ε 0 + zφ + Q ( 3) ε 0 + zφ
1
1
12
2
2
16
6
6
 11

−h

+
−

4

∫h

h

M2 = ∑

4

2

2

∫

k =1 − h

2

= B411ε10 + B12ε 20 + B16ε4 60 + D11φ1 + D12φ1 +4 D16φ6
Q ( ) ε 0 + zφ + Q ( ) ε 0 + zφ + Q ( ) ε 0 + zφ
1
1
12
2
2
16
6
6

 11

(

)

(

(

)

)

(

(

)

) zdz

(

)

Q ( k ) ε 0 + zφ + Q ( k ) ε 0 + zφ + Q ( k ) ε 0 + zφ zdz
1
1
22

2
2
26
6
6 
 12


= B12ε10 + B22ε 20 + B26ε 60 + D12φ1 + D22φ1 + D26φ6
4

M6 = ∑

h

k =1 −

2

∫h

2

(

)

(

)

(

Q ( k ) ε 0 + zφ + Q ( k ) ε 0 + zφ + Q ( k ) ε 0 + zφ
1
1
26
2
2
66
6
6
 16

= B16ε10 + B26ε 20 + B66ε 60 + D16φ1 + D26φ1 + D66φ6
Với:

(i, j =
1,

2,

N zk +1

( k)
Aij , Bij , Dij ) = ∑ ∫ Qij ( 1, z , z 2 ) dz
(
6)
k =1 zk

7

) zdz


(1.7)
Mối quan hệ giữa lực pháp, lực tiếp, momen uốn, momen xoắn và biến
dạng, biến thiên độ cong được viết dưới dạng ma trận như sau:
 N1   A11
N  A
 2   12
 N 6   A16
 =
 M1   B11
 M 2   B12
  
 M 6   B16

A12
A22
A26
B12
B22

A16 B11 B12
A26 B12 B22
A66 B16 B26
B16 D11 D12
B26 D12 D22

B26

B66

D16

D26

0
B16  ε1 
÷ 
B26 ÷ε 20  (1.8)
B66 ÷ε 0  với: N  Aij  ,  Bij  ,  Dij 
     
÷ 6 
D16 ÷ φ  = 4 là
1
D26 ÷φ  số lớp của tấm;
÷ 2 
D66 ÷
 φ6  lần lượt là ma

trận độ cứng dãn nén, độ cứng tương tác dãn – uốn – xoắn và độ cứng uốn của
tấm composite lớp.
A16 , AB26ij,D=160, D26
 
xứng qua mặt giữa ta có và xem

Giả thiết tấm xếp lớp đối

các đại lượng là nhỏ có thể bỏ qua.
Khai triển (1.8) ta được biểu thức lực màng của tấm composite lớp:
N1 = A11ε10 + A12ε 20
N 2 = A12ε10 + A22ε 20
N 6 = A66ε 60

(1.9)
Giải ngược lại suy ra:
, ,

Trong đó: , ,

E12*

2
GA*11=A22
A66− A12
=
A11
22

εε1020 ==

11  ε 0 =
AA12121 N
N
N
−
−
N

N 6
6
 12
G* 21 ÷
AA2211
EE1*2* 


Và mômen trong của tấm composite lớp được tính theo công thức:
 ∂ 2w
∂ 2w 
M1 = D11φ1 + D12φ2 = − D1  2 + µ2 2 ÷
∂x2  (1.10)
 ∂x1
2
∂ w
∂ 2 w  Trong đó:
M 2 = D12φ1 + D22φ2 = − D2  2 + µ1 2 ÷
∂x1 
 ∂x2
2
∂ w
M 6 = D66φ6 = −2 Dk
∂x1∂x2
8

DDk21 == D
D66
22
11

,

,

µ Dµ122
µ121 === 12
D1 D
D
D22
11
2

, ,

D3 = 2 Dk + D1µ 2 = 2 Dk + D2 µ1

1.1.3. Phương trình chuyển động của tấm composite lớp trên nền đàn hồi
Phương trình chuyển động của tấm composite lớp trên nền đàn hồi với hệ
số nền K theo mô hình Vinkler được viết như sau [5]:

∂N1 ∂N 6
∂ 2u
∂3w
+
= J O 2 − J1
(1.11)
∂
x

∂
x
∂t
∂x1∂t 2
12
2
2
2
∂ M 1 ∂N∂ M∂6N ∂ M 2∂ 2v ∂  ∂∂3w
∂w  ∂  ∂w
∂w 
+ 2 6 + +2 =N Jz2kJ+1i + − J N1 w + N 6
+
N6
+ N2
Trong đó được
÷

÷
2
1
∂x1∂xJ∂2x= ∂x2O ∂ρt(2k∂) xz1i dz
∂∂x1t 2
∂x2  ∂x2 
∂x1
∂x2 
∂x1

∂
x

∂
x
xác định theo
1
i 2 ∑ ∫
2
2
3
3


 ∂4w
k
=
1
∂
w
∂
u
∂
v
∂4w 
z
công thức:
k
= J O 2 + J1 
+
− J 2  2 2 + 2 2 ÷− q (t ) + Kw
2÷
k2))

(
q
(
t
là mật độ khối
∂t
∂
x
∂
t
∂
x
∂
t
∂x2 ∂t 
2
 1ρ

 ∂x1 ∂t
lượng của lớp
thứ k, là lực phân bố
1.2. Nghiệm của bài toán
Giả thiết lực ngang phân bố đều q(t ) và mật độ khối lượng của lớp thứ k là
hằng số. Khi đó ta có:
N zk +1

Theo Volmir [8] thì các

J1 = ∑

∫
k =1

ρ ( k ) zdz = 0

zk

số hạng quán tính trong hai
phương trình đầu của (1.11) có thể bỏ qua. Do vậy phương trình chuyển động có
dạng:
∂N1 ∂N 6
+
=0
∂x1 ∂x2
(1.12)
(1.13)

∂N 6 ∂N 2
+
=0
∂x1 ∂x2

9


∂ 2 M1
∂ 2M 6 ∂2M 2
∂  ∂w
∂w 
+

2
+
+
N
+
N

÷+
1
6
∂x1∂x2
∂x1  ∂x1
∂x2 
∂x12
∂x22
 ∂ 4w
∂  ∂w
∂w 
∂ 2w
∂ 4w 
+
+ N2
 N6
÷ = J O 2 − J 2  2 2 + 2 2 ÷− q (t ) + Kw
∂x2 
∂x1
∂x2 
∂t
∂x2 ∂t 
 ∂x1 ∂t

(1.14)
Phương trình (1.12), (1.13) thỏa mãn khi đưa vào hàm ứng suất φ dạng:
∂ 2ϕ
N1 = hσ 11 = 2
∂x2
(1.15)
2
∂ϕ
N 2 = hσ 22 = 2
∂x1
∂ 2ϕ
N 6 = hσ12 = −
∂x1∂x2
Thay (1.9) và (1.15) vào phương trình tương thích biến dạng ta được:

Suy ra:
Vì

nên

4
∂ 2ε10 1  ∂ 4ϕ
* ∂ ϕ 
= *  4 − ν1 2 2 ÷
∂x22
E1  ∂x2
∂x1 ∂x2 
∂ 2∂ε21ε0 20 ∂ 2ε120  ∂ 4∂ϕ2ε 60 * ∂14ϕ∂ 4ϕ 1 ∂ 4ϕ  1 ν 1* ν 2*  ∂ 4ϕ
+ = 2* − 4 − ν 2= 2* 2 4÷ + * 4 +  − * − * ÷ 2 2
∂∂x2*1x1ν∂*x212 ∂xE1ν1∂1*x∂2x2 E2 ∂x1  G E1 E2  ∂x1 ∂x2

∂x∂22x112 ∂νE
x1*12 ν1*ν
− * − * =* = * − 2 *
0
G
E11 E1E∂23ϕE2G
E1 Do đó phương trình
∂ε 6
=− * 2
∂x1
G ∂x1 ∂x2
tương thích biến dạng trở

∂ 2ε 60
1 ∂ 4ϕ
thành:
=− * 2 2
∂x1∂x2
G ∂x1 ∂x2
2
1 ∂ 4ϕ  1
ν 1*  ∂ 4ϕ
1 ∂ 4ϕ  ∂ 2 w  ∂ 2 w ∂ 2 w
+
−2 *÷ 2 2 + * 4 =
÷ − 2
(1.16)
E2* ∂x14  G*
E1  ∂x1 ∂x2 E1 ∂x2  ∂x1∂x2 
∂x1 ∂x22

Thay (1.10) và (1.15) vào
(1.14) ta được:
 ∂ 4w
∂ 2 M1
∂ 4w 
=
−
D
+
µ
÷
1
2
2
4
∂x∂124∂wx22 
∂∂2xM
12
 ∂∂x41w
= − D2  4 + µ1 2 2 ÷
∂x22
∂x1 ∂x2 
 ∂x2
10


∂ 2M 6
∂ 4w
2
= −4 Dk 2 2

∂
x
∂
x
1 ∂x2 ∂ 2ϕ ∂w 
∂  ∂w
∂w 1 2 ∂  ∂ 2ϕ ∂∂xw
N
+
N
=
+

÷=
 1
÷
6
∂x1  ∂x1
∂x2  ∂x1  ∂x22 ∂x1 ∂x1∂x2 ∂x2 
∂ 3ϕ ∂w ∂ 2ϕ∂ ∂2 w ∂w∂ 3ϕ ∂∂ww  ∂ 2∂ϕ  ∂ 2∂w2ϕ ∂w ∂ 2ϕ ∂w 
=
+
−=
N− +N
+ 2
−
÷=
∂x1∂x22 ∂x1 ∂x∂22x2∂x12 6 ∂∂x1x12∂x22∂∂xx22 ÷
 ∂x∂1∂xx22 ∂x∂1∂xx1∂2x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 
∂ 3ϕ ∂w

∂ 2ϕ ∂ 2 w
∂ 3ϕ ∂w ∂ 2ϕ ∂ 2 w
=−
−
+
+
Phương trình (1.14) trở thành:
∂x1∂x22 ∂x1 ∂x1∂x2 ∂x1∂x2 ∂x12∂x2 ∂x2 ∂x12 ∂x22
∂ 4w
∂ 4w
∂ 4w
∂4w
∂4w
∂ 2ϕ ∂ 2 w
− D1 4 − D1µ2 2 2 − D2 4 − D2 µ1 2 2 − 4D k 2 2 + 2
+
∂x1
∂x1 ∂x2
∂x2
∂x1 ∂x2
∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x22
 ∂ 4w
∂ 2ϕ ∂ 2 w
∂ 2ϕ ∂ 2 w
∂ 2w
∂ 4w 
+ 2
−2
= J O 2 − J 2  2 2 + 2 2 ÷− q (t ) + Kw
∂x1∂x2 ∂x1∂x2

∂x2 ∂x12
∂t
∂x2 ∂t 
 ∂x1 ∂t
hay
∂ 4w
∂ 4 w  ∂ 2ϕ ∂ 2 w ∂ 2ϕ ∂ 2 w
∂ 2ϕ ∂ 2 w 
∂2w
+
D
−
+
−
2
+
J

÷ O 2
2
∂x1∂x2 ∂x1∂x2 
∂x14
∂x24  ∂x12 ∂x22 ∂x22 ∂x12
∂t
 ∂4w
∂ 4w 
∂4w
− J 2  2 2 + 2 2 ÷− q (t ) + Kw + ( D1µ2 + D2 µ1 + 4D k ) 2 2 = 0
∂x2 ∂t 
∂x1 ∂x2

 ∂x1 ∂t

D1

Do đó (1.14) được viết dưới dạng
∂ 4w
∂ 4 w  ∂ 2ϕ ∂ 2 w ∂ 2ϕ ∂ 2 w
∂ 2ϕ ∂ 2 w 
∂2w
D1 4 + D2 4 −  2
+
−2
÷+ J O 2
∂x1∂x2 ∂x1∂x2 
∂x1
∂x2  ∂x1 ∂x22 ∂x22 ∂x12
∂t
 ∂4w
∂ 4w 
∂ 4w
− J 2  2 2 + 2 2 ÷− q (t ) + Kw + 2D3 2 2 = 0
∂x2 ∂t 
∂x1 ∂x2
 ∂x1 ∂t
(1.17)

Cuối cùng bài toán bao gồm hai phương trình đạo hàm riêng phi

tuyến (1.16), (1.17).
Điều kiện biên tựa bản lề thỏa mãn nếu chọn hàm độ võng dạng:

11


w = f ( t ) sin

π x1 π x2
sin
a
b (1.18)

trong đó a và b là độ dài các cạnh của f ( t ) tấm, là độ võng cực đại.
Thế (1.18) vào vế phải của phương trình (1.16) ta có
2

4
 ∂2w 
2 π
2 π x1
2 π x2
=
f
c
os
c
os

÷
a
b

a 2b 2
 ∂x1∂x2 

4
Suy ra
∂ 2w ∂ 2w
2 π
2 π x1
2 π x2
= f 2 2 sin
sin
22
2
a
b
∂
x
∂
x
a
b
2
2
2
 ∂ w 1 ∂2 w ∂ w
−
=
Vậy (1.16) trở  ∂x ∂x ÷ ∂x 2 ∂x 2
1
2

 1 2
4
thành:

2π x1 
2π x2  
2π x1 
2π x2  
21 π
= f
1 + cos
÷ 1 + cos
÷−  1 − cos
÷1 − cos
÷
2 2 
a2π
b  
1 ∂ 4ϕ  1
ν21*a b4 ∂4ϕ
1 ∂a4ϕ  2 1 π 4b   2π x1
x2 
+
− 2 1 π÷
+
= f
cos
+ cos
÷
2 2π x1*

4 2π x2  2 2 
2
a
b 
E2* ∂x14  G=* f 2 E1*  ∂x12∂cxos
E
∂
x
a
b

+
c
os
2
1
2
÷
2 2
2a b 
a
b 

Khi đó nghiệm của phương trình sẽ là:

ϕ = Acos

2π x1
2π x2
2π x1

2π x2
+ Bcos
+ C sin
sin
a
b
a
b (1.19)

Thế (1.19) vào (1.16) ta được:
4

4

4

4

∂4w
2π x1
πx
πx
 2π 
π 
= A
+ C  ÷ sin 1 sin 2
÷ cos
4
a
a

b
∂x1
 a 
a
∂4w
2π x2
π x1 π x2 Suy ra
 2π 
π 
=
B
c
os
+
C
sin
sin

÷
 ÷
b
a
b
∂x24
 b 
b
∂ 4ϕ
π4
πx
πx

= C 2 2 sin 1 sin 2
2 2
a
b
∂x1 ∂x2
ab
12


1
E2*

4

4

2π x1 1  2π 
2π x2
 2π 
A
+ * B
+
÷ cos
÷ cos
a
b
E1  b 
 a 

4

 1  π 4  1
ν1*  π 4
1  π   π x1
πx
+C  *  ÷ +  * − 2 * ÷ 2 2 + *  ÷  sin
sin 2
a
b
E1  a b
E1  b  
 E2  a   G

1 π4 
2π x1
2π x2 
= f
c
os
+
c
os

÷
2 a 2b 2 
a
b 
2

Do đó
CE=* f02ab 2

B
A = 12 2
32ba (1.20)
Thế (1.18), (1.19) vào (1.17) ta được:
D  πx
πx
πx
πx
 D 2D
W = π 4 f  41 + 2 32 + 42 ÷sin 1 sin 2 + Kf (t )sin 1 sin 2 +
a
b
a
b
a b
b 
a
4
π 
2π x1
2π x2  π x1
πx
− f (t ) 2 2  4 Acos
+ 4 Bcos
sin 2 +
÷sin
a
b 
a
b

ab 
2

1  d f
πx
πx
 1
+  J O + J 2π 2  2 + 2 ÷ 2 sin 1 sin 2 − q(t ) = 0
a
b
b   dt
a

(1.21)
Đây là phương trình cân bằng của tấm composite lớp trên nền đàn hồi.

1.2.1. Bài toán tĩnh
qd(2t )f = q0
=0
dt 2
của tấm trên nền đàn hồi có dạng:

13

Ta có , lực phân bố đều = const
Khi đó phương trình cân bằng


D  πx
πx

πx
πx
 D 2D
W = π 4 f  41 + 2 32 + 42 ÷sin 1 sin 2 + Kf (t )sin 1 sin 2 +
a
b
a
b
a b
b 
a
4
4π 
2π x1
2π x2  π x1
πx
− f (t ) 2 2  Acos
+ Bcos
sin 2 − q0 = 0
÷sin
a
b 
a
b
ab 
Áp dụng phương pháp Bubnov – Galerkin:
ab

π x1 π x2
W

sin
sin
dx1dx2 = 0
∫∫
ab
ab
a
b
 4  D1 2D3 D2  0 0  2 π x1 2 π x2
πx
πx
∫∫ π f  a 4 + a 2b2 + b4 ÷ + Kf  sin a sin b dx1dx2 − ∫ ∫ q0 sin a 1 sin b 2 dx1dx2
00
00
ta được

ab

π4 
2π x1
2π x2  2 π x1 2 π x2
− ∫∫ 4 f 2 2  Acos
+ Bcos
sin
dx1dx2 = 0
÷sin
a
b
a
b

a
b


00

(1.22)

Sau một số phép biến đổi và sử dụng (1.20) khi đó phương trình (1.22) trở
thành:
16q
( K + m1 ) f + m3 f 3 − 20 = 0
π
(1.23)
trong đó
*
* D 
,
 D4  2D
m1 =mπ3 4=π 41 +E2 2+32E+1 ÷ 42 ÷
Đây là phương trình
a  ba4 b a 4 b 
16
cân bằng xác định độ võng
cực đại theo phương pháp lý thuyết bản vỏ mỏng trong trường hợp không có dao
động.
1.2.2. Bài toán động
q(t ) d= 2qf0 sin ( ωt ) Ta có , lực phân bố đều
≠0
Khi đó phương trình cân

dt 2
bằng của tấm trên nền đàn hồi có dạng:

14


D  πx
πx
πx
πx
 D 2D
W = π 4 f  41 + 2 32 + 42 ÷sin 1 sin 2 + Kf (t )sin 1 sin 2 +
a
b
a
b
a b
b 
a
π4 
2π x1
2π x2  π x1
πx
− f (t ) 2 2  4 Acos
+ 4 Bcos
sin 2 +
÷sin
a
b 
a

b
ab 
2

1  d f
πx
πx
 1
+  J O + J 2π 2  2 + 2 ÷ 2 sin 1 sin 2 − q(t ) = 0
a
b
b   dt
a

Áp dụng phương pháp Bubnov – Galerkin:
ab

π x1 π x2
W
sin
sin
dx1dx2 = 0
∫∫
ab
a
b
 4  D 2D0 0 D 
 2πx
2πx
∫∫ π f  a 41 + a 2b32 + b42 ÷ + Kf  sin a 1 sin b 2 dx1dx2 +

00

ta được

ab


1  d2 f
πx
πx
2 1
+ ∫∫  J O + J 2π  2 + 2 ÷÷ 2 sin 2 1 sin 2 2 dx1dx2 +
a
b
b   dt
a
0 0
ab

− ∫∫ q(t )sin
00
ab

π x1 π x2
sin
dx1dx2 +
a
b

π4 

2π x1
2π x2  2 π x1 2 π x2
− ∫∫ 4 f 2 2  Acos
+ Bcos
sin
dx1dx2 = 0
÷sin
a
b
a
b
a
b


00
(1.24)
Sau một số phép biến đổi và sử dụng (1.20) khi đó phương trình (1.24) trở
thành:
d2 f
16q(t )
m 2 + ( K + m1 ) f + m3 f 3 −
=0
(1.25)
dt
π2
trong đó:
* 1 * D
, ,
1 

 D4  2D
mm1 =mπJ3 O4=+π J412π+E222+32E+1 ÷242 ÷÷
Đây là phương trình
a  ba4 ab a 4 b 
16
dao động của tấm composite
trên nền đàn hồi xác định độ võng cực đại theo phương pháp lý thuyết bản vỏ
mỏng.

CHƯƠNG 2
15


PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO TẤM
COMPOSITE LỚP TRÊN NỀN ĐÀN HỒI
2.1. Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số đặc biệt
có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V
của nó. Tuy nhiên PP PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn
miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V. Do đó
phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó
hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có
đặc tính hình học, vật lý khác nhau chịu những điều kiện biên khác nhau.
Trong PP PTHH miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con, gọi
là phần tử. Các phần tử này được nối kết với nhau tại các điểm định trước trên
biên phần tử, gọi là nút. Trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần tìm được lấy
xấp xỉ trong một hàm đơn giản gọi là các hàm xấp xỉ. Và các hàm xấp xỉ này
được biểu diễn qua các giá trị của hàm (và có khi cả các giá trị của đạo hàm của
nó) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của
phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán.

2.2. Tính toán tấm composite lớp trên nền đàn hồi theo phương pháp phần
tử hữu hạn
Bài toán: Xét tấm composite chữ nhật N lớp trên nền đàn hồi có kích thước
(a x b), độ dày h, chịu lực phân bố đều q(x,y) = q = const.
Bước 1: Rời rạc hóa miền vật thể.
Chia tấm thành Ne phần tử hình chữ nhật Ve (e = 1…Ne) có kích thước bằng
nhau. Chọn hệ tọa độ Đề-các có x, y là các trục tọa độ nằm trong mặt phẳng giữa
theo các cạnh, trục z hướng theo phương pháp tuyến với mặt giữa.

16


uv = − z

Giả thiết tấm có các lớp được
∂w
∂yx xếp đối xứng qua mặt trung bình.

Khi đó xét điểm M(x,y) nằm cách mặt trung hòa khoảng z. Khi đó chuyển vị tại
M theo phương Ox, Oy tương ứng là: ,
Tại mỗi điểm M(x,y) trong phần tử e giả sử có các thành phần chuyển vị là
{w(x, y), θx(x, y), θy(x, y)}.
Mỗi phần tử hình chữ nhật có bốn nút, mỗi nút có ba bậc tự do. Do đó phần
tử có mười hai bậc tự do nên việc chọn hàm xấp xỉ phải đảm bảo có mười hai
tham số.
Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ
Chọn hàm độ võng dưới dạng đa thức gồm mười hai số hạng [3]:
w( M ) = w( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 xy + a6 y 2 + a7 x 3 + a8 x 2 y + a9 xy 2
+ a10 y 3 + a11x3 y + a12 xy 3
Góc xoay của tấm tại M trên mặt giữa theo các phương Ox, Oy tương ứng:

∂w
= a2 + 2a 4 x + a5 y + 3a 7 x 2 + 2a 8 xy + a9 y 2 + 3a11x 2 y + a12 y 3
∂x
∂w
θy =
= a3 + a 5 x + 2a6 y + a 8 x 2 + 2a 9 xy + 3a10 y 2 + a11x 3 + 3a12 xy 2
∂y

θx =

Chuyển dịch của phần tử
a
2
2
3
2
2
y 3 x3 y xy 3   1 
 w  1 x y x xy y x x y xy
  a2 
  
2
2
2
3
{ u} e = θ x  = 0 1 0 2 y 0 3x 2xy y 0 3x y y   
... 
2
2
3

2 
θ y  0 0
1
0
x
2
y
0
x
2x
y
3
y
x
3x
y
  
 a 
 12 
=  F ( x, y )  { a} e
( 2.1)

17


Thay tọa độ các nút i, j, k, l đã biết vào phương trình (2.1) ta được véctơ
chuyển vị nút :

{ q} e

với
 F ( xi ,yiF) (xi , yi ) 
 F ( x ,yF)(x , y ) 
Suy
ra : { a} = [ A] −1 { q}
j  j  j
j 

= [ A] =
e
e
{ a} = [ A] { a} e
 F ( xk ,yFk )(xk , yek ) 
(2.2)

 

)
(
x
,
y
)
 F ( xl ,yF

l l l 

Từ (2.1) và (2.2) có :

{ u} e = [ F ][ A] { q} e

−1

 N1 
=  N 2  { q} e =  N ( x, y )  { q} e
 N3 
trong đó: [A]

là ma trận tọa độ nút phần tử, [N(x,y)] là ma trận hàm dạng
Bước 3 : Biểu diễn biến dạng và ứng suất qua chuyển vị nút
Trạng thái biến dạng phần tử tính theo hệ thức Cauchy:
∂u
∂ 2w
= − z 2 = zφx
∂x
∂x
(2.3)
∂v
∂ 2w
ε y = = − z 2 = zφ y
Liên hệ ma trận
∂y
∂y
biến dạng và ma trận độ
∂u ∂v
∂ 2w
γ xy =
+
= −2z
= zφxy
∂y ∂x

∂x∂y
cong như sau:

εx =

ε 
φ 
x
 
 x
{ ε} =  ε y  = z φy  = z[ φ ]
 
 
γ
xy
 
φxy 
(2.4)

 ∂2w 
 ∂=2−N[1B] { q} e
 2 

2 
với
 ∂x 
 ∂x 
2
2
Liên hệ ứng suất - biến dạng được biểu diễn theo φ = −  ∂ w  = −  ∂ N1  q

[ ]  2   2 { } e
 ∂y 
 ∂y 
định luật Hooke:
 2∂ 2 w 
 2∂ 2 N 
1



σ 
ε 
x
x
 
 
 ∂x∂y 
 ∂x∂y 
{ σ } = σ y  = Qij   ε y  = Qij  { ε }
 
 
Công thức xác
τ xy 
γ xy 
18


định mômen uốn, mômen xoắn là:
,,

(2.5)

h

2

h

2

M xy( kM=
zτ xy dz
) yxM=yx∫= zσ∫ xydz
Suy
 M  h σ 
h
h
h
−
−
2  x
22 2 ( k )
 x
(2.6)
2
 M y  = ∫ z σ y  dz = ∫ Qij  { φ } z dz = [ D ] { φ }

 −h 2  
−h
2

 M xy 
τ xy 
(do )

trong đó là ma trận độ cứng uốn của [ D ] tấm composite lớp:
 D11
[ D ] =  D12
 D16

D12
D22
D26

h
D16 
2
N = 4 zk +1
( k) 2
( k)

D26  =  Dij  = ∫ Qij  z dz = ∑ ∫ Qij  z 2dz
k =1 zk
−h
D66 
2

Các phần tử Dij được tính như sau:

19

ra

{ φ } = { φ ( x, y ) }


h

D11 =

∫h Q11
h

D12 =

2

∫h Q12

h

z 2dz + ∫ Q12

2

( 1)

z 2dz +

h

( 1)

( 1)

2

4
2

∫
h

4

z dz +

( 2)

h /4

∫ Q16

0
h
4

( 1)

0
h

4

Q66 z dz + ∫ Q66
2

∫h

Q12

∫h

Q16

∫h

Q22

z 2dz +

z dz +
−

( 2)

( 3)

∫h

z dz +
−

0

∫h

Q11

z 2dz +

Q12

∫h

Q16

∫h

Q22

Q26

2

z dz +

4

Q66

( 3)

z 2dz +

∫h

∫h

z 2dz
z 2dz

( 4)

z 2dz

2
4

( 4)

Q26

−
2
−h
4
−

4

( 4)

2
−h
4

−h

z 2dz

( 4)

∫h

−

( 3)

( 4)

2
−h
4

4

0

2

z 2dz +

( 3)

4

2
−h
4

−

0

2

z 2 dz +

∫h

−

4
0

−

( 2)

( 3)

4
0

z 2dz +

2

−

4
0

−

( 2)

( 3)

Q11 z dz +

z 2dz +

( 2)

−h

∫h

−

0
h
4

4
2

2

0

4

2

0

−

∫ Q26 z dz + ∫ Q26

h

D66 =

( 1)

( 2)

2

∫ Q22 z dz + ∫ Q22

h

D26 =

0
h
4

4

∫h Q16
h

D22 =

2

4

z dz + ∫ Q11
2

4

h

D16 =

( 1)

h

Q66

( 4)

z 2dz
z 2dz

2

Công thức tính tại từng lớp được Qij tính như sau:
Lớp 1 và lớp 4 đối xứng nhau Q ( 1) = Q
π ( 4)
ij θ1
ij
4
(góc xoay ) nên . Cụ thể:
Q11

( 1)

= Q11cos 4θ1 + Q22 sin 4 θ1 + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ1cos 2θ1

( 1)

= ( Q11 + Q22 − 4Q66 ) sin 2 θ1cos 2θ1 + Q12 sin 4 θ1 + cos 4θ1

( 1)

= ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin θ1cos3θ1 + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin 3 θ1cosθ1

( 1)

= Q11 sin 4 θ1 + Q22cos 4θ1 + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ1cos 2θ1

( 1)

= ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin 3 θ1cosθ1 + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin θ1cos3θ1

( 1)

= ( Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 ) sin 2 θ1cos 2θ1 + Q66 sin 4 θ1 + cos 4θ1

Q12
Q16
Q22
Q26
Q66

(

(

20

)

)


Lớp 2 và lớp 3 đối xứng nhau Q ( 2) = Qπ ( 3)
ijθ 2 = − ij
4
(góc xoay) nên . Cụ thể:
Q11

( 2)

= Q11cos 4θ 2 + Q22 sin 4 θ 2 + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ 2cos 2θ 2

( 2)

= ( Q11 + Q22 − 4Q66 ) sin 2 θ 2cos 2θ 2 + Q12 sin 4 θ 2 + cos 4θ 2

( 2)

= ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin θ 2cos3θ 2 + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin 3 θ 2cosθ 2

( 2)

= Q11 sin 4 θ 2 + Q22cos 4θ 2 + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ 2cos 2θ 2

( 2)

= ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin 3 θ 2cosθ 2 + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin θ 2cos3θ 2

( 2)

= ( Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 ) sin 2 θ 2cos 2θ 2 + Q66 sin 4 θ 2 + cos 4θ 2

Q12
Q16
Q22
Q26
Q66

(

(

)

)

được xác định theo công Qij thức (1.5).

trong đó

{ Σ} = [DM] {xφ} Ký hiệu :. Từ (2.6) ta được:


{ Σ} =  M y  (2.7)


M
xy




Bước 4: Thiết lập thế năng
toàn phần, ma trận độ cứng, véctơ

tải của phần tử.
Thế năng biến dạng của phần tử tấm:
U etam =

1
ε xσ x + ε yσ y + γ xyτ xy dV
2 ∫∫∫
V

(

)

e

Thay (2.3) vào hệ thức trên ta được :
U etam =

1
zφ xσ x + zφ yσ y + φxyτ xy dxdydz
2 ∫∫∫
V

(

)

e

h
h
h


2
2
2
1
= ∫∫ φx dxdy ∫ σ x zdz + ∫∫ φ y dxdy ∫ σ y zdz + ∫∫ φ xy dxdy ∫ τ xy zdz ÷
÷
2  F
÷
F
F
−h
−h
−h

2
2
2


21

Theo (2.5) ta được :
U etam =

T
1
1
=
M
φ
φ
+
{
}
x
x
∫∫ M{ yΣφ}yd+xdMy xyφxy dxdy
2 ∫∫
2
F
F

(

)

Từ (2.4) và (2.7) suy ra
1U tamT = 1 { φT } T [ D ] { φ} dxdy
= { qe } e  ∫∫
∫∫B D B dxdy ÷÷{ q} e

 2 [F ] [ ] [ ]
2
F

1
tam
T
U etam = { q} e [ K ] e { q} e
2
 trong đó được gọi là ma
tam 
T
[ K ] e =  ∫∫ [ B ] [ D ] [ B ] dxdy ÷÷trận độ cứng phần tử
F

Thế năng của nền đàn hồi với hệ số nền K là :
1
Kw2 ( x, y ) dxdy
∫∫
2F
T
1
= K ∫∫  w ( x, y )   w ( x, y )  dxdy
[ K ] enen = K ∫∫ [ N1 ] T [ N1 ] dxdy
2 F
F
1
T
T
= K ∫∫ { q} e [ N1 ] [ N1 ] { q} e dxdy với

2 F

Vậy thế năng
1
T
T
= K { q} e  ∫∫ [ N1 ] [ N1 ] dxdy ÷{ q} e

÷
2
của tấm composite
F


1 T
T
= { q} e  K ∫∫ [ N1 ] [ N1 ] dxdy ÷{ q} e lớp trên nền đàn

÷
2
 F

hồi sẽ là:
1 T
nen
= { q} e [ K ] e { q} e
1 T
2
U e = U etam + U enen = { q} e [ K ] e { q} e
2

U enen =
U enen
U enen
U enen
U enen
U enen

với được gọi là ma trận độ [ K ] = [ K ] tam + [ K ] nen
e
e
e
cứng phần tử tấm composite
lớp trên nền đàn hồi.

22


Công của ngoại lực do q gây ra trên độ võng của phần tử e là:
Ae = ∫∫ ( q ( x, y ) dF ) w ( x, y )
F

Ae = ∫∫ q ( x, y )  N1 ( x, y )  { q} e dxdy
F

Ae = { q} e

T

T

∫∫ q ( x, y )  N1 ( x, y )  dxdy
F

F

trong đó là véctơ tải

Ae = { q} e { P} e
T

T

{ P} e = ∫∫  N1 ( x, y )  q ( x, y ) dxdy
phần

tử

của

tấm

composite trên nền đàn hồi.
Bước 5: Ghép nối phần tử, tìm ma trận độ cứng tổng thể và véctơ tải tổng
thể.

{ q} e ={[{Lqq[ }]L}e] e { q}

Giả sử là véctơ chuyển vị

nút tổng thể , còn (e = 1...Ne) là chuyển vị nút của một phần tử tương ứng. Vậy
giữa hai đại lượng này phải có liên hệ: , trong đó gọi là ma trận định vị của phần
tử có các phần tử cho bởi quy tắc sau:
0 neáu qei ≠ q j
Lij = 
1 neáu qei = q j
Thế năng toàn phần của tấm composite lớp trên nền đàn hồi là:
Ne

T
1 T

∏e = ∑  { q} e [ K ] e { q} e − { q} e { P} e ÷

e=1  2
N

e
T
T
T
1 T

∏e = ∑  { q} [ L ] e [ K ] e [ L ] e { q} − { q} [ L ] e { P} e ÷

e=1  2
1 T
T
∏e = { q} [ K ] { q} − { q} { P} Ne
T

2
 K  =  L   K   L  ,

∑

e=1

e

e

e

Ne

e=1

Trong đó :
tương ứng là ma trận độ cứng tổng thể, véctơ tải tổng thể của tấm composite lớp

23

T

{ P} = ∑  L  e  P  e


trên nền đàn hồi.
Bước 6: Áp điều kiện biên tìm chuyển vị nút chưa biết
Điều kiện cực trị thế năng toàn phần là

∀∂Π
i = 1,=N0 e
∂qi

∂ 1 T
∀T i = 1,N
 { q} [ K ] { q} − { q} { P} ÷ =e0

Hệ ∂qi  2

[ K ] { q} = { P}
trên trở thành :

(2.8)

Đây chính là hệ phương trình xác định chuyển vị nút.
Áp điều kiện biên :
• Tấm khớp bản lề tại bốn cạnh:
 Trên biên có: W = 0
 Trên cạnh y = 0, y = b thì θx = 0

(2.9)

 Trên cạnh x = 0, x = a thì θy = 0
• Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh khớp bản lề
 Trên biên có W = 0
 Tại hai cạnh ngàm: θx = θy = 0

(2.10)

 Tại hai cạnh khớp bản lề: θx = 0 hoặc θy = 0
Khi đó hệ phương trình xác định chuyển vị nút được viết dưới dạng:

{} { }

K  q = P
 

(2.11)

{ }

trong đó thu được bằng cách bỏ đi số {[ K
K
P
q}] hàng và số cột của ma trận độ cứng
 P
tổng thể mà ở các vị trí đó các thành
phần của véctơ bằng không,cũng thu
được từ bằng cách bỏ đi các thành phần tương ứng.
Nghiệm chuyển vị nút cần tìm được tính theo công thức:

{ q} =  K  { P}
−1

24


(2.12)

CHƯƠNG 3
TÍNH TOÁN SỐ CHO TẤM COMPOSITE LỚP TRÊN NỀN
ĐÀN HỒI
Xét tấm composite lớp với các thông số hình học và cấu tạo như sau :
- Kích thước tấm: a = b = 0,4m. Chiều dày tấm h = 0,01m
- Kiểu sắp xếp lớp: [45/-45/-45/45].
- Vật liệu có các hằng số đàn hồi của mỗi lớp :
E1 = 127,4 GPa; E2 = 13,0 GPa; ν = 0,38;

25