Ứng dụng phương pháp proper generaieid decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất

v
ABSTRACT

Nowadays, numerical techniques become the effective tools to solve the
problems in science and engineering. Eventhough the impressive recent progresses
attained in computer technologies and computational simulation techniques,
numerous models intractable when the usual and well-experienced discretization
techniques are applied for their numerical simulation due to their high complexity
and requirements. One of the typical difficulties is highly multi-dimensional models
arising from quantum mechanics or kinetic theory descriptions of solids and

the number of degrees of freedom involved scales exponentially with the dimension
of the space concerned.
In order to overcome the drawbacks above, one lastest technique in recent
years proposed to support, activate in using the mesh-based discretization
techniques -FEM -is called Proper Generalized Decomposition (PGD). This is a
powerful model reduction technique by means of successive enrichment a separated
representation of the unknown field, so the computational complexity of the PGD
scales linearly with the dimension of the space.
And a coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element
Method  PGD-FEM briefly  will open a new approach in searching a powerful
kind of simulation techinique in both terms of computing time and accuracy.
ized Decomposition and Finite

Eventhough the topic just started to invest PGD-FEM for fluid problem in a
small term of the pressure Poisson equation from 2D unsteady imcompressive
Navier-Stokes flow, the comparative results speaked out the outstanding innovative
property of PGD-FEM in both computing time and accuracy from the traditional
vi
discretization technique (FEM). Moreover, in order to overcome its remaining
drawbacks and enlarge, develop further research trends, I also provided to solve

unsteady imcompressive Navier-Stokes equations by FEM based on the Chorin-
Temam projection method.


vii

TÓM TT
 là mt công c c lc giúp gii quyt hu ht các
bài toán trong khoa hc và k thut. Mc dù vi nhng tin b, phát trin t bc
c trong công ngh máy tính, k thu
gii quyt nhiu bài toán vn còn b thách thi rc truyn
thg b hn ch do tính phc tp và m yêu ci ngày càng cao
ca bài toán. Có th nêu mt trong nhn hình, ni cm là bài toán
có s chiu không gian lng gng t, thuyng hc c
t phc t di r phc tp
ca bài toán tng theo t l i s chiu không gian ca bài toán.
 nhm khc phc tính hn ch trên, m   t m   i
n b try trong quá trình phi hp vi
  i rc, c th    n t hu h   c
nghiên cu  , vi tên g
t công c gim bc mô hình bài toán d tách bin giúp
 phc tp ca bài toán gim xung vi t l tuyn tính theo s chiu ca bài toán.
Vì th s kt hp gii tt PGD-FEM) s c
u m ra mng tip cn mi trong vic tìm kim mt lo
s mi vi tính n mt thi gian x lí mà vm b chính
xác so vi rc truyn th
ng d-i trong
 tài nghiên cu  
M tài ch mng pháp PGD-
vt  mt khía cnh hp là gii quy

sut 2D cho bài toán Navier-Stokes ca dòng chy nht không nén ph thuc vào
thng hng nhu kin biên
viii
hn hp ( Dirchlet-ng kt qu c y s t
khi gii quyt b-FEM v mt th chính
xác so vi rc truyn thng thi vi mong mun to
mt s thun li trong vic hoàn thi rng, phát trin  tài
i, tác gi  c n vic gi-Stokes
cho dòng chy nht không nén ph thuc thi gian v u kin biên lid-driven
cavity ba trên k thut tham chiu Chorin-Temam.

ix
MC LC
TRANG
Trang ta
Quy tài
Lý lch cá nhân i
L iii
Cm t iv
Tóm tt v
Mc lc ix
Danh mc kí hiu-t vit tt xi
Danh mc hình v xii
NG QUAN 1
1.1 Tng quan v ng nghiên cu 1
1.2 Mu, khách th ng nghiên cu 2
1.3 nh nhim v và phm vi nghiên cu c tài 3
1.4 u 3
 LÝ THUYT 4
2.1 Generalized Decomposition (PGD) 4

2.2 phn t hu hn (FEM) 11
x
NG DPGD và FEM CHO BÀI TOÁN
T 16
3.1 Gii thi-Stokes 16
3.2 Gi-FEM. 18
3.2.1 ng hu kiên biên ng nht. 18
3.2.1.1 -FEM 19
3.2.1.2  gii thut tng quát 22
3.2.1.3 Kt qu - nhn xét 23
3.2.2 ng hu kiên biên hn hp. 26
3.2.2.1 -FEM 26
3.2.2.2 Kt qu - nhn xét 30
3.3 -Stokes không nén ph thuc vào thi gian 32
3.3.1 Mô hình bài toán 32
3.3.2 u kiên biên ca bài toán 33
3.3.3 Tic gii b 33
3.3.4  gii thut tng quát 42
3.3.5 Kt qu - nhn xét 44
4. KT LUNG PHÁT TRIN 48
TÀI LIU THAM KHO 49
PH LC 51

xi
DANH MC KÍ HIU, T VIT TT

<.,.>
L
2


|| . ||
2

Res
n





x


y




D


N

H
1


n

V

M

N

N
nod

N
nod_x

N
nod_y_

X,R,F

Y,S,G

X,R,F
Tích trong ca hai hàm trên L
2
trong mi

Chun vec-
2
hay chun Euclide

Phn sai s gia nghim chính xác và nghim xp x

Min kho sát ca bài toán

Min kh

Min kh

Biên ca mi

Biên Dirichlet ca 

Biên Neumann ca 

Không gian hàm Sobolev mà có giá tr trit tiêu trên 
D


Vec-n ng ra ngoài) 
N

Vec-ng ti các nút trên mi

Vec-ng ti các nút trên mi
x

Vec-ng ti các nút trên mi
y

Tng s nút trên min 

Tng s nút trên mi
x

Tng s nút trên mi
y


Hàm ph thuc trên mi
x


Hàm ph thuc trên mi
y

Vec- hàm X,R,F ti các nút trên mi
x
xii

Y,S,G

p


.u


2
u

FEM

PGD

PGD-FEM


MBS

ROM

LATIN

POD

SVD

PDE




Vec- hàm Y,S,G ti các nút trên mi
y

Toán t gradient
,
pp
xy







Toán t divergence
uu
xy







Toán t Laplace
22
22
uu
xy







Finite Element Method

Proper Generalized Decoposition

coupling Proper Generalized Decomposition and Finite
Element Method

Multi-Bead Spring

Reduced-Order Model

LArger Time INcremential

Proper Orthogonal Decomposition

Singular Value Decomposition

Partial Differential Equations


xiii
DANH MC HÌNH V

Hình 2.1 Min khu kin biên ca 
Hình 3.1 Min khng nht c
Poisson
Hình 3.2  th c
gii tích, FEM, PGD-ng kiu i 30 x 30 và 80 x 80.
Hình 3.3  th cson vi f(x,y)=x
2
-y
2


FEM, PGD-ng kiu i 30 x 30 và 80 x 80.
Hình 3.4  th i cng
nht vng hp: f(x,y)=1000 và f(x,y)=x
2
-y
2
.
Hình 3.5 Min khu kin biên hn hp Dirichlet và Neumann ca

Hình 3.6  th c
FEM, PGD-ng kiu i 30 x 30 và 80 x 80.
Hình 3.7 Min khu kin biên ca dòng chy lid-driven cavity
Hình 3.8  th ng dòng (bên trái) ng áp sut (bên phi) ti Re=400 vi
thi gian khác nhau (1.5s, 3s , 4.5s).
Hình 3.9  th ng dòng (bên trái) ng áp sut(bên phi) ti Re=1500 vi
thi gian khác nhau ( 1.5s, 3s, 4.5s).
Hình 3.10  th ng dòng(bên trái) ng áp sut(bên phi) ti Re=3000 vi
thi gian khác nhau ( 1.5s, 3s, 4.5s)






1

1

1.1 Tng quan v ng nghiên cu
 là mt tên gi  nên quen thuc và tr thành công c

c lc cho các bài toán trong khoa hc và k thut. Mng tin b, phát trin
t bc trong công ngh máy tính và nhng k thut tính toán s u bài toán vn
còn b hn ch c bit v mt thi gian tính toán khi  ri rc khó có
th gii quyt bi tính phc tp và m yêu cu ngày càng cao ca bài toán.
Có th nêu ra mt s v p phi là:
(i)bài toán có s chiu không gian kho sát lng gp  ng t,
thuyng hc ct phc tp [8], hay sinh hc, hóa hc [16]. V
khi áp di r phc tp ca bài toán  t l i s
chiu không gian cn kho sát min thi gian th
kho sát giàn khoan ph thuc vào thi gian thc [13].(iii) bài toán có min kho sát suy
bin xut hin trong thanh, tm, vn nhng thông s, tham s khác
(ngoài yu t không gian-thi gian vt lý ng) ví d kho sát h s truyn nhit
ca vt liu trong bài toán truyn nhit.
 khc phc nhng v trên, mi i n
n b try trong vic phi hp vi rc truyn th
pháp Proper Generalized Decomposition (PGD), mt mô hình gim bc bài toán
da trên c s tách bin giúp gim mt cách hiu qu  phc tp ca bài toán vi t l
tuyn tính theo s chiu không gian so vi t l i rc truyn
thng nên nó mang lt tri trong thi gian x m b chính
xác so vi rc truyn thng.
Mt s công trình nghiên cu quc t ni bt quan trng liên quan trc tip n quá
trình nghiên c tài là:

2
[4]: s dng  gii quyt v nhiu chiu cho bài toán Poisson
vu king nhng gp trong thuyng hc ct phc t
m rng cho bài toán MBS (multi-bead-spring) ca không gian hai, ba chiu.
[13]: ng d   gii quyt bài toán Navier-ng
hp lid-driven cavity vi các h s Reynolds khác nhau và so sánh kt qu v
gii tích da trên hai tiêu chí: thi gian tính toán  chính xác.

Vì th s kt hp gi và FEM (gi tt PGD-FEM) c
u tip c tìm qui lut ng x ca dòng cht thông qua
ng vn tc, áp su
1.2 Mu, khách th ng nghiên cu.
Mu:
Vic nghiên cu -FEM s u m ra mng tip cn mi
trong k thut tính toán s giúp gii quyt bài toán mt cách hiu qu mt
thi gian x lý mà vm b chính xác so vi rc truyn thng
(FEM).
Khách th nghiên cu:
Vt ca -Stokes cho dòng chy nht không nén,
ph thuc thng hp lid-driven cavity,   ch kho sát mt khía
cnh cng trình Navier-Stokes trong vic gii quynh Poisson áp sut 2D
vi nhu kin biên khác nhau b-ng thi, tác gi 
s trình bày la trên k thut tham chiu Chorin-Temam cho 
trình Navier-Stokes ca dòng chy nht không nén ph thuc thi gian trong ng hp
lid-driven cavity t   thun l  hoàn thin và m rng, phát trin nh ng
nghiên c tài sau này.
ng nghiên cu:
Tìm qui lut ng x, phân b ca dòng chng vn tc, áp
sun kho sát ca bài toán.



3
nh nhim v và phm vi nghiên cu c tài.
Nhim v nghiên cu:
 Tìm kim, thu thp và nghiên cu các tài li tài.
 Tin hành xây d lý thuyt cn thit cho -FEM.
 Xây dng tin trình gi gii thut c- gii bài

t.
 Lp trình tính toán và mô phng kt qu bng ngôn ng lâp trình k thut Matlab
trên máy tính.
 So sánh kt qu gi-FEM vi u khác.
Phm vi nghiên cu:
Do còn nhng hn ch nhnh trong qúa trình nghiên cu t phía tác gi
s xut hin rt mi c l s gii hn
nghiên cu mt phn nh c   -Stokes áp dng cho dòng chy nht
không nén ph thuc thi gian trong không gian 2D bng vic gii quy  
Poisson áp sut vng hp khác nhau cu kin biên b-
ng thi ver-Stokes cho dòng chy nht không nén ph thuc
thi gian trong không gian 2D, tác gi  tip cn mô hình gii b
FEM du Chorin-Temam, tu ki hoàn thin, phát
tri u 
u.
S dng phn mm Matlab h tr vic lp trình tính toán và mô phng trên máy tính
laptop có cu hình trung bình.
Thc hin phép so sánh kt qu gi-FEM v
chiu khác theo tiêu chí th chính xác.



4
2
T

Decomposition (PGD)[5,6,7,9]

Ngày nay vic mô phng s hóa cho nhng h tht phc t
i ngày càng cao trong khi khó có th gii quyt mt cách d dàng bi các

 ri rc ng.
V nghiên cu  , mt trong nhng lo
 xu khc phc nhn ti
c ri rc là  da trên mô hình gim bc ca bài
toán (ROM-reduced-order model) mà giúp hn ch thi gian tính toán mt cách
hiu qu.
Mô hình gim bc nguyên thy i bi tác gi 
nhi    ng t vi tên g     
INcremential). Gi s gng cn tìm ca bài toán vc xp x


1
u( , ) a ( ). ( )
n
ii
i
tt



xx
(2.1)

 x là vec- trong không gian 2D,3D ; 
i
(x) là hàm gim bc
th i; n c ca 
i
(xng nh u so vi
chia ci rc.

Cùng vi s phát trin ca trên ROM, ta có th nhn
mt trong nh bin nht da trên mô hình gim bc này c
 (Proper Orthogonal Decomposition)- mô hình tách bin d
trc giao- c hình thành da trên vic thit lp mt ma trng vi mi
m thi gian ri tin hành tìm tr riêng và các vec-
i

n
cho
bài toán (Q Q
T
 

5
Gi s u(x,t) là hàm tha mãn yêu cu bài toán vi x

IR
D
(D=1,2,3) và t


IR
+
ti mi x
i
, ta có bin thng t
p
i i=1: N
n

và
p =1:P. Gi u
P
I
 x
i
, t
p
) và lp mt ma tr     




Tuy nhiên,hn ch ca k thuu phc
ma trn Q nên thi sao mà cn phi không ngng
tip tc ci tin, phát tri tìm ra m
Vì th mt mô hình gim bc t li
c phát triu tiên bi tác gi A.Ammar và F.Chinesta nhm gii quyt
-Plank cho bài toán MBS (multi-bead- tìm hàm phân
b xác sut  không gian nhiu chiu, roper Generalized
Decomposition (PGD)m xp x ca bài toán PDE
(Partial Differential Equations) c biu dii dng tng ca tích các hàm ph
thuc mi bin s  (2.2), ví d gi s ng bin cn tìm ph thuc N bin s


1
1
1 2 2
u( ) F( ). F ( ) F ( )
N

Q
i
i
i i N
x ,x , ,x x xx



(2.2)

i
là bin không gian, thi gian hoc tham s bt k ca bài toán
thuc min kh

IR
d
ng v
Công thc (2.2t tri trong thi gian x lý,
c th nu mi bin x
i
ri rc thành M bc t do thì tng s bin cn tìm là Q x N x
1
12
1 1 1
2
22
2
12

P
P
P
Nn Nn Nn
u u u
u u u
Q
u u u









6
M, thay vì M
N
bc t do khi áp d   i r  i, c th là
c nghiên cu  
2.2 Tic gii
 mô t quá trình thc hit cách d dàng, rõ ràng, bài
toán s c khng hm bo tính
tng quát c
Xét bài toán:
L(U) g
trong min kh

x
x 
y
=IR
2
vu ki
ca bài toán. (2.3)
Tìm U(x,y)
 vi phân, g là thành phn th hai ca bài toán.
t, PGD là mgii lp m c nh (fixed interation
method)dùng  tìm nghim xp x U(x,y) vi:
2
U( ) IR , IR , IRx,y X Y x X y Y       

Gi s, tc lp th n, hàm F
i
và G
i
t.
Bây gi ta mun tìm hàm F
n
, G
n
.
Gc biu din tc lp th n 
1
1
U ( , ) F ( )G ( ) F ( )G ( )
n
n i i n n

i
x y x y x y




(2.4)


Thay (2.4) vào (2.3):
1
1
L F ( )G ( ) F ( )G ( ) g Res
n
i i n n n
i
x y x y



  



(2.5)



n
là phn sai s do (2.4) ch là nghim xp x c nh

hàm F
n
, G
n
, ta thc hin phép tham chiu cho tng bin F
n
,G
n
vào (2.5), ta có:

7
2
2
2
1
L (X)
L (X)
1
L (X)
L F ( )G ( ) F ( )G ( ) ,F g,F Res ,F
n
i i n n n n n n
i
x y x y



  





Và
2
2
2
1
L (Y)
L (Y)
1
L (Y)
L F ( )G ( ) F ( )G ( ) ,G g,G Res ,G
n
i i n n n n n n
i
x y x y



  




<.,.>
L
2
(X) ,
<.,.>
L

2
(Y)
là tích trong trên L
2
ng theo mi 
ng thi, t phn sai s Res
n
phi vuông góc vi hàm F
n
, G
n
nên:
2
2
1
L (X)
1
L (X)
L F ( )G ( ) F ( )G ( ) ,F g,F
n
i i n n n n
i
x y x y








(2.6)
Và
2
2
1
L (Y)
1
L (Y)
L F ( )G ( ) F ( )G ( ) ,G g,G
n
i i n n n n
i
x y x y







(2.7)



 gii c hàm F
n
, G
n
ta s phi tính toán cùng lúc công thc (2.6) và (2.7)
da trên gii thut lp có m c nh.  tính F

n
,G
n
có th
c s dng bi hoc      c phn t hu hn
(FEM).Và  tài nghiên cu này, tác gi s s dng cho
vic tính toán F
n
,G
n
.   m mu ch th hin tính kt hp gia
n t hu hn (
tm gi tt PGD-FEM)  u.
 gii thut tng quát c


8

Cho n=1
Khi to G
(0)
Cho k=1
Tính F
k
:

k=k+1
Sai

n=n+1
Sai

Tính G
k
:

u kin hi t
ca ( F
k
G
k
)
u kin hi t
ca U
n
Nghim ca bài toán


9
2.1.4 Tiêu chu
n cht c-FEM là mt quá trình
gii lp vm c nh (Fixed Point Iteration) nên nhng công thc tiêu chut
ra trong vi sai s t vai trò quan trng và quy chính
xác c-FEM so vu khác.
Có th phân loi mt s nhóm công thc da trên phn gii thut c
pháp PGD 
Dùng để kiểm tra điều kiện hội tụ của F
(k)
và G
(k)
.
( ) ( 1) ( ) ( 1)
( ) ( ) ( 1) ( 1)
F F G G
F G F G
k k k k
k k k k




   


(2.8)
Dùng để kiểm tra điều kiện hội tụ của U
n

( ) ( )
( ) ( )
1
FG
L F G
nn
n
ii
i
g










(2.9)

Dùng để kiểm tra độ chính xác của phương pháp PGD-FEM so với phương pháp
tham chiếu khác.
 
2
ef
er u ( , ) u ( , )
r PGD

xy
ror x y x y dxdy




(2.9)
Trong ph tai nghiên cu, u
ref
có th là nghim ci tích
ho

10
Dùng để kiểm tra độ chính xác của phương pháp PGD-FEM mà không có phương
pháp tham chiếu.
( ) ( )
1
L F G g
n
ii
i









Vi ||.|| = <. , .>
L
2

là mt tiêu chuc chn phù hp.Ví d, vi chun trong
L
2
, ta có:
       
1/2
1/2
1/2
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
F G F G . F G
n n n n n n
y
x y x
dx dy dx dy
   










  


11
[1, 12,15]

i quá mi m, xa l i vi
bt kì mt bài toán k thut nào  trong nhic vt
rn, t, truyn nhin t hng sinh hóa hi
i bt i vi kh  x lý
dng hình hc phc tu kin biên phc hp; phân tích các bài toán tuyn tính,
phi tuyng lc h
 tìm thông tin v 
n hin nay.
 ni dung lý thuyn
t hu hc tích hp khi tính toán gii F
k
,G
k
  gii thut ca
 Vì th n lý thuyt c tp
c gi làm rõ vic tính toán F
k
, G
k
.
 n, ta s  Poisson ca hàm u trong không
gian hai chiu:

22

22
uu
f( , )xy
xy

  

(2.10)

u kin biên:
0
ir : u( , ) | u ( , )
: u( , ) | g( , )
D
N
D ichlet x y x y
Neumann x y x y





n





Hình 2.1 Min khu kin biên ca 


12
2.2.1. Thit lp dng yu
Nhân hàm trng s u
*
(x,y)

H
1
2.10) và thc hin tích phân trên toàn
mi
22
**
22
uu
u u f( , )d x y d
xy



    





S dng tích phân tng phn, ta có:
**
**
u u u u
u u u f( , )d d d x y d

x x y y
   
    
        
    
   
n
(2.11)
DN
Do    

(2.11) tr thành:

**
* * *
u u u u
u u u u u f( , )
DN
d d d d x y d
x x y y
    
     
          
     
    
nn
Mà:
u
g( , ) ,
N

xy

 
n

Và u
*

D
do u
*
(x,y)

H
1

**
**
**
**
u u u u
u g( , )u u f( , )
u u u u
u f( , ) u g( , )u
N
N
d d x y d x y d
x x y y
d d x y d x y d
x x y y

   
   
   
        
   
   
       
   
   
   

(2.12)
2.2.2 Xây dng mô hình nghim xp x

13
Ta tin hành ri rc mi
el
phn t tam giác có min kho
sát 
i
vi N
nod
nút trên toàn min . Nghim xp x ca hàm u(x,y) trên toàn min
c biu din:
1
*
1
u( , ) ( , ).
u ( , ) ( , )
nod

nod
N
ii
i
N
T
i
i
x y x y
x y x y






Vu
V


V
Nnod
] là vec-a hàm dng ti các nút trên toàn mi.
u
Nnod
]
T
là vec-a giá tr hàm u(x,y) ti các nút trên toàn mi.
Xét phn t 
i

bt kì, ta có nghim xp x u(x,y) ca mi
i
là:
3
1
3
*
1
u ( , ) ( , ).
u ( , ) ( , )
e i i
i
T
ei
i
x y x y
x y x y






Vu
V

(2.13)

2.2.3 Thit lp ma trn và vec-i ca phn t.

Thay (2.13) vào (2.12):
**
**
u u u u
u f ( , ) u g( , )
f ( , ) g( , )
e e N
e e N
e e e e
ee
ee
TT
TT
ee
d d x y d x y d
x x y y
d d x y d x y d
x x y y
   
   
   
      
   

   
       


   


   
   
V V V V
u V V
 
   
hay
k u f
(2.14)

Vi: [k] là ma trn phn t c 3 x 3

14
{u} là vec- u(x,y) ti các nút phn t c 3 x 1
{f} là vec-i ti các nút phn t c 3 x 1

2.2.4 Lp ghép ma trn và vec-i phn t vào h toàn cc.
Ta có dng quát:
 
   
K U F
(2.15)


[K] là ma trn toàn cc Nnod x Nnod
{U} là vec-c ca giá tr c Nnod x 1
{F} là vec-i toàn cc Nnod x 1
u kiên biên ca bài toán và gii h c
Do (2.15) là h c dng tuyn tính nên {Uc tính theo
công thc sau:

 
 
 
-1
U = K F
(2.16)



15
Sơ đồ giải thuật tổng quát của phương pháp FEM




Khai báo d liu
bài toán
Tính toán ma tr cng, vec-ti
k,f  (2.14)
Lp ghép vào ma trn toàn cc
K, F  (2.15)
u kin biên
Nghim ca bài toán 
(2.16)


16

NG D và FEM CHO BÀI
T

3.1 Gii thiNavier-Stokes
t, th gii cu thành bi bn trng thái vt chn (cht rn,
lng, khí và plasma) vi vô vàn nhng hing t nhiên xy ra xung quanh cuc
sng chúng ta. Tuy nhiên n chng sau mi v hing là mt bn cht
mang tính qui lut ng x ca th gii vt cht. Vi  u  
t là nhng v thut nghiên cn
dòng chy ct ( cht lng, khí và plasma) nhc tính khác
nhau cchn tc, áp sut, khng riêng và nhi c biu
dii dng hàm ca không gian và thi gian.
Và hu ht các hi ng ca dòng ch      i h
-Stokes và c xây dng t s bo toàn ca khi lng
ng xét cho mt th tích b n, ta s xét dng tng
quát ca h -c áp dng cho dòng chy nht không
nén ph thuc thi gian là:
 
2
1
. p . f
e
tR

      

u
u u u
(3.1)
công thc áp dng cho nh lut bng trong mt,
c rút ra t nh lut hai ca Newton trong mng liên tc.

t



u
: s i ca vn tc theo thi gian.
 
.uu
: s c hình thành bng vec-vn tc.