Sáng kiến kinh nghiệm SKKN môn toán THCS phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận dụng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ CÁC BÀI TẬP
VẬN DỤNG"

1


I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của những người
yêu thích toán học. Đối với học sinh, để có một kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn
đấu rèn luyện, học hỏi rất nhiều và bền bỉ. Đối với giáo viên: Làm thế nào để trang bị cho
các em đầy đủ kiến thức? Đó là câu hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân.
Nội dung "Phân tích đa thức thành nhân tử" được học khá kỹ ở chương trình đại số
lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong
chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên. Vì vậy, yêu cầu học sinh nắm chắc và
vận dụng nhuần nhuyễn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề vô
cùng cần thiết và rất quan trọng.
Trong nhiều năm gần đây tôi được phân công giảng dạy toán lớp 8, tôi nhận ra học sinh
rất cứng nhắc, thiếu sáng tạo trong việc sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử và gặp lúng túng, khó khăn khi giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
và các bài toán liên quan. Nắm được tinh thần này trong quá trình giảng dạy toán lớp 8
tôi đã dày công tìm tòi, nghiên cứu, rút ra các ''kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân
tử'' đa dạng và dễ hiểu. Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo
cho học sinh. Trong SGK đã trình bày các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
là phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm các hạng tử, dùng hằng đẳng
thức ... . Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi giới thiệu thêm một số ''kinh nghiệm phân
tích đa thức thành nhân tử'' bằng cách sử dụng các phương pháp sáng tạo và đa dạng như:
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt
số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm nghiệm của đa thức ... .Đồng thời vận

dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập.
Khi lồng ghép sáng kiến này vào quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất thích thú
và đạt được kết quả hết sức tốt, không những học sinh nắm vững vàng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử mà còn rất linh hoạt và sáng tạo trong việc giải các bài
tập có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử như bài toán giải phương trình, bài
toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, bài toán tìm nghiệm nguyên ..., với tinh thần trên tôi
quyết tâm thực hiện sáng kiến kinh nghiệm: '' Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân
tử'' nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong huyện nhà.

2


II. NỘI DUNG
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Mục đích nghiên cứu:
- Chỉ ra những phương pháp dạy loại bài “ Phân tích đa thức thành nhân tử”
- Đổi mới phương pháp dạy học
- Nâng cao chất lượng dạy học
1.2. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu:
1.2.1. Nhiệm vụ:
♦ Nhiệm vụ khái quát: Nêu các phương pháp dạy loại bài “ Phân tích đa thức thành nhân
tử”
♦ Nhiệm vụ cụ thể:
- Tìm hiểu thực trạng học sinh
- Những phương pháp đã thực hiện
- Những chuyển biến sau khi áp dụng
- Rút ra bài học kinh nghiệm
1.2.2. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp đọc sách và tài liệu
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
- Phương pháp thực nghiệm
- Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề
1.3. Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu:

3


- Đề tài nghiên cứu “Phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận dụng”
- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 trường THCS Ba Động
2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
Từ năm học 2009 - 2010 đến nay, tôi được nhà trường phân công giảng bộ môn toán lớp
8. Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ thăm lớp của các giáo viên trong trường, thông
qua các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện bản thân tôi nhận thấy các em
học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Quy đồng mẫu thức,
giải các loại phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vì lý do để giải được các
loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử.
Nếu như các em học sinh lớp 8 không có thủ thuật và kỹ năng phân tích đa thức thành
nhân tử thì việc nắm bắt các phương pháp để giải các dạng toán và kiến thức mới trong
quá trình học toán là một vấn đề khó khăn.
Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư duy,
tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, ra phương pháp
làm toán ở dạng cơ bản như các phương pháp thông thường mà còn phải dùng một số
phương pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ đó giúp các em có hứng
thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.
Người thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình với khả năng
sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải được các dạng bài tập mà cần phải thông qua
phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết quả tốt trong các kỳ
thi. Từ đó tôi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Một số kinh nghiệm phân
tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các phương

pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phương pháp giải phù hợp
với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau.
3. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH
Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử là gì
và ngoài giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử thì những dạng bài tập nào
được vận dụng nó và vận dụng nó như thế nào ?
- Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành một tích
của các đa thức.

4


- Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán khác.
Ví dụ:
+ Bài toán chứng minh chia hết.
+ Rút gọn biểu thức
+ Giải phương trình bậc cao
+ Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất...
3.1. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
3.1.1. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm, tách, thêm, bớt
hạng tử:
Ví dụ 1: x4 + 5x3 +15x - 9
Giải: Đa thức đã cho có 4 số hạng không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc áp dụng ngay
các hằng đẳng thức, vì vậy ta nghĩ tới cách nhóm các số hạng hoặc thêm bớt số hạng. Ta
có thể phân tích như sau:
Cách 1: x4 + 5x3 + 15x - 9
= x4 - 9 + 5x3 + 15x = (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3)
= (x2 + 3) (x2 - 3 + 5x) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3)
Cách 2: x4 + 5x3 + 15x - 9
= x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - 9

= x2 (x2 + 5x - 3) + 3 (x2 + 5x - 3) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3)
Bài này cần lưu ý học sinh trong tập hợp số hữu tỉ đa thức x 2 + 5x - 3 không phân tích
được nữa.
Ví dụ 2: x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz.
Giải: Đa thức đã cho có 7 số hạng lại không đặt nhân tử chung được mà có hạng tử 3xyz
nên ta tách hạng tử 3xyz thành 3 hạng tử để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử.

5


x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz
= x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz
= x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy)
= (xy + xz + yz) (x + y + z).
Ví dụ 3: x2 + 6x + 8
Giải: Với các phương pháp đã biết như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng hằng
đẳng thức ta không thể phân tích được đa thức này. Nếu tách một số hạng thành hai số
hạng để đa thức trở thành 4 số hạng thì có thể nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử
chung hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức ... Từ đó có nhiều khả năng biến đổi đa thức đã
cho thành tích.
Cách 1: x2 + 6x + 8
= x2 + 2x + 4x + 8
= x (x+2) + 4 (x+2) = (x+2) (x+4)
Cách 2: x2 + 6x + 9 - 1
= (x+3)2 - 1 = (x + 3 - 1) (x+ 3 +1) = (x+2) (x+4)
Cách 3: x2 - 4 + 6x + 12
= (x-2) (x+2) + 6 (x+2) = (x+2) (x+4)
Cách 4: x2 + 6x + 8
= x2 - 16 + 6x + 24 = (x - 4) (x + 4) + 6 (x + 4)
= (x + 4)(x - 4 + 6) = (x+2)(x+4).

Ví dụ 4: x3 - 7x - 6
Giải: Ta có thể tách như sau:
Cách 1: x3 - 7x - 6
= x3 - x - 6x - 6 = x (x2 - 1) - 6 (x + 1)
6


= x (x - 1)(x + 1) - 6 (x + 1) = (x + 1)(x2 - x - 6)
= (x + 1)(x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1)[ x (x - 3) + 2 (x - 3)]
= (x + 1)(x + 2)(x - 3)
Cách 2: x3 - 7x - 6
= x3 - 4x - 3x - 6 = x (x2 - 4) - 3 (x + 2)
= x (x - 2) (x + 2) - 3 (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3)
= (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1)
Cách 3: x3 - 7x - 6
= x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + 9 - 7)
= (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2)
= (x - 3) (x + 2) (x + 1)
Cách 4: x3 - 7x - 6
= x3 + 1 - 7x - 7 = (x + 1) (x2 - x + 1) - 7 (x + 1)
= (x + 1) (x2 - x + 1 - 7) = (x + 1) (x2 - x - 6)
= (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1) (x + 2) (x - 3)
Cách 5: x3 - 7x - 6
= x3 + 8 - 7x - 14 = (x + 2) (x2 - 2x + 4 - 7)
= (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3)
= (x + 2) (x + 1) (x - 3)
Cách 6: x3 - 7x - 6
= x3 - 9x + 2x - 6 = x (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 3)
= (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2).
7

Chú ý: Cần lưu ý học sinh khi phân tích đa thức này phải triệt để, tức là kết quả cuối
cùng không thể phân tích được nữa. Tất nhiên yêu cầu trên chỉ có tính chất tương đối vì
nó còn phụ thuộc tập hợp số mà ta đang xét. Nếu phân tích không triệt để học sinh có thể
gặp tình huống là mỗi cách phân tích có thể có một kết quả khác nhau.
Chẳng hạn ở bài tập trên, cách 1, cách 4 có thể cho ta kết quả là:
x3 - 7x - 6 = (x + 1) (x2 - x - 6).
Cách 2, cách 5 cho kết quả là:
x3 - 7x - 6 = (x + 2) (x2 - 2x - 3)
Cách 3, cách 6 cho kết quả là:
x3 - 7x - 6 = (x - 3) (x2 + 3x + 2)
Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh chú ý sau:
- Một đa thức dạng ax2 +bx + c chỉ phân tích được thành nhân tử trong tập hợp Q khi đa
thức đó có nghiệm hữu tỉ  ∆ (hoặc ∆ , ) là một số chính phương (trong đó ∆ = b2 - 4ac
( ∆ , = b,2 - ac)
- Một đa thức dạng ax2 + bx + c tách làm xuất hiện hằng đẳng thức được khi :
)là một số chính phương và chứa 2 trong 3 hạng tử của
A2 +2AB +B2 hoặc A2 - 2AB +B2
Ví dụ 5: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
Giải: Đa thức trên ta có thể dự đoán có 1 nhân tử là b+c hoặc c-a hoặc a+ b.
Ta có các cách phân tích như sau:
Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= bc (b + c) ac2 - a2c - a2b - ab2 = bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b)
= bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c+ b) = (b + c) (bc + ac - ab - a2)
= (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a2) ] = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)]
= (b + c) (b + a) (c -a)
8

∆

(hoặc ∆ '


Cách 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= b2c bc2 + ac (c -a) - a2b - ab2 = ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2)
= ac (c -a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a) = (c - a) (ac + b2 + bc + ab)
= (c - a) (a +b) (c+ b)
Cách 3:

bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)

= b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b) = c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b)
= c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b)= (a + b) (cb - ca + c2 - ab)
= (a + b) [c (b + c) - a (c + b)] = (a + b) (b + c) (c - a)
Cách 4: Nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b)
bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)
= bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b)
= c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b) = (b + c) (a + b) (c - a)
Cách 5: Nhận xét: b + c = (c - a) + (a + b)
Ta có:

bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b)

= bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b).
= c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b).
Cách 6: Nhận xét: a + b = (b + c) - (c - a)
bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a)
= b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b)
= (c - a) (c + c) (b + a).

Ví dụ 6: a5 + a + 1.

9


Giải: Số mũ của a từ 5 xuống 1 nên giữa a5 và a cần có những số hạng với số mũ trung
gian để nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử chung.
Cách 1: a5 + a + 1
= a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + 1 = a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1
= a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + 1
= (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1)
Cách 2: a5 + a + 1
= a5 - a2 + a2 + a + 1 = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1)
= (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1).
3.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3.
Giải: Đặt x = b - c; y = c - a; z = a - b.
Ta thấy: x + y + z = 0 => z = - x - y
(b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3
= x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3 = x3 + y3 - x3 - y3 - 3x2y - 3xy2
= - 3xy ( x + y) = 3xyz
= 3 (b - c) (c - a) (a - b)
Ví dụ 2: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12
Thông thường khi gặp bài toán này học sinh thường thực hiện phép nhân đa thức với đa
thức sẽ được đa thức bậc 4 với năm số hạng. Phân tích đa thức bậc 4 với năm số hạng
này thường rất khó và dài dòng. Nếu chú ý đến đặc điểm của đề bài: Hai đa thức x 2 + x +
1 và x2 + x + 2 chỉ khác nhau bởi hạng tử tự do, do đó nếu ta đặt y = x 2 + x + 1 hoặc y =
x2 + x thì biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai sẽ đơn giản hơn nhiều.
Đặt y = x2 + x + 1.

10


Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12
= y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12
= y2 + 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3)
= (x2 + x + 1 + 4) (x2 + x + 1 - 3)
= (x2 + x + 5) (x2 + x - 2) = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2)
= (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1) = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5).
Ví dụ 3: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
Giải: Nhận xét: Ta có: 1 + 7 = 3 + 5 cho nên nếu ta nhân các thừa số x+1 với x +7 và x +
3 với x + 5 ta được các đa thức có phần biến giống nhau.
(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
= (x2 + 7x + x + 7) (x2 + 5x + 3x + 15) + 15
= (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15.
Đặt x2 + 8x + 7 = y ta được:
y (y + 8) + 15
= y2 + 8 y + 15 = y2 + 3 y + 5 y + 15
= (y + 3) (y + 5) =(x2 + 8x + 7 + 3) (x2 + 8x + 7 + 5)
= (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) = (x2 + 6x + 2x + 12) (x2 + 8x + 10)
= (x + 6) (x + 2) (x2 + 8x + 10)
3.1.3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
♦ Phương pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức: Nghiệm nguyên (nếu có ) của một đa
thức phải là ước của hạng tử tự do.
Ví dụ: . Tìm nghiệm nguyên của đa thức sau:
Giải:
11

x3 + 3x2 - 4

Cách 1: Các ước của 4 là : 1;2;4;-1;-2;-4 . Thử các giá trị này ta thấy x = 1 và x = -2 là
nghiệm của đa thức đã cho.
Cách 2: Tổng các hệ số của đa thức bằng 0 nên đa thức đã cho có nghiệm
x = 1.
♦ Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên,
nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do; q là ước
dương của số hạng có bậc cao nhất.
Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + 3
Giải:
Các ước của 3 là : 1;-1;3;-3

(p)

Các ước dương của 2 là : 1;2 (q)
Xét các số ±1; ±3;±1/2; ±3/2 ta thấy -3/2 là nghiệm của đa thức đã cho.
Chú ý:
-Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm bằng 1.
Ví dụ: Đa thức
a) 3x4 - 4x +1 có 3+ (-4) + 1 = 0 nên có một nghiệm x = 1.
b) 4x3 +5x2 - 3x - 6 có 4 + 5 + (-3) + (-6) = 0 nên có một nghiệm x = 1.
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng
bậc lẻ thì đa thức đó có một nghiệm là -1 .
Ví dụ: Đa thức
a) 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - 3
Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng : 5 + 11 + (-3) = 13
Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng : 4 + 7 + 2 = 13

12

Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ nên
đa thức đó có một nghiệm là -1.
b) x3 + 3x2 + 6x + 4
Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng : 3 + 4 = 7
Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng : 1 + 6 = 7
Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ nên
đa thức đó có một nghiệm là -1.
♦ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức:
Nếu đa thức F(x) có nghiệm x = a thì sẽ chứa nhân tử x - a do đó khi phân tích cần làm
xuất hiện các nhân tử chung sao cho có nhân tử x - a.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x3 + 3x2 - 4
b) 2x3 + 5x2 + 5x + 3
Giải:
a)

x3 + 3x2 - 4

Cách 1: Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x= 1 nên chứa nhân tử x-1
Ta có : x3 + 3x2 - 4
= x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - 4 = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1)
= (x-1)(x2 + 4x + 4) = (x-1) (x+2)2
Cách 2: Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x= -2 nên chứa nhân tử x + 2
Ta có: x3 + 3x2 - 4
= x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4
= x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2)

13

= (x+2) (x2 +x -2)
= (x+2) (x2 - x + 2x -2)
= (x+2)[ x(x-1) +2(x-1)]
= (x+2)(x-1)(x+2)
= (x-1) (x+2)2
b)

2x3 + 5x2 + 5x + 3

Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + 3 có nghiệm là x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3
Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + 3
= 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3
= x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3)
= (2x+3) (x2 + x +1)
3.2. Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử .
3.2.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức
Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức,
mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:
A=

x − 4 x − 19 x + 106 x − 120
x + 7 x − x − 67 x − 60

Giải:
Ta có

A=

x − 4 x − 19 x + 106 x − 120
x + 7 x − x − 67 x − 60

Ta thấy tử thức của phân thức có các nghiệm là 2; 3 ; 4 ; -5
Mẫu thức của phân thức có các nghiệm là -1 ; 3 ; -4;-5

14


Do đó:
A=

x − 4 x − 19 x + 106 x − 120
x + 7 x − x − 67 x − 60

A=

( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x + 5)
( x + 1)( x − 3)( x + 4)( x +)

A=

( x − 2)( x − 4)
( x + 1)( x + 4)

Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức:
B=

x + 3x − 4
x+x−2

Giải:
Ta thấy tử thức có nghiệm là 1; mẫu thức cũng có nghiệm là 1; nên ta có:
B=

x + 3x − 4
x+x−2

=

x − x + x − x + 4x − 4
x − x + 2x − 2x + 2x − 2

=

x+x+4
.
x + 2x + 2

Ta thấy cả tử và mẫu đều không phân tích được nữa.
3.2.2. Dạng 2: Chứng minh chia hết
Để giải bài toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải nhưng ở
đây tôi chỉ trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ,ta có:
[(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] (x+6)
Giải:
Ta có:
15

(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
= (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15
Đặt t = x2 + 8x +11
⇒ (t

- 4)(t + 4) +15

= t2 - 1 = (t + 1)(t - 1)
Thay t = x2 + 8x +11 , ta có:
(x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10)
= (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) (x+6).
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ta có (4x + 3)2 - 25 chia hết cho 8.
Giải:
Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 ra thừa số
(4x + 3)2 -25
= (4x + 3)2 - 52
= (4x + 3 + 5) (4x + 3 - 5)
= (4x + 8) (4x - 2)
= 4 (x + 2) 2 (2x - 1)
= 8 (x + 2) (2x - 1)
Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên.
Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8. Ta suy ra ĐPCM.
Cách 2: (4x + 3)2 - 25
= 16x2 + 24x + 9 - 25
= 16x2 + 24x - 16
16


= 8 (2x2 + 3x - 2).
Vì x là số nguyên nên 2x2 + 3x - 2 là số nguyên

Do đó 8 (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n biểu thức:
A=

n n2 n3
+
+
3 2
6

là số nguyên.

Giải:
Ta có:

n n 2 n 3 2n + 2n 2 + 2 3
+
+
=
3 2
6
6

Muốn chứng minh biểu thức là số nguyên chỉ cần chứng minh 2n + 3n 2 + n3 chia hết cho
6 với mọi số nguyên n.
Ta có: 2n + 3n2 + n3
= n (2 + 3n + n2)
= n (2 + 2n + n + n2)
= n [ 2 (1 + n) + n (1 + n)]
= n (n + 1) (n + 2).

Ta thấy n (n + 1) (n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên ít nhất có một thừa số chia
hết cho 2 và một thừa số chia hết cho 3 . Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên
tích này chia hết cho 6.
Vậy mọi số nguyên n biểu thức A=

n n2 n3
+
+
3 2
6

là số nguyên.

Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hết cho đa thức x 16 + x15 + ...
+ x2 + x + 1.
Giải:
Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị
chia như sau:
17


x50 + x49 + ... + x2 + x + 1
= (x50 + x49 + ... + x35 + x34) +(x33 + x32 + ... + x18 + x17) + x16 ... x2 + x + 1.
= (x34) (x16 + x15 + ... + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + ... + x2 + x + 1)
+ x16 ... +x2 + x + 1
= (x16 + x15 + ... +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1)
Rõ ràng: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hết cho x 16 + x15 + ... x + 1. Kết quả của phép
chia là : x34 + x17 + 1
Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a+b+c
Giải:

Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c. Dự đoán đa thức A phân tích thành nhân tử có
một nhân tử là a + b + c.
Ta có:
A = a3 + b3 + c3 - 3abc
= a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb - ac2 - acb b2c - bc2
= a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c)
= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
= B. (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)
Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B.
Ví dụ 6: Cho
CMR:

1 1 1
1
+ + =
a b c a+b+c

1
1
1
1
+ n + n = n
n
a
b
c
a + bn + cn

với n lẻ.

Giải:

18


Ta có:

1 1 1
1
bc + ac + ab
1
+ + =
=>
=
a b c a+b+c
abc
a+b+c

=> (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc.
=> abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc
=> (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = 0
=> bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = 0
=> (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = 0
=> (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = 0 => (a + b) (b + c) (a + c) =0
=> a + b = 0 => a = - b hoặc b + c = 0 => b = - c hoặc a + c = 0 => a = - c
Vì n lẻ nên a2 = -bn hoặc bn = - c2 hoặc an = - cn
Thay vào ta suy ra điều phải chứng minh.
3.2.3. Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng phương
trình.
a) Giải phương trình nghiệm nguyên.

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
3x2 + 10xy + 8y2 = 96
Giải:
Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2
= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2
= x (3x + 4y) + 2y (3x + 4y)
= (3x + 4y) (x + 2y)
= 96
Ta có: 96 = 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16
19


Mà x, y > 0 => 3x + 4y > 7; x + 2y > 3
Ta có các hệ phương trình sau:
x + 2y = 4

x + 2y = 6

(I)

3x + 4y = 24

x + 2y = 8

3x + 4y = 16

x + 2y = 12 (IV)

(III)

3x + 4y = 12

3x + 4y = 8

Giải hệ (I) ta được x = 16; y = - 6 (Loại).
Giải hệ (II) ta được x = 4; y = 1 (Loại)
Giải hệ (III) ta được x = 4; y = 6 (Loại)
Giải hệ (IV) ta được x = - 16;y = 14 (Loại)
Vậy nghiệm của hệ x = 4; y = 1.
Vậy nghiệm của phương trình: x= 4; y = 1
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2x3 + xy - 7 = 0
Giải: 2x3 + xy - 7 = 0
=> 2x3 + xy = 7 => x (2x2 + y) = 7
=>

x=1

=>

2x2 + y = 7
Hoặc

x=7

x=-1

x=1
y=5

=>

2x2 + y =1
Hoặc

(II)

x=7
y = - 97

=>

x=-1
20


2x2 + y =-7
Hoặc

x=-7

=>

y=-9
x=-7

2x2 + y = - 1

y = -99

Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > 0 thỏa mãn:
x3 + 7 y = y3 + 7x
Giải:

x3 + 7 y = y3 + 7x

=> x3 - y3 - 7x + 7y = 0
=> (x - y)3 (x2 + xy + y2) - 7 (x - y) = 0
=> (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = 0

Vì x > y > 0

=> x2 + xy + y2 - 7 = 0
=> x2 - 2xy + y2 = 7 - 3xy
=> (x - y)2 = 7 - 3xy
=> 7 - 3xy > 0 => 3xy < 7 => xy <

7
3

x.y ≤ 2 => x = 2; y = 1
b) Giải phương trình bậc cao
Ví dụ 1: Giải phương trình
( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0
Giải: Ta có:
( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0
 ( 3x - 5 + x - 1 )(3x - 5 - x + 1) = 0
 ( 4x - 6)(2x - 4) = 0
⇒ 4x

- 6 = 0  x = 3/2
21


hoặc 2x - 4 = 0  x = 2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =3/2 hoặc x = 2
Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0
Giải: Ta có:
` x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0
 x3 + x2 +2x2 +2x +2x + 2 = 0
x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = 0
(x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0
hoặc (x + 1) = 0 => x = -1
hoặc (x2 + 2x + 2) = 0 không có giá trị nào của x ∈ Q
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -1
3.3. Bài tập:
Phân tích đa thức thành nhân tử.
1) x3 - 4x2 + 8x - 8
2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz
3) x2 + 7x + 10
4) y2 + y - 2
5) n4 - 5n2 + 4
6) 15x3 + x2 - 2n
7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b)
8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b)
9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1
22


10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 9

11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 2
12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 3
13) Tính nhanh giá trị của biểu thức sau với:
3

a) x = - 5 4
b) a = 5,75;

P = (x+ 2)2 - 2 (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2
b = 4,25

Q = a3 - a2b - ab2 + b3
14) CMR biểu thức (2n + 3)2 - 9 chia hết cho 4 với mọi n nguyên.
15) CM biểu thức

n n 2 n3
+
+
12 8 24

16) Chứng minh đa thức:
+ ... + x2 + x + 1

là số nguyên với mọi số chẵn n.

x 79 + x78 + ... + x2 + x+ 1 chia hết cho đa thức x 19 + x18

4. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường THCS Ba Động trong năm
học 2013 - 2014 đã thu được các kết quả khả quan.

Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỳ thi, đặc
biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa thức
thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết quả
tốt. Đa số các em học sinh đã biết sử dụng các phương pháp phân tích thông thường một
cách thành thạo, 80% các em học sinh có kỹ năng nắm vững thủ thuật phân tích đa thức
dựa vào các phương pháp phân tích đã được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm, kết quả
kiểm tra định kỳ chương I đại số 8 mà phần lớn kiến thức liên quan đến phân tích đa thức
thành nhân tử, các em làm bài rất tốt, hơn 95% học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên so
với khi chưa áp dụng sáng kiến này là tăng 20%. Bên cạnh đó các phương pháp này các
em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng như việc hình
thành một số kỹ năng trong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán. Việc áp
dụng sáng kiến này không những có hiệu quả về chiều rộng mà còn về chiều sâu. Trong
kỳ thi học sinh giỏi khối 8 năm học này phần kiến thức liên quan đến phân tích đa thức
23


thành nhân tử các em làm rất tốt, đó là những kết quả bước đầu rất đáng khích lệ giúp tôi
tin tưởng hơn trong việc áp dụng sáng kiến này vào dạy học và chia sẽ cùng đồng nghiệp.
III. KẾT LUẬN.
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả hữu hiệu
cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hướng phương
pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và kết quả tốt từ
việc giải toán rút ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Vì lẽ đó với mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp
thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương pháp giải
toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây hứng thú học tập, say sưa giải
toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có được như vậy thì
người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để
hướng dẫn học sinh làm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải
khác nhau cũng như cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phương pháp giải toán

nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách
giải.'' Một số kinh nghiệm trong phân tích đa thức thành nhân tử '' ở trên đây giúp học
sinh rất nhiều trong quá trình giải toán và đạt được kết quả khả quan
Đánh giá chất lượng trước khi thực hiện giải pháp

Năm học

20122013

Kết quả kiểm tra định kỳ Chương I đại số lớp 8
(Có nội dung phần lớn là phân tích đa thức
Số
học thành nhân tử)
sinh khối
8
Giỏi
Khá
Trung
Yếu
bình
Kém
36

6 ( 17%)

12 ( 33%)

12 ( 33%)

6 ( 17%)

Đánh giá chất lượng sau khi thực hiện giải pháp

Năm học

Kết quả kiểm tra định kỳ Chương I đại số lớp 8
(Có nội dung phần lớn là phân tích đa thức
Số
học thành nhân tử)
sinh khối
8
Giỏi
Khá
Trung
Yếu
24


20132014

55

12 ( 22%)

21 ( 38%)

bình

Kém

19 ( 35%)

3 ( 5%)

Với kết quả khả quan như trên, tôi đã mạnh dạn trao đổi cùng một số đồng nghiệp, sau
một thời gian sử dụng các đồng nghiệp cho ý kiến phản hồi khá tích cực. Những kết quả
đạt được ban đầu giúp tôi củng cố niềm tin hoàn thiện hơn nữa sáng kiến và chia sẽ rộng
rải cùng đồng nghiệp, nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong huyện nhà
trong thời gian đến.
Sáng kiến kinh nghiệm ''Kinh nghiệm về phân tích đa thức thành nhân tử'' mà tôi đã viết
trên đây có lẽ sẽ còn hạn chế. Mong tổ chuyên môn trong trường, đồng nghiệp góp ý
chân thành để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho việc giảng
dạy.
Ba Động, ngày 25 tháng 02 năm 2014
Người thực hiện

Bùi Tấn Vược

25