SKKN toan 9 bài tập rèn tư duy sáng tạo

CHƯƠNG II: BÀI TẬP RÈN TƯ DUY SÁNG TẠO
Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2x + 3y = 11
Hướng dẫn
Cách 1: Ta thấy phương trình có cặp nghiệm đặc biệt là x0 = 4, y0 = 1
Vì 2.4 + 3.1 = 11
⇒( 2x + 3y) – (2.4 + 3.1) = 0
⇔ 2(x-4) + 3(y-1) = 0
⇒ 2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = 1
Đặt x – 4 = 3k và y – 1 = 2k với ( k ∈ Z)
Vậy nghiệm tổng quát của pt là :

x = 4 – 3k
y = 1+ 2k

( k ∈ Z)

*Nhận xét: Theo cách giải này phải tìm ra 1 cặp nghiệm nguyên đặc
biệt (x0, y0) của phương trình vô định ax + by = c
Nếu phương trình có hệ số a, b, c lớn thì cách giải khó khăn.
Cách 2: Dùng tính chất chia hết.
Ta có 2x + 3y = 11
⇒ x=

11 − 3 y
y −1
= 5- y2
2

Do x, y nguyên ⇒
đặt

y −1
nguyên
2

y −1
= k ⇒ y = 2k +1 ⇒ x = 4- 3k
2

(k ∈ Z)

y = 2k +1 (k ∈ Z)
Vậy nghiệm tổng quát
x = 4- 3k
Bài 2: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn phương trình
6x2 + 5y2 = 74
Hướng dẫn:
Cách 1: Ta có 6x2 + 5y2 = 74
⇔ 6x2 –24 = 50 – 5y2
⇔ 6(x2 – 4) = 5(10 – y2)
⇒ 6(x2 – 4)  5

⇒ x2 – 4  5

1


(6, 5) = 1
⇒ x2 = 5t + 4

(t ∈N)

Thay x2 – 4 = 5t vào phương trình ⇒ y2 = 10 – 6t
lại có

⇔

x2 > 0
y2 > 0

t>

−4
5

t<

5
3

⇒ t = 0 hoặc t = 1
với t = 0 ta có x2 = 4, y2 = 10 (loại)
Với t = 1 ta có

⇔

x2 = 9

x=±3
y=±2

y2 = 4
mà x, y ∈ Z + ⇒ x = 3, y = 2 thoả mãn

Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ và phương pháp chặn
Ta có 6x2 + 5y2 = 74 là số chẵn ⇒ y chẵn
lại có 0< 6x2 ⇒ 0< 5y2 < 74
⇔ 0 < y2 < 14 ⇒ y2 = 4 ⇒ x2 = 9
Cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2)
Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74
⇔ 5x2 + 5y2 + x2 + 1 = 75
⇒ x2 + 1  5
mà 0 < x2 ≤ 12 ⇒ x2 = 4 hoặc x2 = 9
Với x2 = 4 ⇒ y2 = 10 loại
Với x2 = 9 ⇒ y2 = 4 thoả mãn
cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2)
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x2 + y2 = 2x2y2
Hướng dẫn:
Cách 1: Đặt x2 = a, y2 = b
Ta có a + b = 2 ab ⇒

a b

⇒ a = b ⇒a=±b

b a
Nếu a = b ⇒ 2a = 2a2 ⇒ a= a2 ⇒ a= 0, a= 1

2

⇒ (a,b) = (0, 0); (1, 1)
Nếu a = - b ⇒ 2 b2 = 0 ⇒ a = b = 0
⇒ (x2, y2) = (0, 0); (1, 1)
⇒ (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1)
Cách 2:
Ta có x2 + y2 = 2x2y2
Do x2, y2 ≥ 0
Ta giả sử x2 ≤ y2 ⇒ x2 + y2 ≤ 2 y2
⇒ 2x2 y2 ≤ 2y2
Nếu y = 0 phương trình có nghiệm (0;0)
Nếu y ≠ 0⇒ x2 ≤ 1 ⇒ x2= 0 hoặc x2 = 1
⇒ y2 = 0 (loại) hoặc y2 = 1 ⇒ (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1)
Vậy phương trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1);
(1, 1)
Cách 3:
Có x2 + y2 = 2x2y2
⇔ 2x2 + 2y2 = 4 x2y2
⇔ 4 x2y2 –2x2 – 2y2 + 1 = 1
2x2 (2y2 - 1) – (2y2 - 1)= 1
⇔ (2x2 – 1) (2y2 - 1) = 1
Mà 1 = 1.1 = (-1)(-1) ⇒ (x2, y2) = (1, 1); (0, 0)
⇒ (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1)
Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
x2 –3xy + 2y2+ 6 = 0
Hướng dẫn:
Ta thấy(x, y) = (0, 0) không phải là nghiệm của phương trình
Ta coi phương trình x2 – 3xy + 2y2 + 6 = 0 ẩn x ta tính ∆ y = y2 – 24
Phương trình có nghiệm tự nhiên thì ∆ y là số chính phương

⇒ y2 – 24 = k2 ⇒ (y – k)(y + k) = 24

(k∈N)

mà 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k và y – k cùng chẵn
⇒

y+ k = 6

⇒y=5

hoặc

y+ k = 12

⇒y=7

3


y–k=4
y–k=2
Thay vào ta tìm được (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5)
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2x2 + 2y2 – 2xy + y + x – 10 = 0
Hướng dẫn:
Cách 1:
Ta có phương trình đã cho ⇔ 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0
Coi x là ẩn y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x
Xét ∆ y = (2y – 1)2 – 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 – 12y+ 81

Để nghiệm x nguyên thì ∆ y là số chính phương
Đặt k2= -12y2 – 12 y + 81 ⇒ k2 + 3(2y + 1) = 84
k2
⇒ (2y + 1) = 28 ≤ 28; (2y + 1)2 lẻ ⇒ (2y + 1)2 = 1, 9, 25
3
2

⇒ y = 0, 1, -2, 2, -3 thử trực tiếp vào phương trình ta tìm được các cặp
số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mãn
Cách 2:
Đặt x + y = a, xy = b ta có x, y ∈ Z ⇒ a, b ∈ Z
phương trình 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0
⇔ 2a2 – 4b + a – 10 = 0
⇔ 4a2 – 8b + 2a – 20 = 0
⇔ (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 = 0
⇔ (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21
lại có (x+ y)2≥ 4 xy ⇒ a2 ≥ 4b
⇒ 8b + 21 ≤ 2a2 + 21
⇒ (a+ 1)2 + 3a2 ≤ 2a2 + 21
⇒ (a+ 1)2 ≤ 21
mà (a+ 1)2 là số chính phương ⇒ (a+ 1)2 ∈ {1, 4, 9, 16}
⇒ a ∈ {0, 1, 2, 3}
Với a = 0 ⇒ 12 + 3. 0 = 8b + 21 ⇒ 8b = 20 loại
Với a = 1 ⇒ (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 ⇒ 8b = -14 loại
Với a = 2 ⇒ (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 ⇒ 8b = 0 ⇒ b = 0
Với a = 3 ⇒ (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 ⇒ 8b = 22 loại

4

Vậy được a = 2, b = 0 ⇒
xy = 0
x+y=2
⇒ (x, y ) = (0, 2); (2, 0)

thoả mãn

Bài 6: Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1
ván với mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4
lần tổng số đấu thủ của hai đội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2
đội là số lẻ hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ.
Hướng dẫn:
Gọi x, y lần lượt là số đấu thủ của đội 1 và đội 2 (x, y nguyên dương )
Theo bài ra ta có xy = 4 (x + y)
Đây là phương trình nghiệm nguyên ta có thể giải bằng các cách sau 
Cách 1: Có xy = 4(x + y)
⇔ xy – 4x – 4y + 16 = 16
⇔ (x-4) (y - 4) = 16
mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4
lại có ít nhất 1 đội có số đấu thủ lẻ
⇒

x–4=1
y-4 = 16

⇔ x=5

hoặc

y = 20

x = 20
y=5

Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Không mất tính tổng quát ta giả sử x≤ y
Ta có x, y nguyên dương xy = 4 (x + y)
⇔

4 4
+ y=1
x

lại có

4
4
4 4
8
8
≥ y ⇔ + y ≤ ⇔ ≤1
x
x
x
x

⇒x≤8
Mà

⇒ x= 5, 6, 7, 8

4
≤1⇒x>4
x

Thử trực tiếp ta được x = 5, y = 20 (thoả mãn)
Vậy 1 đội có 5 đấu thủ còn đội kia có 20 đấu thủ
Bài 7: Tìm năm sinh của Bác Hồ biết rằng năm 1911 khi Bác ra đi tìm
đường cứu nước thì tuổi Bác bằng tổng các chữ số của năm Bác sinh cộng
thêm 3.

5


Hướng dẫn:
Ta thấy nếu Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 thì năm 1911 Bác nhiều nhất
là 11 tuổi (1+ 9 + 0 + 0 + 3) loại
Suy ra Bác sinh ra ở thế kỷ 19
Gọi năm sinh của Bác là 18 xy
(x, y nguyên dương, x, y ≤ 9)
Theo bài ra ta có
1911 - 18 xy = 1 + 8 + x + y = 3
⇔ 11x + 2y = 99
⇒ 2y  11 mà (2, 11) = 1 ⇒

y  11
mà 0≤ y ≤ 9

⇒y=0⇒x=9
Vậy năm sinh của Bác Hồ là 1890
Bài 8: Hãy dựng một tam giác vuông có số đo 3 cạnh là a, b, c là những số

nguyên và có cạnh đo được 7 đơn vị
Hướng dẫn:
Giả sử cạnh đo được 7 đơn vị là cạnh huyền (a = 7)
⇒ b2 + c2 = 72 ⇒ b2 + c2  7 ⇒ b  7; c  7
(vì số chính phương chia hết cho 7 dư 0, 1, 4, 2)
lại có 0⇒ Cạnh đo được là cạnh góc vuông giả sử b = 7
Ta có a2 – c2 = 49 ⇔ (a+c)(a-c) = 49
⇒ a+ c = 49

⇒ a = 25

a–c=1

c = 24

Vậy tam giác cần dựng có số đo 3 cạnh
là 7, 25, 24

C – KẾT LUẬN
Đề tài này đã nhận được thử nghiệm qua nhiều năm bồi dưỡng học
sinh giỏi tôi thấy học sinh nắm được bài và rất hứng thú học tập. Tôi nghĩ

6


rằng tôi cần phải cố gắng đọc thêm tài liệu, học hỏi thầy cô và các bạn đồng
nghiệp để tiếp tục xây dựng đề tài ngày càng phong phú hơn.
I. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
1) Kết quả chung

Sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy đa số học sinh không những nắm
vững cách giải phương trình nghiệm nguyên mà còn vận dụng linh hoạt
trong các dạng toán khác.
2) kết quả cụ thể
Kiểm tra 10 học sinh lớp 9 theo các đợt khác nhau dưới dạng phiếu học
tậpthu được kết quả sau:
Đề bài
Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phương trình
a, x2 – 4x- y2 = 1
b, 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
5x + 7y = 56
Dưới điểm 5
SL
%
1
10

Điểm 5 - 7
SL
%
4
40

Điểm 8 - 10
SL
%
5
50

Điểm 5 - 10
SL
%
10
100

II. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Tôi nhân thấy việc tự học, tự nghiên cứu để không ngừng trao dồi về
kiến thức, , giúp học sinh hiểu bài sâu sắc và học sinh hứng thú, thích học,
ham học và muốn học. Có như vậy mới đáp ứng được lòng tin yêu của học
sinh và yêu cầu của xã hội như hiện nay.
Bên cạnh việc tự học, tự nghiên cứu để nâng cao hiểu biết cho bản thân
mỗi giáo viên thì việc học hỏi thêm qua việc dự giờ đồng nghiệp, qua việc
lắng nghe ý kiến rút kinh nghiệm của đồng nghiệp và Ban giám hiệu trong
từng giờ dạy cũng là bài học vô giá đối với bản thân giáo viên.
Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên là phương pháp được
ứng dụng rộng rãi trong nhiều bài toán dạng toán. Song vì thời gian eo hẹp
nên đề tài này không thể tránh được những sai sót,mong đồng nghiệp góp ý
để đề tài được hoàn thiện hon.
III. ĐỀ XUẤT

7


Đề tài có giá trị nên áp dụng rộng rãi để đồng nghiệp có thể tham khảo
và đóng góp ý kiến . Trong quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏi những
thiếu sót nhất định, rất mong quý thầy cô tham khảo, đóng góp ý kiến để giúp
tôi rút ra kinh nghiệm và hoàn chỉnh hơn cho đề tài của mình. Tôi xin chân
thành cảm ơn.
Bỉm Sơn, ngày 05 tháng 4 năm 2011

Người viết

Nguyễn Thị Nguyệt

8