ĐHCN giáo trình lý thuyết trường điện từ võ xuân ân, 108 trang

LỜI NÓI ĐẦU
Kể từ khi Hertz bằng thực nghiệm đã chứng tỏ năng lượng điện có thể bức
xạ trong không gian và sự tồn tại của trường điện từ đã mở đầu kỷ nguyên ứng
dụng sóng điện từ trong thông tin liên lạc, truyền số liệu, giải trí đa phương tiện,
điều khiển từ xa ... Hệ thống thông tin vô tuyến này ngày càng trở nên quan
trọng và thiết yếu trong xã hội hiện đại. Do đó việc hiểu biết bản chất của sóng
điện từ, tính chất lan truyền của trường điện từ cũng như các ứng dụng của nó là
rất cần thiết. Để tích luỹ phần kiến thức này người học cần phải có kiến thức nền
tảng về giải tích vector, phép tính tensor, phương trình vi phân và đạo hàm
riêng, giải tích hàm một biến và hàm nhiều biến trong Toán học cao cấp; quang
học sóng và điện học trong Vật lý đại cương.
Giáo trình Lý thuyết trường điện từ được biên soạn trong khuôn khổ của
chương trình hoàn thiện bộ sách giáo trình dùng để giảng dạy và học tập của
Khoa Công nghệ Điện tử, Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh, bao
gồm các nội dung được trình bày trong 5 chương như sau:
Chương 0 Một số công thức toán học
Chương 1 Các định luật và nguyên lý cơ bản của trường điện từ
Chương 2 Tích phân các phương trình Maxwell
Chương 3 Sóng điện từ phẳng
Chương 4 Nhiễu xạ sóng điện từ
Do thời gian và tài liệu tham khảo còn nhiều hạn chế, cho nên chắc chắn
giáo trình còn nhiều thiếu sót. Rất mong có sự đóng góp, phê bình của bạn đọc
để giáo trình được hoàn thiện hơn.
Tác giả
Võ Xuân Ân

1


MỤC LỤC

Trang
1

Lời nói đầu
Chương 0 Một số công thức toán học

3

Chương 1 Các định luật và nguyên lý cơ bản của trường điện từ

8

Chương 2 Tích phân các phương trình Maxwell

32

Chương 3 Sóng điện từ phẳng

60

Chương 4 Nhiễu xạ sóng điện từ

90

Tài liệu tham khảo

107

2

Chương 0
MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC
1. Vector

•

•

r
r
r
r
a = {a x , a y , a z } = i a x + j a y + ka z
r
r
r
r
b = {b x , b y , b z } = i b x + j b y + kb z
r
r
r
r
c = {c x , c y , c z } = i c x + j c y + kc z
rr
a.b = a x b x + a y b y + a z b z
r
r
r
i

j k
r
r
r
r r
a × b = a x a y a z = i (a y b z − a z b y ) + j(a z b x − a x b z ) + k (a x b y − a y b x )
bx by bz

rr

rr

r r

• a.b = a b cos(a , b )
r r

r

• a×b = c
r

r r

Phương: c ⊥ (a, b )
Chiều: theo qui tắc vặn nút chai
r

rr

r r

Độ lớn: c = a b sin (a , b )
r

r r

(

)

r rr

r rr

( )

• a × b × c = b.(a.c ) − c. a.b
2. Toán tử nabla
∂ ∂ ∂
∇= , , 
 ∂x ∂y ∂z 

3. Gradient
r ∂U r ∂U r ∂U
gradU = ∇.U = i
+j
+k
∂x
∂y

∂z

4. Divergence
∂a y ∂a z
r
r ∂a
diva = ∇.a = x +
+
∂x
∂y
∂z

5. Rotary

3


r
i
r
r
∂
rota = ∇ × a =
∂x
ax

r
j
∂
∂y

ay

r
k
∂ r  ∂a z ∂a y  r ∂a x ∂a z
 + j
= i 
−
−
∂z
∂
y
∂
z
∂
z
∂x



az

 r  ∂a y ∂a x 

−
 + k
∂y 
  ∂x

Số phức

Hàm mũ
e z = e x +iy = e x (cos y + i sin y )

Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có
e 2 kπi = cos 2kπ + i sin 2kπ = 1

Suy ra
e z + 2 kπi = e z .e 2 kπi = e z

Công thức Euler
eiy = cosy +isiny
Khi đó số phức z = r eiϕ = r(cosϕ +isinϕ)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với
hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:
y′′ + a 1 y′ + a 2 y = f ( x )

(1)

Trong đó:
a1, a2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x
f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất
f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất
a1, a2 ≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:
y′′ + a 1 y′ + a 2 y = 0

(2)

a1, a2 là các hàm của biến x

4


Định lí 1. Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C1y1 + C2y2
(trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy.
Hai hàm y1(x) và y2(x) là độc lập tuyến tính khi

y1 (x )
≠ const , ngược lại là phụ
y 2 (x )

thuộc tuyến tính
Định lí 2. Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi
phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2
hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy.
Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từ
trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của
phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với
hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:
y′′ + a1 y′ + a 2 y = f ( x )

(3)

Trong đó:
a1 và a2 là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0
Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng

nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm
riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3).
Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất
y′′ + a1 y′ + a 2 y = f1 ( x ) + f 2 ( x )

(4)

Nếu y1(x) là nghiệm riêng của phương trình
y′′ + a 1 y′ + a 2 y = f1 ( x )

(5)

và y2(x) là nghiệm riêng của phương trình
y′′ + a1 y′ + a 2 y = f 2 ( x )

thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi

5

(6)


Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:
y′′ + py′ + qy = 0

(7)

p, q là các hằng số
Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng

(8)

y = e kx

Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định
Suy ra
y′ = ke kx ,

(9)

y′′ = k 2 e kx

Thay (8) và (9) vào (7) ta có
e kx (k 2 + pk + q ) = 0

(10)

k 2 + pk + q = 0

(11)

Vì ekx ≠ 0 nên
Nếu k thoả mãn (11) thì y = ekx là một nghiệm riêng của phương trình vi
phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi
phân (7)
Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k1
và k2 như sau
- k1 và k2 là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình
vi phân (7) là
y1 = e k x ,

y2 = ek x

1

(12)

2

Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì
y1
= e ( k −k
y2
1

2

)x

≠ const

(13)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
y = y1 + y 2 = C1e k x + C 2 e k x
1

(14)

2

- k1 và k2 là 2 số thực trùng nhau: k1 = k2
Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: y1 = e k x , y 2 = xe k x
1

6

1


Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
y = C1e k x + C 2 xe k x = (C1 + C 2 x )e k x
1

1

1

(15)

- k1 và k2 là 2 số phức liên hợp: k1 = α + iβ
β và k2 = α - iβ
β
Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là
•

y1 = e (α+iβ )x = eαx eiβx
•

y2 = e

(α −iβ )x

αx

=e e

(16)

−i β x

Theo công thức Euler ta có
eiβx = cos βx + i sin β x
e −iβx = cos βx − i sin βx

(17)

Suy ra
•

y1 = e αx eiβx = e αx (cos β x + i sin β x )
•

αx

y2 = e e
•

−i β x

=e

αx

(cos βx − i sin βx )

(18)

•

Nếu y1 và y 2 là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm
•

•

•

•

y +y
y1 = 1 2 = e αx cos β x
2
y2 =

(19)

y1 + y 2
= e αx sin β x
2i

cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì
y1
= tgβx ≠ const
y2

(20)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
y = C1eαx cos β x + C 2 eαx sin β x = e αx (C1 cos β x + C 2 sin β x )

7

(21)


Chương 1
CÁC ĐỊNH LUẬT
VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ
1.1.1. Vector cường độ điện trường
• Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện
trường
r
r
F = qE

(1.1)

r
r F

E=
q

(1.2)

Hay:

r

• Cđđt E tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số
bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó
• Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q
r
r
Qq r0
F=
4πεε 0 r 2

(1.3)

- ε 0 = 8,854.10 −12 F / m - hằng số điện
- ε - độ điện thẩm tương đối
r

- r0 - vector đơn vị chỉ phương
• Hệ đt điểm q 1 , q 2 ,..., q n
r n r
E = ∑ Ei =
i =1

1
4πεε 0

r
q i r0 i
∑
2
i =1 ri
n

(1.4)

r
r0i - các vector đơn vị chỉ phương

• Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó:
r
El =

r
1
r
ρ l dl 2
∫
4πεε 0 l
r

(1.5)

8

r
1
r
ρ S dS 2
∫
4πεε 0 S
r
r
r
1
r
EV =
ρ V dV 2
∫
4πεε 0 V
r
r
ES =

(1.6)
(1.7)

1.1.2. Vector điện cảm
• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử
r

dụng vector điện cảm D
r

r
D = εε 0 E

(1.8)

1.1.3. Vector từ cảm
• Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển
động hay dòng điện theo định luật Lorentz
r
r r
(1.9)
F = qv × B
r
• Từ trường do phần tử dòng điện Id l tạo ra được xác định bởi định luật thực

nghiệm BVL
r r
r µµ 0
dB =
Id l × r
2
4πr

(

)

(1.10)

- µ 0 = 4π.10 −7 = 1,257.10 −6 H / m - hằng số từ

- µ - độ từ thẩm tương đối
• Từ trường của dây dẫn có chiều dài l
r
r µµ 0 Id l × rr
B=
4π ∫l r 2

(1.11)

1.1.4. Vector cường độ từ trường
• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử
r

dụng vector cường độ từ trường H

9


r
r
B
H=
µµ 0

(1.12)

1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích
1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân
• Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện
tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian

I=−

(1.13)

dq
dt

Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm
• Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn
điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện
r
r
r
r
J = n 0 ev = ρv = σE

(1.14)

dạng vi phân của định luật Ohm
- n0 - mật độ hạt điện có điện tích e
- ρ - mật độ điện khối
r

- v - vận tốc dịch chuyển của các hạt điện
- σ - điện dẫn suất
• Dòng điện qua mặt S được tính theo
r r
r r
I = ∫ dI = ∫ JdS = ∫ σEdS
S

S

(1.15)

S

• Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp
U, ta có
(lưu ý: áp dụng c/t S = L2 và R = ρ

L ρ
= )
S L

I = ∫ σEdS = σES = (σL)(EL) = σLU =
S

dạng thông thường của định luật Ohm
r

r

Vì E và dS cùng chiều, đặt

10

U
R

(1.16)


σ=

(1.17)

1
RL

σ - điện dẫn suất có đơn vị là 1/Ωm
1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích
• Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng
không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng
điện.
• Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện
tích giảm đi từ thể tích V đó.
• Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có
(1.18)

Q = ∫ ρdV
V

sau thời gian dt lượng điện tích trong V giảm đi dQ
I=−

dQ
d
= − ∫ ρdV
dt

dt V

(1.19)

Mặt khác
r r
I = ∫ JdS

(1.20)

S

Suy ra
(1.21)

r r
∂ρ
∫S JdS = −V∫ ∂t dV

Theo định lý OG
r r

∫ JdS = ∫ (∇.J )dV = − ∫ ∂t dV

(1.22)

v ∂ρ
∇.J +
=0
∂t

(1.23)

S

v

V

∂ρ

V

Suy ra

Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên
tục.
1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường

11


• Các đặc trưng cơ bản của môi trường: ε, µ, σ
• Các phương trình:
r
r
D = ε 0 εE
r
r
B

H=
µ 0µ

(1.24)
(1.25)

gọi là các phương trình vật chất
• ε, µ, σ ∉ cường độ trường : môi trường tuyến tính
• ε, µ, σ ≡ const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng
• ε, µ, σ theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường
không đẳng hướng. Khi đó ε, µ biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng
số. Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trường
không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ
• ε, µ, σ ∈ vị trí : môi trường không đồng nhất
Trong tự nhiên đa số các chất có ε > 1 và là môi trường tuyến tính.
Xecnhec có ε >> 1 : môi trường phi tuyến
µ > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N,
không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm
µ < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na+, Cl- có các lớp
electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO2, H2O,
thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ
µ >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các
nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của chất sắt từ
lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần.
• Căn cứ vào độ dẫn điện riêng σ: chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách
điện hay điện môi
Chất dẫn điện: σ > 104 1/Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý tưởng
Chất bán dẫn: 10-10 < σ < 104

12

Chất cách điện: σ < 10-10, σ = 0 : điện môi lý tưởng
Không khí là điện môi lý tưởng: ε = µ = 1, σ = 0
1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường
• Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell
r

• Thông lượng của vector điện cảm D qua mặt S là đại lượng vô hướng được
xác định bởi tích phân
r r
Φ E = ∫ DdS

(1.26)

S

r
dS

r
D

r
r

dΩ
q

S

r
dS : vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài
r r
r
dS.cos( D , dS ) : hình chiếu của S lên phương D
r

• Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của D do q
tạo ra qua mặt kín S, ta có
r r
r r q.dS. cos D, dS
q
dΦ = DdS =
=
dΩ
2
4πr
4π

(

)

(1.27)

dΩ là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS
r

Thông lượng của D qua toàn mặt kín S là

r r q
Φ = ∫ DdS =
dΩ = q
4π Ω∫
S

(1.28)

• Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngoài mặt kín S. Từ điện tích q nhìn
toàn mặt S dưới một góc khối nào đó. Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S'

13


(có giao tuyến là AB). Pháp tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau.
Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu. Khi đó thông
r

lượng của D qua toàn mặt kín S bằng 0.
r
D

A

r
dS
B
q

• Xét hệ điện tích điểm q1, q2, ..., qn đặt trong mặt kín S, ta có

(1.29)

n r
r
D = ∑ Di
i =1

r
Thông lượng của D do hệ q1, q2, ..., qn gây ra qua toàn mặt kín S
r r n r r n
Φ = ∫ DdS = ∑ ∫ D i dS = ∑ q i = Q
i =1 S

S

(1.30)

i =1

r

Vậy: Thông lượng của vector điện cảm D qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng
đại số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S
Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q1, q2, ..., qn, do đó Φ có thể âm
hoặc dương
• Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối ρ thì Φ được
tính theo
r r
Φ E = ∫ DdS = ∫ ρdV = Q
S

(1.31)

V

Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí OstrogradskiGauss đối với điện trường.
Nguyên lý liên tục của từ thông
• Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là
dòng điện hay nam châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này

14


r

• Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm B . Thông
r

lượng của B qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này.
Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số
r

đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thông lượng của B được tính
theo
r r
Φ M = ∫ BdS = 0

(1.32)

S

Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông. Đây là một phương
trình cơ bản của trường điện từ
1.5. Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday
Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này
r

xh dòng điện cảm ứng. Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường E có chiều
là chiều của dòng điện cảm ứng đó.
Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện
nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự. Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải
là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt
của điện trường đó. Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì
đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở. Điện trường tĩnh không làm
cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì
hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng
điện !).
Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng
điện thì công phải khác 0, có nghĩa là
r r

(1.33)

∫ qEd l ≠ 0
l

và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy.
Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian
cũng tạo ra một điện trường xoáy.

15


Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:
Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh
trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi
qua diện tích của vòng dây
ec = −

(1.34)

dΦ
dt

Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện
cảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông Φ
r r
Φ = ∫ BdS

(1.35)

S

r
là thông lượng của vector từ cảm B qua S được bao bởi vòng dây. Suy ra
r
r
(1.36)
 dB  r
 ∂B  r

dΦ
d r r
dS = ∫  −
dS
ec = −
= − ∫ BdS = ∫  −
dt
dt S
dt 
∂t 
S
S

Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng ec theo lưu số của vector cường độ
r

điện trường E
r r
e c = ∫ Ed l

(1.37)

l

Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn
r

của B

r

B
r
dS
S

r
dl
Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công thức (1.35), (1.36), (1.37) ta
có

16


r
r r
 ∂B  r
∫l Ed l = ∫S  − ∂t dS



(1.38)

Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng tích phân, cũng là một
phương trình cơ bản của trường điện từ.
Vậy: Lưu số của vector cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường
cong kín bất kì bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo
thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó.
Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)
r r
r r

E
d
l
=
∇
×
E
dS
∫
∫

(

l

)

(1.39)

S

Theo các phương trình (1.38) và (1.39)
r
r
∂B
∇×E = −
∂t

(1.40)

Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng vi phân, có thể áp dụng
đối với từng điểm một trong không gian có từ trường biến thiên.
1.6. Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere
Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường
xoáy. Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để
đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell
đưa ra luận điểm II:
Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ
trường.
(Đã chứng minh bằng thực nghiệm)
Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không
gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II
sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có
sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường.
Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere:

17


Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace,
Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần:
r

Lưu số của vector cường độ từ trường H dọc theo một đường cong kín bất
kì bằng tổng đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này
v r n
H
∫ d l = ∑ Ii = I

(1.41)

i =1

l

Ii

r
dS
r
J

S

r
dl

Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn.

r
Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện J thì
r r
v r
H
∫ d l = ∫ J dS
l

(1.42)

S

Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường
điện từ
Khái niệm về dòng điện dịch
Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện
toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ
giữa đt và từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch.
Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức
r
r
v
r
r
∂D
∂E ∂P r
Jd =
= ε0
+
= J d 0 + J dP
∂t
∂t ∂t

Trong đó:

18

(1.43)


v

r
∂P
J dP =
- mật độ dòng điện p.cực trong điện môi do sự xê dịch của các
∂t

điện tích
r
r
∂E
Jd0 = ε0
- điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ dòng
∂t

điện dịch
Để chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt
kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện. Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ
r

điện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên E và dòng điện biến thiên chạy
qua tụ. Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì giữa 2 bản
tụ không tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị:
Id0

r
∂E
= S′ε 0
∂t

(1.44)

Theo định luật Gauss
r r
q = ∫ ε 0 EdS = ε 0 ES′

(1.45)

S

r
d
S
∫ = S′ vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ
S

Đối với môi trường chân không, ta có: ε = 1

S
+q

S'

r
E

~
-q

Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng

19


r
r r
dq d
∂E
I=
=
ε 0 EdS = S′ε 0
dt dt ∫S
∂t

(1.46)

I = Id0

(1.47)

Suy ra
Vậy: dòng điện dịch chạy giữa 2 bản tụ bằng dòng điện dẫn chạy ở mạch
ngoài tụ điện.
Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta
có
(bổ sung được vì về khía cạnh tạo ra từ trường dòng điện dịch tương
đương dòng điện dẫn)
r
r r
v r
∂D r

∫l Hd l = ∫S JdS + ∫S ∂t dS

(1.48)

r
v r
 r ∂D  r
∫l Hd l = ∫S  J + ∂t dS



(1.49)

Hay

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân
Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)
r r
v r
H
d
l
=
∇
×
H
dS
∫
∫

(

l

)

(1.50)

S

Suy ra
r
r r ∂D r r
∇×H = J +
= J + Jd
∂t

(1.51)

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng vi phân, cũng là một
phương trình cơ bản của trường điện từ
Nếu môi trường có điện dẫn suất σ = 0 (điện môi lí tưởng và chân không)
r

r

thì do J = σE = 0 , ta có:
r
r
∂E r

∇ × H = ε0
= Jd0
∂t

20

(1.52)


Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra
từ trường như dòng điện dẫn.
1.7. Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell
Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra
điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ
trường. Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại
và có liên hệ chặt chẽ với nhau
Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một
trường thống nhất gọi là trường điện từ.
Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các
hạt mang điện.
- Phương trình Maxwell-Faraday
Dạng tích phân
r
r r
 ∂B  r
∫l Ed l = ∫S  − ∂t dS



(1.53)

r
r
∂B
∇×E = −
∂t

(1.54)

Dạng vi phân

Diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến
thiên và điện trường xoáy.
- Phương trình Maxwell-Ampere
Dạng tích phân
r
v r
 r ∂D  r
∫l Hd l = ∫S  J + ∂t dS



(1.55)

r
r r ∂D
∇×H = J +
∂t

(1.56)

Dạng vi phân

21


Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh
ra từ trường như dòng điện dẫn.
- Định lí OG đối với điện trường
Dạng tích phân
r r

(1.57)

∫ DdS = q
S

r r

r

Theo giải tích vector: ∫ DdS = ∫ ∇.DdV và q = ∫ ρdV , ta có
S

V

V

Dạng vi phân
r

∇.D = ρ

(1.58)

Diễn tả tính không khép kín của các đường sức điện trường tĩnh luôn từ
các điện tích dương đi ra và đi vào các điện tích âm: trường có nguồn
- Định lí OG đối với từ trường
Dạng tích phân
r r
B
∫ dS = 0

(1.59)

S

Dạng vi phân
r
∇.B = 0

(1.60)

Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn
Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọi là hệ phương trình
Maxwell
r
r
∂B
∇×E = −
∂t

r
r r ∂D
∇×H = J +
∂t
r
∇.D = ρ
r
∇.B = 0

(1.61)

- Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài

22


Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian.
Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ. Nguồn dòng điện này độc lập
với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn
ngoài. Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện. Để đặc trưng cho
r

nguồn ngoài của trường điện từ ta có khái niệm mật độ dòng điện ngoài J O .
Đ.luật Ohm dạng vi phân:
r r
r r
J + JO = σ E + EO

(

)

(1.62)

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại
những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường
điện từ tự do. Khi có nguồn ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại
r
r
∂B
∇×E = −
∂t
r
r r r
∂D
∇ × H = J + JO +
∂t
r
∇.D = ρ
r
∇.B = 0

(1.63)

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ε, µ và σ, tức là
r

r

môi trường điện môi: D = εε 0 E

r

r

môi trường dẫn điện: J = σE
r

r

môi trường từ hoá: B = µµ 0 H , ta có
r
r
∂H
∇ × E = −µµ 0
∂t
r
r
r r
∂E
∇ × H = σE + J O + εε 0
∂t
r
ρ
∇.E =
εε 0
r
∇.H = 0

- Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell

23

(1.64)


• Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện
r

r

dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài J = J O = ρ = 0
r
r
∂H
∇ × E = −µµ 0
∂t
r
r
∂E
∇ × H = εε 0
∂t
r
∇.E = 0

(1.65)

r
∇.H = 0

r

r

Nhận xét: E và H đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau
• Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đối
xứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức
r
J M - mật độ dòng từ ngoài

ρM - mật độ từ khối
Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không
điện tích tự do, với nguồn điện và từ ngoài
r
r
r
∂H
∇ × E = − J M − µµ 0
∂t
r
r r
∂E
∇ × H = J E + εε 0
, JE ≡ JO
∂t

(1.66)

r
ρ
∇.E =

εε 0
r ρ
∇.H = M
µµ 0

Ứng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã biết, thì
sử dụng nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho một nguồn từ (nguồn
điện), mà không cần phải giải cả hai.
- Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà

24