Đề thi HS giỏi tỉnh Hà Tây 07-08

Sở giáo dục và đào tạo
hà tây
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Lớp 9 THCS năm học 2007 - 2008

Môn: toán
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
Ngày thi: 17/04/2008
Đề thi có 1 trang gồm 5 câu
Bài1(4điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
b
a
b
bab
A


=
2
b)Tìm tất cả các cặp số nguyên dơng a,b sao cho
2
2
2
+

ab
a
là số nguyên.
Bài2(2điểm) Cho
1,,0

zyx
. Chứng minh rằng
2
111

+
+
+
+
+
xy
z
xz
y
yz
x
Bài3(3đ) Giải hệ phơng trình








=+++++
=+++++
16
771111

4
51111
222
222
zyx
zyx
zyx
zyx
Bài4(3đ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

xyyxyx 108
2222
=++
Bài5(8đ) Cho tam giác đều ABC cạnh a,nội tiếp đờng tròn tâm O.điểm M di động trên cung nhỏ
BC.Trên đoạn AM lấy D sao cho MD=MB.Vẽ đờng tròn tâm I tiếp xúc trong với đờng tròn tâm O
tại M,cắt các dây MA,MB,MC lần lợt tại E,F,P
a) Chứng minh tam giác EFP đều.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=MA+MB+MC.
c) Vẽ đờng tròn tâm O
1
bán kính R
1
tiếp xúc với cạnh BC và với cung nhỏ BC.Tính độ dài
đoạn thẳng AO
1
theo a và R
1
.
.Hết
Đề thi dự bị

Sở giáo dục và đào tạo
hà tây
Hớng dẫn chấm
thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Lớp 9 THCS năm học 2007 - 2008
Môn: toán
Ngày thi: 17/04/2008
Đề thi có 2 trang
Bài 1: a) Xét 2 trờng hợp.
+)
0,0

ba
Tính đợc A=-1 (1đ)
+)
0,0

ba
Tính đợc
b
a
A 21
=
(1đ)
b) CM đợc
( ) ( )
22
+=+
abkba
(1đ)

Tìm đợc (a,b)=(4;3) (Tm) (1đ)
Bài 2:
Giả sử
10

zyx
CM đợc VT
1
+
++

xy
zyx
(1đ)
CM đợc
( )
+++
12 xyzyx
ĐPCM (1đ)
Bài 3:
Đặt
z
zp
y
yv
x
xu
1
;
1

;
1
+=+=+=
(x,y,z

0) (0,5đ)
Tacó hệ
( )







=++
=++
1
16
867
4
51
222
pvu
pvu
(0,5đ)
(1)
( )
( ) ( )
2

16
2061
3
2
222
pvupvu
++==++
(0,5đ)
ADBDT bunhiacopski ta có
( )
( ) ( )
33
2
222
pvupvu
++++
(0,5đ)
Từ (2),(3) ta có u=v=p=
4
17
(0,5đ)
Hệ đã cho có 8 nghiệm (x,y,z)=. (0,5đ)
Bài 4:
Chứng tỏ đợc (x-y)
2
=1 hoặc (x-y)
2
=0 với x,y nguyên (1đ)
Nếu (x-y)
2

=1 suy ra pt đã cho không có nghiệm nguyên (1đ)
Nếu (x-y)
2
=0 thì ta có x=1,x=-1,x=0
Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên là (x,y)=(0;0);(1;1);(-1;-1) (1đ)
Bµi 5:
a)(3®)
VÏ xy lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (I).CM ®îc AB//FE (2®)
CMTT ta cã BC//FP vµ AC//EP
⇒
§PCM (1®)
b)(3®)
CM ®îc T=2MA (1®)
T×m ®îc MaxT=
⇔
3
34a
M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung nhá BC (1®)
T×m ®îc MinT=2a
BMCM
≡∨≡⇔
(1®)
c)(2®) Gi¶ sö (O
1
) tiÕp xóc víi cung nhá BC t¹i K,tiÕp xóc víi c¹nh BC t¹i N.
CM ®îc 3 ®iÓm A,N,K th¼ng hµng. (1®)
Gäi H lµ trung ®iÓm cña ®o¹n NK.TÝnh ®îc AN.AK=a
2

2

1
22
1
RaAO
+=⇒
(1®)
………………………………………..HÕt…………………………………………….