Các hàm lượng giác, hàm Hypebolic và ứng dụng

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
__________________________________________

LƯU ĐÌNH ANH

CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC,
HÀM HYPEBOLIC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2010


2

MC LC
Trang
M U ..................................................................................................... 3
CHNG 1. HM LNG GIC V HM HYPEBOLIC ................. 5
1.1. Hàm chỉnh hình ........................................................................................ 5
1.1.1. Định nghĩa hàm chỉnh hình ................................................................... 5
1.1.2. Tích phân Cauchy .................................................................................. 11
1.1.3. ánh xạ bảo giác ..................................................................................... 16
1.1.4. Thặng dư ................................................................................................ 18
1.2. Hàm lượng giác và hàm hypebolic .......................................................... 21
1.2.1. Định nghĩa hàm lượng giác ................................................................... 21
1.2.2. Định nghĩa hàm hypebolic .................................................................... 26
1.2.3. Hàm lượng giác và hyperbolic ngược.................................................... 26

1.2.4. Khai triển các hàm lượng giác và hypebolic thành chuỗi ..................... 27
Chương 2. ứng dụng ............................................................................ 31
2.1. ứng dụng để giải quyết một số vấn đề về lý thuyết ................................. 31
2.1.1. ánh xạ hình tròn có khía một đoạn theo bán kính thành hình tròn ...... 31
2.1.2. ánh xạ mặt phẳng có khía theo hai tia thành dải .................................. 33
2.1.3. ánh xạ dải bị khía một đoạn thành dải ................................................. 34
2.1.4. ánh xạ miền ngoài của cung thành miền ngoài của cung .................... 37
2.1.5. ánh xạ nửa mặt phẳng bỏ đi một vòm cung thành nửa mặt phẳng ....... 40


3

2.1.6. ánh xạ hình tròn có khía lỗ nhỏ thành hình tròn .................................. 43
2.2. ứng dụng để giải quyết một số vấn đề thực tiễn ...................................... 45
2.2.1. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi .................................................... 45
2.2.2. ứng dụng giải một số bài toán............................................................... 51
Kt lun....................................................................................................... 69
Danh mc cỏc ti liu tham kho .............................................................. 70

M U


4

1. Lý do chọn đề tài
Những nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức có nhiều ứng dụng trong
việc giải quyết một số vấn đề của Toán học cũng như trong thực tiễn. Từ
những năm đầu của thế kỷ XX nhiều nhà toán học đã có những thành công
trong việc nghiên cứu lý thuyết hàm biến phức để giải quyết các bài toán về
khí động lực học và thuỷ động lực học. Nhờ những ứng dụng bước đầu to lớn

đó lý thuyết hàm phức đã thu hút nhiều sự quan tâm, nghiên cứu của các nhà
Toán học. Đặc biệt trong lý thuyết này có các hàm lượng giác, hàm hypebolic
với các tính chất đặc trưng của nó đã được ứng dụng nhiều trong việc giải
quyết một số vấn đề lý thuyết, trong vật lý, kỹ thuật và thực tiễn.
Việc nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic giúp chúng ta tìm
hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết quả đó để
giải quyết một số bài toán thực tiễn khác. Hơn nữa, là một giáo viên giảng dạy
ở trường phổ thông, việc tìm hiểu về các hàm lượng giác, hàm hypebolic có
thể giúp em nhìn nhận kiến thức Toán Giải tích được áp dụng rất rộng rãi
trong các môn khoa học khác, đặc biệt là với những bài toán trong vật lý, kỹ
thuật và thực tiễn, đáp ứng yêu cầu đổi mới trong dạy học hiện nay.
Bởi vậy, em chọn đề tài “ Các hàm lượng giác, hàm hypebolic và
ứng dụng” nhằm tổng hợp những khái niệm, tính chất và ứng dụng của các
hàm lượng giác, hàm hypebolic trong việc giải quyết những vấn đề của vật lý,
kỹ thuật và thực tiễn.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về lý thuyết hàm số biến số phức, trình bày một cách hệ
thống các khái niệm, tính chất của hàm lượng giác, hàm hypebolic.


5

Tổng hợp những ứng dụng của các hàm lượng giác, hàm hypebolic.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic và ứng dụng của nó.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các hàm lượng giác, hàm hypebolic và ứng dụng đối với một
số vấn đề về lý thuyết, thực tiễn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo.

Tổng hợp các kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng
của nó.
6. Dự kiến đóng góp mới
Nghiên cứu về hàm lượng giác, hàm hypebolic và tổng hợp, hệ thống các
ứng dụng của nó.

CHƯƠNG 1. HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ HÀM HYPEBOLIC
1.1. Hµm chØnh h×nh


6

1.1.1. Định nghĩa hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.1.(Định nghĩa đạo hàm)
Cho hàm số f ( z ) xác định trên miền D
lim

z 0

f z z f z
,
z

. Xét giới hạn

( z , z z D ) .

Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của
df ( z )
.

f ( z ) tại z, ký hiệu là f ' z hay
dz
f ' z lim

Như vậy

z 0

f z z f z
.
z

(1.1)

Hàm f ( z ) có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay
khả vi tại z.
Cũng như đối với hàm biến thực, theo quy nạp ta viết:



f ( z) f
k

k 1



'

( z) .

(1.2)

Nếu vế phải tồn tại thì gọi là đạo hàm phức cấp k của hàm f ( z ) trên D.
Định lí 1.1.
Nếu f z và g z khả vi phức tại z0 thì

f z g z , f z . g z
f z / g z

và

g z 0

cũng khả vi phức tại z0 với mọi , . Khi đó:
'

a) f g z0 f ' z0 g ' z0 .
'

b) fg z0 f ' z0 g z0 f z0 g ' z0 .


7

f ' z0 g z 0 f z0 g ' z0
c) f / g z0
.
g 2 z0
'

d) Nếu w f z khả vi phức tại z0 còn g w khả vi phức tại

w0 f z0 thì hàm hợp g f khả vi phức tại z0 và
'

g f z0 g ' f z0 f ' z 0 .
Định lý 1.2.(Điều kiện Cauchy - Riemann)
Giả sử
D

f z u x, y iv x, y ,

z x iy xác định trong miền

.
Hàm f ( z ) được gọi là khả vi tại z x iy nếu các hàm u x, y và

v x, y khả vi tại x, y .(theo nghĩa đã biết trong giải tích thực)

Để hàm f ( z ) khả vi phức tại z x iy D điều kiện cần và đủ là
hàm f ( z ) khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thoả
mãn tại z là:
v
u
x
,
y

x, y ,
x
y


u x, y v x, y .
y
x

(1.3)

ý nghĩa hình học của acgumen và môđun của đạo hàm.
Giả sử f ( z ) xác định trên miền D

và khả vi tại mọi điểm z0 D ,

với f ' z0 0 .
Xét đường cong trơn tuỳ ý l qua z0 và gọi L là ảnh của l qua f ( z ) ,
L f l . Cho điểm z z0 z chạy trên l và xét f f z0 z f z0 .

Giả sử là góc giữa tiếp tuyến của l tại z0 với trục hoành, còn là góc giữa
tiếp tuyến của L tại 0 f z0 với trục hoành. Khi đó:


8

lim arg z z0 lim arg z

z z0

zl

z o
z0 zl

và
lim arg f z f z0 lim arg z .

z z0
zl

z o
z0 zl

(1.4)

Về mặt ý nghĩa hình học, hiệu là góc giữa tiếp tuyến của l tại
z0 và góc giữa tiếp tuyến của L tại 0 f z0 . Một cách hình thức đó là góc

mà hàm f ( z ) đã quay đường cong l tại z0 với

lim arg f arg z lim arg
z o
z0 zl

z o
z0 zl

f
.

z

(1.5)

Từ đó, nếu viết f ' z0 kei thì arg f ' ( z0 ) .
Như vậy, nếu f ' z0 0 thì arg f ' z0 là góc quay của tiếp tuyến của

l tại z0 qua f ( z ) .
Giả sử l1 và l2 là hai đường cong trơn tùy ý qua z0 , L1 và L2 là hai
đường cong tùy ý qua f ( z0 ) và các góc 1 ,2 ,1 ,2 tương ứng đối với l . Theo
nghĩa hình học thì góc giữa l1 và l2 tại z0 là 1 2 , góc giữa L1 và L2 tại

f z0 là 1 2 . Nếu f ' z0 kei 0 thì:

1 1 2 2 ,


9

1 2 1 2 .

do đó

Tức là góc giữa hai đường cong trơn tuỳ ý qua z0 được bảo toàn (cả về
hướng và độ lớn) qua ánh xạ f . Hàm số có tính chất như vậy sau này sẽ gọi là
hàm bảo toàn góc tại z0 .
Bây giờ xét ý nghĩa hình học của môđun của đạo hàm f ' z0 .
Xét đường cong trơn tuỳ ý l qua z0 . Ta có:

f ' z0 lim

z o
z0 zl

f
.
z

(1.6)

Nếu giới hạn này khác 0 thì theo ý nghĩa hình học nó là hệ số co dãn
của f ( z ) dọc theo l tại z0 .
f
k với mọi đường cong trơn l qua
z o z
z zl

Nếu f ' z0 kei 0 thì lim
0

z0 .

Như vậy, trong trường hợp này hệ số co dãn của f ( z ) tại z0 dọc theo
mọi đường cong trơn qua z0 đều bằng nhau và bằng f ' z0 . Một hàm f ( z )
có tính chất trên được gọi là hàm có hệ số co dãn đều tại z0 .
Định nghĩa 1.2.(Định nghĩa hàm chỉnh hình)


10

Hàm f ( z ) xác định trên miền D

gọi là chỉnh hình tại z0 D nếu

khả vi tại mọi z D z0 , r D .

tồn tại r 0 để f ( z )

Nếu f ( z ) chỉnh hình tại mọi z D thì ta nói f ( z ) chỉnh hình trên D.
Tính chỉnh hình của hàm f ( z ) tại điểm vô cùng được hiểu là tính chỉnh
1
hình của hàm z f tại z 0 .
z

Định nghĩa này cho phép ta xét hàm chỉnh hình trên các tập hợp của
mặt phẳng phức đóng

.

Định lí 1.3.
Nếu trong hình tròn {|z - z0 | < R } hàm f ( z ) được biểu diễn như là
tổng của chuỗi luỹ thừa


f ( z ) Cn ( z z 0 ) n ,

(1.7)

n 1

thì hệ số của chuỗi này được xác định đơn trị theo công thức:
Cn

f ( n ) ( z0 )

với

f ( n ) ( z0 )
n!

(n 0,1, 2,..) ,

n!
f ( )d

2 i r ( z0 ) n 1

(n 1, 2,...) .

(1.8)

Định lí 1.4.
Nếu một hàm f z của biến số phức z có đạo hàm bậc nhất tại mọi
nơi trong miền G, thì nó có tất cả các đạo hàm cấp cao trong miền đó.
Chứng minh.


11

Giả sử z là một điểm bất kỳ thuộc miền G và C là một chu vi kín trơn

từng khúc bao quanh điểm z nằm trong miền G cùng với mọi điểm trong của
nó.
Dùng công thức Cauchy ta có:
f z

1 f d
,
2 i L z

(1.9)

mặt khác, hàm f z biểu thị tích phân Cauchy khả vi một số lần tuỳ ý tại
điểm z. Do đó, hàm f z có đạo hàm cấp tuỳ ý trong toàn miền G vì z là
điểm chọn bất kỳ trong miền G.
Theo công thức cơ bản Cauchy, trong trường hợp ứng dụng công thức
này ta có đẳng thức:
f (n) z

n! f d
2 i z n1

n 1,2,3... .

(1.10)

Định lí 1.5.
Ba điều kiện khẳng định sau đây là tương đương:
a) (Riamann) Trong lân cận U nào đấy của điểm a, hàm f ( z ) có đạo
hàm f ' ( z ) theo nghĩa hàm chỉnh hình.
b) (Cauchy) Trong lân cận U nào đấy của điểm a, hàm f ( z ) liên tục và

tích phân của nó theo biên của tam giác bất kỳ U là bằng không.
c) (Vâyestrat) Hàm f ( z ) được khai triển thành chuỗi luỹ thừa hội tụ
trong lân cận U nào đấy của điểm a.


12

1.1.2. Tích phân Cauchy
Định nghĩa 1.3.
Tích phân Cauchy của hàm số f ( z ) xác định, liên tục trên đường cong
khả trường L với các mút a, b và hướng từ a đến b kí hiệu là

f ( z )dz , là giới
L

hạn của tổng tích phân
n 1

f (t

k

)z k , khi max zk 0 ,
k

k 0

trong đó z0 0, z1 , z2 ...., zn b là các điểm chia L thành n phần, tk là điểm tuỳ
ý thuộc cung zk zk 1 (k 0,1, 2,...., n 1) .
Cách tính.

Giả sử f ( z ) u ( x, y) iv( x, y), z x iy . Với giả thiết đã cho về hàm số
f ( z ) và về đường cong L, ta luôn có:
n 1



f ( z )dz

lim f (t )z udx vdy i vdx udy ,
k

k

max zk 0 k 0

L

L

k

(1.11)

L

trong đó, phần thực và phần ảo của vế phải (1.11) là các tích phân đường loại
2 lấy trên L theo hướng từ a đến b.
Khi L là đường cong khả trường và đóng, tích phân (1.11) có nghĩa là
tích phân Cauchy được lấy theo hướng dương (hướng mà khi chuyển động trên
L, miền hữu hạn giới hạn bởi L luôn nằm bên trái).

Như vậy, khi tính tích phân phức ta có thể áp dụng công thức (1.11) và
khi tính các tích phân đường loại 2 tương ứng ta sử dụng các phương pháp đã
biết.
Nếu L là đường cong trơn, có phương trình dạng tham số: z = z(t) thì ta
có công thức dạng:

,

f z dz f ( z (t ))z (t )dt
L

của hàm số biến số thực, nhận giá trị phức.

là tích phân xác định trên ,


13

Công thức tích phân Cauchy.
Nếu D là miền hữu hạn với biên L của nó gồm một số hữu hạn đường
cong Jordan đóng, trơn từng khúc, hàm số f ( z ) chỉnh hình trên D D L , zo
là điểm nào đó của mặt phẳng phức không thuộc L. Khi đó,
f ( z0 ),
1
f ( z)
dz


2 i L z z0
0,

z0 D ,

(1.12)

z0 D \ D.

Tích phân loại Cauchy.
Gọi L là một đường cong trơn từng khúc bất kỳ (kín hay hở) và ( z ) là
một hàm liên tục, xác định dọc theo L. Biểu thức:
1 ( )d
,
2 i L z

(1.13)

có một giá trị xác định tại mỗi điểm z không nằm trên L và do đó xác định
một hàm đơn trị F ( z ) tại mọi điểm z không thuộc L.
Nếu L là một đường kín và hàm ( z ) chỉnh hình tại mọi nơi trong L và
trên L, thì như ta đã biết biểu thức (1.13) bằng ( z ) nếu điểm z nằm trong L,
và bằng không nếu điểm z nằm ngoài L.
Trong trường hợp này, chúng ta đã gọi biểu thức (1.13) là tích phân
Cauchy. Tất nhiên, ta sẽ gọi biểu thức (1.13) với các giả thiết tổng quát trên
đây về hàm ( z ) là tích phân loại Cauchy.
Do đó, khi thiết lập tích phân loại Cauchy, chỉ cần cho trước hàm ( z )
trên chu vi lấy tích phân L. Ta chỉ đòi hỏi hàm ( ) liên tục, để cho tích phân
(1.13) thật sự có nghĩa.
Định lý 1.6.

14

Hàm F ( z ) xác định tích phân loại Cauchy (1.3) là hàm chỉnh hình trên
toàn bộ miền đơn liên G, không chứa các điểm của đường cong L và đối với
đạo hàm của nó, ta có công thức:
F ( z )

1 ( )d
.
2 i L ( z ) 2

(1.14)

Chứng minh.
Giả sử z là một điểm nào đó trong miền G. Định lý coi như được chứng
minh, nếu ta chứng tỏ là tại điểm đó, hàm F ( z ) có đạo hàm xác định bởi công
thức (1.14).
Thật vậy, ký hiệu z + h là một điểm tuỳ ý của miền G, và xét tỉ số:
F ( z h) F ( z )
h

(1.15)

giữ z không đổi, cho h tiến tới không, chúng ta chứng minh là tỉ số (1.15)
tiến tới một giới hạn hữu hạn, xác định bởi công thức (1.14).
Muốn vậy, ta biến đổi tỉ số (1.15) như sau:

d
F ( z h) F ( z ) 1 1 ( ) d
1

h
h 2 i L z h 2 i L z


d
1
.

2 i L z h z

(1.16)

cho h tiến tới không, và chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân, từ đẳng thức
(1.16) ta được:


15

F ' z

1 d
.
2 i L z 2

Chỉ cần chứng minh là việc qua giới hạn như trên là có thể làm được.
Muốn chứng minh ta lập hiệu giữa các biểu thức:

d
1

2 i L z h z
và giới hạn

1 d
, rồi chứng minh là hiệu này tiến tới không cùng
2 i L z

với h.
Thật vậy, hiệu đó có dạng:

d
1
1 d

2 i L z h z 2 i L z 2


h d
1
.

2 i L z h z 2

(1.17)

Ta hãy ước lượng hiệu (1.17). Tất nhiên ta có:
h d

h
1

2
2 i L z h z
2

M d

zh z

2

,

(1.18)

L

trong đó, ta giả sử M . Vì theo điều kiện đặt ra là một hàm liên
tục dọc theo L. Gọi 2d d 0 là khoảng cách từ đường L đến điểm x, nghĩa
là cực tiểu của các khoảng cách giữa các điểm mà cứ một điểm thì nằm trên


16

đường L, còn điểm kia là z. Ta có: z d , z h d nếu h khá bé
với điểm bất kỳ trên L.
Chú ý tới điểm đó, ta thấy là vế phải của bất đẳng thức (1.18) bé hơn L
là:

h M1
2 d 3

(1.19)

trong đó, ta ký hiệu độ dài của đường cong L là 1.Biểu thức (1.19) tiến tới
không cùng với h, do đó cả hiệu (1.17) cũng tiến tới không cùng với h.
Như vậy, hiệu giữa tỉ số (1.15) và tích phân (1.14) tiến tới không cùng
với h, và điều đó chứng minh định lý nói trên.
Công thức (1.14) chứng tỏ rằng, muốn có đạo hàm của hàm F z , chỉ
cần lấy đạo hàm hình thức hàm ở trong tích phân dạng Cauchy (1.13) theo
biến số z, nhờ tích phân (1.13) này mà ta xác định hàm F z .
Tương tự như vậy, ta có thể lấy đạo hàm lần thứ hai và tổng quát hơn một
số lần bất kỳ.
Định lý 1.7.
Tại mỗi điểm z nằm ngoài L, hàm F z xác định bởi tích phân Cauchy
(1.13) có đạo hàm mọi bậc, ta có các công thức:
F '' z

và tổng quát:

2! d
,
2 i L z 3

(1.20)


17

F

n

z

n! d
2 i L z n 1

.

1.1.3. ánh xạ bảo giác
Như vậy mọi phép ánh xạ thực hiện bằng một hàm số chỉnh hình w =
f(z) có hai tính chất tại mỗi điểm z0 (tại đây f ' z0 0 ) là:
1. Bảo toàn các góc.
2. Độ dãn không đổi.
Nếu trong mặt phẳng biến số phức z, ta lấy một tam giác vô cùng nhỏ có
một đỉnh ở tại điểm z0, thì ứng với nó trong mặt phẳng biến số w, ta có một
tam giác cong vô cùng nhỏ có một đỉnh ở tại điểm w0 .
Các góc tương ứng trong các tam giác này bằng nhau do tính chất bảo
toàn góc, còn tỷ số các cạnh tương ứng bằng một hằng số r 0 , với độ chính
xác đến một vô cùng nhỏ. Hai tam giác vô cùng nhỏ như vậy gọi là đồng dạng
với nhau.
Như vậy, một sự ánh xạ chỉnh hình là một sự ánh xạ đồng dạng trong
một phạm vi vô cùng nhỏ, do đó vì một nhẽ tự nhiên, ta gọi một phép ánh xạ
có tính chất bảo toàn góc và tính chất dãn đều là một phép ánh xạ bảo giác.
Định nghĩa 1.4.
Hàm f ( z ) xác định trên miền D

gọi là ánh xạ bảo giác tại z0 D ,

nếu tại điểm đó hàm f ( z ) có tính chất giữ độ co dãn không đổi và giữ nguyên
độ lớn của góc.


18

Hàm f ( z ) được gọi là ánh xạ bảo giác trên miền D

nếu nó ánh xạ

bảo giác tại mọi điểm thuộc D.
Chú ý:
Nếu hướng của góc được bảo toàn thì ánh xạ gọi là bảo giác loại 1, còn
nếu hướng của ánh xạ đổi ngược lại thì ánh xạ gọi là bảo giác loại 2.
ánh xạ thực hiện bởi hàm chỉnh hình w = f(z) là ánh xạ bảo giác trong
lân cận đủ nhỏ tại mỗi điểm z mà f ' ( z ) 0 , nếu w = f(z) là ánh xạ bảo giác
loại 1 thì f (z ) là ánh xạ bảo giác loại 2.
Định nghĩa 1.5.
Trong phép ánh xạ chỉnh hình, các góc giữa các hướng tương ứng được
bảo toàn không những về độ lớn mà còn về hướng nữa.
Mọi phép ánh xạ của mặt phẳng biến số phức z thành mặt phẳng w, trong
đó các góc được bảo toàn về độ lớn, nhưng hướng lại đổi ngược lại, và ngoài
ra lại có tính chất dãn đều thì gọi là phép ánh xạ bảo giác loại 2, còn các phép
chỉnh hình thì gọi là phép ánh xạ bảo giác loại 1.
Định lý 1.8.
Nếu hàm f ( z ) chỉnh hình trên miền D

thì nó ánh xạ bảo giác tại

mọi z0 D nếu và chỉ nếu f ' z0 0 .
Định lý 1.9.
Hàm f ( z ) bảo giác trên miền D
trên miền D và f ' z0 0, z D .

khi và chỉ khi f ( z ) chỉnh hình


19

1.1.4. Thặng dư
Định nghĩa 1.6.(Định nghĩa thặng dư)
Nếu hàm số f ( z ) là chỉnh hình tại một điểm a nào đó thì theo định lý
Cauchy ta có:

f (z) dz 0 ,

(1.21)

trong đó, đường tích phân là trơn tuỳ ý và kín chứa điểm a ở bên trong, và
nhỏ đến mức sao cho hàm số f ( z ) chỉnh hình tại mọi điểm trong và trên chu
vi đó.
Nếu điểm a là một điểm bất thường cô lập của hàm số f ( z ) và chu vi
đóng chứa hoàn toàn trong lân cận điểm a, thì giá trị của tích phân

f (z) dz



nói chung là khác không.

Giá trị đó như ta đã thấy ở định lý Cauchy không phụ thuộc vào dạng
của chu vi và có thể tính được dễ dàng.
Thật vậy, trong lân cận điểm a (0 z a r ) hàm số f ( z ) có thể khai
triển được thành chuỗi Lôrăng:
f ( z ) C0 C1 ( z a ) ..... Cn ( z a ) n ...



C n
C 1
C2

...
... .
2
z a ( z a)
( z a)n

(1.22)


20

Chuỗi số này hội tụ đều trên đường nằm trong lân cận điểm a. Lấy
tích phân chuỗi (1.22) theo đường cong từng phần một, ta sẽ được:

f ( z ) dz

C1 2 i ,

(1.23)



vì ta có các đẳng thức sau đây:

( z a)


m

dz


( z a)

n

dz 0, ( m 0,1, 2...) ,

0,

Ta gọi giá trị của tích phân

dz

2 i ,

za

(n 2,3...) .

1
f ( z ) dz là thặng dư của hàm số f(z) đối
2 i

với điểm bất thường a.
Do đẳng thức (1.23) ta thấy rằng thặng dư của hàm số f ( z ) đối với
điểm bất thường a bằng C-1, nghĩa là hệ số của luỹ thừa âm thứ nhất trong khai
triển Lôrăng (1.22). Từ đó, ta suy ra ngay rằng thặng dư C-1 của hàm số chỉ có
thể khác không trong trường hợp mà a là cực điểm hay điểm bất thường cốt
yếu, đối với điểm bất thường bỏ được thì thặng dư nhất thiết là bằng không.
Định lý1.10.(Định lý cơ bản về thặng dư)
Giả sử f ( z ) là hàm số chỉnh hình tại mọi điểm của miền G, trừ một số
hữu hạn các điểm bất thường a1 , a2 ,..., ak . Gọi là một chu vi tùy ý đóng kín,
trơn từng khúc chứa tất cả các điểm a1 , a2 ,..., ak ở trong và hoàn toàn nằm trong
miền G. Với các điều kiện đó thì
f ( z ) đối với các điểm a1 , a2 ,..., ak .

1
f ( z )dz bằng tổng thặng dư của hàm số
2 i L


21

Chứng minh.
Chúng ta vẽ các vòng tròn 1 , 2 ,..., k tâm là a1 , a2 ,..., ak khá nhỏ sao cho
chúng không cắt nhau từng đôi một và nằm hoàn toàn trong . Vì hàm số
f ( z ) là chỉnh hình tại mọi điểm trong miền đóng giới hạn bởi chu vi phức tạp

K 1 2 ... n ,

nên theo định lý Cauchy ta có:
1
1
1
1
f ( z ) dz
f ( z ) dz
f ( z ) dz ...
f ( z )dz ,



2 i L
2 i 1
2 i 2
2 i k

(1.24)

trong đó, tích phân đều lấy theo chiều dương của các chu vi , 1 , 2 ,..., k .
Đẳng thức cuối cùng này chứng minh định lý cơ bản về thặng dư, bởi vì
vế phải của nó là gồm các thặng dư của hàm số f ( z ) ứng với các điểm
a1 , a2 ,..., ak .

Định lí 1.11.(Thặng dư toàn phần)
Nếu f ( z ) chỉnh hình trên mặt phẳng phức

trừ các điểm kì dị cô lập

z o , z1, z2,, zn thì
n
1
f
(
z
)
dz

Re s f ( z ) 0 .

z zk
2i L
k o

1.2. Hàm lượng giác và hàm hypebolic
1.2.1. Định nghĩa hàm lượng giác
Định nghĩa 1.7.
Với x , từ công thức Ơle ta có:

(1.25)


22

eix cos x i sin x,

và

sinx

Khi đó, với z

eix e ix
,
2i

e ix cos x i sin x,

cosx

eix e ix
.
2

bất kỳ ta có:
sin z

eiz e iz
,
2i

cos z

eiz e iz
,
2

(1.26)

được gọi là hàm sin và côsin trong miền phức.
Tính chất:
1) Đối với các số thực z = x thì tương ứng với sin và côsin thông
thường.
2) Tất cả được chỉnh hình.
3) Phụ thuộc vào các công thức vi phân thông thường
(sin z )' cos z ,

cos z

'

sin z .

4) Tuần hoàn với chu kỳ thực 2 .
5) sin z là hàm số lẻ , cosz là hàm số chẵn.
6) Phụ thuộc vào hệ thức lượng giác thông thường
sin 2 z cos 2 z 1,

sin 2 z 2sin z cos z ,...

Tất cả những điều khẳng định này đều bắt nguồn từ định nghĩa.
Ví dụ 1.1.
Xét ánh xạ được thực hiện bởi hàm số w = sinz. Cho
iz z1 , e z1 z2 ,

ta có:

w

z3 iz2

1
1
( z3 ) sin z .
2
z3

eiz
i

(1.27)
(1.28)


23

Chúng ta thấy rằng ánh xạ trên có thể xem như một sự xếp trống của các
ánh xạ.
Thật vậy, trước hết chúng ta tìm các điều kiện đơn diệp* của nó.
Giả sử miền D với ánh xạ (1.27) chuyển sang D1, D2 và D3 theo trình tự
ánh xạ thứ nhất và thứ 3 trong số các ánh xạ (1.27) có cùng đơn diệp ở tất cả
mọi chỗ . Còn đối với đơn diệp của ánh xạ thứ 2 thì cần phải để cho D1 không
chứa bất cứ một cặp điểm z1, , z1,, đối với cặp đó z1, z1,, 2k k Z * .
Đối với đơn diệp của ánh xạ (1.28) một cách tốt nhất là cần phải để cho
D3 không chứa bất cứ một cặp điểm z3, , z3,, nào.
Đối với cặp điểm này z3, z3,, 1 , dùng công thức (1.27) chuyển sang mặt
phẳng z ta có đối với đơn diệp của ánh xạ w = sinz trong miền D tốt nhất cần
phải để D không chứa bất kỳ một cặp điểm z , , z ,, nào và một mặt

z , z ,, 2k

k Z , mặt khác
*

,

,,

ei ( z z ) 1 hoặc z , z ,, (2k 1)

k Z .
*

Ví dụ 1.2.
Nửa giải x , y 0 đáp ứng được các điều kiện này. Các giai đoạn
tiếp theo ánh xạ của nó được biểu diễn trên hình 1.1.

*

nh x f(z) c gi l n dip trong min G

, nu

z1 z2 , ( z1 , z2 G ) thỡ f ( z1 ) f ( z2 ) .


24

Hình 1.1

Họ của các tia x = xo và đoạn y = y0 chuyển một cách tương ứng sang
họ hypebolic và elíp đầu tiên.




2

2

Giải hẹp hơn 2 lần x , y 0 được biến đổi thành nửa mặt
phẳng trên.
Bây giờ chung ta thấy rằng sinz trong miền phức không bị hạn chế.


Chẳng hạn, trên các tia x , y 0 nó nhận các giá trị thực.
2

Mặt khác, trong nửa giải khép kín x , y 0 thì hàm sinz chiếm
giá trị 0 chỉ ở các điểm = 0 và .
Nếu xét tới tính lẻ và tính chu kỳ của hàm số này thì từ đây ta có thể rút
ra kết luận là nó hướng về 0 chỉ ở trên trục thưc tại các điểm
z k (k 0, 1, 2,...) .
Để được đầy đủ ta đưa ra trên hình 1.2 một bề mặt của môđuyn hoặc
một hình dập nổi của hàm số sinz , nghĩa là bề mặt trong không gian (x,y,u)
với phương trình u = |sinz|.


25

Hình 1.2
Đây là bề mặt tuần hoàn chu kỳ thực là . Trong đó, có hai hệ thống
đường đó là đường mức |sinz| và argsinz.
Tiết diện của bề mặt này bằng mặt phẳng đứng đi qua trục x cho ta đồ
thị |sinx| theo mức độ cách xa trục này bề mặt trở nên bằng phẳng. Còn các
toạ độ các điểm của bề mặt nhanh chóng tăng theo hình dáng bề mặt tiến tới
1
2

gần hình trụ u e y .
ánh xạ được thực hiện bằng hàm số cosz, nhờ có hệ thức:


cos z sin( z ) ,
2

chỉ khác với độ sai lệch mà ta vừa xem xét trên.
Định nghĩa 1.8.
Hàm số tgz và ctgz được xác định bằng các công thức:
tgz

Chú ý:

sin z
eiz e iz
cos z
eiz e iz
i iz iz , ctgz
i iz iz .
cos z

e e
sin z
e e

(1.29)