Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai

1

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS.Khuất Văn Ninh.
Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc PGS.TS.Khuất Văn Ninh, người đã
luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình làm luận
văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, các đồng nghiệp
trong Trường THPT Võ Thị Sáu đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi
để tôi hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Nguyễn Đăng Long


2

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Nguyễn Đăng Long

3

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... 1
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................. 2
MỤC LỤC......................................................................................................... 3
BẢNG KÝ HIỆU .............................................................................................. 5
MỞ ĐẦU........................................................................................................... 6
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị....................................................................... 9
1.1.

Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm .......................................... 9

1.1.1.

Không gian metric..................................................................... 9

1.1.2.

Không gian tuyến tính............................................................. 12

1.1.3.

Không gian định chuẩn ........................................................... 13

1.1.4.

Không gian Hilbert.................................................................. 16

1.2.

Phương trình toán tử ..................................................................... 17

1.2.1.

Khái niệm ................................................................................ 17

1.2.2.

Một số khái niệm về toán tử đơn điệu .................................... 17

1.2.3.

Một số khái niệm về toán tử liên tục....................................... 19

Chương 2 Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình toán
tử loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz .................................. 21
2.1.

Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert và không

gian định chuẩn ........................................................................................ 21
2.1.1.

Trong không gian Hilbert ...................................................... 21

2.1.2.

Trong không gian định chuẩn ................................................. 24

2.2.

Phương pháp thác triển theo tham số............................................. 25

2.2.1.

Sự tồn tại nghiệm .................................................................... 25

2.2.2.

Ước lượng tốc độ hội tụ .......................................................... 31

Chương 3 Ứng dụng giải phương trình toán tử loại 2 ................................ 35


4

3.1. Ví dụ giải xấp xỉ bài toán biên phi tuyến ....................................... 35
3.2.

Ứng dụng giải số trên máy tính điện tử ......................................... 43

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ......................................................................... 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 64


5

BẢNG KÝ HIỆU

`

Tập số tự nhiên

`*

Tập số tự nhiên khác không

_

Tập số hữu tỷ

\

Tập số thực

^

Tập số phức

\k

Không gian thực k chiều

L( X , Y )

Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y .

.

Chuẩn

∅

Tập hợp rỗng

( ⋅ , ⋅)

Tích vô hướng

θ

Phần tử không


6

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Rất nhiều vấn đề, nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kinh tế,
kỹ thuật, cuộc sống có thể dẫn đến việc nghiên cứu phương trình toán tử
Ax = y

(1)

trong đó A là toán tử từ một tập X đến một tập Y, x ∈ X , y ∈ Y . Toán tử A
có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến, đơn trị hoặc đa trị (lúc đó y ∈ Ax ). A
cũng có thể ký hiệu cho toán tử được xác định bởi các bài toán biên cổ điển

hoặc không cổ điển, với biên trơn hoặc không trơn. Chính vì vậy phạm vi ứng
dụng của lý thuyết phương trình toán tử là rất rộng lớn. Phạm vi ứng dụng này
càng rộng và càng có hiệu lực thực tiễn trước sự phát triển nhanh chóng của
máy tính điện tử với sự phát triển mạnh mẽ các công trình nghiên cứu xấp xỉ
các phương trình có dạng (1).
Về các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình có dạng (1)
cũng khá phong phú, đa dạng. Những phương pháp thường được sử dụng
hoặc cải biên, phát triển thêm là các phương pháp lặp, phương pháp sai phân,
phương pháp điều chỉnh, phương pháp thác triển theo tham số…
Phương pháp thác triển theo tham số được dùng để nghiên cứu phương
trình toán tử loại hai x + Ax = f trong công trình của J. Schauder và S. N.
Bertein, nhiều công trình theo hướng này đã hạn chế việc nghiên cứu đối với
các toán tử phi tuyến khả vi, một số khác như V. A. Trenoghin, J. L.
Gaponenko thì nghiên cứu các toán tử phi tuyến không khả vi, chẳng hạn như
toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz .
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về giải xấp xỉ phương trình toán
tử và dưới sự hướng dẫn PGS.TS. Khuất Văn Ninh chúng tôi đã chọn đề tài:


7

“Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai”.

làm đề tài khóa luận tốt nghiệp thạc sĩ ngành Toán giải tích.
Ở đây chúng tôi sẽ trình bày phương pháp thác triển nói trên đối với toán
tử đơn điệu và liên tục Lipschitz tác dụng trong không gian Banach tùy ý.
Phương pháp này là một quá trình lặp sử dụng một số hữu hạn các bước theo
tham biến ε và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co.
2. Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu về phương pháp thác triển tham số đối với phương trình loại
hai với các toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz
.

- Nghiên cứu giải phương trình toán tử loại hai trên máy tính điện tử

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày cụ thể phương pháp thác triển theo tham số giải phương
trình loại hai x + Ax = f
- Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình vi
tích phân với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: nghiên cứu phương pháp trên đối với toán tử đơn điệu và
liên tục Lipschitz.
- Phạm vi nghiên cứu: Các giáo trình, tài liệu liên quan đến phương
pháp thác triển theo tham số.
5. Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng một số kỹ thuật của giải xấp xỉ phương trình toán tử: phương
pháp lặp, đánh giá sai số.
- Thu thập và nghiên cứu các giáo trình, tài liệu liên quan.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức.


8

6. Dự kiến đóng góp mới của luận văn
- Trình bày một cách hệ thống về ứng dụng của phương pháp thác triển

theo tham số giải phương trình vi tích phân phi tuyến.
- Giải phương trình vi tích phân phi tuyến trên máy tính điện tử.


9

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm
1.1.1 Không gian metric

Cho X là một tập tùy ý khác rỗng.
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi là không gian metric một tập hợp X khác rỗng

cùng với một ánh xạ
d: X ×X →\
của tích X × X vào tập số thực \ , thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) ( ∀x, y ∈ X ) , d ( x, y ) ≥ 0, d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y ; (tiên đề đồng nhất)
2) ( ∀x, y ∈ X ) , d ( x, y ) = d ( y, x ) ; (tiên đề đối xứng)
3) ( ∀x, y, z ∈ X ) , d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) ; (tiên đề tam giác)
Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d ( x, y ) gọi là khoảng cách giữa hai phần
tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiền đề 1), 2), 3) gọi là hệ
tiên đề metric.
Định nghĩa 1.1.2. Một dãy điểm ( xn ) , n = 1,2,... trong không gian metric
X gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu

lim d ( a, xn ) = 0
n →∞

Khi đó, ta kí hiệu
lim xn = a hoặc xn → a , khi n → ∞
n →∞

Tập hợp
B ( a , r ) = { x ∈ X : d ( x , a ) < r} ( r > 0 )

được gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính r trong không gian metric X .


10

Tương tự, tập hợp
B ( a , r ) = { x ∈ X : d ( x , a ) ≤ r} ( r > 0 )
được gọi là hình cầu đóng tâm a, bán kính r trong không gian metric X . Mỗi
hình cầu mở B ( a, r ) được gọi là một lân cận của phần tử a trong X .
Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm ( xn ) được gọi là dãy cơ bản trong không gian

metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, đều tồn tại một số n0 sao cho với mọi

n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có
d ( xn , xm ) < ε
Nói cách khác, ta có
lim d ( xn , xm ) = 0

n , m→∞

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy

cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X .
Định nghĩa 1.1.5. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ

f : X → Y được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số α với 0 ≤ α < 1 sao cho
với mọi x, x ' ∈ X ta đều có
d ( f ( x ) , f ( x ' ) ) ≤ α d ( x, x ' )
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian

metric đầy X vào chính nó đều có điểm bất động x* duy nhất, nghĩa là
x* ∈ X thỏa mãn: Ax* = x*
Chứng minh:
Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X và lập dãy xn = Axn−1 ( n = 1,2,...) ta được
d ( x2 , x1 ) = d ( Ax1 , Ax0 ) ≤ α d ( x1 , x0 ) = α d ( Ax0 , x0 ) ,


11

d ( x3 , x2 ) = d ( Ax2 , Ax1 ) ≤ α d ( x2 , x1 ) ≤ α 2 d ( Ax0 , x0 ) ,
…………………………………

d ( xn+1 , xn ) = d ( Axn , Axn−1 ) ≤ α d ( xn , xn−1 ) ≤ α n d ( Ax0 , x0 )
Với n = 1, 2,... . Từ đó suy ra ∀n, p = 1,2,... ta có
p

p

k =1

k =1

d ( xn+ p , xn ) ≤ ∑ d ( xn+ k , xn+ k −1 ) ≤ d ( Ax0 , x0 ) ∑ α n+ k −1
=

α n − α n+ p
αn
d ( Ax0 , x0 ) ≤
d ( Ax0 , x0 )
1−α
1−α

Vì 0 ≤ α < 1 , nên lim α n = 0 , do đó lim d ( xn+ p , xn ) = 0, ∀p ∈ `* , nghĩa là dãy
n→∞

n →∞

( xn ) là dãy cơ bản trong không gian metric đầy M.
Từ đó tồn tại lim xn = x* ∈ X . Ta có
n →∞

d ( Ax* , x* ) ≤ d ( Ax* , xn ) + d ( xn , x* ) = d ( Ax* , Axn−1 ) + d ( xn , x* )
≤ α d ( xn−1 , x* ) + d ( xn , x* ) , ∀n = 1,2,...
Cho n → ∞ ta được d ( Ax* , x* ) = 0 hay Ax* = x* , nghĩa là x* là điểm bất
động của ánh xạ A.
Giả sử tồn tại điểm y* ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ A, thì
d ( x* , y* ) = d ( Ax* , Ay* ) ≤ α d ( x* , y* ) ⇒ (1 − α ) d ( x* , y* ) ≤ 0
⇒ d ( x* , y* ) = 0, ( 0 ≤ α < 1)
⇒ x* = y *
Vì vậy x* là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A.
Định lý được chứng minh.

12

1.1.2 Không gian tuyến tính
Định nghĩa 1.1.6. Cho tập hợp X khác rỗng cùng với một phép toán hai ngôi

viết theo lối cộng và một ánh xạ ϕ : \ × X → X , với mỗi k ∈ \ và với mỗi
x ∈ X thì phần tử ϕ ( k , x ) được gọi là tích ngoài của số k với phần tử x và
được kí hiệu là kx . Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:
1.

( X , + ) là một nhóm Abel với phần tử trung hòa θ , nghĩa là:
a) x + ( y + z ) = ( x + y ) + z , ∀x, y, z ∈ X
b) x + y = y + x, ∀x, y ∈ X
c) Trong X tồn tại phần tử θ sao cho x + θ = θ + x = x, ∀x ∈ X
d) ∀x ∈ X tồn tại phần tử đối ( − x ) sao cho x + ( − x ) = θ

2. Tích ngoài có tính chất:
a) 1.x = x, ∀x ∈ X
b) k ( lx ) = ( k .l ) x, ∀k , l ∈ \, ∀x ∈ X
c) Giữa tích ngoài và phép toán hai ngôi viết theo lối cộng có luật phân
phối:
i) ( k + l ) x = kx + lx, ∀k , l ∈ \, ∀x ∈ X
ii) k ( x + y ) = kx + ky, ∀k ∈ \, ∀x, y ∈ X .
Khi đó ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên \ và mỗi phần
tử x ∈ X được gọi là một vecto; còn các điều kiện trên được gọi là các tiên đề
về không gian tuyến tính. Người ta cũng nói X là không gian tuyến tính thực.
Bằng cách tương tự, ta có định nghĩa không gian tuyến tính phức.
Định nghĩa 1.1.7. Cho hệ n vecto x1 , x2 ,..., xn trong không gian tuyến tính X .

Xét đẳng thức vecto:

α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn = θ .


13

Nếu đẳng thức trên xảy ra với α1 = α 2 = ... = α n = 0 thì ta nói hệ n vecto đó
độc lập tuyến tính. Nếu tồn tại một bộ số α1 ,α 2 ,...,α n với

n

∑α
i =1

2
i

> 0 sao cho

đẳng thức trên được thỏa mãn thì ta nói rằng hệ n vecto trên là phụ thuộc
tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.8. Giả sử X là không gian tuyến tính trên X . Xét x1 , x2 là

hai phần tử thuộc X , khi đó tập hợp các phần tử trong X có dạng
y = (1 − t ) x1 + tx2 , ∀t ∈ [ 0;1]
được gọi là đoạn thẳng nối hai điểm x1 và x2 .
Định nghĩa 1.1.9. Giả sử X là không gian tuyến tính trên \ . Tập con X 0

của X được gọi là một không gian tuyến tính con của không gian X , nếu

X 0 cùng với hai phép toán cảm sinh của X trên X 0 tạo thành một không
gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.10. Giả sử X , Y là hai không gian tuyến tính trên \ . Khi đó

ánh xạ T : X → Y được gọi là tuyến tính, nếu:
a) T ( x + y ) = T ( x ) + T ( y ) , ∀x, y ∈ X
b) T ( kx ) = kT ( x ) , ∀k ∈ \, ∀x ∈ X .

Chú ý rằng, người ta có thể dùng thuật ngữ: “ ánh xạ tuyến tính” hoặc
“toán tử tuyến tính”.
Trong định nghĩa trên nếu thay Y = \ thì T được gọi là phiếm hàm
tuyến tính.
1.1.3 Không gian định chuẩn

Cho X là không gian vecto thực hay phức.
Định nghĩa 1.1.11. Một chuẩn, kí hiệu . , trong X là một ánh xạ đi từ X

vào \ thỏa mãn điều kiện:


14

1)

x ≥ 0, ∀x ∈ X , x = 0 ⇔ x = θ ( θ là kí hiệu phần tử không)

2) λ x = λ x , ∀λ ∈ \ hoặc λ ∈ ^ và ∀x ∈ X
3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X

Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vecto x ∈ X . Một không

gian vecto X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là
một không gian định chuẩn thực (hay phức).
Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn, với mọi x, y ∈ X , đặt

d ( x, y ) = x − y
Khi đó d là một metric trên X .
Định nghĩa 1.1.12. Dãy ( xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là

hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim xn − x0 = 0
n →∞

Khi đó ta kí hiệu
lim xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞ .
n →∞

Định nghĩa 1.1.13. Dãy xn trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy

cơ bản nếu
lim xm − xn = 0

m ,n →∞

Định nghĩa 1.1.14. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu

mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.15. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P

( P = \ hoặc P = ^ ). Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được
gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn:
1) A ( x + y ) = Ax + Ay , với mọi x, y ∈ X ;

2) A (α x ) = α Ax , với mọi x ∈ X , α ∈ P .


15

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì

A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là
toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm
tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.16. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính
A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c ≥ 0

sao cho:
Ax ≤ c x , với mọi x ∈ X .
Định nghĩa 1.1.17. Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Kí hiệu L ( X , Y )

là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y.
Ta đưa vào L(X,Y) hai phép toán:
• Tổng của hai toán tử A, B ∈ L ( X , Y ) là toán tử, kí hiệu A+B, xác
định bởi biểu thức

( A + B )( x ) = Ax + Bx , với mọi

x∈ X

• Tích vô hướng của α ∈ P ( P = \ hoặc P = ^ ) với toán tử
A ∈ L ( X , Y ) là toán tử, kí hiệu α A , được xác định bởi biểu thức

(α A)( x ) = α A ( x ) .

Dễ kiểm tra được rằng A + B ∈ L ( X , Y ) , α A ∈ L ( X , Y ) và hai phép
toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập L(X,Y) trở thành một không
gian tuyến tính trên trường P .
Định lý 1.1.3. Nếu Y là một không gian Banach, thì L(X,Y) là không gian

Banach.


16

1.1.4 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.17. Cho không gian tuyến tính X trên trường P ( P = \ hoặc

P = ^ ). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích
Descartes X × X vào trường P, kí hiệu ( ⋅ , ⋅) thỏa mãn các tiên đề:
1)

( y , x ) = ( x, y )

2)

( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z ) với mọi

với mọi x, y ∈ X ;
x, y , z ∈ X ;

3) (α x, y ) = α ( x, y ) với mọi số α ∈ P và mọi x, y ∈ X ;
4)

( x, x ) ≥ 0 , nếu

x ≠ θ ( θ là kí hiệu phần tử không), với mọi x ∈ X ;

5)

( x, x ) = 0 , nếu

x = θ , với mọi x ∈ X .

Các phần tử x, y, z ,... gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số ( x, y )
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4), 5) gọi là
hệ tiên đề tích vô hướng.
Nhận xét: Nếu X là một không gian tuyến tính, trên đó xác định một tích vô

hướng ( ⋅ , ⋅) , khi đó ánh xạ ⋅ : X → \ xác định bởi x =

( x, x )

là một

chuẩn trên X, và X cùng với chuẩn đó là một không gian tuyến tính định
chuẩn. Chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn cảm sinh bởi tích vô
hướng.
Định nghĩa 1.1.18. Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một tích

vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.4. Cho X là một không gian tiền Hilbert. Với mỗi x ∈ X , ta đặt
x =

( x, x ) . Khi đó, ta có bất đẳng thức sau ( gọi là bất đẳng thức Schwarz)

( x, y ) ≤

x . y , ∀x, y ∈ X .

Định nghĩa 1.1.19. Ta gọi không gian tuyến tính H ≠ ∅ trên trường P là

không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn điều kiện:


17

1) H là không gian tiền Hilbert;
2) H là không gian Banach với chuẩn x =

( x, x )

với x ∈ X .

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H.

1.2. Phương trình toán tử
1.2.1. Khái niệm

Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào
chính nó. Phương trình dạng
Ax = f

(1.1)

trong đó f cho trước, f ∈ X , được gọi là phương trình toán tử loại I.
Phương trình dạng
x = λ Ax + f

(1.2)

trong đó f cho trước, f ∈ X , tham số λ ∈ P ( P = \ hoặc P = ^ ) được gọi
là phương trình toán tử loại II.
1.2.2. Một số khái niệm về toán tử đơn điệu

Cho X là không gian Banach, X * là không gian liên hợp của X và
toán tử A : X → X *
Định nghĩa 1.2.1. Toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu nếu tích vô hướng

( Au − Av, u − v ) ≥ 0, ∀u, v ∈ X
Định nghĩa 1.2.2. Toán tử A được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt nếu

( Au − Av, u − v ) > 0, ∀u, v ∈ X

,u ≠ v

Định nghĩa 1.2.3. Toán tử A được gọi là d _đơn điệu nếu

( Au − Av, u − v ) ≥ (α ( u ) − α ( v ) ) ( u

− v

)

18

trong đó α là hàm đơn điệu tăng trên ( a , b )
Định nghĩa 1.2.4. Toán tử A được gọi là đơn điệu đều nếu

( Au − Av, u − v ) ≥ ρ ( u − v )
trong đó ρ là hàm tăng nghiêm ngặt trên [0, + ∞), ρ ( 0 ) = 0
Định nghĩa 1.2.5. Toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh với hằng số đơn

điệu m nếu

( Au − Av, u − v ) ≥ m u − v

2

,m>0

Định lý Rockafella. Nếu toán tử A : X → X * đơn điệu thì A sẽ bị chặn địa

phương.
Chứng minh
Giả sử A không bị chặn địa phương. Khi đó tồn tại dãy ( un ) sao cho un → u
trong X và Aun * → +∞ .
Với mỗi n = 1, 2,... ta đặt

α n = 1 + Aun * . un − u
Do A đơn điệu nên với mọi v ∈ X , ta có
1

αn

( Au , v ) ≤
n

1

αn

≤1+

( ( Au , u
n

1

αn

n

− u ) + ( A ( u + v ) , v + u − un ) )

A ( u + v ) * . ( v + u − un ) ≤ M 1

trong đó M 1 phụ thuộc u , v nhưng không phụ thuộc vào n .
Do đó ta có
lim
n →∞

1

αn

( Au , v ) < +∞, ∀v ∈ X
n

Theo định lý Banach-Steinhauss ta có


19

1

αn

Aun * ≤ M = const

Nghĩa là
Aun * ≤ uα n = M (1 + Aun * . u − vn

)

(1.3)

1
Giả sử n0 được chọn sao cho ∀n ≥ n0 thỏa mãn điều kiện M u − vn ≤ . Khi
2
đó từ bất đẳng thức (1.3) ta suy ra được
Aun * ≤ 2 M
Nhưng điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng Aun * → +∞ .
Định lý được chứng minh.

1.2.3. Một số khái niệm về toán tử liên tục

Cho X là không gian Banach, X * là không gian liên hợp của X và
toán tử A : X → X *
Định nghĩa 1.2.6. Toán tử A được gọi là gradien liên tục nếu

∀u , v ∈ X , s ∈ [ 0,1] thì hàm số
s 6 ( A ( u + sv ) , v )
là hàm số liên tục trên đoạn [ 0,1] .
Định nghĩa 1.2.7. Toán tử A được gọi là hêmi liên tục nếu với mọi u , v, h cố

định thuộc X thì hàm số biến số thực
s 6 ( A ( u + sv ) , h )
liên tục trên đoạn [ 0,1] .
Định nghĩa 1.2.8. Toán tử A được gọi là đêmi liên tục nếu từ điều kiện:

un → u trong X thì Aun hội tụ yếu tới Au trong X, suy ra


20

lim ( Aun − Au , v ) = 0, ∀v ∈ X
n →∞

Định nghĩa 1.2.9. Toán tử A được gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số

L > 0 sao cho
Au − Av ≤ L u − v , ∀u , v ∈ X
Định nghĩa 1.2.10. Toán tử A được gọi liên tục Lipschitz bị chặn nếu tồn tại

một hàm số μ đơn điệu tăng trên [0,+∞) sao cho
Au − Av ≤ μ ( R ) u − v , ∀u , v ∈ X
trong đó R = max ( u , v ) , ∀u , v ∈ X .


21

Chương 2
Phương pháp thác triển theo tham số
đối với phương trình toán tử loại hai
với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz

2.1. Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert
và không gian định chuẩn
2.1.1 Trong không gian Hilbert

Giả sử H là không gian Hilbert trên trường số phức với tích vô hướng

( ⋅ ) và D ( A) ⊂ H

là miền xác định của toán tử A.

Ta xét phương trình có dạng
x + Ax = f

(2.1.1)

Định nghĩa 2.1.1. Toán tử T tác dụng từ D ( A ) ⊂ H vào H được gọi là đơn

điệu nếu với x, y tùy ý thuộc D ( A ) , bất đẳng thức sau đúng

Re ( Ax − Ay, x − y ) ≥ 0
Định lý 2.1.1. Giả sử các điều kiện sau đây được thực hiện :

1) Phương trình (2.1.1) có nghiệm x* ∈ D ( A ) ;
2) x* là điểm trong của miền D ( A ) ;
3) A là toán tử đơn điệu từ D ( A ) vào H .


22

Khi đó tồn tại hình cầu S ( x* , r ) với tâm tại x* , bán kính r và số
dương K sao cho với số C tùy ý lớn hơn K và đối với xấp xỉ ban đầu tùy ý
x1 ∈ S ( x* , r ) , dãy { xn } được dựng bởi công thức

xn+1 = xn − ( n + C )

−1

( xn + Axn − f ) ,

n = 1,2,...,

(2.1.2)

được chứa trong hình cầu S ( x* , r ) và hội tụ đến x* với ước lượng
xn − x* = O ( n −1 2 )

(2.1.3)

Chứng minh:

Dễ dàng chứng minh rằng nghiệm x* của phương trình (2.1.1) là duy nhất.
Thật vậy, nếu tồn tại nghiệm y* ≠ x* thì
x* + Ax* = f ,

và

y* + Ay* = f

Từ các đẳng thức này và từ tính chất đơn điệu của toán tử T ta thu
được điều mâu thuẫn sau:
0 ≤ ( Ay* − Ax* , y* − x* ) = ( f − y* − f + x* , y* − x* ) = − ( y* − x* , y* − x* ) < 0 .

Theo định lý Rockafella thì toán tử đơn điệu sẽ bị chặn địa phương tại
mỗi điểm trong của miền xác định của toán tử, do đó tồn tại hình cầu S ( x* , r )
với tâm tại x* , bán kính r , S ( x* , r ) ≡ S ⊂ D ( A ) . Ta kí hiệu
K = ⎡⎣ diam A ( S ) r ⎤⎦ . Khi đó K > 0 và với số C tùy ý lớn hơn K thì
2

diamA ( S ) ≤ rC1 2 . Đặt tn = ( n + C ) , d n = ( n + C − 1)
−1

−1 2

. Lấy một phần tử tùy

ý x1 ∈ S và dựng dãy { xn } theo công thức (2.1.2).
Ta có thể chứng minh bằng quy nạp dãy { xn } được chứa trong S ( x* , r )
và hội tụ tới x* với ước lượng
xn − x* ≤ d n rC1 2

(2.1.4)


23

Thật vậy, với n = 1 ta có xn − x* ≤ r = d1rC1 2 .
Giả sử (2.1.4) đúng với n, khi đó
xn − x* ≤ d n rC 1 2 ≤ d1rC1 2 = r ,

tức là xn ∈ S ( x* , r ) ⊂ D ( A ) . Và như vậy xn+1 hoàn toàn được xác định.
Vì x* + Ax* = f nên

xn+1 − x* = xn + ( n + C )
= xn − ( n + C )

−1

−1

( xn + Axn − f ) − x* =

(x

n

+ Axn − x* − Ax* ) − x*

−1
−1
= ( xn − x* ) ⎡1 + ( n + C ) ⎤ − ( n + C ) ( Axn − Ax* )

⎣
⎦

= ( xn − x* ) (1 − tn ) − tn ( Axn − Ax* )
Ta có :

xn+1 − x* = (1 − tn ) xn − x* − 2tn (1 − tn ) Re ( Axn − Ax* , xn − x* ) + tn2 Axn − Ax*
2

2

2

Vì toán tử A đơn điệu nên
2

2

xn+1 − x* ≤ (1 − tn ) xn − x* + tn2 Axn − Ax* ≤
2

2
2
≤ (1 − tn ) d n2 .r 2C + tn2 r 2C = r 2C ⎡(1 − tn ) d n2 + tn2 ⎤ =
⎣
⎦
⎡⎛ n + C − 1 ⎞ 2
⎤
1
1

1
2
= r C ⎢⎜
+
=
.
r 2C = d n2+1r 2C
⎟
2⎥
2
⎣⎢⎝ n + C ⎠ ( n + C − 1) ( n + C ) ⎦⎥ ( n + C )

Do đó
xn+1 − x* ≤ d n+1rC1 2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Và như vậy ta đã chứng minh dãy { xn } hội tụ đến x* với ước lượng
xn − x* = O ( n −1 2 ) .

2


24

Hệ quả 2.1.1. Giả sử A là toán tử đơn điệu liên tục và miền D ( A ) mở trong

không gian Hilbert H, y ∈ R ( I + A ) . Khi đó tồn tại hình cầu S = S ( x* , r ) với
điểm x* = ( I + A ) y sao cho đối với xấp xỉ ban đầu tùy ý x1 ∈ S dãy { xn }
−1

được dựng bằng công thức
xn+1 =

n
1
xn −
( A xn − y )
n +1
n +1

(2.1.5)

Được chứa trong D ( A ) và hội tụ đến x* với tốc độ
xn − x* = O ( n −1 2 )

Chứng minh:
Nhờ định lý vừa chứng minh ta có một hình cầu S1 = S1 ( x* , r1 ) với tâm tại x*
và một số dương C sao cho dãy { zn } với xấp xỉ ban đầu z1 ∈S1 được dựng bởi
công thức
Z n +1 = Z n − ( n + C )

−1

(Z

n

+ AZ n − y )

(2.1.6)

Hội tụ đến x* với tốc độ O ( n −1 2 ) . Từ tính chất liên tục của toán tử T tại điểm
x* suy ra tồn tại một lân cận S của điểm x* sao cho C xấp xỉ đầu tiên của
dãy (2.1.5) (số C có thể lấy là số nguyên dương) được chứa trong S1 . Lấy
z1 = xc và dựng { zn } theo công thức (2.1.6) ta có xn = Z n − C +1 với n ≥ C .
Dãy này được chứa trong D ( A ) và xn → x* với tốc độ
O ⎡⎣( n − C +1)

−1 2

⎤ = O ( n −1 2 )
⎦

2.1.2 Trong không gian định chuẩn

Ta sẽ mở rộng định lý 2.1.2 cho trường hợp toán tử A tác dụng trong
không gian định chuẩn.


25

Định lý 2.1.2. Giả sử X là không gian định chuẩn, A là toán tử tác dụng từ

miền D ( A ) ⊂ X vào X . Giả thiết những điều sau đây được thực hiện:
1) Phương trình (2.1.1) có nghiệm tại điểm trong x* của miền D ( A ) ;
2) Đối với số a dương tùy ý, và đối với các x, y tùy ý thuộc D ( A) ta có
bất đẳng thức
a ( x − y ) − ( Ax − Ay ) ≤ a 2 x − y + Ax − Ay ;
2

2

3) A bị chặn địa phương tại x*
Khi đó:
1) nghiệm x* duy nhất;
2) tồn tại hình cầu S = S ( x* , r ) với tâm x* và bán kính r , số K sao
cho đối với C tùy ý lớn hơn K , đối với x1 ∈S , dãy { xn } được dựng
theo công thức:
xn+1 = xn − ( n + C )

−1

(x

n

+ A xn − f )

được chứa trong D ( A ) và hội tụ đến x0 với ước lượng

( ).

xn − x* = O n

−1

2

Chứng minh định lý này tương tự với chứng minh định lý (2.1.2), nếu
chú ý rằng điều kiện 2) trong những giả thiết của định lý (2.1.4) sẽ trùng với

điều kiện đơn điệu của toán tử A khi không gian là Hilbert.

2.2. Phương pháp thác triển theo tham số
2.2.1. Sự tồn tại nghiệm

Xét phương trình loại hai
x + Ax = f

(2.2.1)