200 bài lượng giác cơ lời giải chi tiết

Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc
biệt là khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của
Bộ GD&ĐT.
- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên (Chủ biên)
2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).
3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).
4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.
5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên.
6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.
7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều
được coi là vi phạm nội quy của nhóm.
- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.
Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự
sai xót nhất định.
Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email:
!
Xin chân thành cám ơn!!!
Chúc các bạn học tập và ôn thi thật tốt!!!

Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014
Trưởng nhóm Biên soạn

Cao Văn Tú

Chủ biên: Cao Văn Tú

1

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Bài 1: Giải phương trình : sin2 x  sin 2x  2cos2 x  2
Giải

sin2 x  sin 2x  2cos2 x  2
 sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0

x  k
 sin x  0



 tan x  2  x  arctan 2  k

Bài 2: Giải phương trình : cos2 x  3sin x  2  0

Giải

 1  2sin2 x  3sin x  2  0  2sin2 x  3sin x  1  0



x

 k 2

2

 sin x  1


  x   k 2 , k 
1

sin x 
6

2  5
x 
 k 2

6
3sin x  cos x  2

Bài 3: Giải phương trình :

Giải

3sin x  cos x  2 
 sin x cos


6

 cos x sin

3
1
2
sin x  cos x 
2
2
2


6



2


 sin( x  )  sin
2
6
4

 



x



k
2

x

 k 2


6
4
12


,k 
 x    3  k 2
 x  7  k 2

6 4
12

Bài 4: Giải phương trình :

3sin x  cos x  2
Giải

Chủ biên: Cao Văn Tú

2

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

3
1
2
sin x  cos x 
2
2
2


2


 sin x cos  cos x sin 
 sin( x  )  sin
6

6
2
6
4
 
5


x



k
2
x

 k 2


6
4
12


,k 

3

11


x  
x 
 k 2
 k 2

6 4
12




Bài 5: Giải phương trình : 2sin2 x  3sin x cos x  5cos2 x  0
Giải

 2ta n x  3ta n x  5  0


x

 k
 tan x  1

4


,k 
 tan x   5
5



2  x  arctan( )  k

2
2

Bài 6: Giải phương trình : 3(sin5x  cos x)  4(sin x  cos5x)
Giải

 3sin5x  4cos5 x  4sin x  3cos x
3
4
4
3
 sin5 x  cos5 x  sin x  cos x
5
5
5
5
3
4
 sin5x cos  cos5x sin   sin x sin   cos x cos , (  cos ,  sin  )
5
5



 sin(5x   )  cos( x   )  sin(5x   )  sin(  x   )
2

 





x



k
5
x




x



k
2



3
2

  12 3
 x k
5x        x    k 2


2
8
2

Bài 7: Giải phương trình : 3sin3x  3cos9x  1  4sin3 3x

Chủ biên: Cao Văn Tú

3

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Giải

 (3sin3x  4sin3 3x)  3cos9x  1


2

x


k




18
9
 sin9x  3cos9 x  1  sin(9 x  )  sin  
3
6
 x  7  k 2

54
9
Bài 8: Giải phương trình : tan x  sin 2 x  cos2 x  2(2cos x 

1
)0
cos x

Giải
Điều kiện: cos x  0  x 

(1) 


2

 k

sin x
2
 sin 2 x  cos2 x  4cos x 

0
cos x
cos x

 sin x  2sin x cos2 x  cos2 x cos x  2(2cos2 x  1)  0
 sin x(1  2cos2 x)  cos2 x cos x  2cos2 x  0
  sin x cos2x  cos2x cos x  2cos2 x  0

cos2 x  0



 cos2 x(sin x  cos x  2)  0  
x   k
4
2
sin x  cos x  2(vn)
Bài 9: Giải phương trình : 8sin x 

3
1

cos x sin x
Giải

Điều kiện: sin 2 x  0  x  k



2

(*)  8sin2 x cos x  3sin x  cos x  4(1  cos2x)cos x  3sin x  cos x

 4cos2x cos x  3sin x  3cos x  2(cos3x  cos x)  3sin x  3cos x

Chủ biên: Cao Văn Tú

4

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!



x   k

1
3

6
 cos3x  cos x 
sin x  cos3x  cos( x  )  
3
2
2
x     k 


12
2

C2 (*)  8sin2 x cos x  3sin x  cos x  8(1  cos2 x)cos x  3sin x  cos x

 8cos x  8cos3 x  3sin x  3cos x  6cos x  8cos3 x  3sin x  cos x
1
3

 4cos3 x  3cos x  cos x 
sin x  cos3x  cos( x  )
3
2
2


x

 k

6
.



x    k

12
2
Bài 10: Giải phương trình : 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos2 x  8

Giải
 6sin x cos x  6cos x  2sin 2 x  9sin x  7  0
 6cos x(sin x  1)  (sin x  1)(2sin x  7)  0
 (sin x  1)(6cos x  2sin x  7)  0

sin x  1


 x   k 2

2
6cos x  2sin x  7
Bài 11: Giải phương trình : sin 2 x  2cos2 x  1  sin x  4cos x
Giải
 2sin x cos x  2(2cos x  1)  1  sin x  4cos x  0
 sin x(2cos x  1)  4cos2 x  4cos x  3  0
2

Bài 12: Giải phương trình : 2sin 2 x  cos2 x  7sin x  2cos x  4
Giải
 4sin x cos x  (1  2sin x)  7sin x  2cos x  4  0
2

 2cos x(2sin x  1)  (2sin 2 x  7sin x  3)  0
 2cos x(2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  3)  0
 (2sin x  1)(2cos x  sin x  3)  0
Chủ biên: Cao Văn Tú

5

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!



x   k 2

2sin x  1  0

6


2cos x  sin x  3,(vn)
 x  5  k 2

6

Bài 13: Giải phương trình : sin 2 x  cos2 x  3sin x  cos x  2
Giải
 2sin x cos x  (1  2sin 2 x)  3sin x  cos x  2  0

 (2sin x cos x  cos x)  (2sin 2 x  3sin x  1)  0
 cos x(2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  1)  0

 2sin x  1
 (2sin x  1)(cos x  sin x  1)  0  

cos x  sin x  1



x

 k 2

6
2sin x  1  
 x  5  k 2

6
 x  k 2
2
 cos x  sin x  1  cos( x  ) 
 
 x   k 2
4
2

2





Bài 14: Giải phương trình : (sin 2 x  3 cos2 x)2  5  cos(2 x  )
6
Giải

1
3

cos2 x)  2cos(2 x  )
Ta có: sin 2 x  3 cos2 x  2( sin 2 x 
2
2
6
Đặt: t  sin 2x  3 cos2x, 2  t  2

t  2
t
2
Phương trình trở thành: t  5   2t  t  10  0  
t  5
2

2
5
t  : loại
2
2

Chủ biên: Cao Văn Tú

6

Email:

Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015


7
t  2 : 2cos(2 x  )  2  x 
 k
6
12
Bài 15: Giải phương trình : 2cos3 x  cos2 x  sin x  0

Lưu hành nội bộ!

Giải
 2cos2 x(cos x  1)  (1  sin x)  0  2(1  sin 2 x)(cos x  1)  (1  sin x)  0
 2(1  sin x)(1  sin x)(cos x  1)  (1  sin x)  0
 (1  sin x)[2(1  sin x)(cos x  1)  1]  0
 (1  sin x)[1  2sin x cos x  2(sin x  cos x)]  0
sin x  1


1  2sin x cos x  2(sin x  cos x)  0



 k 2
2
1  2sin x cos x  2(sin x  cos x)  0  (sin x  cos x)2  2(sin x  cos x)  0
 (sin x  cos x)(sin x  cos x  2)  0  sin x  cos x  0

 sin x  1  x 

 tan x  1  x  


4

 k

Bài 16: Giải phương trình : 1  cot 2 x 

1  cos 2 x
.
sin 2 2 x
Giải

Điều kiện: sin 2 x  0  x  k



2
1  cos2 x
1
cos2 x
1
(*)  1  cot 2 x 
 1  cot 2 x 
1

2

1  cos 2 x
1  cos2 x
sin 2 x 1  cos2 x
 sin 2 x(1  cos2 x)  cos2 x(1  cos2 x)  sin 2 x
 sin 2 x cos2 x  cos2 x(1  cos2 x)  0  cos2 x(sin 2 x  cos2 x  1)  0
cos2 x  0


sin 2 x  cos2 x  1

 cos2 x  0  x 


4

k


2



x    k



4
 sin 2 x  cos2 x  1  sin(2 x  )  sin( )  
4
4

 x    k

2
Chủ biên: Cao Văn Tú

7

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Vậy,phương trình có nghiệm: x 



k



Lưu hành nội bộ!

4
2
Bài 17: Giải phương trình : 4(sin x  cos4 x)  3sin4x  2
4

Giải

 4[(sin2 x  cos2 x)2  2sin2 x cos2 x]  3sin4x  2




x k

1
4
2
 4(1  sin 2 2 x)  3sin 4 x  2  cos4x  3sin4x  2  
2
x     k 

12
2
1
Bài 18: Giải phương trình : 1  sin3 2 x  cos3 2 x  sin 4 x .
2
Giải
 2  sin 4 x  2(sin 2 x  cos2 x)(1  sin 2 x cos2 x)  0

 (2  sin 4 x)  (sin 2 x  cos2 x)(2  sin 4 x)  0
 (2  sin 4 x)(sin 2 x  cos2 x  1)  0  sin 2 x  cos2 x  1



x    k


2

4
 sin(2 x  )  

4
2
 x    k

2
Bài 19: Giải phương trình : tan x  3cot x  4(sin x  3cos x)
Giải
Điều kiện: sin 2 x  0  x  k

(*) 


2

sin x
cos x
3
 4(sin x  3 cos x)
cos x
sin x

 sin2 x  3cos2 x  4sin x cos x(sin x  3cos x)  0

 (sin x  3cos x)(sin x  3cos x)  4sin x cos x(sin x  3cos x)  0
Chủ biên: Cao Văn Tú

8

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

 (sin x  3cos x)(sin x  3cos x  4sin x cos x)  0

sin x  3cos x  0

sin x  3cos x  4sin x cos x  0
 sin x  3 cos x  0  tan x   3  x  


3

 k

 sin x  3cos x  4sin x cos x  0  2sin 2x  sin x  3cos x


x


 k 2

1
3


3
 sin 2 x  sin x 
cos x  sin 2 x  sin( x  )  
3
2
2
 x  4  k 2

9
3

4
2
k
Vậy,phương trình có nghiệm là: x    k ; x 
3
9
3
Bài 20: Giải phương trình : sin3 x  cos3 x  sin x  cos x
Giải

 sin x(sin 2 x  1)  cos3 x  cos x  0
  sin x cos2 x  cos3 x  cos x  0  cos x( sin x cos x  cos2 x  1)  0

cos x  0


2
 sin x cos x  cos x  1

 cos x  0  x 


2

 k

1
1  cos2 x
 1  sin 2 x  cos2 x  3,(vn)
  sin x cos x  cos2 x  1   sin 2 x 
2
2
Vậy,phương trình có nghiệm là: x 



2

 k , k 

 1
Bài 21: Giải phương trình : cos4 x  sin 4 ( x  ) 
4 4
Giải

1
1


1
 (1  cos2 x)2  [1  cos(2 x  )]2 
4
4
2
4
 (1  cos2 x)2  (1  sin 2 x)2  1  sin 2 x  cos2 x  1

Chủ biên: Cao Văn Tú

9

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015



x

 k 2


3
2
 cos(2 x  )  cos

4
4

 x     k

4

Lưu hành nội bộ!

Bài 22: Giải phương trình : 4sin3 x cos3x  4cos3 x sin3x  3 3cos4 x  3
Giải

 4sin3 x(4cos3 x  3cos x)  4cos3 x(3sin x  4sin3 x)  3 3cos4 x  3

 12sin3 x cos x  12cos3 x sin x  3 3cos4x  3
 4sin x cos x(cos2 x  sin2 x)  3cos4x  1

 2sin 2x cos2x  3cos4x  1  sin4x  3cos4x  1



x



k

1
3
1


24

2 ,k 
 sin 4 x 
cos4 x   sin(4 x  )  sin  
3
6
2
2
2
 x k

8
2
2
2
Bài 23: Cho phương trình: 2sin x  sin x cos x  cos x  m (*)
a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.
b.Giải phương trình khi m = -1.

Giải

1
1
(*)  (1  cos2 x)  sin 2 x  (1  cos2 x)  m  sin 2 x  3cos2 x  2m  1
2
2
2
2
2
a. (*)có nghiệm khi: c  a  b  (1  2m)2  1  9  4m2  4m  9  0


1  10
1  10
m
2
2

b.Khi m = -1 phương trình trở thành:
1
3
3
sin 2 x 
cos2 x 
sin 2 x  3cos2 x  3 
10
10
10
1
3
 cos ,
 sin  )
 sin2x cos  cos2x sin  sin , (
10
10

x  k

 2 x      k 2
 
 sin(2 x   )  sin   

 x     k
2 x        k 2

2
Chủ biên: Cao Văn Tú

10

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Bài 24: Cho phương trình:

3
 x)
6tan 
2
(*)

sin x
1  tan 2 

Lưu hành nội bộ!

5  4sin(

a.Giải phương trình khi   



4
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm

Giải

3

 x)   sin(  x)   cos x
2
2
6tan 
 6tan  cos2   3sin 2 ,cos  0
2
1  tan 
5  4cos x
(*) 
 3sin 2  3sin 2 sin x  4cos x  5 (**)
sin x

Ta có: sin(

a. khi   


4

phương trình trở thành:

3
4
3sin x  4cos x  5  sin x  cos x  1
5
5
3
4
 sin x cos  cos x sin   1,(  cos ,  sin  )
5
5

 sin( x   )  1  x   


2

 k 2

b.Phương trình có nghiệm khi:
cos  0



 cos  0
 cos  0
 cos2  0     k





 2
2
2
4
2
(3sin 2 )  16  25
sin 2  1
sin 2  1
cos3x  sin3x
)  3  cos2 x
Bài 25: Giải phương trình : 5(sin x 
1  2sin 2 x
Giải



x


 k

1
12
,k 
Điều kiện: sin 2 x    
2
 x  7  k

12
cos3x  sin3x

sin x  2sin 2 x sin x  cos3x  sin3x
)5
Ta có: 5(sin x 
1  2sin 2 x
1  2sin 2 x
Chủ biên: Cao Văn Tú

11

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

sin x  cos x  cos3x  cos3x  sin3x
1  2sin 2 x
(sin3x  sin x)  cos x
2sin 2 x cos x  cos x
5
5
1  2sin 2 x
1  2sin 2 x
(2sin x  1)cos x
5
 5cos x
1  2sin 2 x
(1)  5cos x  cos2 x  3  2cos2 x  5cos x  2  0
5

1

 x    k 2
3
2
Bài 26: Giải phương trình : cos2 3x cos2 x  cos2 x  0
 cos x 

Giải

1
1
 (1  cos6 x)cos2 x  (1  cos2 x)  0
2
2
 cos6 x cos2 x  1  0 (*)
Cách 1: (*)  (4cos3 2 x  3cos2 x)cos2 x  1  0  4cos4 2 x  2cos2 2 x  1  0
 cos2 2 x  1  sin 2x  0  x  k


2

1
Cách 2: (*)  (cos8x  cos4 x)  1  0  cos8x  cos4 x  2  0
2
 2cos2 4 x  cos4 x  3  0  cos4 x  1  x  k



2

 cos6 x  cos2 x  1
Cách 3: (*)  
cos6 x  cos2 x  1
1
Cách 4: (*)  (cos8x  cos4 x)  1  0  cos8x  cos4 x  2
2
 cos8x  cos4 x  1


 3
Bài 26: Giải phương trình : cos4 x  sin 4 x  cos( x  )sin(3x  )   0
4
4 2
Giải
1

3
 (sin 2 x  cos2 x)2  2sin 2 x cos2 x  [sin(4 x  )  sin 2 x]   0
2
2
2

Chủ biên: Cao Văn Tú

12

Email:

Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

1
1
3
 1  sin 2 2 x  ( cos4 x  sin 2 x)   0
2
2
2
1
1
1
1
  sin 2 2 x  (1  2sin 2 2 x)  sin 2 x   0
2
2
2
2



 k
4
Bài 27: Giải phương trình : 5sin x  2  3(1  sin x) tan 2 x
 sin 2 2 x  sin 2 x  2  0  sin 2 x  1  x 

Giải

Điều kiện: cos x  0  x 


2

 k

sin 2 x
sin 2 x
(1)  5sin x  2  3(1  sin x) 2  5sin x  2  3(1  sin x)
cos x
1  sin 2 x
1
3sin 2 x
 2sin 2 x  3sin x  2  0  sin x 
 5sin x  2 
2
1  sin x


x

 k 2

6

 x  5  k 2

6
1

1
 2cos3x 
Bài 28: Giải phương trình : 2sin3x 
.
sin x
cos x
Giải
Điều kiện: sin 2 x  0  x  k


2

(*)  2(sin3x  cos3x) 

1
1

sin x cos x

 2[3(sin x  cos x)  4(sin 3 x  cos3 x] 

1
1

sin x cos x

 2(sin x  cos x)[3  4(sin 2 x  sin x cos x  cos2 x)] 

sin x  cos x
sin x cos x

sin x  cos x
0
sin x cos x
1
 (sin x  cos x)(2  8sin x cos x 
)0
sin x cos x
 2(sin x  cos x)(1  4sin x cos x) 

Chủ biên: Cao Văn Tú

13

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

2
 2)  0
sin 2 x
 (sin x  cos x)(4sin 2 2 x  2sin 2 x  2)  0

 (sin x  cos x)(4sin 2 x 




x


 k

4
 tan x  1

sin x  cos x  0



  sin 2 x  1   x    k

2

12
4sin 2 x  2sin 2 x  2  0
sin 2 x  1/ 2

7
x
 k

12
cos x(2sin x  3 2)  2cos 2 x  1
1
Bài 29: Giải phương trình :
1  sin 2 x

(*)

Giải



 k
4
(*)  2sin x cos x  3 2 cos x  2cos2 x 1  1  sin2x

Điều kiện: sin 2 x  1  x  

 2cos2 x  3 2 cos x  2  0  cos x 

2

 x    k
2
4

Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm: x 



4

 k , k 

x
3x

x 3x 1
Bài 30: Giải phương trình : cos x cos cos  sin x sin sin 
2
2
2
2 2
Giải

1
1
1
 cos x(cos2 x  cos x)  sin x(cos2 x  cos x) 
2
2
2
2
 cos x cos2 x  cos x  sin x cos2 x  sin x cos x  1
 cos2 x(sin x  cos x)  1  sin 2 x  sin x cos x  1  0
 cos2 x(sin x  cos x)  sin x(sin x  cos x)  0
 (sin x  cos x)(cos2 x  sin x)  0
 (sin x  cos x)(2sin 2 x  sin x  1)  0

 sin x  cos x  0

2
2sin x  sin x  1  0

Chủ biên: Cao Văn Tú

14

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015



x    k

4
 tan x  1


x    k 2
  sin x  1  

2
sin x  1/ 2
 
5
 x   k 2  x 
 k 2

6
6

Lưu hành nội bộ!

Bài 31: Giải phương trình : 4cos3 x  3 2sin2x  8cos x

Giải

 4cos3 x  6 2sin x cos x  8cos x  0
 2cos x(2cos2 x  3 2sin x  4)  0  2cos x(2sin2 x  3 2sin x  2)  0



x

 k

2
 cos x  0


 x    k 2


sin x  2

4


2
3
x 
 k 2

4





Bài 32: Giải phương trình : cos(2 x  )  cos(2 x  )  4sin x  2  2(1  sin x)
4
4
Giải

 2cos2 x cos


4

 4sin x  2  2  2 sin x  0

 2(1  2sin2 x)  4sin x  2  2  2sin x  0

 2 2sin2 x  (4  2)sin x  2  0



x

 k 2

1
6
 sin x   
2

 x  5  k 2

6
Bài 33: Giải phương trình : 3cot 2 x  2 2sin2 x  (2  3 2)cos x

Chủ biên: Cao Văn Tú

15

(1)

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Giải

sin x  0  x  k
cos2 x
cos x
(1)  3 4  2 2  (2  3 2) 2
sin x
sin x

Điều kiện:

t  2

cos x
Đặt: t 
phương trình trở thành: 3t 2  (2  3 2)t  2 2  0  
2
t2
sin x

3
2 cos x 2
t  : 2   3cos x  2(1  cos2 x)  2cos2 x  3cos x  2  0
3 sin x 3
1

 cos x   x    k 2
3
2
cos x
t  2 : 2  2  cos x  2(1  cos2 x)  2 cos2 x  cos x  2  0
sin x

2

 x    k 2
2
4


Vậy,phương trình có nghiệm: x    k 2 , x    k 2
3
4

2
2
4sin 2 x  6sin x  9  3cos2 x
0
Bài 34: Giải phương trình :
cos x
 cos x 

(*)

Giải



 k
2
(*)  4(1  cos2 2 x)  3(1  cos2 x)  9  3cos x  0  4cos2 2 x  6cos x  2  0

Điều kiện: cos x  0  x 



x

 k
 cos2 x  1

2



cos2 x   1
 x     k

2

3

Vậy,phương trình có nghiệm: x    k
3
Bài 35: Giải phương trình : cos x  cos3x  2cos5x  0
Giải

 (cos5x  cos x)  (cos5x  cos3x)  0
Chủ biên: Cao Văn Tú

16

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

 2cos3x cos2 x  2cos4 x cos x  0
 (4cos3 x  3cos x)cos2 x  (2cos2 2 x  1)cos x  0

 cos x[(4cos2 x  3)cos2 x  2cos2 2 x  1]  0
 cos x{[2(1  cos2 x)  3]cos2 x  2cos 2 2 x  1}  0
 cos x(4cos2 2 x  cos2 x  1)  0




x

 k

 cos x  0
2


1

17
1  17

 cos x 
  x   arccos
 k 2
8
8


1

17
1  17

cos x 

x


arccos
 k 2


8
8
sin8 x  cos8 x 

Bài 36: Giải phương trình :

17 2
cos 2 x
16

(*)

Giải
sin x  cos x  (sin x  cos x)  2sin x cos 4 x
8

8

4

4

2

4

1
 [(sin 2 x  cos2 x)2  2sin 2 x cos 2 x)]2  sin 4 2 x
8
1
1
1
 (1  sin 2 2 x)2  sin 4 2 x  1  sin 2 2 x  sin 4 2 x
2
8
8
1
(*)  16(1  sin 2 2 x  sin 4 2 x)  17(1  sin 2 2 x)  2sin 4 2 x  sin 2 2 x  1  0
8
1


 sin 2 2 x   1  2sin 2 2 x  0  cos4 x  0  x   k
8
4
2
Bài 37: Giải phương trình : sin

5x
x
 5cos3 x sin (*)
2
2

Giải

x
Ta thấy: cos  0  x    k 2  cos x  1
2
Thay vào phương trình (*) ta được:
5

sin(  5k )   sin(  k ) không thỏa mãn với mọi k
2
2
Chủ biên: Cao Văn Tú

17

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

x
Do đó cos không là nghiệm của phương trình nên:
2
5x
x
x
x
1

5
(*)  sin cos  5cos3 x sin cos  (sin3x  sin 2 x)  cos3 x sin x
2
2
2
2
2
2
 3sin x  4sin3 x  2sin x cos x  5cos3 x sin x  0
 sin x(3  4sin2 x  2cos x  5cos3 x)  0
 sin x(5cos3 x  4cos2 x  2cos x  1)  0
sin x  0
x  k




cos x  1
x  k 2




 cos x  1  21   x   arccos 1  21  k 2
10
10





1  21
1  21
 k 2
cos x 
 x   arccos
10
10


Vậy,phương trình có nghiệm: x  k 2 , x   arccos

1  21
 k 2
10

1  21
 k 2
10
Bài 38: Giải phương trình : sin2x(cot x  tan2x)  4cos2 x
x   arccos

(1)

Giải


 x  k
 sin x  0

Điều kiện: 

 

cos2 x  0  x  4  k 2

cos x sin 2 x cos 2 x cos x  sin 2 x sin x
cos x



Ta có: cot x  tan 2 x 
sin x cos 2 x
sin x cos 2 x
sin x cos2 x
cos x
(1)  2sin x cos x
 4cos2 x
sin x cos2 x
cos2 x

 2cos2 x  cos2 x(1  2cos2x)  0
cos 2 x


x   k

 cos x  0
2


cos2 x  1/ 2  x     k


6
Chủ biên: Cao Văn Tú

18

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Vậy,phương trình có nghiệm: x 



 k , x  



6
2
6x
8x
 1  3cos
Bài 39: Giải phương trình : 2cos2
5
5

Lưu hành nội bộ!

 k

Giải

12 x
4x
4x
4x
4x
)  1  2(2cos2  1)  2  4cos3  3cos  2(2cos2  1)
5
5
5
5
5
4x
Đặt: t  cos , 1  t  1phương trình trở thành:
5
 t 1
4t3  6t 2  3t  5  0   1  21
t 

4
4x
5
 cos  1  x  k
5
2
 (1  cos

 cos

4 x 1  21
5
1  21
5

 x   arccos
k
5
4
4
4
2

Vậy,phương trình có nghiệm: x  k

5
1  21
5
5
k
, x   arccos
4
4
2
2



Bài 40: Giải phương trình : tan3( x  )  tan x  1
4

(1)

Giải



x

 k
 cos x  0


2
Điều kiện: 


cos(
x

)

0

 x  3  k
4

4

(tan x  1)3
(1) 
 tan x  1  (tan x  1)3  (tan x  1)(1  tan x)3
(1  tan x)3
 (tan x  1)[(1  tan x)3  (tan x  1)2]  0
 (tan x  1)(tan3 x  2tan2 x  5tan x)  0
 tan x(tan x  1)(tan2 x  2tan x  5)  0

Chủ biên: Cao Văn Tú

19

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

 x  k
 tan x  0
 

 x   k
tan
x

1



4

C2: Đặt: t  x 


4

Bài 41: Giải phương trình :

sin 4 2 x  cos4 2 x





tan(  x) tan(  x)
4
4

 cos4 4 x

(1)

Giải

 
 
sin(

x

)cos(

x
)

0

sin( 4  2 x)  0
4
4
Điều kiện: 

 cos2 x  0



sin(  x)cos(  x)  0
sin(  2 x)  0


4
4
4


1  tan x 1  tan x
tan(  x) tan(  x) 
.
1
4

4
1  tan x 1  tan x
(1)  sin4 2x  cos4 2x  cos4 4x 1  2sin2 2x cos2 2x  cos4 4x

1
1
 1  sin 2 4 x  cos4 4 x  1  (1  cos2 4 x)  cos4 4 x
2
2
 2cos4 4x  cos2 4x  1  0  cos2 4x  1
 1  cos2 4x  0  sin 4x  0  x  k
Vậy,phương trình có nghiệm: x  k

48 

Bài 42: Giải phương trình :





4

2

1
2

(1  cot 2 x cot x)  0
4

2
cos x sin x

(*)

Giải
Điều kiện: sin 2 x  0  x  k



2
cos2 x cos x cos2 x sin x  sin 2 x sin x

Ta có: 1  cot 2 x cot x  1 
sin 2 x sin x
sin 2 x cos x
cos x
1


2sin 2 x cos x 2sin 2 x

Chủ biên: Cao Văn Tú

20

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

(*)  48 

Lưu hành nội bộ!

1
1
1
1

 0  48 

cos4 x sin 4 x
cos4 x sin 4 x

1
 48sin4 x cos4 x  sin4 x  cos4 x  3sin 4 2 x  1  sin 2 2 x
2
1
 6sin4 2x  sin2 2x  2  0  sin 2 2 x  1  2sin2 2x  0
2


 cos4 x  0  x   k
8
4


Vậy,phương trình có nghiệm: x   k
8

4
5
Bài 43: Giải phương trình : sin8 x  cos8 x  2(sin10 x  cos10 x)  cos2 x
4
Giải
5
 sin8 x(1  2sin 2 x)  cos8 x(2cos2 x  1)  cos2 x
4
5
 sin8 x cos2 x  cos8 x cos2 x  cos2 x
4
 4cos2x(cos8 x  sin8 x)  5cos2x  0
 4cos2x(cos4 x  sin4 x)(cos4 x  sin4 x)  5cos2x  0

 4cos2x(cos2 x  sin2 x)(cos2 x  sin2 x)(cos4 x  sin4 x)  5cos2x  0
1
 4cos2 x(cos2 x  sin 2 x)(1  sin 2 2 x)  5cos2 x  0
2
1
 4cos2 2 x(1  sin 2 2 x)  5cos2 x  0
2
 4cos2x(4cos2x  2cos2x sin2 2x  5)  0
 4cos2x[4cos2x  2cos2x(1  cos2 2x)  5]  0



 4cos2x(2cos3 2x  2cos2x  5)  0  cos2 x  0  x   k
4
2
Bài 44: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2010, khối A)

1  sin x  cos2 x  sin  x 
Giải phương trình :
Chủ biên: Cao Văn Tú

1  t anx
21




4 



1
cos x
2

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Giải

cos x  0
sin x   1


Điều kiện: 
tan x  1 t anx  1

1  sin x  cos2 x  sin  x 
Khi đó

1  t anx




4 



1
cos x
2



 cos x 1  sinx  cos 2x  2.sin  x    cos x sin x  cos x 
4

 
 1  sinx  cos 2 x  2.sin  x    sin x  cos x  (do cos x  0 )
4






  sin x  cos x  sin x  cos2 x   0   sin x  cos x  sin x  1  2sin 2 x  0


 L
sin x   cos x  tan x  1

sin x  cos x  0



sin
x

1

 L
sin x  1

2
2sin
x

sin
x

1


0



1
sin x   1
sin x  
t / m
2

2



x


 k.2

1
6
 sin x    
k  Z 
2
 x  7  k.2

6
Bài 45: Cho hàm số: y= -x3+3x2+3(m-1)x-3m2+1.
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1.

2. Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại , cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu ấy cách đều
đường thẳng x-y-2=0.
Giải
2. Điều kiên để hàm số có cực trị : m >0
Chia y cho y’ ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực tri la:
y= 2mx-3m2 +m.
Thỏa mãn yêu cầu bài ra  TH 1: BA song song với d
TH2: d đi qua trung điểm của AB
Đáp số: m=

1
2

Chủ biên: Cao Văn Tú

22

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015
3  21
m=
6

Lưu hành nội bộ!

Bài 46: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B)

x


Giải phương trình cot x  sin x 1  tan x.tan   4
2


Giải

Lời giải:


cos x  0

Điều kiện sinx  0  sin2x  0

x
cos  0
2


x

sin

x
cos x
sinx

2 4
cot
x


sin
x
1

tan
x
.tan

4


sinx
1

.



Ta có
2 
sinx

 cos x cos x 
2

x
x

cos

x
.
c
os

sinx.sin

cos x
2
2   4  cos x  sinx  4

sinx


 sinx
x
sinx cos x


cos x.cos
2


2
1
 4  sin 2 x 
t / m
sin 2 x
2





2
x


k
.2

x


 12  k.
6


2 x  5  k.2
 x  5  k.

6
12



Bài 47: Giải phương trình :

k  Z 

1

1
2


.
cos x sin 2 x sin 4 x
Giải

Chủ biên: Cao Văn Tú

23

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Điều kiện

Lưu hành nội bộ!


sin x   1
cos x  0
sin x   1 sin x   1




 sinx  0

sin2x  0  sinx  0  sinx  0
sin 4 x  0 cos2x  0
1  2sin 2 x  0 



sin x   2

2

1
1
2


Khi đó
cos x sin 2 x sin 4 x

sin x  1

 4sinx.cos2 x  2cos2 x  2  sinx 2sin 2 x  sinx-1  0  sin x  0

1
sin x 
2








x

 k.2

1
6
Đối chiếu với điều kiện ta được sin x  2  
 x  5  k.2

6
 
 x  6  k.2
k  Z 
Vậy phương trình có nghiệm là 
 x  5  k.2

6

k  Z 

sin 4 2 x  cos4 2 x
 cos4 4 x
Bài 48: Giải phương trình :

 

tan   x  tan   x 

4
 4

Giải

Điều kiện

 

sin  4  x   0

 
 
 


cos   x   0 sin   2 x   0
 4

 2


 cos2 x  0  sin 2 x   1








sin
sin
 x  0
  2x   0
  4


  2

cos    x   0

  4


Chủ biên: Cao Văn Tú

24

Email:


Tuyển tập 200 bài tập về Lượng giác có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!





 x  .tan   x   1 , do đó phương trình đã cho trở thành

4

4


Nhận thấy tan 

1
sin 4 2 x  cos4 2 x  cos4 4 x  1  sin 2 4 x  cos 4 4 x  2cos 4 4 x  cos 2 4 x 1  0
2
sin 2 x  0
 cos2 4 x  1  sin 4 x  0  
cos2 x  0

Đối chiếu điều kiện ta được sin 2 x  0  x  k


2

k  Z 

sin 2 2 x  cos4 2 x 1
 0.
Bài 49: Giải phương trình :
sin x.cos x

Giải
Điều kiện sin 2x  0
Khi đó phương trình đã cho trở thành

cos2 2x  0 sin 2 x   1
sin 2 x  cos 2x 1  0  cos 2 x  cos 2x  0   2

sin 2 x  0
cos 2 x  1
2

4

4

2

Đối chiếu điều kiện ta được sin 2x  1  2 x 


2

 k.2  x 

Bài 50: Giải phương trình : cos3x.tan5x  sin7x


4

 k.

k  Z 

Giải

Điều kiện cos5x  0
Khi đó phương trình đã cho trở thành

k

x  2
2sin 5x.cos3x  2sin 7 x.cos5x  sin8x  sin12 x  
 x    k

20 10
Với x 
Với x 

5k
 k

 k
k
 cos 
 k 2   cos 
thì cos5x  cos
2
2
 2

 2

20



  k
k
thì cos5x  cos  
10
4 2

Chủ biên: Cao Văn Tú

k  Z 


  0  k  2m


m Z 


0

25

Email: