TC_BÀI TOÁN THIÊN VĂN(CHU VĂN BIÊN)

TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC – THẦY CHU VĂN BIÊN
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN THIÊN VĂN HỌC
Bài 1(ol-5)Một con tàu vũ trụ bay quanh Mặt Trăng theo quỹ đạo tròn bán kính gấp đôi bán kính Mặt Trăng.Hỏi
phải bắn một vật ra khỏi con tàu tại A theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo với vận tốc bao nhiêu đối với con tàu
để vật rơi xuống mặt trăng tại B đối diện với A.Biết bán kính Mặt Trăng R=1,7.10
6
m ,gia tốc rơi tợ do trên Mặt
Trăng g=1,67m/s
2
.
đs:
( )
s/m219gR
3
1
2
1
≈−
Giải
Vật m được bắn ra khỏi con tàu phải chuyển động trên quỹ đạo elíp tiếp xúc với Mặt Trăng tại B. Vật m tại A có
vận tốc v
1
đối với tâmMặt Trăng sau khi đến B có vận tốc v
2
cũng đối với tâm Mặt Trăng. Gọi khối lượng của
Mặt Trăng là M ,thì gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng sẽ là: g=
R
GM
Sử dụng định luật bảo toàn cơ năng: w
A
=w

B

)1(gRvvGmvGmv
2
1
2
2
R
mM
2
2
2
1
R2
mM
2
1
2
1
=−⇔−=−⇔
Sử dụng định luật III Keple :

)2(vv2R.tVR2.t.v
212
2
1
1
2
1
=⇔∆=∆

Từ (1)(2) cho
3
gR
1
v =
(3)
Con tàu vũ trụ có khối lượng m
t
chuyển động tròn đều trên quỹ đạo (o,2R):
( )
1
2
gR
0
R2
2
0
v
t
m
2
R2
M
t
m
vvG >=⇔=
.Vậy phải nén vật về phía sau với vận tốc :
( )
s/m219gRvvv
3

1
2
1
10
≈−=−=
Bài 2 (ol-5)Một vệ tinh nhân tạo khối lượng M chuyển động theo quỹ đạo elíp quanh Trái Đất .Khoảng cách từ
tâm Trái Đất đến vị trí gần nhất và xa nhất của vệ tinh là h,H.
Xác định cơ năng toàn phần của vệ tinh.
Xác định vận tốc của vệ tinh tại vị trí cách tâm Trái Đất một khoảng l .
Xác định chu kì quay của vệ tinh.
Xác định khối lượng của Trái Đất nếu sử dụng các số liệu thu được từ vệ tinh nhân tạo Côxmot 380:
T=102,2phút;h=6588km;H=7926km.
ĐS:
( )
( )
kg10.6)d;T)c;GM2v)b;)a
24
GM2
2
Hh
hH
11
Hh
mH
+
++
π=−=−

Giải
Cơ năng toàn phần tại A và B bằng nhau:

2
B
A
H
Mm
h
Mm
2
B
2
1
H
mM
2
A
2
1
h
mM
v
v
Gw
Gw
mvGmvGw









=
+
+
⇒+−=+−=
Theo định luật IIKeple :
h
H
B
V
A
v
BA
t.H.vt.h.v
=⇔∆=∆
.Từ đó giải ra:

hH
mM
Gw
+
−=
Cơ năng tại vị trí cách tâm Trái Đất một khoảng l sẽ là:
( )
hH
11
2
2
1Mm

GM2vmvGw
+
−=⇒+−=

Theo định luật III Keple chính xác:
( )
GM2
hH
Ta;
2
2
Hh
GM
2
4
)mM(G
2
4
3
a
2
T
+
π=⇒=≈=
+
π
+
π
Theo câu c) khối lượng Trái Đất tính theo công thức:
kg10.6M

24
GT2
2
)hH(
≈π=
+
Bài 3 Một trạm Vũ trụ bay quanh Trái Đất trên quỹ đạo tròn có bán kính R=2R
0
(R
0
=6400km-bán kính Trái Đất ).
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 1
O
B
A
V
A
V
BA
v
A
v
B
TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC – THẦY CHU VĂN BIÊN
Xác định chu kì quay và vận tốc của trạm vũ trụ khi động cơ không hoạt động.Bỏ qua ma sát cho biết vận tốc vũ
trụ cấp 1 ở sát mặt đất là v
0
=7,9km/s.
Khi động cơ hoạt động trong một thời gian ngắn để tăng vận tốc của trạm lên đến giá trị v
1

và chuyển sang quỹ
đạo elíp.Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến trạm lớn nhất và nhỏ nhất là R
1
=2R
0
,R
2
=4R
0
.Xác định chu kì và vận
tốc v
1
của trạm trên quỹ đạo elíp.
ĐS:
phut441T;s/km44,6v)b;phut240T;s/km58,5v)a
e
5,1
0
v
1
2
0
v
≈≈==≈=
Giải
Ta có,vận tốc tính từ:
( )
s/km58,5v.2.2vG
0
2

1
0
R
GM
2
1
2
0
R2
Mm
0
R2
2
mv
≈==⇒=
Chu kì của trạm:
phut240R2.T
0
v
22
≈==
π
ω
π
Vì động cơ chỉ hoạt động trong một thời gian ngắn nên có thể xem cơ năng bảo
toàn khi chuyển từ quỹ đạo cũ sang quỹ đạo mới,nghĩa là:
2
R
GMm
2

2
2
mv
1
R
GMm
2
2
1
mv
−=−
(1)
Theo định luật II Keple:
1
R
2
R
2
V
1
v
2211
t.R.vt.R.v =⇔∆=∆
(2).Kết hợp(1):
( )
s/km22,3v
6
0
V
2

R
1
R
2
R
1
GMR2
2
≈==
+
.
áp dụng định luật III Keple cho:
Chuyển động tròn có T=240phút;bán kính 2R
0
Chuyển động elíp có chu kì T
e
;bán kính a=(R
1
+R
2
)/2=3R
0

( )
phut441T5,1
e
3
3
0
R2

0
R3
2
T
2
e
T
=⇒==
Bài 4 (ol-7)Quan sát một hệ sao đôi thấy rằng ngôi sao trông thấy quay tròn đều quanh tâm riêng của hệ theo quỹ
đạo (o,r
1
)với vận tốc v
1
=270km/s và chu kì T
1
=17,3ngày đêm.Biết ngôi sao thứ hai cũng chuyển động tròn đều
đồng tâm theo quỹ đạo (o,r
2
),khối lượng của sao trông thấy m
1
=6M
T
=6.1,99.10
30
kg.Xác định khối lượng của ngôi
sao thứ hai? có thể xem sao này là một lỗ đen không?
ĐS:9.M

;Có
Giải

Do tính chất của trường hấp dẫn xuyên tâm thì m
1
và m
2
chuyển động cùng vận tốc góc ω.

Lực hấp dẫn giữa chúng:
2
r
2
m
1
m
GF =
.
Tính chất của khối tâm:
( )
2
1
2
21
3
21
1
2
m
2
m
1
m

221121
rmm
mm
GFrrrmrm;rrr
+
=⇒=⇒=+=
+
.
Phương trình chuyển động của m
1
:
( ) ( )
T
2
1
1
2
2
21
3
2
2
1
2
21
3
21
1
2
1

11
2
1
M47,3
GT
r4
mm
m
rmm
mm
Gr
T
2
mFrm ≈
π
=
+
⇒
+
=








π
⇔=ω

.
Đặt m
2
=kM
T
,ta có:
( )
9k47,3
k6
k
2
3
=⇒=
+
.Có thể xem m
2
là một lỗ đen vì khối lượng rất lớn và không phát
sáng.
Bài 5 (APHO-2-2001)Khi nào Mặt Trăng trở thành vệ tinh đồng bộ của Trái Đất ?
Chu kì quay của Mặt Trăng quanh trục của nó hiện nay đúng bằng chu kì quay của nó quanh Trái Đất cho nên
Mặt Trăng chỉ luôn luôn hướng một mặt vể phía Trái Đất .Nguyên nhân khiến hai chu kì đó bằng nhau là tác
dụng của lực thuỷ triều trong suốt quá trình lịch sử lâu dài của hệ Trái Đất-Mặt Trăng.
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 2
v
1
v
2
R
2
R

1
R
1
v
1
v
2
r
2
m
1
r
1
m
2
o
TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC – THẦY CHU VĂN BIÊN
Tuy nhiên chu kì quay của Trái Đất quanh trục của nó hiện nay ngắn hơn chu kì quay của Mặt Trăng quanh Trái
Đất .Kết quả là lúc thuỷ triều của Mặt Trăng tiếp tục tác động để làm chậm chuyển động quay của Trái Đất và
làm cho Mặt Trăng ngày càng ra xa Trái Đất .
Trong bài toán này chúng ta muốn ước tính xem phải mất bao lâu nữa thì chu kì quay của Trái Đất quanh trục
của nó bằng chu kì quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất .Khi ấy Mặt Trăng trở nên thành một vệ tinh đồng bộ
hiện ra như một vật thể cố định trên bầu trời và chỉ quan sát viên ở phía Trái Đất đối diện với Mặt Trăng là có thể
nhìn thấy được. Chúng ta cũng muốn tìm xem Trái Đất sẽ thực hiện một vòng quay trong thời gian dài bao lâu
khi hai chu kì nó trên bằng nhau.
Hai hệ trục toạ độ vuông góc được lấy làm hệ qui chiếu. Trục thứ ba của hai hệ đó song song với nhau và
vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo của Mặt Trăng.
Hệ qui chiếu thứ nhất gọi là hệ qui chiếu CM là hệ qui chiếu quán tính mà gốc của nó đặt tại khối tâm C của hệ
Trái Đất -Mặt Trăng.
Hệ qui chiếu thứ hai gọi là hệ qui chiếu xyz có gốc đặt tại tâm O của Trái Đất.Trục z của hệ này trùng với trục

quay của Trái Đất ,còn trục x thì nằm trên đường nối giữa tâm Trái Đất và tâm của Mặt Trăng và hướng theo
chiều của vectơ đơn vị
e
r

như trên hình vẽ.Mặt Trăng luôn luôn ở phần âm của trục x trong hệ qui chiếu này.
Lưu ý các khoảng cách trong hình không mô tả theo đúng tỉ lệ.Mũi tên cong chỉ chiều quay của Trái Đất và của
Mặt Trăng khoảng cách từ tâm Trái Đất đến tâm Mặt Trăng kí hiệu bằng r.
Cho biết các dự liệu sau đây:
Hiện nay khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng là r
0
=3,85.10
8
m.Tốc độ hằng năm là 0,038m/năm.
Chu kì quay của Mặt Trăng hiện nay là T
M
=27,322 ngày.
Khối lượng của Mặt Trăng là M=7,35.10
22
kg.
Bán kính của Mặt Trăng là R
M
=1,74.10
6
m.
Chu kì quay của Trái Đất hiện nay là T
E
=23,933 giờ.
Khối lượng của Trái Đất là M
E

=5,97.10
24
kg.
Bán kính của Trái Đất là R
E
=6,37.10
6
m.
Hằng số hấp dẫn là G=6,67259.10
-11
Nm
2
/kg.
Khi giải bài toán ta chấp nhận các điều sau đây:
Hệ Trái Đất-Mặt Trăng là cô lập với phần còn lại của vũ trụ.
Quỹ đạo của Mặt Trăng quanh Trái Đất là một vòng tròn.
Trục quay của Trái Đất vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo của Mặt Trăng.
Nếu như không có Mặt Trăng và nếu như Trái Đất không quay thì phân bố khối lượng của Trái Đất đối xứng cầu
và bán kính Trái Đất R
E
.
Đối với Trái Đất hoặc Mặt Trăng thì mômen quán tính I đối với bất kì trục nào đi qua tâm cũng được xem như
mômen quán tính của một hình cầu đồng chất khối lượng M,bán kính R,tức là I=
2
5
2
MR
.
Sự phân bố bề dày của nước bao quanh Trái Đất đối với hệ qui chiếu xyz thì không thay đổi theo thời gian.
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 3

O c
x
y
Trái Đất Mặt Trăng Trái Đất
r
M
E
M
TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC – THẦY CHU VĂN BIÊN
Các câu hỏi phải trả lời
Xác định giá trị hiện nay của mômen động lượng toàn phần của hệ Trái Đất-Mặt Trăng đối với khối tâm C.
Khi chu kì quay của Trái Đất quanh trục của nó và chu kì quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất bằng nhau thì thời
gian để Trái Đất quay một vòng là bao nhiêu ?Trong lời giải thời gian đó gọi là T và biểu diễn nó bằng đơn vị là
ngày hiện tại.Chỉ yêu cầu lời giải gần đúng để tìm kết quả.
Coi Trái Đất là một quả cầu cứng bao phủ bởi một lớp nước trên bề mặt và cho rằng khi Mặt Trăng chuyển động
quanh Trái Đất thì sự phân bố bề dày của lớp nước này trong hệ qui chiếu xyz không thay đổi theo thời gian.Theo
một mô hình đã được đề ra thì người ta có xét đến lực ma sát giữa phần quả cầu rắn và lớp nươchiết suất bao phủ
của Trái Đất. Dưới sức hút của Mặt Trăng nước bị hút về phía Mặt Trăng tạo ra thuỷ triều. Phần rắn dạng cầu của
Trái Đất quay quanh sẽ kéo lớp nước ấy theo làm đường nối hai điểm thuỷ triều cao nhất trên mặt đất nghiêng
góc δ đối với trục x như trên hình vẽ.Kết quả là lúc thuỷ triều do Mặt Trăng gây ra trên ,Trái Đất sẽ tác dụng
một mômen lực Γ quanh O làm cho Trái Đất chuyển động quay của nó chậm lại.
Cho rằng góc δ không thay đổi và độc lập với khoảng cách r từ Trái Đất đến Mặt Trăng. Khi chuyển động
quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất đồng bộ với chuyển động quay của Trái Đất quanh trục của nó,là lúc ma sát
không tồn tại nữa thì góc ấy bằng không.Khi ấy người ta chứng minh được rằng mômen lực Γ tỉ lệ với 1/r
6
,r là
khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng.
Hãy dùng mô hình này để tính xem bao giờ thì chuyển động của Trái Đất quanh trục của nó và chuyển động
của Mặt Trăng quanh Trái Đất có cùng chu kì ?
Trong lời giải ,kí hiệu thời gian đó là t

f
và tính giá trị của nó theo đơn vị là năm hiện tại.Khi làm baìo có thể
sử dụng các công thức toán học dưới đây:
(M1) Với 0 ≤ s ≤ r và x=scosθ thì :








−
++≈
++
...
r2
sx3
r
x
r
1
rx2sr
1
3
22
2
22
(M2) Nếu a
≠

0 và
;ab)t't()t().'t(b
dt
d
aaa1
−=ωω⇒ω=
ω
−

Giải
1)Mômen động lượng quỹ đạo toàn phần
zLL


=
của hệ Trái Đất-Mặt Trăng với khối tâm C được tính như
sau:Vì tất cả mômen động lượng đều theo trục z nên các mômen động lượng cũng tính theo trục z đó. Khoảng
cách giữa khối tâm C và tâm Trái Đất là :
E
6
0
E
CM
R735,0m10.68,4r
MM
M
r ==
+
=
Vận tốc góc của Mặt Trăng quanh Trái Đất là:

)a1(s/rad10.6617,2
86400.322,27
2
6
0
−
≈
π
=ω
Mômen động lượng quỹ đạo của Mặt Trăng đối với khối tâm C là:
( )
s/kgm10.83,2.rrML
234
0
2
CM0M
=ω−=
.
Vận tốc góc của chuyển động quay Mặt Trăng quanh trục của nó là: Ω
M
=ω
0
.
Mômen động lượng spin của Mặt Trăng là:
M
6229
MMM
L10.4,8s/kgm10.37,2.IS ==Ω=
Giá trị này nhỏ hơn mômen quỹ đạo động lượng của Mặt Trăng nên có thể bỏ qua.
Mômen quỹ đạo động lượng của Trái Đất với khối tâm C là:

s/kgm10.48,3L..rML
232
M
E
M
M
0
2
CMEE
==ω=

Vận tốc góc do chuyển động quay của Trái Đất quanh trục của nó là:
s/rad10.2926,7
5
3600.933,23
2
E
−
π
==Ω
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 4
δ

Mặt Trăng
TRUNG TÂM LUYỆN THI HỒNG ĐỨC – THẦY CHU VĂN BIÊN
Mômen động lượng spin của Trái Đất:
E
233
E
2

EE
5
2
E
I.3,20s/kgm10.07,7.R.MS ==Ω=

Vậy mômen động lượng toàn phần của hệ Trái Đất-Mặt Trăng là :
)SLL(s/kgm10.57,3SSLLL
EEM
234
MEEM
++≈=+++=
(2)
2) Sử dụng định luật III Keple chính xác cho chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái Đất :
)MM(Gr.
)MM(G
4
r
T
E
32
E
2
3
2
+=ω⇒
+
π
=
(3)

Do đó mômen động lượng quỹ đạo của hệ Trái Đất-Mặt Trăng với khối tâm C là:
( )
3
1
E
2
E
2
E
E
MM
G
.M.M.r
MM
MM
L








+ω
=ω









+
=
(4)
Chú ý
ME
2
E
E
EE
2
E
E
M
LLL.
MM
M
.ML;.
MM
r.M
ML +=⇒ω









+
=ω








+
=
Khi vận tốc góc của chu kì quay Trái Đất bằng vận tốc góc ω của quỹ đạo Mặt Trăng ,bỏ qua mômen động lượng
spin của Mặt Trăng thì mômen động lượng toàn phần của hệ Trái Đất Mặt Trăng là:
s/kgm10.57.3.R.M
)MM(
G
.MMSLL
2342
EE
5
2
3
1
E
2
EEEM
=ω+









ω+
=++
(5a)
Đẳng thức cuối cùng được tính từ định luật bảo toàn mômen động lượng toàn phần và phương trình (2).Với tính
toán ω ở trên mômen động lượng spin của Trái Đất có thể bỏ qua ở phương trình (5a),ta có:
( )
s/rad10.36,1
6
3
357
96,3
1
−
==ω≈ω
(phép lặp thứ nhất)
Nếu dùng giá trị ω
1
để tính mômen động lượng spin của Trái Đất và dùng phương trình (5a) để tính ra ω :
( )
s/rad10.35,1
6
3

358
96,3
2
−
==ω≈ω
(phép lặp lần thứ hai) (5b)
Lặp lại nhiều lần theo cùng một phép lặp,tìm ra chu kì của Trái Đất là:
9,53
86400.10.35,1
2832,62
T
6
f
f
≈=
ω
π
=
−
ngày.
3) Do mômen lực Γ tỉ lệ với 1/r
6
,tacó:Γ =
const
r
1
6
(6)
Thay các giá trị r
0

và Γ
0
vào (6) ta có :
0
6
0
.
r
r
Γ






=Γ
(7)
Mômen lực Γ bằng độn biến thiên của mômen động lượng spin
ΩI
của Trái Đất ,tức là:

Γ=
Ω
dt
d
I
(8)
Theo định luật Niutơn về lực và phản lực đối với sự bảo toàn mômen động lượng toàn phần thì -Γ =độ biến thiên
của mômen quỹ đạo toàn phần của hệ Trái Đất-Mặt Trăng nên:

Γ−=
dt
dL
(9)
Dựa vào phương trình (3) để viết lại phương trình (4) như sau:
3
1
3
1
E
2
E
2
1
2
1
E
E
2
E
E
.
MM
G
MMr.
MM
G
MMr.
MM
MM

L
−
ω








+
=








+
=ω









+
=
(10).
Như vậy
Γ−=
ω
ω








+
−=
ω








+
=
−

dt
d
..
MM
G
MM
dt
dr
.
2
1
.
MM
G
MM
dt
dL
3
4
3
1
E
2
E
3
1
2
1
2
1

E
E
(11)
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 5