phát triển bài toán

Phần I
Đặt vấn đề
Đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động của
học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh
t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn
đề, rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,
đem lại niềm tin và hứng thú học tập cho học sinh.
Dạy học Toán là dạy hoạt động Toán học, học sinh cần phải đợc cuốn hút
vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó học
sinh tự khám phá điều mình cha biết. Để đảm bảo tiết học có hiệu quả, có chất
lợng đòi hỏi ngời thầy giáo phải đầu t thời gian và trí tuệ vào nội dung của từng
tiết học, biết cách vận dụng tốt các phơng pháp đặc biệt hoá, tổng quát hoá, t-
ơng tự để từ những kiến thức đã có giúp học sinh mở rộng, đào sâu hệ thống hoá
kiến thức hoặc mò mẫm, dự đoán, tìm lời giải cho bài toán Điều đó cũng làm
cho ngời thầy giáo có cái nhìn sâu hơn, rộng hơn một vấn đề, một bài toán, tự
trau dồi cho mình những kiến thức chuyên môn. Qua đó có những phơng pháp
hợp lý trong giảng dạy, giúp học sinh biết cách suy luận, biết cách tự tìm lại
những điều đã quên, biết cách tìm tòi đề phát hiện những kiến thức mới hoặc
biết cách tìm lời giải của một bài toán khó hoặc cao hơn là đề ra những bài toán
mới tơng tự.
Phạm vi của đề tài đề cập đến một vấn đề: Phát huy trí tuệ của học sinh
qua việc khai thác một bài toán ./.
Phần II
Nội dung
A- số học:
Xét bài toán trong Sách giáo khoa lớp 6:
Tính tổng: S =
2.1
1
+
3.2

1
+
4.3
1
+ +
100.99
1
Ta có: S =
1
1
-
2
1
+
2
1
-
3
1
+
3
1
-
4
1
+ +
99
1
-
100

1
= (
1
1
+
2
1
+
3
1
+ +
99
1
) (
2
1
+
3
1
+ +
99
1
+
100
1
)
= 1 -
100
1
=

100
99
Trên cơ sở của bài toán trên ta có thể phát triển thành nhiều bài toán khác:
1- Bài toán 1:
Cho A =
2
2
1
+
2
3
1
+
2
4
1
+ +
2
100
1
Chứng minh rằng: A < 1.
Lời giải: A =
2.2
1
+
3.3
1
+ +
100.100
1

A <
2.1
1
+
3.2
1
+ +
100.99
1
A < S = 1 -
100
1
=
100
99
< 1
A < 1
Ta có bài toán tổng quát:
Cho B =
2
2
1
+
2
3
1
+
2
4

1
+ +
2
1
n
Với n

N
*

Chứng minh rằng: B < 1
2- Bài toán 2:
2
Cho C =
4
5
+
9
10
+
16
17
+ +
000.10
10001
Chứng minh rằng C < 100.
Lời giải: C =
2
2
5

+
2
3
10
+ +
2
100
10001
Do từ 2 đến 100 có 99 số nên tổng C có 99 số hạng. Khi đó:
C = (1 +
2
2
1
) + (1 +
2
3
1
) + (1 +
2
100
1
)
= 99 + (
2
2
1
+
2
3
1

+ +
2
100
1
)
= 99 + (
2.2
1
+
3.3
1
+ +
100.100
1
) < 99 + (
2.1
1
+
3.2
1
+ +
100.99
1
)
C < 99 + S = 99 + (1 -
100
1
) = 100 -
100
1

C < 100
Ta có bài toán tổng quát:
Cho D =
2
2
5
+
2
3
10
+
2
4
17
+ +
2
2
1
n
n
+
Chứng minh rằng: D < n (n

N
*
).
Lời giải tơng tự lời giải bài toán 2.
3- Bài toán 3 :
Cho E =
4

3
+
9
8
+
6
15
+ +
10000
9999
Chứng minh rằng: E > 98.
Lời giải:
Ta có: E = (1 -
4
1
) + (1 -
9
1
) + + (1 -
10000
1
)
= (1 -
2
2
1
) + (1 -
2
3
1

) + (1 -
2
100
1
)
= 99 (
2
2
1
+
2
3
1
+ +
2
100
1
)
= 99 (
2.2
1
+
3.3
1
+ +
100.100
1
)
E > 99 (
2.1

1
+
3.2
1
+ +
100.99
1
)
3
⇒ E > 99 – (1 -
100
1
) = 98 +
100
1
⇒ E > 98
Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t:
Cho F =
2
2
3
+
2
3
8
+
2
4
15
+ + …

2
2
1
n
n
−
Chøng minh r»ng: F > n – 2
4- Bµi to¸n 4:
Cho G =
2
2
1
+
2
4
1
+
2
6
1
+…
2
200
1

Chøng minh r»ng: G <
2
1
Lêi gi¶i:
Ta cã: G =

1.2
1
2
+
22
2.2
1
+
22
3.2
1
+ + …
22
100.2
1
=
2
2
1
. (1 +
2
2
1
+
2
3
1
+ + …
2
100

1
)
⇒ G <
4
1
+
4
1
. (
2.1
1
+
3.2
1
+ + …
100.99
1
)
⇒ G <
4
1
+
4
1
. (1 -
100
1
)
G <
2

1
-
100
1
<
2
1
VËy G <
2
1
Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t:
Cho H =
2
2
1
+
2
4
1
+ + …
2
)2(
1
n
Chøng minh r»ng: H <
2
1
5- Bµi to¸n 5:
Cho P =
5

1
+
13
1
+
25
1
+ + …
19801
1
Chøng minh r»ng: P <
2
1
Lêi gi¶i:
P =
14
1
+
+
112
1
+
+ + …
119800
1
+
4
⇒ P <
4
1

+
12
1
+
24
1
+ + …
19800
1
P <
2.2
1
+
6.2
1
+
12.2
1
+ + …
9900.2
1
P <
2
1
. (
2.1
1
+
3.2
1

+ + …
100.99
1
)
P <
2
1
. (1 -
100
1
) =
2
1
-
100
1
⇒ P <
2
1
6- Bµi to¸n 6:
Cho Q =
5
3
+
13
11
+
25
23
+ + …

19801
19799
Chøng minh r»ng: Q > 98.
Lêi gi¶i:
Ta cã: Q = (1 -
5
2
) + (1-
13
2
) + + (1- …
19801
2
)
⇒ Q > (1 -
4
2
) + (1-
12
2
) + + (1 - …
19801
2
)
⇒ Q > (1 -
2
1
) + ( 1 -
6
1

) + + (1 - …
9900
1
)
⇒ Q > (1 -
2.1
1
) + (1 -
3.2
1
) + + (1 - …
100.99
1
)
⇒ Q > 99 – (1 -
100
1
) = 98 +
100
1
VËy Q > 98.
7- Bµi to¸n 7:
Cho M = 2001 - (
1
1
+
21
1
+
+

321
1
++
+ + …
99...21
1
+++
)
Chøng minh r»ng: M > 1999
Lêi gi¶i:
Ta cã: 1 =
2
2.1
; 1 + 2 =
2
3.2
1 + 2 + 3 =
2
4.3
5
…
1 + 2 + 3 + + 99 = …
2
100.99
⇒ M = 2001 – (
2
2.1
1
+
2

3.2
1
+ + …
2
100.99
1
)
= 2001 – 2 . (
2.1
1
+
3.2
1
+ + …
100.99
1
)
= 2001 – 2. (1 -
100
1
) = 2001 – 2 +
100
2
= 1999 +
50
1
>1999
VËy M > 1999.
Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t:
Cho N = (

11
1
+
+
21
1
+
+
321
1
++
+ + …
)...21
1
n
+++
Chøng minh r»ng: N < 2
8- Bµi to¸n 8:
Cho E =
!2
1
+
!3
1
+
!4
1
+ + …
!100
1

Chøng minh r»ng: E < 1
Ta cã: E = (
2.1
1
+
3.2.1
1
+ + …
100...3.2.1
1
)
Do:
4.3.2.1
1
<
4.3
1
;
5.4.3.2.1
1
<
5.4
1
….
100...3.2.1
1
<
100.99
1
⇒ E < (

2.1
1
+
3.2
1
+
4.3
1
+ …
100.99
1
)
⇒ E < 1 -
100
1
< 1
VËy E < 1
9- Bµi to¸n 9:
6
Cho F =
!2.5
3
+
!3.5
3
+ +
!100.5
3
Chứng minh rằng: F < 0,6
Ta có: F =

5
3
. (
!2
1
+
!3
1
+ +
!100
1
)
F <
5
3
. E <
5
3
. 1
Vậy F < 0,6
10- Bài toán 10:
Chứng minh rằng:
1 +
!1
1
+
!2
1
+
!3

1
+ +
!
1
n
< 3
Đặt Z = 1 +
!1
1
+
!2
1
+
!3
1
+ +
!
1
n
Z = 1 +
1
1
+
2.1
1
+
3.2.1
1
+ .+
n...3.2.1

1
Z < 2 +
2.1
1
+
3.2
1
+
4.3
1
+ +
nn ).1(
1

Z = 2 +
1
1
-
2
1
+
2
1
-
3
1
+ +
1
1

n
-
n
1
Z = 3 -
n
1
< 3
Vậy Z < 3
11- Bài toán 11:
Cho B =
3.1
1
2
+
5.3
2
2
+ +
193.191
96
2
Chứng minh rằng: B < 25
Lời giải:
Ta có : B =
2
2
1
. (
3.1

2.1
22
+
5.3
2.2
22
+
7.5
3.2
22
+ +
193.191
96.2
22
)
B =
4
1
. (
3.1
2
2
+
5.3
4
2
+
7.5
6
2

+ +
193.191
192
2
)
B =
4
1
[1+
3.1
1
+ 1+
5.3
1
+ + 1+
193.191
1
]
7
B =
4
1
[96 + (
3.1
1
+
5.3
1
+ + …
193.191

1
)]
B = 24 +
8
1
. (1 -
193
1
)
B = 24 +
8
1
-
193.8
1
< 24
8
1
< 25
VËy B < 25.
12- Bµi to¸n 12:
Cho C =
3
1
+
15
13
+
35
33

+ + …
36099
36097
Chøng minh r»ng: C > 94
Lêi gi¶i:
Ta cã: C = (1 -
3
2
) + ( 1-
15
2
)+ + (1 - …
36099
2
)
= (1 -
3.1
2
) + ( 1 -
5.3
2
)+ + …
191.189
2
)
= 95 – (
3.1
2
+
5.3

2
+ + …
191.189
2
)
= 95 – ( 1 -
191
1
) = 94 +
191
1
> 94
VËy C > 94.
13- Bµi to¸n 14:
Cho D =
17
11
+
37
31
+
65
59
+
101
95
+
145
139
Chøng minh r»ng: D > 4.

Lêi gi¶i:
Ta cã: D = 1 -
17
6
+ 1 -
37
6
+ + 1 - …
145
6
= 5 – (
17
6
+
37
6
+
45
6
+
101
6
+
145
6
)
= 5 – 3 (
17
2
+

37
2
+
65
2
+
101
2
+
145
2
) > 5 – 3 (
15
2
+
35
2
+
63
2
+
99
2
+
143
2
)
8
= 5 – 3 (
5.3

2
+
7.5
2
+
9.7
2
+
11.9
2
+
13.11
2
)
= 5 – 3 (
3
1
-
13
1
) = 5 – 1 +
13
3
> 4
VËy D > 4
14- Bµi to¸n 14:
Cho E =
!2
1
+

!3
2
+
!4
3
+ …
!2001
2000
Chøng minh r»ng: E < 1
Ta cã: E =
!2
12
−
+
!3
13
−
+
!4
14
−
+ + …
!2001
12001
−
=
!2
2
-
!2

1
+
!3
3
-
!3
1
+ .+ …
!2001
2000
-
!2001
1
= 1 -
!2001
1
< 1
VËy E < 1
15- Bµi to¸n 15:
T×m x biÕt:
21
1
+
+
321
1
++
+ + …
x
++++

...321
1
=
2003
2001
Lêi gi¶i:
Ta cã: VT =
2
3.2
1
+
2
4.3
1
+ + …
2
)1.(
1
+
xx
=
3.2
2
+
4.3
2
+ + …
)1(
2
+

xx
= 2. (
2
1
-
3
1
+
3
1
-
4
1
+ + …
x
1
-
1
1
+
x
)
= 2 . (
2
1
-
1
1
+
x

) = 1 -
1
2
+
x
⇒ 1 -
1
2
+
x
=
2003
2001
⇒ x = 2002 .
16- Bµi to¸n 16:
Cho F =
4
3
+
36
5
+
144
1
+ + …
22
)1(
12
+
+

nn
n
9
Chøng minh: F < 1
Lêi gi¶i;
Ta cã: F =
22
2.1
1
+
22
3.2
5
+ + …
22
)1(
12
+
+
nn
n
=
2
1
1
-
2
2
1
+

2
2
1
-
2
3
1
+ + …
2
1
n
-
2
)1(
1
+
n
= 1 -
2
)1(
1
+
n
< 1
VËy F < 1.
17- Bµi to¸n 17:
Cho M =
)!1(
1
...

!4
11
!3
5
!2
1
2
+
−+
++++
n
nn
Chøng minh r»ng: M < 2
Lêi gi¶i:
Ta cã:
)!1(
1
2
+
−+
n
nn
=
)!1(
)1(
+
+
n
nn
-

)!1(
1
+
n
=
)!1(
1
−
n
-
)!1(
1
+
n
⇒ M =
!2
1
+
!1
1
-
!3
1
+
!2
1
-
!4
1
+ + …

)!1(
1
−
n
-
)!1(
1
+
n
= 2 – (
!
1
n
+
)!1(
1
+
n
) < 2
VËy M < 2
18- Bµi to¸n 18:
Cho N =
!2
1
+
!3
2
+
!4
3

+ + …
!
1
n
n
−
Chøng minh r»ng: N < 1
Lêi gi¶i:
Ta cã:
!
1
n
n
−
=
)!1(
1
−
n
-
!
1
n
⇒ N =
!1
1
-
!2
1
+

!2
1
-
!3
1
+ + …
)!1(
1
−
n
-
!
1
n
10