hàm số và đồ thị

Kinh nghiệm - Hớng dẫn HS giải một số dạng Toán hàm số -Đại số 9
kinh nghiệm
Hớng dẫn học sinh giải một số dạng toán
hàm số thờng gặp ở Đại số 9.
Phần i : đặt vấn đề
Bộ môn Toán trong Trờng THCS là một bộ môn quan trọng. Nó là bản lề
cho học sinh học tốt các bộ môn khác. Do đó việc giảng dạy toán ở trờng THCS
là vấn đề hết sức nặng nề. Để học sinh hiểu thấu đáo các vấn đề về toán học đòi
hỏi ngời giáo viên giảng dạy bộ môn toán phải hết sức nhạy bén với sự thay đổi
của dạng toán để có phơng pháp phù hợp với học sinh của mình.
Hàm số là một vấn đề tơng đối trìu tợng đối với học sinh THCS . Trong
những năm gần đây trong các đề thi tuyển sinh vào trờng THPT. Các bài toán về
hàm số chiếm một tỉ lệ khá cao. Để giúp cho học sinh nắm đợc các dạng toán về
hàm số và giải đợc thành thạo các dạng toán đó. Phát huy tính tích cực, tự giác
chủ động, sáng tạo của học sinh.
Tôi mạnh dạn đa ra kinh nghiệm. Hớng dẫn học sinh giải một số dạng toán
hàm số thờng gặp ở Đại số 9. Trong chuyên đề này tôi không có tham vọng tổng
hợp đợc toàn bộ kiến thức của phần hàm số mà chỉ đa ra các tính chất cơ bản và
một số dạng bài toán thờng gặp trong Đại số 9 và các kì chuyển cấp gần đây. Để
học sinh có thể định hớng đợc và vận dụng để mở rộng ra trong việc giải các bài
toán về hàm số.
Trớc hết để giải đợc các bài toán về hàm số học sinh cần phải nắm đợc các
kiến thức cơ bản sau:
- Các dạng hàm số cơ bản thờng gặp ở Đại số 9.
- Ngoài ra học sinh phải nắm đợc TXĐ chiều biến thiên, đồ thị,
cách vẽ, các tính chất của hàm số.
- Cùng một số kiến thức bổ sung
Nội dung của chuyên đề:
+ Trớc hết tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản của các hàm số có bổ sung
các kiến thức mới.
+ Sau đó đa ra các dạng bài tập có liên quan. Chủ yếu là các dạng bài toán

về hàm số: y = ax + b ( a 0) và hàm số y = ax
2
(a 0). Và bổ sung thêm một số
kiến thức về hàm số y = ax
2
+ bx + c( a 0)
Qua các dạng bài cơ bản đó học sinh có thể nắm bắt tốt về hàm số đồng
thời biết kết hợp các dạng toán lại với nhau để
để làm đợc bài toán tổng quát hơn.
Trớc đây đã có rất nhiều các đồng chí giáo viên khác đã làm về vấn đề này
nhng tôi vẫn đa ra ý kiến của mình về : " Các bài toán về hàm số" . Chắc chắn
trong kinh nghiệm này còn nhiều điều cha đầy đủ. Rất mong có sự đóng góp ý
kiến của các đồng nghiệp trong tổ cũng nh các quí vị đọc bài viết này.
Trang
1
Kinh nghiệm - Hớng dẫn HS giải một số dạng Toán hàm số -Đại số 9
Phần ii : Nội dung
A- Các hàm số thờng gặp.
Trong trờng THCS có một số hàm số thờng gặp nh sau:
1. Hàm số y = ax (a 0)
2. Hàm số y = ax + b (a 0)
3. Hàm số y = ax
2
(a 0)
4. Hàm số y = ax
2
+ bx + c (a 0)
B - Tính chất của từng hàm số
I. Hàm số y = ax (a 0)
1. TXĐ : mọi x thuộc R

2. Chiều biến thiên : Hàm số y = ax (a 0) :
Đồng biến khi và chỉ khi a > 0
Nghịch biến khi và chỉ khi a < 0
3. Đồ thị : Hàm số y = ax (a 0)
có đồ thị là một đờng thẳng luôn luôn đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm E
( 1; a )
II. Hàm số y = ax + b (a 0)
1. TXĐ : Mọi x thuộc R
2. Chiều biến thiên : Hàm số y = ax + b (a 0) :
Đồng biến khi và chỉ khi a > 0
Nghịch biến khi và chỉ khi a < 0
3. Đồ thị : Hàm số y = ax + b(a 0)
- Đồ thị hàm số là một đờng thẳng không đi qua gốc toạ độ giao với trục hoành
tại điểm A ( -b/a; 0) , giao với trục tung tại điểm B ( 0; b)
Cách vẽ đồ thị :
- Xác định giao với trục Ox tại A ( -b/a; 0)
- Xác định giao với trục Oy tại B ( 0; b) ;
- Đờng thẳng AB chính là đồ thị của hàm số
4. Chú ý:
Trong trờng hợp hệ số b = 0 thì hàm số y = ax + b suy biến thành hàm
số y = ax(a 0) .
5. Kiến thức bổ sung
a) Hệ số góc : Xét hàm số y = ax + b có :
- Hệ số a gọi là hệ số góc
- Hệ số b gọi là tung độ góc
- Mặt khác a = tg

( trong đó

là góc tạo bởi đồ thị hàm số và chiều dơng của

trục hoành )
b) Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng:
Xét hai đờng thẳng y = a
1
x + b
1
( d
1
) Và y = a
2
x + b
2
( d
2
) ta có các trờng hợp
Trang
2
Kinh nghiệm - Hớng dẫn HS giải một số dạng Toán hàm số -Đại số 9
sau xảy ra : + ( d
1
) cắt ( d
2
) khi và chỉ khi a
1
a
2

( Trờng hợp đặc biệt ( d
1
)

( d
2
) khi và chỉ khi a
1
. a
2
= -1 )
+ ( d
1
) song song ( d
2
) khi và chỉ khi a
1
= a
2
; b
1
b
2
+ ( d
1
) trùng ( d
2
) khi và chỉ khi a
1
= a
2
; b
1

= b
2
c) Tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng
AB trong đó điểm A ( x
A
; y
A
) và điểm B ( x
B
; y
B
). Ta có : I ( x
I
; y
I
).





+
=
+
=
2
2
BA
I
bA

I
yy
y
xx
x
d) Công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Xét điểm A( x
A
; y
A
) và điểm B( x
B
; y
B
) ta có
AB =
22
)()(
BABA
yyxx
++
III. Hàm sổ : y = ax
2
(a 0)
1. TXĐ : mọi x thuộc R
2. Chiều biến thiên:
+ a, x cùng dấu : Hàm số đồng biến.
+ a, x trái dấu : Hàm số nghịch biến.
+ Hàm số bằng O khi x= o .
3. Đồ thị

Hàm số y = ax
2
có đồ thị :
+Là một đờng cong Parabol luôn đi qua gốc toạ độ.
+ Nếu * a>0 : Bề lõm quay lên trên
* a<0 : Bề lõm quay xuống dới
+ Nhận trục tung làm trục đối xứng.
4. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng cong:
Xét đờng thẳng y = mx + n (d) và đờng cong y = ax
2
(P) .
Phơng trình hoành độ giao điểm ( nếu có) là: ax
2
= mx + n (*)
Phơng trình (*) có biệt số

+ Nếu

< 0 => (d) không cắt (P)
+ Nếu

= 0 => (d) tiếp xúc với (P)
+ Nếu

>0 => (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
5. Hàm số y = ax
2
+ bx + c (a 0) (Mở rộng cho học sinh giỏi )
Hàm số y = ax
2

+ bx + c có các tính chất tơng tự nh hàm số y = ax
2
. Ngoài ra nó
còn có các tính chất khác nh sau:
+ Toạ độ đỉnh : A








aa
b
4
;
2
;
+ Giao với Oy tại B (0;c);
+ Giao với Ox tại điểm có hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình :
ax
2
+ bx + c = 0.
+ Nhận đờng thẳng x =
a
b
2

làm trục đối xứng

Trang
3
Kinh nghiệm - Hớng dẫn HS giải một số dạng Toán hàm số -Đại số 9
Cách vẽ đồ thị hàm số:
Xác định các điểm đặc biệt đã nêu ở trên và xác định điểm B' đối xứng với B qua
đờng thẳng x =
a
b
2

. Rồi vẽ
C. Các dạng bài thờng gặp
I. Dạng 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A( x
o
;y
o
) và điểm
B( x
1
;y
1
).
Phơng pháp giải
Gọi phơng trình đờng thẳng cần tìm là : y = ax + b (d) .
- Vì (d) đi qua điểm A( x
o
;y
o
). Ta có : y
0

= ax
o
+ b (1) .
- Vì (d) đi qua điểm B( x
1
;y
1
). Ta có : y
1
= ax
1
+ b (2) .
Từ (1) và (2) ta có hệ:



+=
+=
)2(
)1(
11
baxy
baxy
oo
Giải hệ phơng trình tìm đợc a và b.
Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = .......
* Ví dụ 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(1;2) và B(-3;-2).
2) Cho đờng thẳng y=(m-2)x+n (m

2) (d). Biết (d) đi qua hai

điểm A(-1;2) và B(3;-4).
Giải
1. Gọi phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = ax + b (d);
- Vì ( d) đi qua A(1;2). Ta có : a + b = 2 (1)
- Vì ( d) đi qua B(-3;-2). Ta có : -3a + b =- 2 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ :



=+
=+
23
2
ba
ba
Giải hệ phơng trình ta đợc a = 1 và b = 1;
Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = x + 1.
2. Gọi phơng trình đờng thẳng cần tìm là y=(m-2)x+n (m

2) (d)
Vì (d) đi qua điểm A(-1;2) nên : 2=(m-2)(-1)+n
Vì (d) đi qua điểm B(3;-4) nên :-4=(m-2)3+n
Ta có hệ phơng trình:






=+

=+
<=>
+=
+=
23
0
3)2(4
)1)(2(2
nm
nm
nm
nm
Giải hệ phơng trình tìm đợc: m=n=1/2
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) là: y=-
2
1
2
3
+
x
* Nhận xét :
Dạng toán này nhằm củng cố cho học sinh định lý : " Nếu điểm A (x
o
;y
o
) nằm
trên đờng thẳng y = ax + b (a 0) thì toạ độ (x
o
;y
o

) sẽ thoả mãn phơng trình của
đờng thẳng và ngợc lại"
Đối với học sinh giỏi thì có thể phát triển dạng toán này thành bài toán tổng quát
hơn là : " Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng"
Phơng pháp giải:
+ Viết phơng trình đờng thẳng AB.
Trang
4
Kinh nghiệm - Hớng dẫn HS giải một số dạng Toán hàm số -Đại số 9
+ Xét xem điểm C có thuộc đờng thẳng AB không.
+ Kết luận.
Ví dụ: Chứng minh rằng ba điểm A(2;3), B(1;-1); C(-1;9) thẳng hàng.
Giải
Gọi phơng trình đờng thẳng AB là : y = ax + b ( d)
- Vì (d) đi qua A(2;3). Ta có : 2a + b=3 (1)
- Vì (d) đi qua B(1;-1). Ta có : a + b=-1 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :






=
=

=+
=+
5
4

1
32
b
a
ba
ba
=> Phơng trình đờng thẳng AB có dạng là y = f(x) = 4x - 5.
Xét khi x = -1 . Ta có f(-1) = 4.(-1) -5= -9 = y
C
.
Vậy toạ độ của C thoả mãn phơng trình đờng thẳng AB. Vậy 3 điểm A,B,C thẳng
hàng.
* Bài tập áp dụng
Bài 1 : Tìm a và b để đồ thị hàm số y = ax + b ( d) đi qua A ( -1;-3) và
B(2;5).
Bài 2 : Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M (1;3
2
) và N (2;4
2
)
Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số y = mx + m
2
- 2m đi qua điểm E(1;2).
II.Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(x
A
;y
A
) và song song với
đờng thẳng y = mx + n (d) (m

0)
Phơng pháp giải:
Gọi phơng trình đờng thẳng cần tìm là : y = ax + b (d').
- Vì (d') // (d) => a = m
do đó phơng trình đờng thẳng cần tìm là : y = mx + b
=> b = y
A
- mx
A.
Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là : y= mx+(y
A
-mx
A
)
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A (1;7) và song song với đờng
thẳng y = 3x - 2 (d)
Giải
Gọi phơng trình đờng thẳng cần tìm là : y = ax + b ( d')
- vì (d') // (d) => a=3;
Do đó phơng trình đờng thẳng (d') có dạng y = 3x + b .
Vì (d') đi qua điểm A ( 1;7) nên ta có: 7

= 3.1 + b
=> b = 7 - 3 . => b=4 .Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = 3x+ 4
* Bài tập áp dụng
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;3) và song song với đờng thẳng
a) y=-2x+3
b) y=3x-4
c) y = mx+ 3m + 1 ( m là hằng số)
d) x-2y=3.

III Dạng 3 :Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A (x
A
;y
A
), và vuông
góc với đờng thẳng y= mx + n ( d).
Trang
5