hàm số và đồ thị (SKKN)

Đề tài nghiệp vụ s phạm Hàm số & đồ thị

Mục Lục
I. Mục Đích Và Yêu Cầu
I.1. Đối với giáo viên
I.2. Đối với học sinh
II. Nội Dung
II.1. Đặt vấn đề
II.2. Bài toán xuất xứ
II.3. Các khái niệm và tính chất cơ bản
II.3.1. Định nghĩa ánh xạ
II.3.2. Định nghĩa hàm số
II.3.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, giá trị tuyệt đối
II.3.4.Sự biến thiên của hàm số
II.3.5. Đồ thị của hàm số
II.3.5.1. Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ
II.3.5.2. Các phép biến đổi đồ thị
II.3.6. Chơng trình đại số bậc THCS cần quan tâm
II.3.6.1. Hàm số bậc nhất y=ax+b
II.3.6.2. Hàm số bậc hai y=ax
2
II.3.6.3. Vị trí tơng đối giữa y=ax và y=mx +n
II.4. Những sai lầm học sinh hay mắc phải và cách khắc phục
II.4.1. Những sai lầm
II.4.2. Cách khắc phục
II.5. ứng dụng của hàm số và đồ thị
II.6. Các dang bài tập
II.7. Một số ví dụ
II.8. Bài dạy minh họa
II.8.1. Mục tiêu bài dạy
II.8.2. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

II.8.3. Tổ chức day học
III. Kết luận
1
Đề tài nghiệp vụ s phạm Hàm số & đồ thị
I. Mục đích và yêu cầu
I.1. Đối với giáo viên
Ngời giáo viên có kiến thức sâu rộng về hàm số, đồ thị hàm số và các kiến thức có
liên quan. Nắm đợc bản chất của từng khái niệm, các tính chất của hàm số, đồ thị. Biết
phân loại các dạng

bài tập đối với từng kiến thức, ứng dụng của các đơn vị kiến thức
đó.
Trớc khi dạy ngời giáo viên phải lờng đợc những sai lầm mà học sinh có thể mắc
phải, từ đó điều chỉnh kịp thời bằng cách đó thông tin đến cho học sinh hoặc đa bài tập
tình huống cho học sinh trao đổi nhóm rút ra kết luận tránh sai lầm, hoặc có thể bổ
xung vào những ví dụ, những bài tập nêu bật bản chất của những đơn vị kiến thức đó.
Tùy từng đối tợng học sinh giáo viên lựa chọn bài tập tình huống, câu hỏi, ví dụ
cho phù hợp.
I.2. Đối với học sinh.
+ Cần nắm vững khái niệm hàm số, cách cho một hàm số, biết xác định một ánh
xạ nào đó có phải là hàm số hay không?
Nắm đợc: tìm đợc chỉ ra đợc đâu là tập xác định của hàm số. Các tính chất cơ bản
của các hàm số đợc học trong trờng THCS . Cách cho một hàm số: lấy ví dụ về một
hàm số. Xác định đợc một hàm số.
Hiểu đợc khái niệm đồ thị hàm số y =f(x) là gì ? Khái niệm hàm số về hàm sốvề
hệ tọa độ, vẽ hệ tọa độ chính xác, đẹp. Biết cách biểu diễn một cặp số hữu tỉ trên hệ
tọa độ, biết xác định tọa độ của điểm trong mặt phẳng tọa độ và biết vẽ đồ thị hàm số
đặc biệt là các hàm số y=ax+b ( a

0) và y=ax

2
( a

0) một cách chính xác,
đẹp.
+ Biết vận dụng linh hoạt các đơn vị kiến thức trên trong từng dạng bài tập có liên
quan.
2
Đề tài nghiệp vụ s phạm Hàm số & đồ thị
II. Nội dung.
II.1. Đặt vấn đề.
Khái niệm hàm số là một trong những khái niệm khó đối với học sinh trong trơng
trình đại số của bậc THCS. Các khái niệm hàm số, đồ thị hàm số mới đợc bắt đầu hình
thành ở lớp 7, từ đó phát triển đến các lớp tiếp theo.
Các bài toán về hàm số, đồ thị hàm số học sinh thờng gặp nhiều khó khăn đặc
biệt là cách nhận ra một quy tắc cho tơng ứng có phải là hàm số hay không? Cách xác
định hàm số khi biết một số điều kiện, học sinh vẫn còn lúng túngvề dạng của hàm số.
Vì vậy phải đòi hỏi ngời giáo viên phải có một kiến thức vững vàng cùng với phơng
pháp truyền thụ, cách dẫn dắt các em tiếp xúc, làm quen và t duy tốt tiếp nhận kiến
thức này một cách chủ động, tích cực.
II.2. Bài toán xuất xứ.
Xuất phát từ những bài toán thực tế, bài toán chuyển động, sự mua bán, , mối
liên hệ giữa hai đại lợng, nhiều đại lợng. Đại lợng là một khái niệm tổng quát hóa một
số khái niệm cụ thể: độ dài, diện tích, thể tích, trọng lơng, , thời gian, Mỗi khái
niệm độ dài, diện tích, thể tích, trọng lợng đợc biểu hiện bằng giá trị số. Độ dài có thể
lấy những giá trị khác nhau, cũng vậy diện tích sẽ khác nhau. Từ đó toán học đã đa
đến khái niệm Đại lợng biến thiên. Chẳng hạn quan niệm độ dài là một đại lợng
biến thiên theo dơn vị độ dài của cạnh và công thức tính diện tích S = a
2
của hình

vuông cạnh a nêu lên mối quan hệ (mối tơng quan )giữa hai đại lợng biến thiên ấy.
Theo quan niệm toán học cổ điển: Một hàm số biểu thị mối tơng quan giữa hai
đại lợng biến thiên x; y đợc viết dới dạng y=f(x) trong đó f là một công thức cho phép
chính xác với mỗi giá trị của x ta xác định đợc một giá trị tơng ứng của y. Toán học
ngày càng phát triển, các ứng dụng ngày càng nhiều hơn và đa dạng hơn, lý luận toán
học càng sâu sắc hơn, thì ngời ta thấy cần phải định nghĩa khái niệm hàm số một cách
chuẩn xác hơn, phản ánh đúng bản chất vấn đề.
II.3. Các khái niệm và tính chất cơ bản.
3
Đề tài nghiệp vụ s phạm Hàm số & đồ thị
* Hàm số: Để hiểu thêm về hàm số, trớc hết ta hãy cho học sinh làm quen với
khái niệm ánh xạ.
II.3.1. Định nghĩa ánh xạ.
a) Cho hai tập X, Y. Ta gọi ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y là một quy tắc cho
tơng ứng cứ mỗi phần tử x X với một và chỉ một phần tử y Y. Ký hiệu quy tắc đó
f. Ta có kí hiệu ánh xạ đó nh sau:
f:XY hay X

fY
x y=f(x) ; x y=f(x)
X: tập nguồn. Y tập đích.
X là tạo ảnh; y là ảnh của x qua ánh xạ f.
b) Ví dụ:
1. Các cầu thủ An, Bách, Hà, Dũng theo thứ tự mang áo số 1; 2; 3; 4. Sự tơng ứng
giữa tên cầu thủ và số áo là một ánh xạ từ tập hợp tên các cầu thủ đến tập hợp số áo 1;
2; 3; 4.
2. Các phép toán cộng trừ nhân chia trong Q cũng là các ánh xạ Chẳng hạn 3, 1
và -5 thuộc Q cho ta tơng ứng với số -1, 9 thuộc Q; ánh xạ này là quy tắc cộng hai số
trong Q
3. Các phép đối xứng qua trục, qua tâm, cũng là những ánh xạ.

4. Các phép chiếu vuông góc các điểm của đờng thẳng (d) xuống đờng thẳng (a)
là ánh xạ từ tập hợp các điểm của đờng thẳng (d) đến các điểm thuộc (a).
5. Nếu ta biểu thị các phần tử của mỗi tập X và Y bởi các điểm, biểu thị các tập
hợp ấy bởi các vòng tròn, sự tơng ứng biểu thị bởi các mũi tên.
Xét các quy tắc cho tơng ứng thể hiện ở hình sau: Quy tắc nào cho một ánh xạ? Tại
sao?
Các quy tắc ở hình (e); (d); (g) là các ánh xạ.
Chú ý: với mỗi phần tử thuộc X tơng ứng với một và chỉ một phần tử y Y.
Quy tắc ở hình (a), (b) không phải là ánh xạ.
4
Đề tài nghiệp vụ s phạm Hàm số & đồ thị
Chú ý:
+ Một ánh xạ f: XY sao cho x
1
, x
2
X mà f(x
1
) +f(x
2
) thì f đợc gọi là đơn ánh
hoặc ánh xạ ax 1.(ví dụ (c); (e); (f)).
+ Một ánh xạ f: XY sao cho mọi y

Yđều có tạo ảnh gọi là toàn ánh hoặc ánh
xạ lên (d, e, f).
+ Một ánh xạ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh gọi là song ánh (e, f) hoặc ánh xạ 1-1
lên.
II.3.2. Định nghĩa hàm số.
A) Nếu các tập hợp X và Y trong định nghĩa ánh xạ nói trên là các tập hợp số thì

ánh xạ đợc gọi là hàm số. Nh vậy một hàm số từ tập số X đến tập số Y là một quy tắc
cho mỗi giá trị x

X tơng ứng với một và chỉ một giá trị y

Y.
Gọi hàm số này là f, ta viết:
F: XY
x

y =f(x)
x: biến số; y=f(x) là giá trị của hàm số f tại x.
X: tập nguồn hay còn gọi là tập xác định của hàm số
Y: là tập đích hay còn gọi là tập giá trị.
Chú ý:
a) X; Y đều là tập số (ánh xạ (f) là một hàm số).
b) Có thể tồn tại những giá trị của Y mà không có giá trị x tơng ứng thuộc X,
nhng không thể có một giá trị của X mà có giá trị nào tơng ứng thuộc Y.
c) Quy tắc cho tơng ứng trong định nghĩa hàm số có thể đợc thể hiện bằng ba
cách:
* Dùng bảng:
Ví dụ:
x 1 2 3 4
5
Đề tài nghiệp vụ s phạm Hàm số & đồ thị
y -2 -4 -6 -8
* Dùng đồ thị:
d) Các ví dụ về hàm số:
* Các quy tắc sau đây cho ta một hàm số.
1) f: R R {0}.

x y = 4/x
2) f: N R

4)
* Các quy tắc khôg phải là hàm số
1) f : R R
2) f : R R
3)
4)
Xét hàm số f: X Y (X, Y R)
* X đợc gọi là tập xác định của hàm số.
6
xyx) 23
=
y
-
3
3
1
2
1
2
-
1
-
2
-
2
-
1

2
-2
-1
1
2
0
1
xyx
=
x
yx
2
=
An
N
Bảo
Cường
B
10
9
1
4
1
4
2
3
Đề tài nghiệp vụ s phạm Hàm số & đồ thị
Tập X có vai trò quan trọng, nó quy định biến số x đợc lấy những giá trị nào: do
đó tập xác định là tập tất cả các giá trị của x sao cho có thể xác định đợc giá trị tơng
ứng của y.

Chúng ta cần chú ý tập xác định của các hàm số có dạng sau đây:
tập xác định là tập các giá trị x làm cho f(x) 0.
. tập xác định là tập các giá trị của x làm cho f(x) 0.
Ví dụ:
1) Với hàm số
Tập xác định (TXĐ): tập tất cả các số x 2.
Hoặc tập xác định: x 2.
2) Với hàm số
TXĐ: Tập tất cả các số x 0.
Hay TXĐ: x 0.
3) Với hàm số y = x - 3
TXĐ: x 3.
* Theo định nghĩa của hàm số thì với mỗi x X; giá trị y=f(x) tơng ứng của hàm số
phải là một phần tử của Y. Tập Y có thể thay bởi một tập số rộng lớn.
Tập số rộng nhất ở cấp THCS là tập R. Vì thế ngời ta nói hàm số
f: X R
x y=f(x) tức là nhấn mạnh hai yếu tố:
- TXĐ của hàm số
- Quy tắc xác định hàm số.
Còn tập rất quan trọng ít đợc sử dụng trong chơng trình tính toán THCS đó là tập
giá trị của hàm số.
Tập giá trị của hàm số f(x) là tập hợp gồm tất cả các phần tử f(x) khi x chạy khắp X.
Đó là tập con của Y và đợc ký hiệu là f(x).
7
( )
xf
a
y
=
( )

xfy
=
2
4

=
x
y
xy 2
=
Đề tài nghiệp vụ s phạm Hàm số & đồ thị
f(x)= {yY/y=f(x), xX}
Ví dụ: 1) Tìm tập giá trị của hàm số
* TXĐ: x 3, hay là X=(-; 3].
Tập giá trị f(x)=R
+

={yR/ y 0}.
II.3.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm giá trị tuyệt đối.
* Giả sử y=f(x) là một hàm số xác định trên tập số D.
* Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm chẵn nếu:
f(x) = f(-x) x D và D = [-a; a].
VD: y = x là hàm số lẻ.
Nhận xét:
* Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm lẻ đối xứng
qua gốc tọa độ.
* Tổng đại số của hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm chẵn
(hay lẻ).
* Tích của hai hàm chẵn, hay hàm lẻ là một hàm chẵn. Còn tích của một hàm
chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ.

II.3.4. Sự biến thiên của hàm số
Giả sử y = f(x) là một hàm số xác định trên D.
a) Hàm số y = f(x) đợc gọi là đồng biến trên D, nếu với mọi x
1
, x
2
D ;
x
1
< x
2
y
1
= f(x
1
) < y
2
= f(x
2
)
b) Hàm số y = f(x) đợc gọi là nghịch biến trên D nếu với mọi x
1
,
x
2
D ; x
1
< x
2
y

1
= f(x
1
) > y
2
= f(x
2
)
Từ định nghĩa của hàm số đồng biến trên D, điều kiện tơng đơng sau :
Y= f(x) đồng biến trên D
8
xy
=
3
2121
12
12
0 xx;Dx,x
xx
yy
>


2121
12
12
0 xx;Dx,x
xx
yy
<

Đề tài nghiệp vụ s phạm Hàm số & đồ thị
Y= f(x) nghịch biến trên D
Ví dụ : Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau :
1/ Hàm số y = ax + b với x
1
, x
2
TXĐ ; a 0
Với a > 0 hàm số đồng biến VD : y = 2x + 3
Với a < 0 hàm số nghịch biến VD : y = - 2x + 3
2/ Hàm số y = ax
2
; a 0 với x
1
, x
2
TXĐ
Xét tỉ số
+ a > 0 ; x
1
, x
2
(0 ; +) Hàm đồng biến.
x
1
, x
2
(- ; 0) Hàm nghịch biến.

II.3.5. Đồ thị của hàm số
Khi xét hàm số y f
(x)
, điều ta quan tâm là hàm số sẽ nhận giá trị nh thế nào
tơng ứng với mỗi giá trị của biến số x. Điều đó sẽ đợc phản ánh trên tập hợp tất cả
các cặp số (x; f
(x)
.
Đồ thị của hàm số f: X Y là tập con G = {(x; f
(x)
); xXƯ của tập tích đề
các X.Y trong đó: xX; f
(x)z
Y.
Để phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS, thay cho việc xét khái
niệm tích đề các tổng quát ta chỉ xét các cặp số (x, y).
x, y R; xX; yY.
Đồ thị của hàm số f đợc định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ
(x; y=f
(x)
) trong mặt phẳng tọa độ.
9
( ) ( )
( )
a
xx
xxa
xx
axax
xx

yy
xx
baxbax
xx
yy
=


=


=



++
=


12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
( )( )

( )
12
12
1212
12
2
1
2
2
12
12
xxa
xx
xxxxa
xx
axax
xx
yy
+=

+
=


=


-1
-1
1

1
-2
2
2
3
3
0
x
y
y = x
2
Đề tài nghiệp vụ s phạm Hàm số & đồ thị
Để vẽ đồ thị của hàm số y = f
(x)
trớc hết ta vẽ hệ trục tọa độ vuông góc Oxy,
Ox là trục hoanh, Oy là trục tung. Khi đó mỗi điểm M của mặt phẳng đợc xác định
bằng hai tọa độ: hoành độ (x), tung độ (y) và ngợc lại mỗi cặp tọa độ (x, y) xác
định một điểm của mặt phẳng.
Nói cách khác hệ trục tọa độ Oxy xác định một song ánh giữa cặp số đợc sắp
(x, y) (xR), (yR) với một điểm của mặt phẳng tọa độ.
Đồ thị của hàm số có thể là một tập điểm rời rạc hay một tập đoạn đờng
cong Tuy nhiên đa số đồ thị th ờng gặp trong trờng THCS là một tập hợp điểm;
một đoạn thẳng hay một đờng cong liền nét. Để xác định đúng dạng đồ thị của
hàm số, thông thờng ta phải nghiên cứu trớc các tính chất của nó và dựa vào tính
chất ấy mà phác họa. Sau đó mới chính xác hóa đồ thị bằng một số điểm của nó.
II.3.5.1. Đồ thị của hàm số chẵn, lẽ.
* Đồ thị của hàm số chẵn:
* Ta đã biết độ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung vì vậy ta chỉ vẽ với
x 0 sau đó lấy đối xứng qua trục tung.
* Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x

2
.
TXĐ: (-;+)
* Đồ thị hàm số lẻ.
Ta có thể biết đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc
tọa độ vì vậy khi vẽ đồ thị ta chỉ cần vẽ với x 0,
sau đó lấy đối xứng qua O.
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x.
10
-1
1
1
-1-2
-2
2
3
2
3
4
x
y
0
y = x
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m Hµm sè & ®å thÞ
II.3.5.2. C¸c phÐp biÕn ®æi ®å thÞ
a. phÐp tÞnh tiÕn.
+ TÞnh tiÕn thep trôc hoµnh.
VÝ dô: ®å thÞ hµm sè y = f
(x-a)
suy ra tõ ®å thÞ hµm sè y = f

(x)
b»ng ph¬ng ph¸p
tÞnh tiÕn theo trôc hoµnh
Víi a > 0 tÞnh tiÕn theo chiÒu d¬ng cña Ox
Víi a < 0 tÞnh tiÕn theo chiÒu ©m cña Ox
VÝ dô: Tõ ®å thÞ hµm sè y = x ta suy ra ®å
thÞ hµm sè y = x + 1 b»ng c¸ch tÞnh tiÕn theo
chiÒu ©m cña Ox ®i 1 ®¬n vÞ.
+ §å thÞ hµm sè y = x – 2 b»ng
c¸ch tÞnh tiÕn theo chiÒu d¬ng
cña trôc hoµnh ®i 2 ®¬n vÞ.
+ TÞnh tiÕn theo trôc tung.
§å thÞ hµm sè y = f
(x)
+ b ®îc suy ra tõ ®å thÞ hµm sè y = f
(x)
b»ng c¸ch:
NÕu b > 0 tÞnh tiÕn theo chiÒu d¬ng cña Oy
11
-2
-1
-2
-1
2
1
2
1
0
3
y

x
y = x
y = x + 1
y = x - 2