De thi HSG huyen tien hai 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI

m¤N: TOÁN 8

(Thời gian làm bài 120 phút)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: 1) Cho biểu thức A =

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

4xy
y − x2
2

 1

1
: 2
+ 2
x ≠ ± y, y ≠ 0
2
2 ÷ với
y + 2xy + x 
 y −x

a) Rút gọn A.
b) Tìm x, y thỏa mãn 3x 2 + y 2 + 2x − 2y − 1 = 0 và A = 2.
2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 4 + 2016x 2 + 2015x + 2016 .

14 2 43 14 2 43 với n ∈ N*. Chứng minh A là số chính phương.
Bài 2: a) Cho A = 111...11555...556
6n ch÷ sè 1 6n-1 ch÷ sè 1

b) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho (x + 1) dư 4, chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x + 1)(x +
2) thì thương là 5x 2 và còn dư.
Bài 3: a) Tìm x, y, z biết x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx và x 2015 + y 2015 + z 2015 = 32016
1− x
x − 2 2(x − m) − 2
+
=
b) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm
x−m x+m
m2 − x 2
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc
·
cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho IOM
= 900 (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông).
a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.
b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ
·
·
giác IMNB là hình thang và BKM
= BCO
1
1
1
=
+

c) Chứng minh
2
2
CD
AM
AN 2
Bài 5: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Các đường cao tương ứng
(a + b + c) 2
là ha, hb, hc. Tam giác đó là tam giác gì khi biểu thức 2
đạt giá trị nhỏ nhất ?
h a + h b2 + h c2

Họ và tên thí sinh: .......................................................................................................
Số báo danh: .................................................Phòng.....................................................

1


PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI

KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
m¤N: TOÁN 8

(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 05 trang)

Bài
Bài 1
(4,5đ)

a/
2,0
điểm

Nội dung
1. Cho biểu thức A =

4 xy
y − x2
2

 1

1
: 2
+ 2
x ≠ ± y, y ≠ 0
2
2 ÷ với
y + 2 xy + x 
 y −x

a) Rút gọn A.
b) Tìm x, y thỏa mãn 3x 2 + y 2 + 2x − 2y − 1 = 0 và A = 2.
Với x ≠ ± y; y ≠ 0 ta có:
 1

1
: 2

+ 2
2
2 ÷
y + 2 xy + x 
y −x


4 xy
1
1
A=
:
+
2 ÷
( y − x )( y + x )  ( y − x )( y + x) ( y + x) 
A=

4 xy
y − x2
2

 y+x+ y−x 
4 xy
:
÷
( y − x )( y + x)  ( y − x)( y + x ) 2 
4 xy
2y
A=
:

( y − x )( y + x) ( y − x )( y + x) 2

Điểm
3đ

0,75đ

A=

A=

4 xy
( y − x )( y + x) 2
.
( y − x )( y + x)
2y

A = 2 x( x + y )
Vậy x ≠ ± y; y ≠ 0 thì A = 2x(x + y)

b/
1,0
điểm

0,75đ

0,25đ
0,25đ

Ta có

3x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 1 = 0
⇔ 2 x 2 + 2 xy + x 2 − 2 xy + y 2 + 2 x − 2 y − 1 = 0

0,5đ

⇔ (2 x + 2 xy ) + ( x − 2 xy + y ) + (2 x − 2 y ) − 1 = 0
2

2

2

⇔ 2 x( x + y ) + ( x − y ) 2 + 2( x − y ) − 1 = 0
⇔ A + ( x − y ) 2 + 2( x − y ) + 1 = 2
⇔ A + ( x − y + 1) 2 = 2
⇔ 2 + ( x − y + 1) 2 = 2
⇔ x − y +1 = 0

( x ≠ ± y; y ≠ 0 )
Thay y = x + 1 vào A = 2x(x + y) ta được :
2x( x + x + 1) = 2 ⇔ 2x2 + x = 1
⇔ 2x2 + x - 1 = 0 ⇔ (x + 1)(2x - 1) = 0
+ Với x = - 1, ta có y = 0 (loại)
1
3
+ Với x = , ta có y = (thoả mãn)
2
2
1
3

Vậy x, y cần tìm là x = và y =
2
2

0,5

0,5

2


2. Phân tích đa thức thành nhân tử

1,5đ

x + 2016 x + 2015 x + 2016
x + 2016 x 2 + 2015 x + 2016
= x 4 + 2015 x 2 + x 2 + 2015 x + 2015 + 1

0,5đ

4

2

4

= ( x 4 + 2 x 2 + 1 − x 2 ) + 2015 x 2 + 2015 x + 2015)

0,5đ

= ( x 4 + 2 x 2 + 1) − x 2 + 2015( x 2 + x + 1)
= ( x 2 + 1) 2 − x 2 + 2015( x 2 + x + 1)

0,5đ

= ( x 2 + 1 + x)( x 2 + 1 − x ) + 2015( x 2 + x + 1)
= ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 2016)

Bài 2
(4 đ)

a)Tìm đa thức f(x) thỏa mãn chia cho (x+1) dư 4, chia cho (x+2) dư 1,
chia cho (x+1)(x+2) thì thương là 5x 2 và còn dư.

2đ

Vì f(x) : (x+1) dư 4 ⇒ f(x)= (x+1).Q(x)+4
Vì f(x) : (x+2) dư 1 ⇒ f(x)= (x+2).P(x)+1
Vì f(x) : (x+1)(x+2) thương 5x2 và còn dư nên đa thức dư có bậc nhỏ
hơn hoặc bằng 1
Do đó f(x) = (x+1)(x+2).5x2+ax+b
f(x) = 5x4 +15x3 + 10x2 + ax + b
Ta có f(-1) = - a+b = 4 ⇒ b = 4+a
(1)
f(-2) = -2a+b = 1 ⇒ b = 1+2a
(2)

1đ

1đ

a = 3
b = 7

Từ (1) và (2) ⇒ 

Vậy f(x) = 5x4+15x3+10x2+3x+7
{ 55...5
{ 6
b) Cho A = 11...1

2đ

n ( c / s1) ( n −1) c / s 5

Chứng minh A là số chính phương.
Ta có

1.75đ

A = 11...1
{ + 4.11...1
{ +1
2 n ( c / s1)

n ( c / s1)

2



10...02

÷
1
2
3
102 n − 1
10n − 1
102 n + 4.10n + 4 (10 n + 2) 2  ( n −1) cs 0 ÷
 = (33...34) 2
=
+ 4.
+1 =
=
=
14 2 43
9
9
9
9
9
( n −1) c / s 3

là số chính phương.
{ 55...5
{ 6 là số chính phương.
Vậy A = 11...1
n ( c / s1) ( n −1) c / s 5

Bài
3(4đ)

0.25đ

a) Tìm x, y, z biết

x + y + z = xy + yz + zx và x
2

2

2

2đ
2015

+y

Ta có

2015

+z

2015

=3

2016

0,5đ

x + y + z = xy + yz + zx
2

2

2

⇔ 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 2 xy − 2 yz − 2 zx = 0
⇔ ( x − y) 2 + ( y − z )2 + ( z − x) 2 = 0
3


Chứng minh tìm ra

1đ

x − y = 0

y − z = 0 ⇔ x = y = z
z = x = 0

Thay vào x = y = z vào x 2015 + y 2015 + z 2015 = 32016 ta có
3 z 2015 = 32016 ⇔ z 2015 = 32015 ⇔ z = 3 Vậy x = y = z = 3
b) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.

0,5đ
2đ

1 − x x − 2 2( x − m) − 2
+
=
(1)
x−m x+m
m2 − x 2

ĐKXĐ: x+ m ≠ 0 và x- m ≠ 0 ⇔ x ≠ ± m

0,5

⇒ (1 − x)( x + m) + ( x − 2)( x − m) = 2 − 2( x − m)
⇔ (2m − 1) x = m − 2(*)

0,5đ

+ Nếu 2m -1= 0 ⇔ m =

1
−3
ta có (*) 0x =
(vô nghiệm)
2
2
1
m−2
+ Nếu m ≠ ta có (*) ⇔ x =
2
2m − 1

0,5đ

- Xét x = m

0,5đ

⇔

m−2
= m ⇔ m − 2 = 2m 2 − m
2m − 1
2

1 3

⇔ 2m 2 − 2m + 2 = 0 ⇔ m 2 − m + 1 = 0 ⇔  m − ÷ + = 0
2 4


(Không xảy ra vì vế trái luôn dương)
Xét x= - m

m−2
= −m ⇔ m − 2 = −2m 2 + m ⇔ m 2 = 1 ⇔ m = ±1
2m − 1
1
Vậy phương trình vô nghiệm khi m = hoặc m = ±1
2
⇔

Bài
4(6đ)

6đ
A

I

O

E

D

a) Xét ∆BIO và ∆CMO có:

B

M

C

K

N

1đ
4

·
·
IBO
= MCO
(= 450 )

BO = CO ( t/c đường chéo hình vuông)
·
·
·
( cùng phụ với BOM
)
BOI
= COM
⇒ ∆BIO = ∆CMO (g.c.g)
⇒ S BIO = SCMO mà S BMOI = S BOI + S BMO
1
1
4
4
∆
BIO
∆
CMO
b) Ta có CM = BI ( vì
=
)
⇒ BM = AI
BM AM

IA AM
=
⇒
=
Vì CN // AB nên
CM MN
IB MN
⇒ IM // BN ( Định lí Talet đảo)

1đ

Hay S BMOI = SCMO + S BMO = S BOC = S ABCD = a 2

Hay IMNB là hình thang
Vì OI = OM ( vì ∆BIO = ∆CMO )
·
·
⇒ ∆IOM cân tại O ⇒ IMO
= MIO
= 450
Vì IM // BN ⇒ IM // BK
·
·
·
·
⇒ BKM
= IMO
= 450 ( sole trong) ⇒ BKM
= BCO
c) Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E .Chứng minh

∆ADE = ∆ABM ( g .c.g ) ⇒ AE = AM
Ta có ∆ANE vuông tại A có AD ⊥ NE nên
AD.NE AN . AE
S AEN =
=
2
2
⇒ AD.NE = AN . AE ⇒ ( AD.NE ) 2 = ( AN . AE ) 2
áp dụng định lí pitagota vào ∆ANE ta có AN2 + AE2 = NE2
AD 2 .( AN 2 + AE 2 ) = AN 2 . AE 2
⇒

Bài5
(1,5đ)

AN 2 + AE 2
1
1
1
1
=
⇒
+
=
2
2
2
2
2

AN . AE
AD
AE
AN
AD 2
1
1
1
=
+
Mà AE = AM và CD = AD ⇒
2
2
CD
AM
AN 2

1,5đ

0,5đ

0,75đ

0,75đ

0,5đ

A
x

hc
B

C

D

Qua C vẽ Cx song song AB gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx ⇒
·
BAD
= 900 ; CD = AC = b; AD = 2hc
Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD
·
Tam BDA có BAD
= 900 theo định lý pitago

0,5đ

0,5đ
5


AB 2 + AD 2 = BD 2 ≤ ( BC +CD ) 2
⇒c 2 +4hc2 ≤ ( a +b) 2 ⇒4hc2 ≤ ( a +b) 2 −c 2
(Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra a = b)
Chứng minh tương tự:
4ha2 ≤ (b +c ) 2 −a 2 (Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra b = c)

0,5đ

4hb2 ≤ ( a +c) 2 −b 2 (Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra c = a)
⇒4( ha2 +hb2 +hc2 ) ≤ ( a +b +c ) 2
( a +b +c ) 2
⇒ 2
≥4
ha +hb2 +hc2
Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra a = b = c
*) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm.
*) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất.
*) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.

6