Kì thi chọn đội tuyển Toán lớp 10 PTNK ĐHQGtpHCM

Kì thi chọn đội tuyển Toán lớp 10 PTNK ĐHQGtpHCM.
Bài 1: Tìm a,b để các đa thức sau là bình phương của một đa thức khác:
a. x^4 +x^3 +2x^2 +ax +b
b. x^4 +ax^3 +6x^2 +ax +b
Bài 2: Cho a,b,c>1. Chứng minh rằng:
\large \frac{a^2}{b-1} + \frac{b^2}{c-1} + \frac{c^2}{a-1} \geq 12
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho:
\large 1^n +2^n +...+(n-1)^n \vdots n
Bài 4: Trên cạnh huyền AB của tam giác vuông ABC, lấy các điểm M,N sao cho AN=AC
và BM=BC. Chứng minh rằng: MN^2 = 2AM.BN
Bài 5: Chứng minh rằng nếu một tam giác có một góc bằng 120^o thì chân các đường phân
giác trong của tam giác đó lập thành một tam giác vuông.
Bài 6: Cho tập hợp A={1,2,...,20}
a. Có bao nhiêu tập con khác rỗng của A mà tổng các phần tử của chúng là một số chẵn?
b. Có bao nhiêu tập con của A gồm đúng 3 phần tử mà tổng các phần tử của mỗi tập này
đều chia hết cho 3?
Bài 7: Trên một bàn cờ quốc tế 8x8, ta đặt 8 quân đôminô, mỗi quân phủ 2 ô kề nhau của
bàn cờ. Chứng minh rằng trên bàn cờ ấy, luôn tìm dược một hình vuông 2x2 sao cho các ô
của nó không bị phủ bởi một quân đôminô nào.