De thi chon doi tuyen toan thi tinh nam hoc 2010-2011

Phòng GD& ĐT Thuận Thành
Đề kiểm tra chọn đội tuyển HSG lớp 9
Môn: Toán
Năm học: 2009-2010
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1(6đ)
Cho biểu thức A= (
32
2
2
2
2
3
:)
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x


+

+
a) Rút gọn A
b) Tìm x để
AA
>
c) Tính giá trị của A biết
57
=
x
Bài 2(4đ)
a) Cho (a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
và a,b,c

0.
Chứng minh :
abc
3
c

1
b
1
a
1
333
=++

b) Giải phơng trình : 2x(8x-1)
2
(4x-1)=9
Bài 3(4đ)
a) Chứng minh : a
5
-a chia hết cho 30 với a

Z
b) Chứng minh rằng : x
5
-x+2 không là số chính phơng với mọi x

Z
+
Bài4 (4đ)
Cho tam giác cân ABC đỉnh A, đờng cao AH. Gọi D, F lần lợt lợt là
trung điểm của AB và AC, O là giao điểm các đờng trung trực của tam giác
ABC. G và E tơng ứng là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD. Từ G kẻ đ-
ờng thẳng song song với AC cắt BC tại I.
a) Chứng minh:
DO

HI
AD
GH
=
b) Chứng minh: OE vuông góc với CD
Bài 5:(2đ)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm thuộc miền trong
tam giác ABC. Gọi H;K;I lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên BC; AC;
AB. Xác định trí của M để AI
2
+ BH
2
+ CK
2
nhỏ nhất.
Hớng dẫn chấm toán 9
Bài 1:
a) (2đ) Rút gọn A
đkxđ: x
3;2;2;0

(0.25đ)
A=
)3(
)2(
.
)2)(2(
)2(4)2(
2222

+
++
xx
xx
xx
xxx
(0.5đ)
=
3
.
2
44444
222
+
++++
x
x
x
xxxxx
(0.5đ)
=
3
.
2
)2(4
+
+
x
x

x
xx
(0.5đ)
=
3
4
2

x
x
(0.25đ)
b)(2đ) Tìm x để
AA
>
để
AA
>
thì A<0 hay
3
4
2

x
x
<0 (0.5đ)
Vì 4x
2
>0 với mọi x

đkxđ nên x-3<0 (0.75đ)

Hay x<3 (0.25đ)
đối chiếu đkxđ ta thấy với x<0; x
2;2;0

thì
AA
>
(0.5đ)
c)(2đ)
- Từ
57
=
x
tính đợc x = 12 và 2 (mỗi giá trị cho 0.5đ)
- đối chiếu đkxđ loại x=2 (0.25đ)
- Thay x=12 vào A tính đúng giá trị (0.75đ)
Nếu HS nào thay cả x=2 vào thì trừ điểm
Bài 2 (4đ)
a)(2đ)
Vì: (a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
và a,b,c

0.

=++
0bcacab
0
abc
bcacab
=
++
(0.75đ)
0
c
1
b
1
a
1
=++
Đặt :
z
c
1
;y
b
1
;x
a
1
===
(0.5đ)
áp dụng bài toán cơ bản ta có
Nếu x+y+z=0 thì: x

3
+y
3
+z
3
=3xyz

đpcm (0.75đ)
b)(2đ)phơng trình :
2x(8x-1)
2
(4x-1)=9
9)x2x8)(1x16x64(
22
=+
`(0.5đ)

72)x16x64)(1x16x64(
22
=+
đặt :64x
2
-16x+0,5=k (0.5đ)
Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72
5,8k25,72k
2
=
(0.5đ)
Với k=8,5 Ta có x=
2

1
x;
4
1
=

Với k=-8,5 phơng trình vô nghiệm vậy
phơng trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2 (0.5đ)
Bài 3(4đ)
a) (2đ)
có: a
5
-a=a(a
4
-1)=a(a
2
-1)(a
2
+1)=a(a-1)(a+1)(a
2
-4+5)
=a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1) (0.75đ)
vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên
30
;
5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết cho 30

đpcm
( mỗi ý cho0.5đ)
(Kết luận cho 0.25đ)

b) (2đ)
Từ bài toán trên ta có: x
5
-x
5
(0.75 đ)

x
5
- x+2 chia 5 d 2 (0.5đ)

x
5
-x+2 có tận cùng là 2 hoặc 7 (không có số chính phơng nào có tận
cùng là 2hoặc 7) (0.5đ)
Vậy x
5
-x+2 không thế là số chính phơng với mọi x
+

Z
(0.25đ)
Bài 4
a) (2đ)
Chỉ ra tan giác GHI đồng dạng tam giác ADO (1.5đ)
Lập tỷ số
DO
HI
AD
GH

=
(0.5đ)
F
E
D
O
G
C
IH
B
A
b) (2®)
Tõ trªn ta cã
DO
AD
HI
HG
=
mµ DE = 2/3 DF = 2/3 HC = 2 HI (0.5®)
GH=1/2 AG
Suy ra
DO
AD
DE
AG
HI
GH
==
mµ
ODEDAG

∠=∠
suy ra
ADG
∆
®ång d¹ng
DOE
∆
(1®)
Suy ra
DEOAGD
∠=∠
suy ra EO vu«ng gãc víi CD (0.5®)
Bµi 5(2®)
I
K
H
M
C
B
A
Chøng minh ®îc AI
2
+ BH
2
+ CK
2
= BI
2
+ CH
2

+ AK
2
(0.5®)
Ta cã (AI – IB)
2

≥
0 suy ra 2 (AI
2
+ IB
2
)
≥
(AI + IB)
2

hay 2(AI
2
+ IB
2
)
≥
AB
2
Chøng minh t¬ng tù ta cã 2( BH
2
+ CH
2
)
≥

BC
2
2 ( CK
2
+ KA
2
)
≥
AC
2
(0.75®)
Tõ 3 ®iÒu trªn suy ra
2 (AL
2
+BH
2
+ CK
2
) + 2 (BI
2
+ CH
2
+ AK
2
)
≥
AB
2
+ BC
2

+ CA
2
Suy ra AI
2
+ BH
2
+ CK
2



4
1
( AB
2
+ BC
2
+ CA
2
) không đổi (0.5đ)
dấu bằng xảy ra khi I;K;H đều là trung điểm của các cạnh hay M là
giao điểm các đờng trung trực của tam giác ABC suy ra cực trị cần tìm (0.25đ)
Chú ý:
- Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
- Điểm của học sinh để nguyên đến 0.25 đ không làm tròn số.
- Học sinh không vẽ hình không chấm bài
- Bài đợc điểm 20 phải trình bày sạch đẹp đúng