Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cho học sinh trung học phổ thông qua các bài toán bất đẳng thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
========o0o========

PHẠM TRUNG HIẾU

RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC
SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

SƠN LA - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
========o0o========

PHẠM TRUNG HIẾU

RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC
SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN TRIỆU SƠN

SƠN LA - NĂM 2015


LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và
kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và chƣa từng đƣợc ai
công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác.

Tác giả luận văn

Phạm Trung Hiếu


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu đề tài “ Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ
cho học sinh trung học phổ thông qua các bài toán bất đẳng thức” tôi đã
nhận được sự hướng dẫn, ủng hộ và giúp đỡ rất nhiều của các thầy cô giáo
và các bạn đồng nghiệp.
Tôi chân thành cảm ơn thầy giáo TS. Nguyễn Triệu Sơn đã tận tình chỉ
dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện đề tài.
Tôi chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Tây Bắc, các
thầy cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin, phòng đào tạo sau đại học, thư viện
trường Đại học Tây Bắc đã tạo mọi điều kiện cho việc học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Tôi chân thành cảm ơn các trường: THPT Nguyễn Du; THPT Chiềng
Sinh; THPT Tô Hiệu và các đồng nghiệp, học sinhhọc sinh đã tận tình giúp
đỡ trong quá trình tìm hiểu thực tế và kiểm nghiệm đề tài.
Sơn la, tháng năm 2015
Tác giả

Phạm Trung Hiếu


CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
BĐT

Bất đẳng thức

CMR

Chứng minh rằng

CNH

Công nghiệp hoá

ĐC

Đối chứng

ĐHSP

Đại học sƣ phạm

ĐPCM

Điều phải chứng minh

HĐH

Hiện đại hoá

NXB

Nhà xuất bản

THPT

Trung học phổ thông

TN

Thực nghiệm

TNSP

Thực nghiệm sƣ phạm


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu. .............................................................................. 3
3. Đối tƣợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu .......................................... 3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................... 3
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................ 4
6. Giả thuyết khoa học ................................................................................. 4
7. Cấu trúc luận văn .................................................................................... 4

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN .................................................................... 5
1.1. Tổng quan về hoạt động trí tuệ. .......................................................... 5
1.1.1. Hoạt động trí tuệ là gì....................................................................... 5
1.1.2. Vài nét về sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT .......................... 6
1.1.3. Hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh trong học tập môn Toán ...... 9
1.1.4 Vị trí vai trò của bài toán bất đẳng thức .......................................... 19
1.2. Tổng quan về bất đẳng thức .............................................................. 20
1.2.1. Định nghĩa bất đẳng thức: .............................................................. 20
1.2.2. Tính chất của bất đẳng thức ........................................................... 21
1.2.3. Các bất đẳng thức cơ bản thƣờng dùng ở THPT ........................... 21
1.2.4. Một số quy tắc khi chứng minh bất đẳng thức. .............................. 24
1.3. Thực trạng dạy học bất đẳng thức ở THPT ..................................... 24
1.4. Kết luận chƣơng 1 ............................................................................... 25
CHƢƠNG 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO
HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC.............. 26
2.1. Tăng cƣờng hệ thống và chứng minh một số các bất đẳng thức
thƣờng dùng ............................................................................................... 26


2.2. Chú trọng việc phân tích tìm lời giải bài toán bất đẳng thức
thông qua việc phân tích tìm hiểu nội dung bài toán và vận dụng
các quy tắc thƣờng dùng trong chứng minh bất đẳng thức. ................. 35
2.3. Phát triển các hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, tƣơng tự
hóa thông qua việc khai thác lời giải và kết quả của bài toán bất
đẳng thức .................................................................................................... 49
2.4. Kết luận chƣơng 2 ............................................................................... 65
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................... 66
3.1. Mục đích của thực nghiệm sƣ phạm (TNSP). .................................. 66
3.2. Nhiệm vụ của TNSP............................................................................ 66
3.3. Đối tƣợng và cơ sở TNSP. .................................................................. 66

3.4. Phƣơng pháp TNSP. ........................................................................... 67
3.5. Phƣơng pháp đánh giá kết quả. ........................................................ 67
3.6. Tiến hành TNSP. ................................................................................. 69
3.7. Kết quả TNSP. .................................................................................... 69
KẾT LUẬN CHUNG .................................................................................... 79
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 80
PHỤ LỤC ....................................................................................................... 82


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nƣớc ta đang trong quá trình hội nhập quốc tế ngày càng sâu rộng, sự
phát triển nhanh và mạnh của khoa học công nghệ, khoa học giáo dục đi cùng
với nó chính là sự cạnh tranh quyết liệt giữa các quốc gia trên nhiều lĩnh vực
với bản chất chính là sự cạnh tranh về nguồn nhân lực. Hơn lúc nào hết, mỗi
cá nhân đều phải đổi mới cách nghĩ và cách làm để dạy và học đạt kết quả tốt
nhất. Nghị quyết hội nghi làm thứ tám Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng Cộng
sản Việt Nam khóa XI đã khẳng định vị trí quan trọng của ngành giáo dục
trong thời kỳ hiện nay với mục tiêu: “ Đối với giáo dục phổ thông, tập trung
phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện
và bồi dƣỡng năng khiếu, định hƣớng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao
chất lƣợng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tƣởng, truyền thống đạo
đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng
kiến thức vào thực tiễn...”. Đồng thời cũng xác định rõ nhiệm vụ, giải pháp
thực hiện mục tiêu đó là: ”... Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố
cơ bản của giáo dục, đào tạo theo hƣớng coi trọng phát triển phẩm chất năng
lực của ngƣời học... Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học,
tạo cơ sở để ngƣời học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển
năng lực...”.
Trong thực tế giáo dục hiện nay một bộ phận không nhỏ học sinh

thƣờng tiếp thu kiến thức một cách khá thụ động, vận dụng kiến thức một
cách máy móc, không linh hoạt, và do đó thƣờng lúng túng khi gặp vấn đề
tƣơng tự nhƣng đƣợc biến đổi dƣới dạng khác, hoặc đứng trƣớc vấn đề mới,
qua tìm hiểu thực tế dạy học toán ở một số trƣờng THPT thuộc thành phố Sơn
La chúng tôi nhận thấy chất lƣợng học tập của học sinh còn thấp, các thao tác

1


tƣ duy còn nhiều hạn chế, học sinh chƣa có hứng thú học tập và đặc biệt đa số
học sinh rất ngại làm bài tập.
Nguyên nhân của tình trạng này một phần do một số yếu tố khách quan
nhƣ nhiều học sinh có hoàn cảnh khó khăn nên học sinhcó ít thời gian dành
cho học tập, có ít tài liệu tham khảo, ít giao lƣu, rụt rè, nhút nhát nên trình độ
tƣ duy lí luận thấp, một phần là do cách học của học sinhchƣa phù hợp,
những phƣơng pháp dạy của giáo viên chƣa chú trọng đến việc phát triển tƣ
duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh. Vì vậy cần tích cực dạy học
rèn luyện hoạt động trí tuệ phát triển tƣ duy học sinh để giúp học sinh học tập
tốt, tiếp thu kiến thức hiệu quả, và xa hơn là phát triển giáo dục theo chiều
sâu, xây dựng đào tạo con ngƣời mới: chủ động sáng tạo, phù hợp với sự phát
triển của khoa học kĩ thuật nhƣ hiện nay.
Toán học là ngành khoa học cơ bản tạo nền tảng cho các ngành khoa
học khác. Nói đến toán học là nói đến sự chặt chẽ và logic. Trong chƣơng
trình giáo dục phổ thông môn toán không những giữ vai trò hết sức quan
trọng nhằm trang bị cho ngƣời học một hệ thống kiến thức căn bản, nó còn
đƣợc coi nhƣ là một môn thể thao của trí tuệ góp phần phát triển năng lực
toán học cùng với các thao tác tƣ duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học
sinh.
Bất đẳng thức là một nội dung khó trong môn toán ở trƣờng phổ thông,
khó cả với ngƣời học và ngƣời dạy, các bài toán bất đẳng thức rất đa dạng và

phong phú mà không có một cách giải cụ thể nào tối ƣu cho tất cả các bài
toán, tuy nhiên đây cũng là một lĩnh vực rất hay, đòi hỏi ngƣời học phải động
não, tìm tòi, sáng tạo. Từ một bất đẳng thức đơn giản có thể tạo ra những bài
toán khó và đẹp, và do đó cũng có những cách giải hay, độc đáo, đơn giản cho
một bài toán phức tạp. Trong chƣơng trình THPT nội dung bất đẳng thức
chiếm một thời lƣợng còn khiêm tốn và chƣa đƣợc quan tâm đúng mức,
2


thƣờng chỉ dùng để bồi dƣỡng những học sinh khá giỏi nhƣng ứng dụng của
bất đẳng thức là khá lớn, bất đẳng thức xuất hiện trong nhiều bộ phận khác
của toán phổ thông, nhƣ trong việc giải quyết các bài toán về phƣơng trình,
bất phƣơng trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức, xuất hiện trong
các bài toán hình học, lƣợng giác… Do đó bất đẳng thức sẽ là công cụ quan
trọng và hiệu quả trong việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản cho học
sinh
Xuất phát từ những lý do trên tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện
một số hoạt động trí tuệ cho học sinh trung học phổ thông qua các bài
toán bất đẳng thức”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Trình bày các hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh ở THPT nhƣ phân
tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa và tƣơng tự hóa.
Đề xuất cách thức rèn luyện các hoạt động trí tuệ thông qua việc hƣớng
dẫn học sinh giải một số bài toán bất đẳng thức.
3. Đối tƣợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu: Các hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh; một
số dạng bài toán bất đẳng thức thƣờng gặp ở THPT, tập trung chủ yếu vào các
bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng hai bất đẳng thức cơ bản là BĐT
Cauchy và Bunhiacopxki
Phạm vi nghiên cứu: Một số trƣờng THPT ở tỉnh Sơn La

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Làm rõ cơ sở lí luận của việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học
sinh THPT qua các bài toán BĐT.
Tìm hiểu nội dung kiến thức về bất đẳng thức trong chƣơng trình môn
Toán ở THPT.
Đề xuất một số cách rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh thông qua
3


việc giải các bài toán bất đẳng thức.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu.
Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia.
Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
Phƣơng pháp thống kê
6. Giả thuyết khoa học
Nếu học sinh đƣợc rèn luyện các hoạt động trí tuệ thông qua các bài
toán bất đẳng thức thì sẽ nâng cao đƣợc chất lƣợng dạy và học tập môn toán ở
trƣờng phổ thông
7. Cấu trúc luận văn
MỞ ĐẦU
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Chƣơng 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC
SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

4

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Tổng quan về hoạt động trí tuệ.
1.1.1. Hoạt động trí tuệ là gì.
* Trí tuệ và sự phát triển trí tuệ:
Trong tâm lý học, có nhiều cách trình bày khác nhau về trí tuệ. Trong
đó, tâm lý học macxit cho rằng: “trí tuệ là một cấu trúc động tƣơng đối độc
lập của nhân cách đƣợc hình thành và thể hiện trong hoạt động, do những
điều kiện văn hóa lịch sử quy định và chủ yếu đảm bảo cho sự tác động qua
lại phù hợp với hiện tƣợng xung quanh, cho sự cải tạo có mục đính của hiện
thực ấy” [19]
Theo nghĩa từ điển, trí tuệ là khả năng nhận thức lý tính đạt tới một
trình độ nhất định [16]
* Sự phát triển trí tuệ:
Trong điều kiện hiện nay sự tiến bộ của kỹ thuật và nhịp độ phát triển
của khoa học đề ra những thách thức, yêu cầu ngày càng cao đối với trình độ
văn hóa của thế hệ trẻ. Vì thế dạy học không chỉ dừng lại ở chỗ trang bị cho
học sinh một hệ thống tri thức, kĩ năng, kĩ xảo xác định mà cùng với nhiệm
vụ đó cần đảm bảo và tối đa sự phát triển trí tuệ của học sinh. Nhiều nhà
khoa học, nhiều chính khách, nhiều quốc gia quan tấm đến sự thịnh vƣợng
của quốc gia mình, họ rất chăm lo cho thế hệ trẻ, trong đó có việc chăm lo
cho sự phát triển về trí tuệ.
Tính năng động, óc sáng tạo, trí thông minh…xét về bản chất là những
phẩm chất cao của sự phát triển trí tuệ. Tuy nhiên đó là những vấn đề hấp
dẫn và phức tạp trong tâm lý học nói chung và tâm lý dạy học nói riêng.
Nhƣng có điều rõ ràng: dạy học kéo theo sự phát triển đƣợc coi nhƣ vấn đề ai
cũng thừa nhận. Còn những vấn đề nhƣ: bản thân sự phát triển trí tuệ, các chỉ
số của sự phát triển trí tuệ, tổ chức việc dạy học nhƣ thế nào để dẫn tới sự
5

phát tiển tối đa cho học sinh còn nhiều vấn đề khác nữa luôn luôn là những
tiêu đề tranh luận sôi nổi của các nhà khoa học, các nhà sƣ phạm.
Về sự phát triển trí tuệ, cũng có nhiều ý kiến bàn luận. Nổi lên trong đó
có: S.L. Rubinstêin và B.G Ananhiep, N.X. Lâytex, L.V Zancop.V.V.
Đavƣđôp, J. Piaget, N.A. Mensinxcaia… Chắt lọc quan điểm của các nhà
khoa học trên, chúng ta xem sự phát triển trí tuệ là sự biến đổi về chất trong
hoạt động nhận thức. Sự biến đổi đó đặc trƣng cho sự thay đổi cấu trúc cái
đƣợc phản ánh và phƣơng thức phản ánh chúng.
Theo quan điểm vừa nêu, nổi lên các nội dung sau đây:
- Đã nói đến sự phát triển là có sự biến đổi, nhƣng không phải mọi sự
biến đổi đều đồng nghĩa với sự phát triển mà đó là sự biến đổi về chất, sự biến
đôi theo hƣớng tiến bộ, theo đà đi lên, theo quy luật
- Sự phát triển trí tuệ ở đây đƣợc giới hạn trong hoạt động nhận thức,
tức là hoạt động phản ánh bản thân hiện thực khách quan (thuộc về giới tự
nhiên, xã hội, và ngay cả thế giới nội tâm).
Hoạt động: “Hoạt động là tiến hành những việc làm có quan hệ với
nhau chặt chẽ nhằm một mục đích nhất định trong đời sống xã hội” [16]
Nói rõ hơn, hoạt động trí tuệ là tiến hành những việc làm có quan hệ
chặt chẽ trên cơ sở những khả năng nhận thức lý tính của con ngƣời nhằm đạt
tới một mục đích nhất định, ở một trình độ nhất định.
1.1.2. Vài nét về sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT
Lứa tuổi học sinh THPT bao gồm những em có độ tuổi từ 14 đến 18
tuổi. Đó là những học sinh đang theo học từ lớp 10 đến lớp 12 ở các trƣờng
THPT.
Lứa tuổi này còn gọi là lứa tuổi thanh niên học sinh và nó có vai trò đặc
biệt quan trọng trong các thời kì phát triển của trẻ em. Đây là thời kì kết thúc
cả quá trình phát triển lâu dài của các lứa tuổi từ 0 đến 18 tuổi, là thời kì kết
6

thúc một quá trình trƣởng thành và phát triển lâu dài của trẻ em về sinh lí và
tâm lí, là thời kì năng lực trí tuệ, nhân sinh quan, thế giới quan , lí tƣởng và
toàn bộ nhân cách con ngƣời đang phát triển và biến đổi về chất.
Đặc điểm nổi bật về sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT đó là tính
chủ định, tính chủ động, tính tích cực, tính tự giác đƣợc thể hiện rõ rệt ở tất cả
các quá trình nhận thức. Có thể nói, năng lực tƣ duy, năng lực tƣởng tƣợng,
và các khả năng khác của học sinh THPT đƣợc hoàn thiện nhanh chóng và có
chất lƣợng cao.
Về sự phát triển của trí nhớ: Ở lứa tuổi của học sinh trung học phổ
thông, ghi nhớ có chủ định đã giữ vai trò chủ đạo trong hoạt động trí tuệ của
các em. Đồng thời, vai trò của ghi nhớ logic trừu tƣợng, ghi nhớ ý nghĩa ngày
một tăng rõ rệt (học sinh biết sử dụng tốt hơn các phƣơng pháp ghi nhớ: tóm
tắt ý chính, so sánh, đối chiếu…). Đặc biệt, học sinhđã tạo đƣợc tính chủ
động, tính mục đích trong quá trình ghi nhớ. Học sinhhiểu đƣợc ý nghĩa của
việc ghi nhớ và biết ghi nhớ theo điểm tựa, ghi nhớ logic kết hợp với tƣ duy
trừu tƣợng. Tuy nhiên ở độ tuổi này, vẫn còn một số em ghi nhớ đại khái,
chung chung và nhiều em còn coi thƣờng việc ôn tập tài liệu, dẫn tới kết quả
ghi nhớ chƣa cao.
Về sự phát triển của tư duy: Do tính quyết định của ý nghĩa hoạt động
học tập cùng với sự phát triển hoàn thiện của quá trình nhận thức đã dẫn đến
tƣ duy của học sinh THPT có những thay đổi quan trọng. Đặc trƣng của tƣ
duy trong giai đoạn này là: Tƣ duy trừu tƣợng phát triển mạnh và chiếm ƣu
thế trong mọi hoạt động đặc biệt là hoạt động học tập. Khả năng tƣ duy lí
luận, tƣ duy độc lập, sáng tạo rất phát triển. Học sinhtƣ duy logic, chặt chẽ, có
căn cứ và nhất quán hơn lứa tuổi trƣớc, đồng thời tính phê phán của tƣ duy
cũng phát triển. Khả năng vận dụng các thao tác tƣ duy khá nhuần nhuyễn và
đạt kết quả cao. Nhờ đó học sinh THPT có khả năng lĩnh hội các khái niệm
7

khoa học trừu tƣợng phức tạp.
Các năng lực trí tuệ của học sinh THPT đạt tới mức độ tƣơng đối hoàn
thiện. Đặc biệt là năng lực trừu tƣợng hóa và khái quát hóa. Từ đó làm nảy
sinh thêm nhiều năng lực mới ở các em. Khả năng đặt vấn đề và giải quyết
vấn đề trong học tập của học sinh THPT tƣơng đối sáng tạo và linh hoạt. Điều
đó nghĩa là phƣơng thức tƣ duy và phƣơng thức nhận thức của học sinhđã có
những thay đổi về chất so với lứa tuổi trƣớc. Song bên cạnh những ƣu điểm
đáng kể thì tƣ duy học sinh THPT vẫn còn những hạn chế nhƣ: Nhiều em kết
luận vội vàng, thiếu tính lịch sử, một số em không phát huy đƣợc năng lực
độc lập suy nghĩ. Chính vì vậy, giáo viên cần bồi dƣỡng cho học sinh những
phẩm chất tƣ duy tích cực, độc lập và sáng tạo.
Về sự phát triển của tưởng tượng: So với lứa tuổi trƣớc thì tƣởng tƣợng
của học sinh THPT ngày càng phù hợp và gần với thực tế hơn. Tính sáng tạo
trong tƣởng tƣợng đang phát triển mạnh mẽ. Tƣởng tƣợng vừa phong phú về
nội dung vừa mở rộng về phạm vi ở nhiều lĩnh vực. Thể hiện rõ nhất là tƣởng
tƣợng đƣợc ứng dụng ngay vào hoạt động học tập và rèn luyện của học sinh,
khả năng tái tạo, khả năng thâm nhập vào các môn khoa học tự nhiên cao hơn
ở các lứa tuổi trƣớc rất nhiều.
Về hoạt động ngôn ngữ: Do đƣợc học nhiều bộ môn, đƣợc lĩnh hội
nhiều khái niệm, nhiều danh từ khoa học, đặc biệt, lúc này học sinh THPT đã
đƣợc học nhiều sách, cùng với các quan hệ xã hội mở rộng và sâu sắc đã đem
đến cho học sinhsự phát triển mạnh mẽ và hoàn thiện về ngôn ngữ.
Nhƣ vậy, có thể nói năng lực nhận thức của học sinh THPT phát triển ở mức
độ cao và tiến dần tới sự hoàn thiện, ghi nhớ logic trừu tƣợng, ghi nhớ ý
nghĩa đóng vai trò quan trọng; khả năng tƣ duy lí luận, tƣ duy độc lập, sáng
tạo rất phát triển; tƣởng tƣợng vừa phong phú về nội dung vừa mở rộng về
phạm vi, ngôn ngữ phát triển mạnh mẽ và hoàn thiện, tất cả các yếu tố đó là
8

điều kiện thuận lợi cho việc dạy học rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát
triển tƣ duy trong nhà trƣờng.
1.1.3. Hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh trong học tập môn Toán
Theo Nguyễn Bá Kim [8] thì nội dung dạy học môn toán có mối liên hệ
chặt chẽ với các hoạt động của học sinh. Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ
với những hoạt động nhất định, đó là những hoạt động đƣợc thực hiện trong
quá trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó.
Dạy học là một quá trình phức tạp nên ta cần xem xét những hoạt động
trên những bình diện khác nhau liên hệ với những nội dung dạy học. Nội
dung môn toán ở trƣờng phổ thông liên hệ mật thiết với nhiều dạng hoạt
động. Trong đó có các hoạt động trí tuệ cơ bản nhƣ phân tích tổng hợp, so
sánh, tƣơng tự, khái quát hóa đặc biệt hóa, trừu tƣợng hóa cụ thể hóa.


Phân tích và tổng hợp
Phân tích là dùng trí não để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng

biệt của cái toàn thể hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần. Trái lại, tổng
hợp là dùng trí não để kết hợp lại các thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm
trong cái toàn thể hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể.
Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau, chúng là hai
mặt của một quá trình thống nhất.
Trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồng thời là
tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra thành từng phần
cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn
thể ấy; phân tích một cái toàn thể là con đƣờng để nhận thức cái toàn thể đó
sâu sắc hơn.
Sự thống nhất giữa quá trình phân tích - tổng hợp còn đƣợc thể hiện ở

chỗ: cái toàn thể ban đầu, định hƣớng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt
nào, khía cạnh nào; kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu đƣợc nhận
9


thức sâu sắc hơn ; Tổng hợp - Phân tích - Tổng hợp
Các thao tác phân tích tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ.
Chẳng hạn, muốn so sánh hai hay nhiều đối tƣợng, thì trƣớc hết phải tách
từng mặt của một đối tƣợng xem chúng có những mặt nào giống nhau, những
mặt nào khác nhau.
Trong mọi khâu của quá trình học tập toán học của học sinh, năng lực
phân tích và tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững
kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo.
Trong toán học, thƣờng sử dụng hai phép phân tích
* Phép phân tích đi lên (suy ngược lùi): Tức là muốn chứng minh A thì
ta cần chứng minh A1, muốn chứng minh A1 thì ta cần chứng minh A2, …,
cuối cùng muốn chứng minh An-1 thì ta cần chứng minh An. Khi An là điều đã
biết (tiền đề, định nghĩa, định lí,…) thì dừng lại. Theo tam đoạn luận có điều
kiện vì An đúng nên A đúng (thực tế là cả một dãy tam đoạn luận có điều
kiện).
Ta có sơ đồ sau:
An  An1  An2  ...  A2  A1  A

Bƣớc n

bƣớc 1

Phép phân tích đi lên thƣờng đƣợc dùng để tìm lời giải.
* Phép phân tích đi xuống (suy ngược tiến): Giả sử có A, từ A ta suy ra
A1, từ A2 suy ra A3,…An-1 suy ra An . Khi gặp An là phán đoán sai thì dừng lại

vì khi đó chắc chắn A sai theo bảng chân lí của phán đoán có điều kiện. Còn
An đúng thì chƣa có thể kết luận đƣợc gì vì A có thể đúng hoặc sai. Chỉ khi
đảm bào rằng An  An1  An2  ...  A2  A1  A là đúng thì mới kết
luận đƣợc A đúng.
Sơ đồ nhƣ sau: A  A1  A2  ...  An1  A
Trong hoạt động giải toán, trƣớc hết phải nhìn nhận một cách tổng hợp
10


để xem bài toán thuộc loại gì, cần huy động những kiến thức thuộc vùng nào,
có thể sự dụng những phƣơng pháp nào, sau đó phải phân tích cái đã cho và
cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ hơn, phân tích các mối liên
hệ giữa các yếu tố của bài toán để tìm ra lời giải. Sau khi tìm lời giải của các
bài toán bộ phận, phải tổng hợp lại để đƣợc lời giải của các bài toán đang xét.
Thông thƣờng, khi tìm tòi lời giải ta dùng đến năng lực phân tích nhiều hơn,
nhƣng khi trình bày lời giải, ta thƣờng dùng đến năng lực tổng hợp để trình
bày lời giải, giúp lời giải ngắn gọn, dù đôi khi có vẻ thiếu tự nhiên. Các kiến
thức trong SGK thƣờng đƣợc trình bày theo lối tổng hợp để đảm bảo tính
ngắn gọn, cô đọng, song khi giảng bài, giáo viên cần có những câu hỏi gợi
mở, dẫn dắt để đi đến những kết luận đó sao cho quá trình lí luận càng tự
nhiên càng tốt, từ dễ đến khó, không áp đặt, không đột ngột, để tạo hứng thú
và giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích.
Ví dụ 1.1:
Bài toán: Cho a, b, c  0 thỏa mãn a.b.c  1 . CMR:
a3  b3  c3  a  b  c

Phân tích:
- Bài toán có 3 biến đối xứng a, b, c có điều kiện ràng buộc tích của
a.b.c  1 nên ta có thể dự đoán dấu “ =” xẩy ra khi a  b  c  1

- a, b, c là các số dƣơng nên ta nghĩ đến việc áp dụng BĐT Côsi nhƣng
nếu áp dụng trực tiếp không đi đến kết quả bài toán, vậy nếu áp dụng Côsi thì
áp dụng nhƣ thế nào?
- Nhìn vào 2 vế của bất đẳng thức, tƣơng ứng là a3 , b3 , c3 và a, b, c .
Làm thế nào để “hạ bậc”, chẳng hạn từ a3 xuống a? ở bƣớc phân tích này ta đã
dự đoán dấu dấu = xẩy ra khi a  b  c  1 nên để hạ bậc, chẳng hạn a 3 xuống
a ta áp dụng BĐT Côsi cho bộ 3 số a3 ,1,1

11


- Ta đƣợc a3  1  1  3 3 a3.1.1  3a , áp dụng tƣơng tự cho biến b và c
rồi cộng theo vế, ta đƣợc: a3  b3  c3  6  3(a  b  c)
- Đến đây để có đƣợc BĐT cần chứng minh ta cần chứng minh
3(a  b  c)   a  b  c   6

- Để chứng minh 3(a  b  c)   a  b  c   6 ta cần chứng minh
2  a  b  c   6 hay

 a  b  c   3 (áp

dụng BĐT Cauchy ta đƣợc

đpcm)
Tổng hợp
Ta có: a3  1  1  3 3 a3.1.1  3a (dấu “=” xẩy ra khi a=1)
Tƣơng tự:
b3  1  1  3 3 b3.1.1  3b (dấu “=” xẩy ra khi b=1)
c3  1  1  3 3 c3.1.1  3c (dấu “=” xẩy ra khi c=1)

Cộng theo vế ta đƣợc: a3  b3  c3  6  3(a  b  c)
 a3  b3  c3  6  a  b  c  2(a  b  c)
 a3  b3  c3  6  a  b  c  6
 a3  b3  c3  a  b  c đpcm



So sánh
So sánh là sự xác định giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện

tƣợng. Muốn so sánh hai sự vật (hiện tƣợng) ta phải phân tích các dấu hiệu,
thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu thuộc tính đó với nhau, rồi tổng
hợp lại xem hai sự vật (hiện tƣợng) đó có gì giống và khác nhau.
Trong dạy học môn toán nói chung, dạy học môn Toán ở trƣờng THPT
nói riêng, so sánh đóng vai trò quan trọng giúp học sinh tìm ra những dấu
hiệu thuộc tính bản chất đặc trƣng của sự vật (hiện tƣợng) từ đó giúp học sinh
nắm vững và hiểu sâu sắc kiến thức một cách có hệ thống. Cần luyện tập cho
12


học sinh so sánh những sự vật, hiện tƣợng bề ngoài có vẻ khác nhau nhƣng
thực chất là giống nhau, hoặc cho học sinh so sánh các sự vật theo nhiều khía
cạnh khác nhau, nhìn ở khía cạnh này thì chúng khác nhau, nhƣng nhìn ở khía
cạnh khác thì chúng có thể giống nhau.
Ví dụ 1.2:
Bài toán 1.2.1: Cho tứ giác ABCD, có AC ⊥ BD .CMR:
AB.BC + AD.CD ≥ AC BD
Lời giải:
Ta có:

B

AB.BC  2S ABC , AD.CD  2S ACD

A

a

b
O

 AB.BC  AD.CD  2S ABCD  AC.BD

c

d

C

D

Bài toán 1.2.2: Cho a, b, c, d > 0.

H1.2

CMR:
(a 2  b2 )(b2  c 2 )  (a 2  d 2 )(d 2  c 2 )  (a  c)(b  d )

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki (Cauchy-Schwartz) ta có:

(a 2  b2 )(b2  c 2 )  ab  bc
(a 2  d 2 )(d 2  c 2 )  ad  cd

Cộng vế 2 BĐT trên ta suy ra đƣợc điều phải chứng minh.
Nhận xét: Khi mới nhìn qua đề bài thì 2 bài toán trên không có gì liên quan
đến nhau, nhƣng thực chất hai bài toán này là một. Bởi ở bài toán 1.2.1, nếu ta
đặt OA = a, OC = b, OB = c, OD = d, với a, b, c, d > 0. (Hình H1.2) ta có
AC = a + b, BD = c + d .
Theo định lí Pitago:

13


AB  a 2  c 2 , BC  b2  c 2 , AD  a 2  d 2 , CD  c 2  d 2

Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành:
(a 2  b2 )(b2  c 2 )  (a 2  d 2 )(d 2  c 2 )  (a  c)(b  d ) (*)

Đây chính là bài toán 1.2.2
Qua sự so sánh này ta có thể đƣa ra lời giải bằng phƣơng pháp hình học
khá độc đáo cho bài toán 1.2.2, tƣơng ứng có thể đại số hóa lời giải của bài
toán 1.2.1, và đồng thời hiểu đƣợc ý nghĩa hình học của BĐT (*).
Nhƣ vậy chính sự so sánh các sự vật và hiện tƣợng theo nhiều khía
cạnh khác nhau sẽ giúp cho quá trình khái quát hóa hay dự đoán bằng tƣơng
tự một cách sâu sắc.


Tương tự
Là quá trình suy nghĩ phát hiện sự giống nhau giữa hai đối tƣợng để từ

những sự kiện đã biết của đối tƣợng này dự đoán những sự kiện đối với
những đối tƣợng kia. Kết luận rút ra từ suy luận tƣơng tự chỉ là một giả
thuyết, một dự đoán, có thể đúng, có thể sai nhƣng nó góp phần tìm tòi cái
mới. Trong hoạt động giải toán, sử dụng suy luận tƣơng tự để liên hệ bài toán
cần giải với bài toán đã giải giúp nhanh chóng tìm ra lời giải, do đó khi dạy
một tri thức mới, ra một bài tập mới, gợi ý cho học sinh biết liên hệ kiến thức
cũ, dự đoán kết quả để tìm ra phƣơng pháp giải quyết.
Ví dụ 1.3 Xét 2 bài toán:
Bài toán 1.3.1 CMR: ∀a,b, c ≥ 0 ta có:
a
b
c
3


 (BĐT Nesbitt)
bc ca ab 2

Lời giải:
Xét các biểu thức sau:
S

a
b
c
b
c
a



,M 


,
bc ca ab
bc ca a b

14


N

c
a
b


bc ca ab

Ta có M + N = 3 mặt khác theo BĐT Cauchy lại có
M S 

ab bc ca
a b bc ca


 33
.
.
3

bc ca ab
bc c a a b

N S 

ac ab bc
ac a b bc


 33
.
.
3
bc ca ab
bc c a a b

Vậy M  N  2S  6  2S  3
Dễ dàng chứng minh đƣợc đẳng thức xẩy ra khi a  b  c  (đpcm)
Bài toán 1.3.2 CMR : ∀ a, b, c, d ≥ 0 ta có:
S

a
b
c
d



 2 (BĐT Nesbitt 4 biến)
bc cd d a ab

Nhận xét: "Mô hình" của BĐT nói chung là không thay đổi so với bài toán
1.3.1, từ cách giải của bài toán 1.3.1 ta có thể định hƣớng cách giải tƣơng tự
cho bài toán này nhƣ sau:
Chọn 2 biểu thức M, N có dạng:

?
?
?
?



bc cd d a ab

Thỏa mãn:
Tổng M+N, M+S, N+S có các hạng tử cùng mẫu để kết hợp
Tổng M+N có thể rút gọn thành hằng số, chẳng hạn là:
M

b
c
d
a



bc cd d a ab

N

c
d
a
b



bc cd d a ab

Tổng M+S và N+S đánh giá đƣợc (lớn hơn hoặc bằng một hằng số nào
đó) nhằm mục đích M+S+N+S=M+N+2S lớn hơn hoặc bằng một số nào đó
Lời giải:
Xét các biểu thức sau:

15


M

b
c
d
a



bc cd d a ab

N

c
d
a
b



bc cd d a ab

Ta có: M+N = 4
ab bc cd d a



bc cd d a ab
ab bc cd d a
 44
.
.
.
4
bc cd d a ab

M S 

N S 

ac bd ca d b




bc cd d a ab

 (a  c)(


1
1
1
1

)  (b  d )(

)
bc d a
cd ab

4(a  c)
4(b  d )

4
abcd abcd

⇒ M + N + 2S ≥ 8⇒ S ≥ 2 (đpcm).
Nhận xét: Nhƣ vậy hƣớng dẫn học sinh giải bài toán theo một bài toán
tƣơng tự đã giúp học sinh giải quyết bài toán dễ dàng và tự nhiên hơn, hơn
nữa còn giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bài toán.


Khái quát hóa và đặc biệt hóa
Khái quát hóa là dùng trí não tách ra cái chung trên cơ sở những đối

tƣợng, sự kiện, hiện tƣợng đã biết của các trƣờng hợp riêng. Tức là chuyển từ
tập hợp đối tƣợng sang tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu
bật một số đặc điểm chung của một số phần tử của tập xuất phát.
Nhờ khái quát hóa, có thể đề xuất đƣợc những giả thuyết, những dự
đoán. Khái quát hóa một bài toán có thể đƣa tới một bài toán rộng hơn (có thể
đúng hặc không đúng (hoặc không giải đƣợc). Có khi tổng quát hóa một bài
toán lại giúp ta tim tòi lời giải thuận lợi hơn, dễ dàng hơn đối với bài toán đã

16


cho. Muốn khái quát hóa thƣờng phải so sánh nhiều đối tƣợng, hiện tƣợng, sự
kiện với nhau.
Theo GS. TSKH Nguyễn Bá Kim [7] những dạng khái quát hóa thƣờng
gặp trong môn toán có thể đƣợc biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Khái quát hóa

Khái quát hóa từ cái riêng

Khái quát hóa từ cái tổng

lẻ đến cái tổng quát

quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hóa tới cái tổng

Khái quát hóa tới cái tổng

quát chƣa biết

quát đã biết

H1.1
Để rèn luyện cho học sinh năng lực khái quát hóa đúng đắn, cần luyện
cho học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm ra cái chung ẩn náu
trong các hiện tƣợng, sau những chi tiết tản mạn khác nhau, nhìn thấy cái bản
chất của các hiện tƣợng, sau cái hình thức bên ngoài đa dạng, “tóm lƣợc” cái
chính, cái cơ bản, cái chung trong cái khác nhau bên ngoài.
Muốn vậy, một điều quan trọng là giáo viên phải biết biến thiên những
dấu hiệu không bản chất của khái niệm, hiện tƣợng đang nghiên cứu và giữ
không đổi những dấu hiệu bản chất.
Ngƣợc lại với khái quát hóa là đặc biệt hóa. Đặc biệt hóa là chuyển từ
việc khảo sát một tập hợp các đối tƣợng đã cho sang việc khảo sát một tập

17


hợp đối tƣợng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu. Đặc biệt hóa có tác dụng
để kiểm nghiệm lại kết quả trong những trƣờng hợp riêng hoặc để tìm ra kết
quả khác. Trong việc giải toán, việc xét trƣờng hợp đặc biệt có khi gợi ý cho
ta tìm đƣợc lời giải của bài toán đang xét hoặc thấy đƣợc phƣơng pháp giải.
Những dạng đặc biệt hóa thƣờng gặp trong môn toán có thể đƣợc biểu
diễn bằng sơ đồ sau:

Đặc biệt hóa

Đặc biệt hóa từ cái tổng

Đặc biệt hóa từ cái riêng

quát đến cái riêng lẻ

đến cái riêng hơn

Đặc biệt hóa đến cái riêng

Đặc biệt hóa tới cái riêng

lẻ đã biết

lẻ chƣa biết

H1.2
Khái quát hóa và đặc biệt hóa cũng là hai mặt đối lập của một quá trình tƣ
duy thống nhất.
Ví dụ 1.4
Cho a, b  0 . Chứng minh rằng: a3  b3  a 2b  b2a (1)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
a3  a3  b3  3 3 a6b3 = 3a 2b  2a3  b3  3a 2b
b3  b3  a3  3 3 a3b6  3ab2  2b3  a3  3ab2

Cộng vế với vế các BĐT trên ta đƣợc a3  b3  a 2b  b2a

18