Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho học sinh khá, giỏi lớp 12 trường phổ thông dân tộc nội trú

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

HÀ MẠNH TUÂN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỶ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 12
TRƯỜNG PHỔ THÔNG DÂN TỘC NỘI TRÚ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

SƠN LA, NĂM 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

HÀ MẠNH TUÂN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỶ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 12
TRƯỜNG PHỔ THÔNG DÂN TỘC NỘI TRÚ
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn toán
Mã số: 60. 140.111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Chí Thành

SƠN LA, NĂM 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và
kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và chưa từng được ai
công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác.

Tác giả luận văn

Hà Mạnh Tuân


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tác giả xin chân thành cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo
giảng dạy chuyên ngành “Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán”
Trường Đại học Tây Bắc – Đại học Quốc gia Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong quá
trình học tập và nghiên cứu.
Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Nguyễn
Chí Thành, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình
nghiên cứu và thực hiện đề tài.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng sau đại học Trường Đại học Tây
Bắc – Ban giám hiệu Trường phổ thông DTNT Tỉnh Điện Biên và các đồng
chí giáo viên trong tổ Toán – Lý – Tin, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi
học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn.
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè và
gia đình đã quan tâm giúp đỡ, động viên, khích lệ để tôi hoàn thành nhiệm vụ
học tập và nghiên cứu của mình.

Sơn La, tháng 10 năm 2015
Tác giả

Hà Mạnh Tuân


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tăt
DTNT

Giải thích cho chữ viết tắt
Dân tộc nội trú

ĐC

Đối chứng

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

KN

Kỹ năng

MTCT
PT
PTVT

TN
THPT

Máy tính cầm tay
Phương trình
Phương trình vô tỷ
Thực nghiệm
Trung học phổ thông


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Lịch sử nghiên cứu ................................................................................... 2
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................... 4
4. Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu ..................................... 4
5. Giả thuyết khoa học ................................................................................. 4
6. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 4
7. Cấu trúc luận văn ..................................................................................... 5
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ
NGHIÊN CỨU ............................................................................................. 6
1.1.1. Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán ở trường phổ thông .......... 6
1.1.2. Vị trí và chức năng của giải bài tập toán........................................... 7
1.1.3. Dạy học phương pháp chung để giải bài tập toán............................ 8
1.2. Kỹ năng ................................................................................................ 11
1.2.1. Quan niệm về kỹ năng ...................................................................... 11
1.2.2. Đặc điểm của kỹ năng ...................................................................... 12
1.2.3. Sự hình thành và phát triển kỹ năng ............................................... 13
1.2.4. Phân biệt kỹ năng với năng lực........................................................ 14
1.3. Giải toán và kỹ năng giải toán ............................................................ 14

1.3.1. Kỹ năng giải toán .............................................................................. 14
1.3.2. Các kỹ năng giải toán ....................................................................... 15
1.3.3. Sự hình thành kỹ năng giải toán ...................................................... 16
1.3.4. Rèn luyện kỹ năng giải toán ............................................................. 17
1.4. Một số kỹ năng giải phương trình vô tỷ ............................................ 18
1.4.1. Kỹ năng đặt điều kiện ...................................................................... 18


1.4.2. Kỹ năng biến đổi tương đương ........................................................ 19
1.4.3. Kỹ năng nâng lên lũy thừa ............................................................... 20
1.4.4. Kỹ năng đặt ẩn phụ .......................................................................... 20
1.4.5. Kỹ năng kiểm tra lại nghiệm............................................................ 21
1.5. Phương tiện dạy học ............................................................................ 22
1.5.1. Quan niệm về phương tiện dạy học ................................................. 22
1.5.2. Sử dụng máy tính cầm tay trong dạy học toán ở bậc phổ thông ........ 22
1.5.3. Máy tính cầm tay CASIO fx -570ES ................................................. 23
1.5.4. Vai trò của MTCT CASIO fx -570ES trong dạy học giải PT .......... 24
1.6. Một phần thực trạng dạy học phương trình vô tỷ ở trường phổ thông
DTNT .......................................................................................................... 24
1.6.1. Nội dung phương trình trong chương trình toán THPT ................ 24
1.6.2 . Mục tiêu dạy học phương trình ở trường THPT ........................... 26
1.6.3. Một phần thực trạng dạy học phương trình vô tỷ ở trường phổ thông
DTNT ........................................................................................................... 27
1.6.4. Một phần thực trạng sử dụng máy tính cầm tay trong dạy học giải
phương trình vô tỷ ở trường phổ thông DTNT ........................................ 30
1.6.5. Một số đặc điểm về cách học của học sinh khá giỏi ........................ 31
Kết luận chương 1 ...................................................................................... 33
CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VÔ TỶ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 12 TRƯỜNG PHỔ
THÔNG DÂN TỘC NỘI TRÚ .................................................................. 34

2.1 Các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ ................. 34
2.1.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng đặt điều kiện ............................... 34
2.1.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng sử dụng phép biến đổi tương đương...... 38
2.1.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng nâng lên lũy thừa ........................ 45


2.1.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng sử dụng MTCT CASIO fx - 570ES
trong giải phương trình vô tỷ......................................................................... 49
2.1.5. Biện pháp 5: Rèn kỹ năng đặt ẩn phụ ............................................. 70
Kết luận chương 2 ...................................................................................... 84
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .............................................. 85
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm .................................... 85
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ...................................................... 85
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm ...................................................... 85
3.2. Nội dung thử nghiệm sư phạm............................................................ 85
3.3. Tổ chức thực nghiệm .......................................................................... 86
3.3.1. Chọn lớp thực nghiệm ...................................................................... 86
3.3.2. Khảo sát chất lượng ban đầu ........................................................... 86
3.3.3. Giáo án thực nghiệm ........................................................................ 88
3.4. Kiểm tra - đánh giá kết quả thực nghiệm .......................................... 95
3.4.1. Đề kiểm tra thực nghiệm .................................................................. 95
3.4.2. Đánh giá định lượng ......................................................................... 96
3.4.3. Đánh giá định tính ............................................................................ 99
Kết luận chương 3 .................................................................................... 103
KẾT LUẬN ............................................................................................... 104
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................ 105
PHỤ LỤC


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Theo luật giáo dục Việt Nam năm 2005, mục tiêu giáo dục phổ thông
của nước ta là "Giúp HS phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất,
thẩm mĩ và các KN cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và
sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây
dựng tư cách và trách nhiệm cộng đồng, chuẩn bị cho HS tiếp tục học lên
hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ Quốc".
Theo luật Giáo dục số 38/2005/QH 11, điều 28 quy định "Phương pháp
giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của
HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp
tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện KN vận dụng kiến thức vào thực
tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS".
Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn
diện giáo dục và đào tạo xác định "Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các
yếu tố cơ bản của giáo dục, đào tạo theo hướng coi trọng phát triển phẩm
chất, năng lực của người học"; "Tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình
thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định
hướng nghề nghiệp cho HS. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú
trọng giáo dục lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống. ngoại ngữ, tin học,
năng lực và KN thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả
năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời".
Môn Toán là môn học giữ một vai trò hết sức quan trọng trong chương
trình THPT. Trong đó, PTVT là một chủ đề rất quan trọng trong các chủ đề của
Toán học phổ thông. Đặc biệt trong những năm gần đây, bài toán PTVT luôn
xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học trước đây, kì thi THPT Quốc gia,
1


các kì thi HS giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia với mức độ khó ngày càng tăng.
Hầu hết các em HS và một bộ phận không nhỏ các GV đang giảng dạy môn

Toán bậc THPT cũng cảm thấy khó khăn khi giải bài toán thuộc chủ đề này.
Với các em HS Trường phổ thông DTNT thì các bài toán về PTVT
được coi là một trong những dạng toán khó, đòi hỏi HS phải nắm vững tri
thức và có kỹ năng tốt. Vì vậy GV cần phải chú ý và có những biện pháp để
rèn luyện KN giải dạng toán này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học và
phát triển năng lực tính toán, năng lực sáng tạo cho HS.
Từ những lí do trên đề tài được chọn là: "Rèn luyện kỹ năng giải phương
trình vô tỷ cho học sinh khá, giỏi lớp 12 trường phổ thông dân tộc nội trú".
2. Lịch sử nghiên cứu
Hiện nay đã có một số công trình nghiên cứu gần gũi với đề tài. Một
trong những đề tài đó là:
"Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua
dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ - Phan Văn Tiến - Trường ĐHGD ĐHQG Hà Nội, năm 2012. Luận văn đạt được kết quả sau:
+ Hệ thống hóa một số quan điểm về tư duy và tư duy sáng tạo, cách thức
rèn luyện để có được tư duy sáng tạo và áp dụng cụ thể vào bài toán PTVT.
+ Làm rõ một số phương pháp giảng dạy nội dung PTVT đối với HS THPT.
+ Xây dựng bài giảng nhằm mục đích rèn luyện tư duy giải toán bằng
nhiều cách và tư duy sáng tạo cho HS THPT qua dạy học nội dung PTVT,
đồng thời cũng có bài tập tương ứng để các em tự rèn luyện.
+ Bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài thông
qua thực nghiệm sư phạm".
"Phối hợp rèn luyện KN giải toán PT với phát triển tư duy hàm cho học
sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích - Lê Mai - Trường ĐH Vinh,
năm 2007. Luận văn đạt được kết quả sau:
2


+ Đã hệ thống hoá, phân tích khái niệm KN, khái niệm tư duy hàm, vấn
đề rèn luyện KN và phát triển tư duy hàm cho HS.
+ Đã đề xuất các quan điểm phối hợp rèn luyện KN giải toán PT dựa

vào các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, đồng thời đề cập đến vấn đề phát
triển tư duy hàm thông qua dạy học chủ đề PT.
+ Xây dựng được hệ thống các ví dụ, bài tập nhằm minh hoạ và khắc
sâu phần lý luận cũng như thực hành dạy toán theo quan điểm hàm ở trường
phổ thông".
"Rèn luyện kĩ năng giải phương trình cho học sinh lớp 10 THPT Phạm Thị Kim Huế - Trường ĐHSP Hà Nội, năm 2011. Luận văn đạt được
kết quả sau:
+ Tổng quan một số lý luận liên quan tới KN giải toán nói chung và
KN giải PT nói riêng. Những nội dung chính là: Quan niệm về KN và KN
giải toán, sự hình thành các KN, vai trò của giải toán trong việc hình thành
KN và nhiệm vụ rèn luyện KN giải toán cho HS trường THPT.
+ Đề xuất biện pháp rèn luyện KN giải PT cho HS lớp 10 THPT theo ba
hướng chính: Rèn luyện các KN cơ bản trong giải PT; rèn luyện các KN giải
và biện luận PT bậc nhất, PT bậc hai; rèn luyện KN giải các PT quy về PT
bậc nhất, PT bậc hai.
+ Luận văn đã trình bày 77 ví dụ, 32 bài toán GV cần khai thác và sử
dụng trong việc rèn luyện KN giải PT cho HS".
Từ việc tìm hiểu nội dung các đề tài trên chúng tôi thấy các công trình
nghiên cứu trên đã tổng quan một số lý luận về: khái niệm về tư duy sáng tạo,
khái niệm về KN, KN năng giải toán nói chung, KN giải PT nói riêng. Đề
xuất một số biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo trong dạy học giải PTVT,
biện pháp rèn luyện KN trong giải PT nói chung, xây dựng được hệ thống bài
tập rèn luyện KN giải PT. Đề tài chúng tôi nghiên cứu khác với các đề tài nói
trên về các điểm sau:
3


+ Rèn luyện KN giải PTVT là một chủ đề trong chủ đề PT ở trường THPT.
+ Hệ thống lý luận về phương tiện dạy học, lợi ích của MTCT trong dạy
học toán ở trường phổ thông, vai trò của MTCT CASIO fx - 570ES trong giải PT.

+ Một số biện pháp rèn luyện KN trong đề tài khác với các đề tài nói
trên như rèn luyện KN sử dụng MTCT CASIO fx - 570ES trong giải PTVT.
+ Đối tượng là HS khá, giỏi lớp 12 trường phổ thông DTNT.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số biện pháp rèn luyện KN giải PTVT cho HS khá, giỏi
lớp 12 trường phổ thông dân tộc nội trú.
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số hệ thống lý luận dạy học giải bài tập toán, về KN,
KN giải toán.
- Nghiên cứu về chương trình SGK liên quan đến dạy học giải PT, PTVT.
- Nghiên cứu về sử dụng MTCT trong dạy học giải PT.
- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện có hiệu quả KN giải PTVT.
- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
4. Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các KN giải toán và các biện pháp rèn KN giải PTVT.
- Phạm vi nghiên cứu: Là các bài toán giải PTVT trong trường THPT.
- Khách thể nghiên cứu: Là HS khá, giỏi lớp 12 trường phổ thông DTNT.
5. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học giải PTVT, áp dụng các biện pháp rèn luyện
KN theo định hướng trong đề tài sẽ nâng cao được KN giải PTVT cho HS,
góp phần nâng cao chất lượng dạy học bộ môn Toán.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
4


- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp thống kê toán học.
7. Cấu trúc luận văn

Mở đầu.
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu.
Chương II: Biện pháp rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho
học sinh khá, giỏi lớp 12 trường phổ thông dân tộc nội trú.
Chương III: Thực nghiệm sư phạm.
Kết luận.
Tài liệu tham khảo.
Phụ lục.

5


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán
1.1.1. Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán ở trường phổ thông
Hiện nay có nhiều quan niệm khác nhau về khái niệm bài toán, bài tập.
Quan niệm thứ nhất "xem bài tập là một trường hợp riêng của bài toán", quan
niệm thứ hai "xem bài toán là trường hợp riêng của bài tập", quan niệm thứ ba
"phân biệt hai khái niệm bài tập và bài toán". Trong phạm vi dạy học toán, ta
đồng nhất hai khái niệm bài tập và bài toán gọi chung là bài tập toán [27, tr160].
Ở trường phổ thông dạy học là một dạng hoạt động toán học. Do đó HS
có thể xem việc giải bài tập toán là một hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học. Thông qua việc giải bài tập toán, HS đều phải trải qua những hoạt động
nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện những định nghĩa, định lý, quy
tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí
tuệ phổ biến và những hoạt động trí tuệ chung. Các bài tập toán ở trường phổ
thông là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc
giúp HS nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành KN, kỹ
xảo. Qua đó bước đầu rèn luyện tư duy mềm dẻo, nhuần nhuyễn, bồi dưỡng

năng lực sáng tạo độc đáo, KN giải bài tập toán một cách thành thạo.
Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy
học ở trường phổ thông, vai trò của bài tập toán thể hiện 3 bình diện sau đây.
- Bình diện mục tiêu dạy học.
+ Hình thành củng cố tri thức KN, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau
trong quá trình dạy học, kể cả những KN ứng dụng vào thực tiễn.
+ Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình
thành phẩm chất trí tuệ.
6


+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập và
phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
- Bình diện nội dung dạy học.
+ Bài tập toán là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất
định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho
những tri thức nào đó được trình bày trong phần lý thuyết.
- Bình diện phương pháp dạy học.
+ Bài tập toán là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức
nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác, khai thác tốt
những bài tập như vậy góp phần tổ chức cho HS học tập và bằng hoạt động tự
giác tích cực chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng ý
khác nhau, một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra…Tất nhiên, việc giải bài tập.
Cụ thể thông thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó của
quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng với những
chức năng khác nhau [19, tr412].
Như vậy bài tập toán có vai trò rất quan trọng, không chỉ phát triển
năng lực tư duy của HS đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành

phẩm chất tư duy khoa học, kiểm tra đánh giá mức độ, kết quả dạy và học,
đánh giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của HS. Bài tập về
PTVT có đầy đủ chức năng, vai trò của một bài tập toán.
1.1.2. Vị trí và chức năng của giải bài tập toán
a. Vị trí
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với HS có
thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập
toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay
7


thế được trong việc giúp HS nẵm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành
KN, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là
điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông. Vì
vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán có vai trò quyết định đối
với chất lượng dạy học toán [17, tr201].
b. Chức năng của bài tập toán
Mỗi bài tập toán đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều
chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.
Các chức năng đó là:
- Chức năng dạy học.
- Chức năng giáo dục.
- Chức năng phát triển.
- Chức năng kiểm tra.
Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:
- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho HS
những tri thức, KN, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho HS thế giới
quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.

- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy
cho HS, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm
chất của tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy
và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến
thức và trình độ phát triển của HS.
1.1.3. Dạy học phương pháp chung để giải bài tập toán
Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc
không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất
8


cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài
toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho HS cách thức, kinh nghiệm trong suy
nghĩ, tìm lời cho mỗi bài toán.
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV cung cấp cho HS lời giải bài
toán. Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài
toán. Để làm tăng hứng thú học tập của HS, phát triển tư duy, GV phải hình thành
cho HS một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán.
Tác giả Nguyễn Bá Kim [19, tr416], dựa trên những tư tưởng tổng quát
cùng những gợi ý chi tiết của Polya (1975) về cách thức giải bài toán được
kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, đã tổng kết phương pháp chung để giải
bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
- Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán.
- Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả nội
dung đề bài.
Bước 2: Tìm cách giải.
- Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán.

Biến đổi cái đã cho cái phải tìm hay cái phải chứng minh. Liên hệ cái đã cho
cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ
tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn. Sử dụng những
phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy
nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích,...
- Kiểm tra lại lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả tìm được với một số tri thức có
liên quan.
- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn cách giải hợp lí nhất.
9


Bước 3: Trình bày lời giải.
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng của lời giải.
- Nghiên cứu giải các bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Ví dụ 1.1: Giải PT x + x − 5 = 5, x ∈ ¡ (1.1) .
- Tìm hiểu nội dung bài toán.
+ Đã gặp bài toán này hay chưa? Hay gặp bài toán này ở một dạng hơi khác?
+ Xét cái chưa biết (tìm nghiệm của PT trên).
+ Thấy được bài toán có liên quan mà có lần bạn giải rồi. Có cần đưa
thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụng bài toán đó?
- Tìm cách giải.
+ GV phân tích : Đặc điểm của PT chỉ chứa một căn thức, làm thế nào

để biến đổi PTVT thành PT dạng hữu tỷ? (có HS nêu ý kiến chuyển x sang
vế phải rồi bình phương hai vế được

(

x −5

)

2

2

= ( 5 − x ) . Sau khi đơn giản ta

2
được x −11x + 30 = 0 . Đó là cách bình phương hai vế để đưa PTVT thành

PT dạng hữu tỷ, có thể tìm nghiệm của PT này dễ dàng.
+ Để giải PT có nghĩa điều kiện là x ≥ 5 .

x = 5
+ Kiểm tra lại kết quả làm được 
.
x
=
6

+ Để bình phương hai vế thì 5 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 5 . Đối chiếu điều kiện trên
thì x = 5 là nghiệm của PT đã cho.
+ Có thật chỉ có cách giải đó không?. Những HS ham suy nghĩ không chịu
dừng lại ở đó, họ muốn tìm phương pháp khác. Có HS đưa ra cách đặt ẩn phụ

để đưa PTVT về dạng hữu tỷ .
10


+ Cách khác: Đặt y = x − 5 ( y ≥ 0 ) , ta có PT:

y = 0
y 2 + y = 0 ⇔ y ( y + 1) = 0 ⇔ 
.
 y = −1 ( lo¹i )
quay trở về tìm x ta được

x − 5 = 0 ⇔ x = 5 . Vậy nghiệm của PT là

x = 5.

+ So sánh để tìm ra cách giải tối ưu. Rõ ràng cách thứ hai ngắn gọn
hơn. Có thể coi là cùng nhạc công nhưng bản nhạc đã khác.
- Trình bày lời giải: Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc
phải làm thành chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp, và
thực hiện các bước đó.
- Nghiên cứu sâu lời giải.
+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
+ Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

1.2. Kỹ năng
1.2.1. Quan niệm về kỹ năng
Xem xét các công trình nghiên cứu từ trước đến nay, thông qua các
khái niệm chúng tôi thấy vẫn tồn tại hai quan niệm khác nhau đôi chút về KN.

Quan niệm 1: Coi KN là mặt kỹ thuật của một thao tác, hành động hay
một hoạt động nào đó. Muốn thực hiện được một hành động, cá nhân phải
hiểu được mục đích, phương thức và điều kiện để thực hiện nó. Vì vậy nếu ta
nắm được các tri thức về hành động, thực hiện nó trong thực tiễn theo các yêu
cầu khác nhau tức ta đã có KN về hành động. Trong cuốn “Tâm lí học cá nhân”
Covaliop xem: “KN là phương thức thực hiện hành động phù hợp với mục đích

và điều kiện của hành động” [7, tr11].
Khi bàn về KN, Trần Trọng Thuỷ cũng cho rằng: “KN là mặt kỹ thuật

của hành động. Con người nắm được cách thức hành động - tức kỹ thuật của
hành động là có KN” [28, tr2].
11


Quan niệm 2: Coi KN không đơn thuần là mặt kỹ thuật của hành động
mà còn là một biểu hiện năng lực của con người. KN theo quan niệm này vừa
có tính ổn định, lại vừa có tính mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo lại vừa có tính
mục đích. Chẳng hạn, theo Levitop: "KN là sự thực hiện có kết quả một động

tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách lựa chọn và áp dụng
những cách thức đúng đắn có tính đến những điều kiện nhất định" [16, tr3].
Platonop, nhà tâm lí học Liên Xô khẳng định: “Cơ sở tâm lí của KN là sự

thông hiểu mối liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và phương
thức hành động” [24, tr77]. Petropxki cũng định nghĩa: “KN là sự vận dụng
tri thức, kỹ xảo đã có để lựa chọn và thực hiện những phương thức hành động
tương ứng với mục đích đặt ra” [23, tr 175].
Trong từ điển Tâm lí học tác giả Vũ Dũng cho rằng: “KN là năng lực

vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động đã được chủ thể lĩnh
hội để thực hiện những nhiệm vụ tương ứng” [9, tr132].
Có thể thấy, các nhà tâm lí học theo khuynh hướng thứ hai này khi bàn
về KN lại rất chú ý tới mặt kết quả của hành động.
Xét về mặt bản chất hai quan niệm trên không phủ định lẫn nhau. Sự
khác biệt là ở chổ mở rộng hay thu hẹp thành phần cấu trúc của KN.
Có thể hiểu: KN là sự vận dụng vốn kiến thức và kinh nghiệm đã có để

thực hiện một hệ thống các thao tác của hành động hay hoạt động nhằm đạt
được mục đích đặt ra.
1.2.2. Đặc điểm của kỹ năng
Bất kì KN nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức. Bởi
vì, cấu trúc của KN là: Hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu
những điều kiện để triển khai cách thức đó.
Kiến thức là cơ sở của KN, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc
tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong
12


ý thức với tư cách là công cụ của hành động. Cùng với vai trò của cơ sở của
tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của KN. Bởi vì: "Môn toán là môn học
công cụ có đặc điểm và vị trí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển
nhân cách trong trường phổ thông" [17, tr29]. Vì vậy, cần hướng mạnh vào
việc vận dụng những tri thức và rèn luyện KN, vì KN chỉ có thể được hình
thành và phát triển trong hoạt động.

1.2.3. Sự hình thành và phát triển kỹ năng
1.2.3.1. Sự hình thành kỹ năng
Để hình thành được KN trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc
hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được một

hành động theo đúng mục đích, yêu cầu. Có những KN hình thành không cấn
qua luyện tập, nếu biết tận dụng hiểu biết và KN tương tự đã có để có thể
chuyển sang thực hiện các hành động, hoạt động mới.

a. Sự hình thành kỹ năng
Hình thành cho HS khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao
tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài tập, trong
nhiệm vụ. Khi hình thành KN cho HS cần tiến hành:

- Giúp HS biết cách tìm tòi để nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và
mối quan hệ giữa chúng.
- Xác lập được mối quan hệ giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tương ứng.
- Giúp HS hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập
các đối tượng cùng loại.

b. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng
- Nội dung bài tập: Nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che phủ
bởi những yếu tố làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành KN.
- Khả năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức độ cao hay
thấp.
13


c. Cơ chế hình thành kỹ năng
Theo I.Ia Lecne đó là cơ chế tái hiện lặp đi lặp lại nhiều lần trong nhiều
tình huống khác nhau, chẳng hạn để hình thành KN sử dụng phép biến đổi
tương đương trong giải PTVT cho HS, GV yêu cầu HS nắm vững các định lý
về phép biến đổi tương đương. GV đưa ra các tình huống về các phép biến đổi
yêu cầu HS nhận dạng.

1.2.3.2. Sự phát triển kỹ năng
Rõ ràng KN được phát triển qua việc thực hành. Để thông thạo một KN

đòi hỏi phải thực hành có trọng điểm với một thời lượng nhất định. Trong quá
trình thực hành cần thay đổi và định hình những gì mình đã học được.

1.2.4. Phân biệt kỹ năng với năng lực
Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con người, đáp ứng

được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để
hoàn thành tốt hoạt động đó.
Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm
vững tri thức, KN, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả
tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến
hành hoạt động đó trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương.
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất

định của con người. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động
giải quyết những yêu cầu đặt ra.
Trong khuôn khổ của luận văn, luận văn đưa ra các biện pháp rèn KN
toán học cho HS (cụ thể là KN giải toán về PTVT cho HS), hình thức thấp
hơn năng lực toán học.

1.3. Giải toán và kỹ năng giải toán
1.3.1. Kỹ năng giải toán
Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích. Do

đó chủ thể giải toán phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành
14

động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó và biến hành động có kết quả
trong những điều kiện khác nhau.
"KN giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các

bài tập toán bằng suy luận, chứng minh" [13, tr12].
Theo G.Polya "Trong toán học, KN là khả năng giải các bài toán, thực

hiện các chứng minh, cũng như phê phán các lời giải và chứng minh nhận được".
KN giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến thức,
KN, phương pháp. HS sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình luyện tập,
củng cố, đào sâu kiến thức thì KN được hình thành, phát triển, đồng thời nó
cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức toán học.

1.3.2. Các kỹ năng giải toán
Trong tâm lý - giáo dục, người ta thường chia KN học tập cơ bản thành
bốn nhóm: KN nhận thức, KN thực hành, KN tổ chức hoạt động nhận thức và
KN tự kiểm tra, đánh giá.
Trong toán học các KN giải toán được phân chia thành các nhóm sau.

a. Nhóm kỹ năng nhận thức
- KN nắm vững khái niệm.
- KN nắm vững định lý
- KN vận dụng quy tắc.
- KN dự đoán và suy luận.

b. Nhóm kỹ năng thực hành
- KN vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán.
- KN toán học hóa tình huống thực tiễn.

c. Nhóm kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức
Việc rèn luyện KN tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi học sinh phải
có kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện và năng lực của
bản thân nhằm phấn đều đạt được mục tiêu đặt ra trong từng giai đoạn.
15


d. Nhóm kỹ năng tự kiểm tra đánh giá
Hoạt động học của HS là quá trình tự vận động để chiếm lĩnh tri thức
và người học không chỉ tiếp thu thụ động mà có sự điều chỉnh để đạt kết quả
mong muốn. Muốn vậy, HS phải có KN tự kiểm tra, đánh giá để làm căn cứ
cho sự "tự điều chỉnh". Để rèn luyện KN này, trước hết phải biết xác định rõ
mục tiêu học tập của từng giai đoạn hoặc từng phần kiến thức của chương
trình đối với bản thân mình. Với mỗi mục tiêu học tập, căn cứ vào những lần
kiểm tra của GV và nhất là căn cứ vào việc tự đánh giá khả năng học tập của
bản thân thông qua việc học lý thuyết, việc giải từng bài tập. Từ đó thấy được
chỗ còn yếu, chỗ thiếu sót của bản thân về những mặt nào đó mà đề ra
phương hướng khắc phục. Một khi HS đã có KN tự kiểm tra, đánh giá và biết
tự điều chỉnh thì kết quả học tập sẽ được nâng dần lên [18,tr 171].

1.3.3. Sự hình thành kỹ năng giải toán
"Giải toán là một nghệ thuật được thực hành giống như bơi lội, trượt
tuyết hay chơi đàn vậy. Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo
những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành” (Descartes - Leibnitz).
Theo các tác giả Krutetxki, Levitop, Petropxki, Nguyễn Ngọc Quang
thì việc hình thành một KN nào đó gồm ba bước:
- Nhận thức đầy đủ về mục đích, cách thức và điều kiện hành động.
- Quan sát theo mẫu, làm thử theo mẫu.
- Luyện tập cách thức hành động theo đúng yêu cầu, điều kiện của nó

nhằm đạt được mục đích đề ra.
Trong thực tế giảng dạy, khi hình thành KN cho HS, khó có thể phân
chia được rạch ròi theo các giai đoạn nói trên. Chẳng hạn, khi khai triển hành

động giải toán, HS chưa hẳn đã nắm vững tri thức về hành động đó, mà chính
trong quá trình thực hiện hành động, các em dần dần nắm vững các tri thức
cần thiết. Chứng tỏ giữa tri thức và KN là hai mặt không thể tách rời của hành
16


động học. Lí luận dạy học cũng xác định cách dạy của GV sẽ ảnh hưởng sâu sắc
đến cách học của HS. Cũng như các KN khác, KN giải toán cũng được hình
thành qua bắt chước và tập luyện. Để KN giải toán được rèn luyện và vận dụng
trong quá trình nhận thức, trước hết HS phải thấy rõ tác dụng của những KN
thành phần, mối quan hệ giữa chúng trong việc giải quyết một bài toán cũng như
quy trình thực hiện.
Khi dạy các KN, điều quan trọng là không dạy quá nhiều KN cùng một
lúc. Sẽ tốt nhất nếu mỗi bài tập phức tạp sẽ được chia thành một chuỗi các
bước đi, các bước đó được học một cách tách biệt nhau. Rồi mỗi bước đó

được thực hành chậm rãi, chính xác cho đến khi nào đạt được tốc độ cần thiết,
sau đó các bước đi có thể xâu chuỗi lại để làm nên bài tập phức tạp.

Để học được một KN, HS cần biết chúng ta trông chờ ở các em phải có
khả năng làm gì và làm như thế nào cho tốt, làm thế nào sẽ tốt nhất, các em phải
biết tại sao cách làm này chưa hiệu quả, cách làm kia sẽ tốt nhất. Các em phải có
cơ hội thực hành, được kiểm tra và hiệu chỉnh việc thực hành đó. Thực tế, bộ
nhớ có thể xảy ra hiện tượng quên, do đó người học cần có phương tiện để ghi
nhớ và cơ hội ôn lại nội dung đã học, sử dụng lại khi cần. Tất nhiên việc học của
các em cần được đánh giá và các em cần được nêu câu hỏi, nêu những thắc mắc.

1.3.4. Rèn luyện kỹ năng giải toán
Tùy theo từng nội dung kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có những yêu
cầu rèn luyện KN tương ứng. Một KN có thể gồm nhiều KN riêng lẻ. Tác giả
Trần Quốc Cường [8], việc hình thành từng KN riêng lẻ có thể chia thành các
bước như sau:
Bước 1: Giải bài tập mẫu để HS nắm được các thao tác cơ bản (có thể
GV trình bày hoặc gợi ý để HS làm).
Bước 2: Luyện tập giải một số bài tập toán tương tự bài tập mẫu, nhằm giúp
HS thành thạo các thao tác cơ bản. Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay ở
một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài hoặc bài tập ở nhà.
17