Sáng kiến kinh nghiệmGIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

GIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Cùng với sự phát triển của đất nước, xã hội ngày càng phát triển cùng với khoa
học và kỹ thuật ngày càng hiện đại sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi mới.
Đối với nền giáo dục Việt Nam hiện nay đã có nhiều thay đổi, đề ra nhiều chủ
trương, biện pháp có hiệu quả.
- Toán là một môn học khó, đòi hỏi học sinh phải có sự thông minh, sáng tạo.
Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học
tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa
học, kĩ thuật, ứng dụng trong thực tế. Theo cảm nhận của nhiều người , toán là
môn học “ khô khan ”, trừu tượng nên nhiều học sinh không hứng thú học, trong
đó có một dạng toán học sinh gặp rất nhiều sai lầm và rất “ngại” bài tập dạng này,
đó là những bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử.
- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa là biến đổi nó thành một tích
của những đa thức. Việc phân tích một đa thức thành nhân tử là một trong những
kĩ năng cơ bản nhất của chương trình đại số bậc THCS. Kĩ năng này được sử dụng
khi giải các bài toán: biến đổi đồng nhất các biểu thức toán học, giải phương trình,
chứng minh bất đẳng thức, qui đồng mẫu các phân thức, rút gọn phân thức, chứng
minh một số bài toán chia hết. ….
- Để phân tích đa thức thành nhân tử có rất nhiều phương pháp thông thường như:
• Đặt nhân tử chung (thừa số chung).
• Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
• Nhóm nhiều hạng tử.
• Phối hợp các phương pháp trên
- Mặt khác phân tích đa thức thành nhân tử là cả một quá trình các em học sinh
phải vận dụng nhiều kiến thức có liên quan như các hằng đẳng thức đáng nhớ, các
kỹ năng thêm bớt, kỹ năng tách các hạng tử thích hợp, kỹ năng tính toán, nhẩm
nghiệm, kỹ năng chia đa thức cho đa thức . … Để thực hiện tốt các dạng bài tập
này đòi hỏi các em sử dụng các thao tác tư duy trên cơ sở nắm chắc các kiến thức
có liên quan.

- Xuất phát từ các lý do trên và thực tế dạy học toán ở trường THCS, nhằm giúp
học sinh chủ động sử dụng các phương pháp phù hợp để thực hành giải dạng toán
phân tích đa thức thành nhân tử để trên cơ sở ấy các em vận dụng vào giải tốt các
bài toán có liên quan, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán trong
nhà trường. Tôi xin được trình bày đề tài : “GIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI
TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.”
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
- Luật giáo dục nước Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy định:
“ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng
tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn
lên” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 4). “ Phương pháp giáo dục phổ thông


2
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù
hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn
luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại
niềm vui, hứng thú học tập của học sinh” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 24),
trích dẫn trong sách phương pháp dạy học môn toán của Nguyễn Bá Kim do nhà
xuất bản đại học sư phạm phát hành. Và nghị quyết trung ương 2 khóa VIII đã chỉ
rõ “Phương pháp giáo dục đào tạo chậm được đổi mới, chưa pháp huy được tính
chủ động, sáng tạo của người học”
- Qua thực tế tìm hiểu học sinh và trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy:
Học sinh rất lúng túng trước các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử: không
biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào, không nhận dạng được hằng đẳng thức
đã học để phân tích bài toán.
Việc phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề khó của Đại số 8, nhưng nó rất đa
dạng, yêu cầu học sinh phải làm nhiều bài tập. Ngoài bốn phương pháp cơ bản như
sách giáo khoa đã trình bày, còn có những phương pháp khác như: phương pháp

tách các hạng tử, thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ …nên nhiều học sinh
không nắm được phương pháp tư duy, phương pháp cơ bản giải toán, suy nghĩ rất
hời hợt, máy móc. Không biết rút kinh nghiệm về bài vừa giải, nên thường lúng
túng trước những bài toán khác đôi chút với bài quen
Trình bày bài giải không tốt, lập luận thiếu khoa học, không lô-gích, còn nhầm lẫn
dấu khi nhóm các hạng tử
2.

Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
* BIỆN PHÁP 1 : Hệ thống các phương pháp cơ bản, giúp học sinh
khắc sâu các kiến thức để khi giải toán có thể vận dụng một cách thành thạo
PHƯƠNG PHÁP 1:
ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG.
1. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG:
- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a(b + c) = ab + ac.
- Nhân đơn thức.
- Đổi dấu một đa thức.
2. PHƯƠNG PHÁP:
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
- Tìm nhân tử chung.
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử ở
trong ngoặc với dấu của chúng.
3. CÁC VÍ DỤ:
a/Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 5x 2y – 10xy 2
Giải:
2
2
5x y – 10xy
Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là 5xy
Do đó: 5x 2y – 10xy 2 = 5xy( x – 2y)

b/ Chú ý: Đôi khi ta phải đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y)
Giải:
Để làm xuất hiện nhân tử chung (3y – 7z) ta cần đổi dấu đa thức như sau :
7z – 3y = - (3y – 7z)
Do đó : 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y) = 2x(3y –7 z) – 6y(3y –7 z)
= 2(x – 3y)(3y –7 z)


3

4/ BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ 3x3y2 – 6xy3 + 3xy2
b/ x( x – y ) – y(y – x)
c/ (y2 – z)(2x 2 y – yz) – (4yx 2 + yz 2)(z – y 2) + 6x 2z(y 2 – z).
d/ xm + xm + 3 vớ i m ∈ N
e/ 3x ny – 9x n y2 + 15x n+1 vớ i n ∈ N
PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
1. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG:
- Trong nhiều trường hợp ta có thể sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều
biến đổi từ một vế là đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa
của một đa thức đơn giản hơn.
- Ôn tập các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. PHƯƠNG PHÁP:
- Phát hiện và quy về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Áp dụng các hằng đẳng thức viết các đa thức thành dạng tích của các nhân tử
hoặc lũy thừa của một đa thức đơn giản hơn.
3. CÁC VÍ DỤ:
*/Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ (3x + 1)2

b/ 9x2 – 4
c/ 8 – 27a3b6
d/ 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
Giải:
a/ (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1
b/ 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
c/ 8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4)
d/ 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
*/ Chú ý: Đôi khi ta phải đổi dấu của đa thức để làm xuất hiện hằng đẳng thức
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
4 2
-x y + 8x2y – 16 = - ( x4y2 - 8x2y + 16 ) = - ( x2y - 4 )2
4. BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1 2
x − 81y 2
a/
25
b/ x 6 − 1
c/ (ab − 1)2 – (a + b)2
d/ (y – 3)(y + 3)(y2 + 9) – (y2 + 2)(y2 – 2)
PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ.
1. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG:
- Ôn tập tính chất kết hợp của phép cộng.
- Khi sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
nhóm nhiều hạng tử ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử, nhóm các hạng tử
thích hợp nhằm làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức giữa các nhóm.


4
2. PHƯƠNG PHÁP:

- Phát hiện các hạng tử có chứa nhân tử chung kết hợp chúng thành từng nhóm rồi
đặt nhân tử chung (hay dùng hằng đẳng thức).
- Phân tích riêng từng nhóm để làm xuất hiện các nhân tử chung mới hoặc làm xuất
hiện hằng đẳng thức mới.
- Làm liên tục như vậy cho đến khi viết được đa thức thành dạng tích.
3. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – xy + x – y
b) x2 + 2x – y2 + 1
Giải:
a) cách 1 : x2 – xy + x – y =( x2 – xy) + (x – y)= x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)
cách 2 : x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y) = x(x + 1) – y(x + 1) =(x + 1)(x – y)
b) x2 + 2x – y2 + 1 = ( x2 + 2x + 1) – y2 = ( x + 1) 2– y2 = (x + 1 + y)(x + 1 – y)
4. BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ 3x3 – 75x + 6x 2 – 150
b/ x2 – 2015x + xy – 2015y
c/ x2 – 4 + ( x – 2 )2
d/ x2 – y2 – 2xy + y2.
PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
1. PHƯƠNG PHÁP :
- Trong một số trường hợp ta phải phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức
thành nhân tử.
- Thông thường để phân tích một đa thức thành nhân tử ta xét đến phương pháp đặt
nhân tử chung trước tiên, tiếp đó xét xem có thể sử dụng được các hằng đẳng thức
đã học hay không.
- Nếu đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu
ngoặc. Đa thức trong ngoặc sẽ đơn giản hơn đa thức đã cho, sau đó ta phân tích
tiếp (nếu có thể).
- Nhóm nhiều hạng tử sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức.
- Phân tích mỗi nhóm để làm xuất hiện tiếp nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức.

2. VÍ DỤ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 5x3 – 10x2y + 5xy2
b) x2 + 2xy + y2 – xz – yz
Giải :
a) 5x3 – 10x2y + 5xy2
= 5x(x2 + 2xy + y2) = 5x(x + y)2
b) x2 + 2xy + y2 – xz – yz = (x2 + 2xy + y2) - (xz + yz)
= ( x + y )2 – z( x + y ) = ( x + y )( x + y – z )
* Chú ý : Nếu đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử chung ra
ngoài ngoặc. Đa thức trong ngoặc đơn giản hơn đa thức đã cho. Do đó tiếp tục
phân tích sẽ dễ dàng hơn
* Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – 3xyz2 + 3xy
Giải :
3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – 3xyz2 + 3xy
= 3xy( x2 – 2x – y2 - 2yz – z2 + 1 ) = 3xy[( x2 – 2x + 1 ) – ( y2 + 2yz + z2 )]


5
= 3xy[( x – 1 )2 – ( y + z )2 ] = 3xy( x – 1 + y + z )( x – 1 – y – z )
3. BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ 3n 3 – 27n 2 +81n – 81
b/ x3 + 2x2 + 2x + 1
c/ 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
*BIỆN PHÁP 2 : Cung cấp cho học sinh một số kiến thức có liên quan
đến dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử đồng thời rèn cho học sinh
một vài kỹ năng phân tích mới, các bài tập cung cấp cho học sinh từ dễ đến
khó, từ đơn giản đến phức tạp
Kỹ năng 1: TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
1. PHƯƠNG PHÁP:

Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử một cách hợp lý rồi áp dụng các
phương pháp cơ bản để phân tích tiếp.
Mỗi một đa thức có thể có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử
,trong đó hai cách sau là thông dụng nhất :
- Tách hạng tử tự do(hằng số) rồi áp dụng các phương pháp cơ bản để phân tích
tiếp.
- Trong tam thức ax2 + bx + c hệ số b được tách thành b = b1 + b2 sao cho
b1.b2 = a.c, trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích a.c.
Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số có tích bằng ac nói trên mà có tổng bằng b.
2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1. Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.
Hướng dẫn
-Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
-Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
-Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Cách 1: f(x) = 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)
= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2)
* Tách hạng tử bậc hai ax2
-Làm xuất hiện hiệu hai bình phương :
Cách 2: f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)
= (x + 2)(3x + 2)
-Tách thành 4 số hạng rồi nhóm :
Cách 3: f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(3x + 2)
Cách 4: f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = (x + 2)(3x + 2)
*Tách hạng tử tự do c
Cách 5: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = (x + 2)(3x + 2)
*Tách 2 số hạng, 3 số hạng

Cách 6: f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
Cách 7: f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = (x + 2)(3x + 2)


6
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 9x2 + 6x – 8 thành nhân tử:
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các
hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
b1: Tính a.c = 9.(-8) = -72
b2: Phân tích -72 thành tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dương có giá trị
tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)
-72 = (-1).72 = (-2) . 36 = (-4) . 18 = (-6) . 12 = (-8) . 9
b3: Chọn hai thừa số có tổng bằng 6 đó là -6 và 12.
Vậy ta có thể phân tích như sau:
9x2 + 6x - 8 = 9x2 - 6x + 12x – 8 = (9x2 - 6x) + (12x - 8)
= 3x(3x - 2) + 4(3x - 2) = (3x - 2)(3x + 4)
Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu
của hai bình phương
9x2 + 6x - 8 = 9x2 + 6x + 1 – 9 = (3x + 1)2 - 32
= (3x + 1 - 3)(3x + 1 + 3) = (3x - 2)(3x + 4)
Trong trường hợp tam thức ax2 + bx + c có b là số lẽ hoặc a không là bình
phương của một số nguyên thì giải cách 1 gọn hơn cách 2.
* Nhận xét : Qua ví dụ trên ta thấy việc tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng
tử khác nhau nhằm mục đích:
- Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1).
- Làm xuất hiện hiệu hai bình phương (cách 2)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 – 6x + 8
Cách 1: x2 – 6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8 = x(x – 2) – 4( x – 2) = (x – 2 )(x – 4).
Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1= (x – 3)2 – 1 = ( x – 3 – 1)(x – 3 + 1)
= (x – 4)( x – 2).

Cách 3: x2 – 6x + 8 = x2 – 4 – 6x + 12 = ( x – 2)(x + 2) – 6(x – 2)
= (x – 2)(x – 4)
2
Cách 4: x – 6x + 8 = x2 – 16 – 6x + 24 = ( x – 4)(4 + x) – 6(x – 4)
= (x – 4)( x + 4 – 6) = (x – 4) ( x – 2).
Cách 5 : x2 – 6x + 8 = x2 – 4x + 4 – 2x + 4 = (x – 2)2 – 2( x – 2)
= (x – 2)( x – 2 – 2) = ( x – 2)(x – 4).
* Chú ý: Đối với tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0) để thuận tiện khi phân tích
thành nhân tử ta ta dựa vào nhận xét sau:
- Nếu b2 - 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể tiếp tục phân tích tam
thức thành nhân tử bằng một trong các phương pháp đã biết hoặc bằng cách đề ra
bình phương đủ.
- Nếu b2 - 4ac không là bình phương của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích
tiếp được nữa.
Ví dụ 4: tam thức f(x) = 2x2 - 7x + 3
Có b2 - 4ac = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24 = 25 = 52 nên có thể phân tích tiếp được bằng
cách tách số hạng 7x = 6x + x hoặc bằng cách tổng quát là đề ra bình phương đủ.


7
7
3
7
49 25 


2 x 2 −7 x +3 = 2  x 2 − x + ÷= 2  x 2 − x +
−
÷
2

2
2
16 16 


2
2

7  5  
1

= 2  x − ÷ − ÷  = 2  x − ÷( x −3)
4  4  
2





3.BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ 4x2 – 4x – 3
b/ x 4 + 5x 2 – 14
c/ x 2 + 4x – 21
d/ 16x – 5x2 – 3.
Kỹ năng 2: THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
1. PHƯƠNG PHÁP:
- Cộng thêm vào đa thức một hạng tử thì đồng thời cũng phải bớt hạng tử đó để đa
thức không đổi.
- Khi sử dụng phương pháp này (thêm, bớt) phải nhằm hướng đến xuất hiện hằng
đẳng thức (thường là A2 - B2, A3 - B3 … ) hoặc xuất hiện nhân tử chung.

2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 – 1
Giải:
x5 – 1 = x5 – x + x – 1
= (x5 – x) + (x – 1) = x(x4 – 1) + ( x – 1)
= x(x2 – 1)(x2 + 1) + (x - 1)
= x(x +1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1)
= (x – 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1].
3. BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x 4 + 4y 4
b/x 4 + x 2 + 1
c/ 4x4 + 81
d/ x7 + x2 + 1
Kỹ năng 3: KỸ NĂNG DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Ví dụ : phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(6x + 7) + ( 6x + 7 )2
b) B = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Giải :
a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(6x + 7) + ( 6x + 7 )2
cách 1 : Đặt 3x + 1 = X và 6x + 7 = Y
ta có:
A = X2 – 2.X.Y + Y2 = ( X – Y )2
= ( 3x + 1 – 6x – 7 )2 = ( - 3x – 6 )2 = 9( x + 2 )2
Cách 2: Hoặc có thể xem đây là hằng đẳng thức thứ hai:’bình phương của một
hiệu’ với số thứ nhất là 3x + 1, số thứ hai là 6x + 7
Ta có:
(3x + 1)2 - 2(3x + 1)(6x + 7) + ( 6x + 7 )2 = [(3x + 1) – (6x + 7)]2


8

= ( - 3x – 6 )2 = 9( x + 2 )2
b) B = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Ta có: B = x(x + 10)(x + 4)(x + 6) + 128= ( x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
Đặt Y= x2 + 10x + 12 ;tacó :
B = (Y - 12)(Y + 12) + 128 = Y2 – 16 = (Y - 4)(Y + 4)
= (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x +2 )( x + 8 )( x2 + 10x + 8 )
Nhận xét: Trong ví dụ b nhờ phương pháp đổi biến, ta đã đưa đa thức bậc bốn đối
với x thành đa thức bậc hai đối với Y.
3. BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
b/ (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
c/ ( x 2 − x ) − 14( x 2 − x ) + 24
d/ ( x 2 − 3 x + 2)( x 2 − 3 x − 6) − 24
Kỹ năng 4 : ĐỔI VAI TRÒ CỦA ẨN VÀ THAM SỐ .
1.PHƯƠNG PHÁP :
Trong một số bài toán, đôi khi việc đổi vai trò của ẩn số và tham số cho nhau trở
thành một phương pháp giải thú vị . Sau đây là một vài ví dụ minh hoạ :
2.VÍ DỤ: Phân tích đa thức thành nhân tử : A = 2x3 – (a + 2)x2 – ax + a2.
Giải :
A = 2x3 – (a + 2)x2 – ax + a2.
Thông thường, ta hiểu đây là một đa thức bậc ba, ẩn x. Bây giờ hãy xem A là đa
thức bậc hai, ẩn a.
khi ấy ta có A = a2 – (x2 + x)a + 2x3 – 2x2 = a2 – (x2 + x)a - 2x(x – x2)
Với P = -(x2 + x) = (-2x) + (x – x2) và q = 2x3 -2x2 = (-2x).(x – x2), đa thức
A được phân tích thành nhân tử bằng phương pháp tách số hạng như sau :
A = a2 – 2xa + (x – x2)a - 2x(x – x2) = a(a – 2x) + (x – x2)(a – 2x)
= (a – 2x)(a – x2 + x).
Kỹ năng 5: KỸ NĂNG NHẨM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
1.PHƯƠNG PHÁP:
+ Số a là nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(a) = 0

+ Trong một đa thức có hệ số nguyên, nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là
ước của hạng tử tự do .
2. VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x3 - x2 – 4
Giải
3
x - x2 – 4
Lần lượt kiểm tra với x = ± 1 , ± 2 , ± 4, ta thấy f( 2 ) = 0
Đa thức có nghiệm x = 2, do đó chứa nhân tử x – 2
Cách1:
f(x) = x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x – 4
= x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x – 2 ) = (x - 2)(x2 + x + 2)
Cách 2:
f(x) = x3 - x2 - 4 = x3 – 8- x2 + 4= (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2)
= (x – 2 )(x2 + 2x + 4 – x – 2= (x – 2 )(x2 + x +2)


9
Cách 3:Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho (x – 2 ) ta được đa thức g(x)
Vậy: f(x) = ( x – 2).g(x)
x3 – x2 – 4 = ( x – 2 )( x2 + x + 2 )
3.Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên của đa thức cần lưu ý:
- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức
chứa nhân tử x - 1.
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của
hạng tử bậc lẻ thì – 1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có chứa nhân tử x+1.
* Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức, có
thể dùng nhận xét sau:
Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì
f (1)

f (−1)
và
đều là số nguyên.
a −1
a −1

Ví du 2: Phân tích x3 - 7x - 6 thành nhân tử
Nhận xét : các ước của -6 là ±1, ±2, ±3, ±6
Kiểm tra thấy x = -1 là nghiệm ⇒ đa thức chứa một nhân tử là x+1
Lấy x3 - 7x - 6 chia cho (x + 1) được x2 - x - 6 và làm tiếp tục ta thấy x = 3
là nghiệm của x2 – x - 6, thực hiện phép chia x2 - x - 6 cho (x - 3) ta được
(x + 2).
Vậy x3 - 7x - 6 = (x + 1)(x - 3)(x + 2)
4. BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ P(x) = x3 – 2x – 4
b/ P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 4
c/ P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3
d/ P(x) = x3 + 3x – 4
Kỹ năng 6 : DÙNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
1.Ví du : phân tích đa thức thành nhân tử: x2 + 3x + 2
Vì hệ số cao nhất của đa thức là 1 nên đa thức x 2 + 3x + 2 có thể phân tích
thành (x + a)(x + b), nên ta có:
x2 + 3x + 2 = (x + a)(x + b)
⇔ x2 + 3x + 2 = x2 + (a + b)x + ab
 a + b = 3
⇔
 ab = 2
Từ a + b = 3 => a = 3 – b. Thế vào ab = 2, ta được:
ab = 2 => b(3 – b) = 2 ⇔ –b2 + 3b – 2 = 0
⇔ –b2 + b + 2b – 2= 0

⇔ –b(b – 1) + 2(b – 1) = 0
⇔ (b – 1)( 2 – b)= 0
 b = 1 a = 2
⇔
⇒
b = 2  a = 1
Vậy x2 + 3x + 2 = (x +1)(x + 2).
*Chú ý: Có thể phân tích đa thức x2 + 3x + 2 bằng cách tách hạng tử:


10
x2 + 3x + 2 = x2 + x+ 2x + 2
= x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)(x + 2).
2. BÀI TẬP : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x3 – 19x – 30
b/ x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
c/ x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
Kỹ năng 7 : DÙNG PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG
1.PHƯƠNG PHÁP:
Trong phương pháp này , trước hết ta xác định các nhân tử chứa biến của đa
thức, rồi gán cho các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại
2. VÍ DỤ:
Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
P = x2(y – z ) + y2( z – x ) + z2( x – y )
Giải
Thử thay x bởi y thì :
P = y2(y –z ) + y2( z – y ) = 0. Như vậy P chia hết cho x – y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y , thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( ta nói đa
thức P có thể hoán vị vòng quanh x → y → z → x ).

Do đó nếu P đã chia hết cho x – y thì cũng chia hết cho y – z và z – x .
Vậy P có dạng K( x – y )( y- z )( z – x )
Ta thấy K phải là hằng số ( không chứa biến ) vì P có bậc ba đối với tập hợp các
biến
Vì đẳng thức x2(y – z ) + y2( z – x ) + z2( x – y ) = K( x – y )( y – z )( z – x ) đúng
với mọi giá trị x, y ,z nên ta gán cho x, y, z các giá trị riêng ,chẳng hạn x = 2 ; y =
1 ; z = 0 ( 2 ≠ 1 ≠ 0 ) ta được :
4.1 + 1.(-2) + 0 = K.1.1.(-2)
⇔
2
= - 2K
⇔
K
= -1
Vậy P = - ( x – y )(y – z)( z - x )
3. BÀI TẬP : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a(b + c − a)2 + b(c + a − b)2 + c(a + b − c)2 + (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b).
BIỆN PHÁP 3 : Rèn luyện cho học sinh óc tìm tòi sáng tạo trong các
cách giải ,tăng hứng thú học tập của học sinh nhằm phát huy tính hoạt động
tích cực trong học tập và nâng cao hiệu quả học tập
- Để giúp học sinh tìm tòi những cách giải khác nhau của một bài toán , giáo viên
cần giúp học sinh tích lũy ,hệ thống hóa và nắm vững các phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử khác nhau
- Tập cho học sinh biết nhận dạng bài toán mà lựa chọn phương pháp thích hợp
trong tất cả các phương pháp đã biết. Như vậy trong số những con đường đi vừa
xuất hiện , học sinh có thể loại trừ ngay những con đường không thích hợp và chỉ
giữ một số con đường thích hợp. Đối với học sinh ,lúc đầu phải thử với từng con
đường đi, có thể thất bại nhiều lần mới xác định được con đường đi đúng. Và nếu

11
biết nhìn lại con đường mò mẫm vừa đi mà rút kinh nghiệm thì rút ngắn thời gian
mò mẫm và nâng cao dần kỹ năng tìm tòi nhiều cách giải khác nhau
Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x2 + 4xy + 3y2
Giải :
Cách 1 :
x2 + 4xy + 3y2 = x2 + xy + 3xy + 3y2 = x(x + y) + 3y(x + y)= (x + y)(x + 3y)
Cách 2 :
x2 + 4xy + 3y2 = ( x2 + 4xy + 4y2 ) – y2 = ( x + 2y )2 – y2
= ( x + 2y + y )( x + 2y – y ) = ( x + 3y )( x + y )
Cách 3 :
x2 + 4xy + 3y2 = x2 – y2 + 4xy + 4y2= ( x + y )( x – y ) + 4y ( x + y )
= ( x + y )( x – y + 4y ) = ( x + y )( x + 3y )
Cách 4 :
x2 + 4xy + 3y2 = x2 – 9y2 + 4xy + 12y2 = ( x + 3y )( x – 3y ) + 4y( x + 3y )
= ( x + 3y )( x – 3y + 4y ) = ( x + 3y )( x + y )
Cách 5 :
x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 2xy + y2 + 2xy + 2y2= ( x + y )2 + 2y( x + y )
= ( x + y )( x + y + 2y )= ( x + y )( x + 3y )
Cách 6 :
x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 6xy + 9y2 – 2xy – 6y2 = ( x + 3y )2 – 2y( x + 3y )
= ( x + 3y )( x + 3y – 2y )= ( x + 3y )( x + y )
Cách 7 :
x2 + 4xy + 3y2 = 4x2 + 4xy – 3x2 + 3y2 = 4x( x + y ) – 3( x + y )( x – y )
= ( x + y )[4x – 3( x – y )] = ( x + y )( 4x – 3x + 3y )
= ( x + y )( x + 3y )
BIỆN PHÁP 4: Đưa ra các bài toán vận dụng để học sinh phát huy tính
sáng tạo, độc lập.
Dạng 1: Dùng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tính

nhanh biểu thức:
Bài 1: Tính nhanh:
a) 20132 – 169
b) 31.82 + 125.48 + 31.43 - 125.67
c) (1002 + 982 + ….+ 22 ) – (992 + 992 + ….+12)
Giải:
a) 20132 – 169 = 20132 – 132 = (2013 – 13)(2013 + 13) = 2000.2026= 4052000
b) 31.82 + 125.48 + 31.43 - 125.67 = 31(82 + 43) + 125(48 - 67)
= 31. 125 - 19.125 = 125(31 - 19) = 125.12 = 1500
c) (1002 + 982 + ….+ 22 ) – (992 + 972 + ….+12)
= (1002 – 992 ) + ( 982 – 972 )+ …+ (22 – 12)
= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) + ………..+ (2 – 1)(2 + 1)
= 100 + 99 + 98 + 97 + ………………+ 2 + 1= 101 . 50= 5050
Bài 2: Tính giá trị biểu thức:
1
1 2
2
y với x = − ; y = −5
a) A = 25 x − 2 xy +
25
5
4
3
2
b) B = x – 12x + 12x – 12x + 111 tại x = 11


12
Giải:
2

1 2 
1 
2
a ) A = 25 x − 2 xy +
y =  5x − y ÷
25
5 


1
5

với x = − ; y = −5 ta có:
2

  1 1

2
5 − 5  − 5 ( − 5)  = ( − 1 + 1) = 0

 


b/ B = x4 – 12x3 + 12x2 – 12x + 111
Do x = 11 => x + 1 = 12
Nên ta có :
C = x4 – 12x3 + 12x2 – 12x + 111 = x4– (x + 1)x3 + (x + 1)x2 – (x + 1)x + 111
= x4 - x4 - x3 + x3 + x2 - x2 - x + 111 = - x + 111
Với x = 11 ta có : C = -11 + 111 = 100
Bài 3 : Rút gọn biểu thức :

a) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
b) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2
Giải:
a) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)= (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
= (24 – 1) (24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = (28 - 1)(28 + 1)(216 + 1) = (216 - 1)(216 + 1)
= 232 – 1
b)
(x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2
Cách 1: xem đây là HĐT ‘bình phương của một hiệu’ với số thứ nhất là x + y + z,
số thứ hai là x + y
(x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2 = [(x + y + z) – (x + y)]2 = z2
Cách 2:
(x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2
= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz – 2x2 – 2xy – 2xy – 2y2 – 2xz – 2yz + x2 + 2xy +
y2 = z2
Dạng 2: Bài toán chứng minh
Bài 1: Chứng minh:
a) 364364 - 364363 chia hết cho 363
b) n3 - n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
Giải:
a) 364364 - 364363 = 364363(364 - 1) = 364363.363
Vậy 364364 -364363 chia hết cho 363
b) n3 – n = n(n2 - 1) = n(n - 1)(n + 1).
- Với n∈Z thì n - 1, n, n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 2 và
tích cũng chia hết cho 3
mà ( 2, 3 ) = 1 nên tích (n - 1) n (n + 1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Bài 2: Chứng minh
bc(b + c) + ac(c - a) – ab(a + b) chia hết cho cả b + c, b + a, c - a
Giải :
bc(b + c) + ac(c - a) – ab(a + b)

= bc(b + c) + ac2 – a2c - a2b - ab2 = bc(b + c) + a (c2 - b2) – a2(b + c)
= bc(b + c) + a(c - b)(c + b) – a2 (b + c)= (b + c)(bc + ac – ab – a2)


13
= (b + c) [b(c - a) + a(c - a)] = (b + c)(c - a)(b + a)
Vậy: bc(b + c) + ac(c - a) – ab(a + b) chia hết cho cả b + c, b + a, c - a.
Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để tìm x, giải phương
trình
Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để đưa đa thức về dạng A.B = 0
Nếu A.B = 0 thì A = 0 hoặc B = 0 . Từ đó ta tìm được x.
Bài 1: Tìm x, biết :
a) 3x3 – x2 + 6x – 2 = 0
b) x2 + 5x + 6 = 0
Giải :
a) 3x3 – x2 + 6x – 2 = 0
⇔ x2(3x – 1) + 2(3x – 1) = 0
⇔ (x2 + 2)(3x - 1) = 0
Vì x2 + 2 > 0 nên 3x – 1 = 0
1
vậy x = .
3
2
b) Từ x + 5x + 6 = 0
⇒ x2 + 2x + 3x + 6 = 0
⇒ x(x + 2) + 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2)(x + 3) = 0
 x + 2 = 0  x = −2
⇒
⇒

 x + 3 = 0  x = −3

Vậy x = -2 , x = -3
Bài 2 : Giải phương trình :
a/ ( 4x + 3)2 – 25 = 0
b/ 3x2 + 5x - 2 = 0
Bài 3 : Giải bất phương trình
a/ x2 + x – 12 > 0
b/

x
2
−
>0
x −2 x −3

Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:
a/ xy – x – y = 2
b/ 3xy + x – y = 1
Dạng 4: Tìm giá trị của biểu thức để hàm số nhận giá trị dương (hoặc âm)
Bài 1: Với giá trị nào của x thì A không có giá trị âm.
x 3 − x 2 −10 x −8
A= 3
x − 4 x 2 + 5 x − 20
Giải:
Trước hết ta rút gọn A
A=

x 3 +3 x 2 −4 x 2 −12 x +2 x −8
x 2 ( x −4) +3 x ( x −4) +2( x −4)

=
x 3 −4 x 2 +5 x −20
x 2 ( x −4) +5( x −4)

( x −4)( x 2 +3 x +2)
( x +2)( x +1)
=
=
( x ≠ 4)
2
( x −4)( x +5)
x 2 +5
( x + 2)( x + 1)
Vì x2 + 5 ≥ 5 nên để
không nhận giá trị âm thì
x2 + 5


14
(x + 1)(x + 2) ≥ 0
⇔ (x + 1)(x + 2) = 0
⇔ x = -1 , x= -2
(x + 1) và (x + 2) > 0 nghĩa là (x + 1) và (x + 2) phải cùng dấu
Nếu x + 2 > 0 và x + 1 > 0 thì x > -1
Nếu x + 2 < 0 và x + 1< 0 thì x < -2.
Do đó để A ≥ 0 thì x ≥ -1 hoặc x ≤ -2
Bài 2: chứng minh rằng không có số hữu tỷ x nào thỏa mãn bất đẳng thức sau:
-x2 + 2x – 2 ≥ 0
Bài toán này tương tự với bài toán :Hãy chứng minh rằng không có số hữu tỷ x nào
thỏa mãn bất đẳng thức sau :

x2 -2x + 2 ≤ 0.
Vế trái x2 -2x + 2 = (x - 1)2 + 1.
Vì (x - 1)2 ≥ 0 nên (x - 1)2 + 1 ≥ 1 (với mọi x ∈Q)
Do đó không có giá trị nào của x để - x2 + 2x – 2 ≥ 0
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau :
a) A = 2x2 + 8x
b) B = 10x + 6y – 4x2 – 9 – y2 + 35
Giải :
a) A = 2x2 + 8x = 2( x2 + 4x )= 2 (x2 + 4x + 4 – 4) = 2 (x + 2)2 – 8
Vì (x + 2)2 ≥ 0 với mọi x
Nên A = 2 (x + 2)2 – 8 ≥ -8
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -8 khi x = -2
b) B = 20x + 6y – 4x2 – 9 – y2 + 35 = -(4x2 – 20x + 25) – (y2 – 6y + 9) + 60
= -(2x – 5)2 – (y – 3)2 + 60 ≤ 60
5

2 x − 5 = 0
x =
⇔
2
Vậy giá trị lớn nhất của C là 60 khi 
y −3 = 0
 y = 3

Dạng 5: Rút gọn phân thức:
Bài 1: Rút gọn phân thức sau
5x3 + 5 x
x 4 −1
80 x 3 −125 x
b)

3( x − 3) − ( x − 3)(8 − 4 x)
a)

Giải:
5 x +5 x
5 x ( x 2 +1)
5x
a)
= 2
= 2
4
2
x −1
( x +1)( x −1)
x −1
3

b)

5 x (4 x − 5)(4 x + 5) 5 x (4 x + 5)
80 x 3 − 125 x
5 x(16 x 2 − 25)
=
=
=
3( x − 3) − ( x − 3)(8 − 4 x) ( x − 3)(3 − 8 + 4 x)
( x − 3)(4 x − 5)
x −3

Bài 2: Cho biểu thức sau : B =

mn 2 + n 2 ( n 2 − m) + 1
m 2 n 4 + 2n 4 + m 2 + 2

a) Rút gọn biểu thức B
b) Chứng minh rằng B dương , tìm m để B đạt giá trị lớn nhất.
Giải :


15
mn 2 + n 4 − mn2 + 1
n4 + 1
1
= 2
= 2
a) B = 4 2
4
2
n (m + 2) + m + 2 ( m + 2)( n + 1) m + 2

b) Vì m2 + 2 > 0 do đó B =

1
> 0 với mọi m.
m +2
2

1
đạt giá trị lớn nhất khi m2 + 2 đạt giá trị nhỏ nhất
m +2

2

muốn vậy m2 = 0 hay m =0 khi đó giá trị của biểu thức là: A =

1
.
2

Dạng 6: Quy đồng mẫu thức các phân thức.
Để quy đồng mẫu thức các phân thức ta phải phân tích các mẫu thức thành nhân tử
sau đó ta tìm mẫu thức chung.
3
1
2
(1); 2
(2); 2
Ví dụ:. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau 3
x −8
x − 4x + 4
x + 2x + 4
(3)
Giải:
3
1
2
(1); 2
(2); 2
(3)
x −8
x − 4x + 4

x + 2x + 4
3

Ta có MTC là (x - 2)2(x2 + 2x + 4)
Tìm nhân tử phụ: của (1) là (x - 2), của (2) là (x - 2)2, của (3) là (x - 2)2 :
Vậy:
3
3( x − 2)
3x − 6
=
=
(1)
 3
x − 8 ( x − 2) 2 ( x 2 + 2 x + 4) ( x − 2) 2 ( x 2 + 2 x + 4)
1
x2 + 2x + 4
=
(2)
 2
x − 4 x + 4 ( x − 2) 2 ( x 2 + 2 x + 4)
2
2( x − 2) 2
2 x2 − 8x + 8
=
=
(3)
 2
x + 2 x + 4 ( x − 2)2 ( x 2 + 2 x + 4) ( x − 2) 2 ( x 2 + 2 x + 4)

Dạng 7: Chia đa thức:

a) (2x3 + x2 – 6x – 3) : (2x + 1)
b)
(27x3 – 1) : (3x – 1)
Giải:
a) (2x3 + x2 – 6x – 3) : (2x + 1)= [(2x3 + x2) – (6x + 3)] : (2x + 1)
= [x2(2x + 1) – 3(2x + 1)] : (2x + 1)= (2x + 1)(x2 – 3) : (2x + 1)= x2 – 3
b)
(27x3 – 1) : (3x – 1)= (3x – 1)(9x2 + 3x + 1) : (3x – 1)= 9x2 + 3x + 1
BIỆN PHÁP 5: Đưa ra một số bài toán trắc nghiệm để kiểm tra nhanh
trình độ nhận biết của học sinh , từ đó giúp học sinh giải được toán nhất là đối
với học sinh kém, sao cho khả năng giải toán ngày càng tăng
1. Các phương pháp thường sử dụng để phân tích đa thức thành nhân tử:
a.
Đặt nhân tử chung.
b.
Sử dụng các hằng đẳng thức.
c.
Nhóm các hạng tử thích hợp để xuất hiện nhân tử chung hoặc sử dụng các
hằng đẳng thức.
d.
Cả ba câu trên đều đúng.
2. Để phân tích x 2 – 2x – y2 + 1 thành nhân tử ta thường sử dụng phương
pháp:
a/ Đặt nhân tử chung.
b/ Dùng hằng đẳng thức.


16
c/ nhóm hạng tử.
d/ cả 3 phương pháp trên

3. Tìm kết quả đúng khi phân tích x2 - y2 - 6x + 9 thành nhân tử:
a/ (x - y)(x + y) - 3(2x - 3)
b/ x(x - 6) + (3 - y)(3 + y)
c (x – 3 - y)(x – 3 + y)
d/ (x – 3 - y)(x + 3 + y)
2
4. Đa thức x - 5 không phân tích thành nhân tử được, đúng hay sai? Vì sao?
a/ Đúng vì không có nhân tử chung.
b/ Đúng vì không sử dụng được các hằng đẳng thức.
c/ Sai vì x2 – 5 = (x - 2)(x - 3)
d/ Sai vì x 2 − 5 = ( x − 5)( x + 5)
5. Đa thức x4 - y4 được phân tích thành nhân tử là:
a/ (x2 - y2)2
b/ (x - y)(x + y)(x2 - y2)
c/ (x - y)(x + y)(x2 + y2)
d/ (x - y)(x + y)(x - y)2
6. Đa thức 12x – 9 - 4x2 được phân tích thành nhân tử là:
a/ (2x - 3)(2x + 3) b/ (3 - 2x)2
c/ –(2x - 3)2 d/ –(2x + 3)2
7. Đa thức x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 được phân tích thành nhân tử là:
a/ (x - y)3
b/ (2x - y)3
c/ x3 - (2y)3
d/ (x - 2y)3
8. Điền vào chỗ trống (…) của hằng đẳng thức x2 + 4xy + … = (x + 2y)2 là:
a/4y2
b/ 2y2
c/ 4y
d/ 2y
9. Kết quả của phép tính (x + 3y).(x - 3y) bằng :

a/ x2 + 9xy + 9y2
b/ x2 - 9y2
c/ x2 - 6xy + 9y2 d/ Kết quả khác
10. Giá trị của biểu thức x3 - 6x2 + 12x - 8 tại x = 12 là :
a/ 1400
b/ 1200
c/ 1000
d/ 1800
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Qua thực tế khi thực hiện đề tài này trong giảng dạy Toán bậc THCS, tôi nhận thấy
phương pháp như trên học sinh tiếp thu bài hơn, tích cực học tập, tự giải quyết vấn
đề, tự nghiên cứu tìm tòi kiến thức mới.
Số liệu thống kê đầu năm(2014 – 2015) Khối 8 (42hs)
GIỎI
KHÁ
TRUNG BÌNH
YẾU - KÉM
14%
31%
31%
23,9%
6hs
13hs
13hs
10hs
Số liệu thống kê cuối năm(2014 – 2015) khối 8 (42hs)
GIỎI
14%
6hs

KHÁ
36%
15hs

TRUNG BÌNH
33%
14hs

YẾU - KÉM
17%
7hs

IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
* Phân tích đa thức thành nhân tử là phép toán ngược của phép nhân hai đa thức;
dạng toán này rất phong phú và đa dạng. Trong nội dung chương trình lớp 8 đòi
hỏi học sinh phải làm nhiều bài tập
Như vậy để giúp học sinh giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
tôi có một số đề xuất sau:
-Giáo viên phải có trình độ chuyên môn vững, biết cách tổ chức và điều khiển học
sinh. Sử dụng đúng phương pháp dạy học.
- Kiểm tra kiến thức cơ bản, hệ thống kiến thức có liên quan.


17
- Các bài tập phải được chọn lọc, ra đúng thời điểm cần thiết .
- Bài dễ chuẩn bị cho bài khó, bài cơ bản chuẩn bị cho bài nâng cao, số lượng bài
tập vừa đủ để có điều kiện khắc sâu kiến thức.
- Các bài tập có thể vận dụng nhiều kiến thức, tuy nhiên cần giúp cho học sinh tìm
ra cái nét riêng của từng bài, của từng dạng toán.
- Cần khai thác sự độc lập suy nghĩ của học sinh: còn cách nào giải quyết không?

Khuyến khích các em phát triển sáng tạo bài toán mới từ bài toán đã biết .
- Nêu được ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử khi tính nhanh giá trị
biểu thức; khi chứng minh đa thức này chia hết cho đa thức khác…
* Nội dung chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” nhằm góp phần vào việc
nâng cao một tiết giảng dạy trên lớp. Giúp học sinh có cách nhìn tổng quan về các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử .
Khuyến nghị:
* Về phía nhà trường :
- Nhà trường cần phải quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi đến việc học tập môn
Toán
- Cần có những đợt tập huấn chuyên môn để nâng cao trình độ nghiệp vụ của giáo
viên Toán .
* Về phía học sinh :
- Học tập nghiêm túc trong các tiết học.
- Thực hiện đầy đủ các bài tập ở nhà do giáo viên đề ra, học bài, chuẩn bị bài mới
trước khi đến lớp
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp dạy học Toán - Hoàng Chúng - Nhà xuất bản Giáo dục - 1978
2. Những bài toán cơ bản và nâng cao chọn lọc toán 8 – Tập 1- Lê Thị Hương –
Nguyễn Kiếm - Hồ Xuân Thắng - Nhà xuất bản Đại họcsư phạm Hà Nội – 2004.
3. Câu hỏi và Bài tập trắc ngiệm Toán 8 – Nguyễn Văn Lộc – Nhà xuất bản
ĐHSP TP. Hồ Chí Minh - 2008
4. Toán 8 tập 1- Tôn Thân (chủ biên) -Nhà xuất bản Giáo dục – 2011.
5. SGV Toán 8 - Tôn Thân (chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo dục – 2008.
1.
Người thực hiện