SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH”

Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH”
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Thuận lợi
Học sinh khối THCS đang phát triển mạnh mẽ về thể chất và trí tuệ.Các em đang
muốn thể hiện tính độc lập và sự hiểu biết của bản thân. Đó là điều thuận lợi cho
việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho các em. Bên cạnh đó, được sự chỉ đạo và định
hướng của chuyên môn phòng giáo dục về việc đổi mới phương pháp nâng cao
chất lượng dạy và học, kết hợp với sự quan tâm hỗ trợ tích cực của ban giám hiệu
và tổ chuyên môn trong việc xây dựng đề tài. Tuy nhiên trong thực tế hiện nay,
trong phương pháp giảng dạy đòi hỏi người giáo viên phải mất nhiều thời gian vào
việc chuẩn bị bài để tìm ra nhiều hướng giải khác nhau của cùng 1 bài toán.
2.Khó khăn
Học sinh đa số là con công và nông dân, do đó phụ huynh ít có điều kiện, thời gian
quan tâm theo dõi. Một bộ phân lớn học sinh còn lười suy nghĩ, phần lớn các em
dựa vào các loại sách giải đang phát hành tràn lan, thức học tập của học sinh chưa
cao, dụng cụ học tập của học sinh chưa đầy đủ. Tất cả những khó khăn đó dẫn đến
học lực học sinh không đồng đều.
Số liệu thống kê ban đầu
GIỎI
KHÁ T.BÌNH
YẾU - KÉM
8%
25%
55%
22%
Mặt khác khi học giải bất phương trình học sinh không biết được nhiều phương
pháp chứng minh, khả năng giải quyết các dạng bài tập này còn rất yếu. Do đó,

việc tiến hành nghiên cứu đề tài “RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT
PHƯƠNG TRÌNH” là rất cần thiết. Trong đề tài này tôi đưa ra một số phương
pháp và các dạng bài tập giúp học sinh có kỹ năng khi giải các bài tập về bất
phương trình
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1.

Cơ sở lý luận
1


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

Qua quá trình trực tiếp giảng dạy, các tiết bồi dưỡng học sinh giỏi, phụ đạo học
sinh yếu kém và các tiết dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy: Học sinh thường lung
túng, không tìm ra hướng giải quyết hoặc tìm ra hướng giải quyết nhưng không
biết trình bày thế nào, các bài làm của các em trong giờ lên lớp cũng như bài kiểm
tra một tiết thường không chặt chẽ, không logic làm cho lời giải của các em trở nên
rời rạc, không hợp lý đặc biệt là những bài toán khó, những bài toán mang tính
thực tiễn
Để học sinh không những nắm nội dung kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà
giáo viên phải rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy logic, rèn luyện kỹ năng giải
bài tập, có hứng thú, quan điểm rõ ràng trong giải các bài tập
Do đó, để đáp ứng yêu cầu của nền giáo dục hiện nay và nhu cầu học tập của các
em, trong quá trình giảng dạy chúng ta phải nhấn mạnh nội dung kiến trọng tâm
của từng bài, từng chương, phải đi sâu vào trọng tâm, đi từ dễ đến khó, từ cụ thể
đến trừu tượng đồng thời có thể gợi mở, đặt vấn đề để học sinh phát triển tư duy và
kỹ năng phân tích nội dung và kỹ năng làm bài tập một cách chặt chẽ, rõ ràng và
có hệ thống đồng thời giúp các em nhận ra các dạng bài toán

2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Các phương pháp thường sử dụng:
a.
b.
c.
d.
e.

Hình thành thái độ học tập môn toán
Hệ thống kiến thức cơ bản và phân loại bài tập từ đơn giản đến phức tạp
Rèn luyện khả năng suy luận, tư duy
Định hướng bài làm và vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập
Rèn luyện kỹ năng giải toán

III. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Khi dạy, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh các phương pháp sau:
Phương pháp 1: Hình thành thái độ học tập môn toán
Giáo viên cần cho học sinh biết được tầm quan trọng của bộ môn toán trong thực
tế cuộc sống và trong các môn học khác. Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần
kết hợp nhiều biện pháp như: cho học sinh tổ chức học nhóm để rèn luyện tính tập
thể, tổ chức trò chơi, tiến hành đo đạc, giới thiệu bài học một cách lý thú
Ví dụ: Để đi vào bài bất phương trình bậc nhất một ẩn
2


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

3
4

Giáo viên có thể đưa ra ví dụ về các phương trình như: 4x + 1 =0; y = 6;0.5x2 = 2
Giáo viên hỏi: trong các phương trình cho trên phương trình nào là phương trình
bậc nhất một ẩn. Học sinh trả lời 4x + 1 =0;

3
y = 6. Vậy nếu cô thay dấu = trong
4

các ví trên thành dấu “ <; >; ≤; ≥ thì các phương trình trên trở thành bất phương
trình bậc nhất một ẩn. Vậy bất phương trình bậc nhất một ẩn là gì? Chúng ta sang
bài học hôm nay
Phương pháp 2: Hệ thống kiến thức cơ bản và phân loại bài tập từ đơn giản đến
phức tạp
Hệ thống kiến thức cơ bản
a/Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) trong đó a, b
là hai số đã cho, a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ : 2x + 3 < 0
b/Bất phương trình tương đương:
Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm
Ví dụ : bất phương trình x > 3 và 3 < x là hai bất phương trình tương đương
c/Các phép biến đổi tương đương:
*Định lí 1: nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của bất phương trình thì
được một bất phương trình mới tương đương
+ Hệ quả 1: nếu trừ hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất phương trình thì
được một bất phương trình tương đương
+ Hệ quả 2: nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của nó thì được
một bất phương trình tương đương
*Định lí 2:

- Nếu nhân hai vế của bất phương trình với một số dương thì được một bất phương
trình tương đương
- Nếu nhân hai vế của bất phương trình với một số âm và đổi chiều thì được một
bất phương trình tương đương
Phân loại các dạng bài tập:
Dạng 1: Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) 2x – 3 < 0
3


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

b) b) -3x < 27
c)

3x + 5< 5x – 7

ở dạng bài tập này học sinh dễ dàng giải bằng cách sử dụng các phép biến đổi
tương đương
Giải:
a) 2x – 3 < 0
Ta có: 2x- 3 < 0
<=> 2x < 3
<=> 2x.

1
1
< 3.

2
2

<=> x <

3
2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

{

S= x / x <

3
2

}

b) -3x < 27
<=> -3x.

- 1
- 1
> 27.
3
3

<=> x > -9
vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = { x / x > - 9}

c) 3x + 5< 5x – 7
Ta có 3x + 5< 5x – 7
<=> 3x –5x < -7 –5
<=> -2x < -12
<=> x > 6
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 6
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau:
(x - 3)2 > -x2 + 4x -4

4


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

Bài tập này sẽ làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn vì các em thấy lũy thừa của
x không là bậc nhất nữa nên không biết làm như thế nào. Vì vậy giáo viên cần
đưa ra cho các em một số gợi ý nhỏ: thực hiện phép tính ở hai vế và thu gọn
(x - 3)2 > -x2 + 4x -4
<=> (x - 3)2 > - (x - 2)2
Đến đây học sinh lung túng không biết cách thực hiện như thế nào? Giáo viên
hướng dẫn cho học sinh ngoài cách áp dụng các quy tắc biến đổi bất phương trình
chúng ta có thể giải bất phương trình bằng cách đánh giá hai vế. Cụ thể:
Ta có: (x - 3)2 ≥ 0 và -(x - 2)2 ≤ 0 nên bất phương trình trên luôn đúng với mọi
giá trị của x. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R
Sau khi thực hiện xong bài tập trên giáo viên có thể cho học sinh rút ra kết luận là
ngoài cách giải các bất phương trình bằng cách áp dụng các quy tắc biến đổi chúng
ta có thể sử dụng phương pháp đánh giá hai vế bất phương trình
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
5x – mx > 3 + x

Học sinh có thể biến đổi tương đương
⇔ (4 - m) x > 3
Đến đây các em vội vàng suy ra x >

3
mà quên mất điều kiện để một phép chia
4−m

có nghĩa thì số chia phải khác 0, vậy giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh thực
hiện theo các bước sau:
3
4−m
3
Với 4 – m < 0 ⇔ m > 4 thì x <
4−m

Với 4 – m > 0 ⇔ m < 4 thì x >

Với 4 – m = 0 ⇔ m = 4 thì 0x > 3. Không có giá trị nào của x thỏa mãn bất
phương trình
Bài 4: Giải bất phương trình sau:
x+

x−2
x+2
>
- ax
a
a

Giáo viên cho học sinh nhận xét bất phương trình này là bất phương trình gì?
Đây là bất phương trình chứa ẩn ở mẫu do đó để giải bất phương trình thì phải tìm
điều kiện xác định của mẫu là (a ≠ 0)
5


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

⇔ x + ax >

4
a

⇔ (1 + a) x >

4
a
4

. nếu 1 + a > 0 ⇔ a > -1 thì x > a(a + 1)
4

. nếu 1 + a < 0 ⇔ a < -1 thì x < a(a + 1)
. nếu 1 + a = 0 ⇔ a = -1 thì 0 x > -4
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x
Dạng 2: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Để giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối
dựa vào định nghĩa /A/ = A nếu A ≥ 0; = -A nếu A < 0
Chúng ta có thể sử dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b = 0(a ≠ 0)

+ Cùng dấu với a nếu các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức
+ Trái dấu với a nếu các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức
Sau đây là một số dạng toán bất phương trình chưa dấu giá trị tuyệt đối bậc nhất
một ẩn thường gặp:
Dạng 1: a ) ǀ f(x) ǀ < a ⇔ -a < f(x) < a (với a dương)
b) ǀ f(x) ǀ < g(x) ⇔ -g(x) < f(x) < g(x)
Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:
a/ /3x - 5/ < 10
⇔ -10 < 3x - 5 < 10
* 3x – 5 > -10 ⇒ x >

−5
3

* 3x - 5 < 10 ⇒ x < 5
b/ / 5 – 2x / < x + 3 ⇔ -( x + 3) < 5 – 2x < x + 3
*5 – 2x > -(x + 3) ⇒ x < 8
*5 – 2x < x + 3 ⇒ x >

2
3

Dạng 2:
a) /f(x)/ > a ⇔ f(x) < -a hoặc f(x) > a (với a dương)
b) /f(x)/ > g(x) ⇔ f(x) < -g(x) hoặc f(x) > g(x)
Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:
a/ /2x/ > 5
⇔ 2x < -5 hoặc 2x > 5
⇔x<

−5
5
hoặc x >
2
2

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x <

−5
5
hoặc x >
2
2

b/ /1 – 3x / > 7 + x ⇔ 1 – 3x < -(7 + x) hoặc 1 – 3x > 7 + x

6


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

• 1 – 3x < -(7 + x) ⇔ x > 4
• 1 – 3x > 7 + x ⇔ x <

−3
2

Dạng 3: Bất phương trình tích, bất phương trình thương
Dạng bài tập này học sinh có thể lập bảng xét dấu nhưng cũng có thể sử dụng các

phép biến đổi tương đương. Khi sử dụng phương pháp này cần lưu ý:
- Tích ( thương) của hai số cùng dấu là số dương
- Tích ( thương) của hai số cùng trái là số âm
Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:
a/ (x - 3)(x + 2) ≤ 0
b/ (2x + 3)(x - 2) < (x - 2)2
c/ (2x - 1)(x - 2)(x + 3) > 0
Giáo viên hướng dẫn cho học sinh từng cách làm cụ thể
a/ (x - 3)(x + 2) ≤ 0
Cách 1: lập bảng xét dấu
x
-2
3
x -3
|
0
+
x+2
0
+
|
+
(x - 3)(x + 2)
+
0
0
+
Dựa vào bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình trên là: -2 ≤ x ≤ 3
Cách 2: Biến đổi tương đương
(x - 3)(x + 2) ≤ 0

x − 3 ≤ 0

x − 3 ≥ 0

⇔  x + 2 ≥ 0 hoặc  x + 2 ≤ 0


x − 3 ≤ 0

x ≤ 3

x − 3 ≥ 0

x ≥ 3

•  x + 2 ≥ 0 ⇔  x ≥ −2 (1)


•  x + 2 ≤ 0 ⇔  x ≤ −2 (2)


Từ (1) (2) ta có nghiệm của bất phương trình trên là: -2 ≤ x ≤ 3
Đến câu b giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: bất phương trình trên có gì
khác so với câu a.
Để giải bất phương trình này thì chúng ta sử dụng phương pháp nào.
Ta sử dụng hai phương pháp là biến đổi tương đương, lập bảng xét dấu
b/ (2x + 3)(x - 2) < (x - 2)2
⇔ (2x + 3)(x - 2) - (x - 2)2 < 0
⇔ (x - 2)(x +5) < 0
Lập bảng xét dấu:

x
x -2
x+5

-

-5
|
0

+

2
0
|

+
+
7


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

(x - 2)(x +

+

0

-

0

+

5)
Dựa vào bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình trên là: -5 < x < 2
c/ (2x - 1)(x - 2)(x + 3) > 0
Tương tự như hai câu trên thì câu c chúng ta cũng đi lập bảng xét dấu
x
2x -1
x-2
x+3
(2x -1)( x - 2)( x +

-3
|
0
0
0

-

+
+

1/ 2
0
|

0
0

+
+
-

2
|
0
|
0

+
+
+
+

3)
Dựa vào bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình trên là: -3 < x <

1
và
2

x> 2
Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau:
x−3
≥ 0
x+2

x 2 + 5x − 6
b/
<0
x +1
x+2
x
≤ 2
c/
+
x
x+2

a/

Giáo viên hướng dẫn cho học sinh cách giải bất phương trình dạng thương thì cũng
giống như bất phương trình dạng tích là chúng ta có thể sử dụng hai phương pháp
lập bảng xét dấu hoặc là biến đổi tương đương
Lập bảng xét dấu:
x
x -3
x+2
x−3
x+2

+

-2
|
0
0

+
-

3
0
|
0

+
+
+

Dựa vào bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình trên là: x ≥ -2; x ≥ 3
Đến câu b học sinh thường lung túng không biết thực hiện như thế nào vì tử của
phân thức là một đa thức bậc hai. Để giải được bài tập này giáo viên hướng dẫn
các em phải đưa được tử thức về dạng tích
b/

( x + 1)( x + 6)
x 2 + 5x − 6
<0⇔
<0
x +1
x +1

8


Sáng kiến kinh nghiệm

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

Lập bảng xét dấu:
x
x+6
x–1
x+1

-

( x + 1)( x + 6)
x +1

-6
|
0
0
0

+
+

-1
0
|
0
0

1
|

0
|
0

+
+
-

+
+
+
+

Dựa vào bảng xét dấu nghiệm của bất phương trình trên là: -1 < x <1và x< 6
Tương tự như vậy để thực hiện câu c ta quy đồng mẫu thức và đưa chúng về dạng
phân thức và giải như bài tập a
c/

4( x − 1)
x+2
x
≤ 2⇔
+
≤0
x( x − 2)
x
x+2

Lập bảng xét dấu:
x

x–1
x
x -2

-

4( x − 1)
x( x − 2)

0
|
0
0
0

1
+
+

0
|
0
0

2
+
+
-

|

0
|
0

+
+
+
+

Dựa vào bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình trên là: 1 ≤ x < 2 và
x< 0
Phương pháp 3: Rèn luyện khả năng suy luận, tư duy
Đặc thù của bộ môn toán học là phải có khả năng suy luận,tư duy. Để làm được
điều đó trong mỗi tiết học giáo viên nên đưa ra các dạng bài tập mang tính chất suy
luận để kích thích tư duy học tập của các em
Ví dụ 1: Tìm giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình sau
3x − 2
x
2x − 5
3− x
≥ + 0,8 và 1 >
5
2
6
4

Học sinh phải hiểu được giá trị cần tìm của x chính là nghiệm chung của cả hai bất
phương trình. Để tìm được x thì ta phải đi giải tìm tập nghiệm của cả hai bất
phương trình và tìm phần chung trong tập nghiệm của chúng
3x − 2

x
≥ + 0,8
5
2

⇔ x ≥ 12
Và 1 x < 13

(1)

2x − 5
3− x
>
6
4

(2)
9


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

từ (1)(2) ta có 12≤ x < 13
vì x € Z nên x = 12
Khi cho bài tập giáo viên có thể cho bài tập tương tự nhau nhưng bài tập sau phải
phức tạp hơn bài tạp trước để tạo cho các em biết lợi dụng bài tập trước mà làm
tương tự nhưng lại phải tư duy thêm để tạo sự hứng thú và say mê học tập
Ví dụ 2: Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn các bất phương trình sau:
a/ 2x -

7x − 2
x−2
>
-5
3
4
x
x
x
+ 8
2 4

b/ x +5 <

Để tìm được số nguyên lớn nhất thỏa mãn các bất phương trình thì chúng ta phải đi
giải bất phương trình
a/ 2x -

7x − 2
x−2
>
-5
3
4

⇔ x < 10

4
7

Học sinh khi làm đến đây không biết x sẽ nhận giá trị nào thì giáo viên có thể gợi ý
cho các em số nguyên nhỏ hơn 10

4
4
và gần với 10 nhất là số bao nhiêu thì học
7
7

sinh sẽ tìm được số đó
Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là 10
b/ x +5 <

x
x
x
+ 8
2 4

⇔x<-8
Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là -7
Ví dụ 3: Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a/

4 x + 2 5( x − 1) x + n
<
(m, n tham số)
3
6

m

b/ ax – bx –a2+b2 > 0

(a,b tham số)

10


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

Mở rộng hơn ví dụ 1 và ví dụ 2 là bài toán giải và biện luận bất phương trình, để
giải được bất phương trình dạng này thì chúng ta phải dung phép biến đổi tương
đương đưa chúng về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn
a/

4 x + 2 5( x − 1) x + n
<
(m, n tham số)
3
6
m

⇔

m−2
2n − 3m
.x <
2m

m−2

• Nếu

(1)

m−2
>0 ⇒ m < 0 hoặc m >2 thì (1) thu gọn thành (m - 2)x < 2n-3m
2m

+ Với m – 2 > 0 ⇒ m > 2 ⇒ x <

2n − 3m
m−2

+ Với m – 2 < 0 ⇒ m < 2 ⇒ x >
• Nếu

2n − 3m
m−2

m−2
> 0 ⇒ 0 < m < 2 thì (1) có dạng (m - 2)x > 2n – 3m
2m

⇒x <

2n − 3m
m−2

• Nếu m = 2 và m ≠ 0 thì (1) có dạng 0x < 2n – 6
+ Với n > 3 thì bất phương trình có vô số nghiệm
+ Với n ≤ 3 thì bất phương trình có nghiệm
Giống như câu a giáo viên cho học sinh thực hiện câu b
b/ ax – bx –a2+b2 > 0

(a,b tham số)

⇔ (a - b)x > a2 – b2
• Nếu a – b > 0 thì x > a + b
• Nếu a – b < 0 thì x < a + b
• Nếu a – b = 0 thì 0x > 0. Vậy bất phương trình vô nghiệm
Phương pháp 4: Định hướng bài làm và vận dụng các kiến thức đã học vào
giải bài tập
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
a)

2x x −1 x
−
< −x
3
2
6

11


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

b)

2- x
3 - 2x
<
3
5

Giáo viên cho học sinh nhận xét các bất phương trình trên có gì khác so với các bất
phương trình khác mà chúng ta đã được học và giáo viên gợi ý cho các em quy
đồng và khử mẫu
a)

2x x −1 x
−
< − x ⇔ 2.2 x − 3 ( x − 1) < x − 6 x ⇔ 4 x − 3 x + 3 < −5 x ⇔ x + 5 x < −3
3
2
6

⇔ 6 x < −3 ⇔ x <

−3
1
⇔ x<−
6
2

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < −
b)

1
2

2- x
3 - 2x
<
3
5

< => 5(2 - x ) < 3(3 - 2x )
< => 10 - 5x < 9 - 6x
< => 6x - 5x < 9 - 10
< => x < - 1

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -1
Qua bài tập này giáo viên cho học sinh rút ra cách giải bất phương trình chứa mẫu
số
Bước 1: Quy đồng mẫu và khử mẫu
Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hạng tử bằng số sang một
vế và thu gọn bất phương trình
Bước 3: Giải bất phương trình sau khi thu gọn
Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau:
x + 25
x + 30 x + 35
x + 40
+
=
+
75

70
65
60

Với bài tập này phần lớn các em học sinh thường áp dụng một cách máy móc là đi
quy đồng mẫu, rút gọn hoặc các em có thể tách thành

x
25
x
30
x
+
+
+
=
+
75
75
70
70
65

35
x
40
+
+
và giải bất phương trình
65

60
60

Làm như vậy thì phức tạp nên giáo viên cho các em nhận xét về mối quan hệ giữa
tử và mãu của mỗi phân thức và hướng dẫn học sinh cách làm
12


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

x + 25
x + 30
x + 35
x + 40
+ 1) + (
+ 1) = (
+ 1) + (
+ 1)
75
70
65
60
1
1
1
1
⇔ (x + 100)( +
)=0
75

70 65 60
1
1
1
1
Mà ( +
)≠0
75
70 65 60

⇔(

Nên x + 100 = 0 ⇔ x = -100
Ngoài các cách giải được nêu ở trên chúng ta có thể giải các bất phương trình bằng
cách thêm hoặc bớt cùng một số vào hai vế của bất phương trình
Học sinh thường mắc phải khi giải bài tập toán là khi gặp một bài toán mà chưa có
thuật giải thì thường là không định hướng được cách giải và không biết trình bày
bài giải. Do đó trong quá trình giảng dạy giáo viên cần rèn luyện cho học sinh cách
phân tích bài toán, định hướng và trình bày được bài làm một cách nhanh nhất
Phương pháp 5: Rèn luyện kỹ năng giải toán
Ví dụ 1: Tìm giá trị của x để các biểu thức sau nhận giá trị không âm
3x – 2
Giáo viên cần định hướng cho học sinh biết biểu thức sau nhận giá trị không âm là
gì?
Nhận giá trị không âm có nghĩa là biểu thức đó luôn ≥ 0
3x – 2 ≥ 0
⇔x≥

2
3

Ví dụ 2: Tìm giá trị của x để các biểu thức sau nhận giá trị không dương
3x – 2
Giáo viên phân tích cho học sinh biết không dương khác không âm chỗ nào?
Định hướng cho học sinh biết biểu thức sau nhận giá trị không dương có nghĩa là
biểu thức đó luôn ≤ 0
3x – 2 ≤ 0
⇔x ≤

2
3

Ví dụ 3: Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a/ x + 2m < 1 + 2mx
13


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

Đề giải được dạng bài tập này giáo viên cần định hướng cho các em phương pháp
giải và biện luận bất phương trình. Chúng ta phải dung phép biến đổi tương đương
và đưa về dạng bất phương trình bậc nhất, sau đó đi biện luận theo các điều kiện
của a. Cụ thể
x + 2m < 1 + 2mx
⇔ (1 – 2m)x < 1 – 2m

b/

(1)

• Nếu 1 – 2m > 0 ⇒ m <

1
thì (1) có nghiệm x < 1
2

• Nếu 1 – 2m < 0 ⇒ m >

1
thì (1) có nghiệm x >1
2

• Nếu 1 – 2m = 0 ⇒ m =

1
thì (1) có dạng 0x < 0 (vô nghiệm)
2

4( x − m) 2(m − 1) x
6−x
>
3
5
15

Bất phương trình ở câu b khác bất phương trình ở câu a là có chứa mẫu số.Như vậy
để giải và biện luận bất phương trình trên thì phải quy đồng mẫu và dung phép
biến đổi tương đương để đưa bất phương trình đó về dạng bậc nhất và giải biện
luận như câu a

4( x − m) 2(m − 1) x
6−x
>
3
5
15

⇔ 3 (9 – 2m)x < 20m + 6

(2)

• Nếu 9 – 2m > 0 ⇒ m <

20m + 6
9
có nghiệm của (2): x < 3(9 − 2m)
2

• Nếu 9 – 2m < 0 ⇒ m >

20m + 6
9
có nghiệm của (2): x > 3(9 − 2m)
2

• Nếu 9 – 2m = 0 ⇒ m =

9
thì (2) có dạng: 0x < 96
2

Vậy bất phương trình có vô số nghiệm
ở ví dụ 2 chỉ là bài tập giải và biện luận bất phương trình chứa một tham số, nếu
gặp những bài tập giải và biện luận bất phương trình chứa hai tham số thì chúng ta
thực hiện như thế nào?
14


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

Ví dụ 4: Giải và biện luận các bất phương trình sau:
m − 2x mx + 3n
4−x
<
3
2
6

Chúng ta cũng quy đồng mẫu thức, dùng các phép biến đổi tương đương đưa bất
phương trình về dạng bậc nhất
m − 2x mx + 3n
4−x
<
(3)
3
2
6

⇔ 3(m + 1)x > 2m – 9n – 4

• Nếu m + 1 > 0 ⇒ m > -1 nên (3) có nghiệm x >

2m − 9n − 4
3(m + 1)

• Nếu m + 1 < 0 ⇒ m < -1 nên (3) có nghiệm x <

2m − 9n − 4
3(m + 1)

• Nếu m + 1 = 0 ⇒ m = -1 nên (3) có dạng: 0x > -9n - 6
*nếu -9n – 6 ≥ 0 ⇒ n ≤
*nếu -9n – 6 <0 ⇒ n >

−2
thì bất phương trình vô nghiệm
3

−2
thì bất phương trình có vô số nghiệm
3

Tóm lại: Chúng ta có các phương pháp giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
thường gặp như sau:

15


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

Hình thành thái độ
học tập môn toán

Rèn luyện kỹ năng
giải toán

Hệ thống kiến thức
và phân loại bài tập
Các phương pháp

Định hướng bài làm
và vận dụng lý
thuyết vào bài tập

Rèn luyện khả năng
suy luận, tư duy

IV.HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Nhìn chung, việc vận dụng đề tài này vào nâng cao chất lượng dạy và học bước
đầu đã hạn chế được những sai sót của học sinh khi giải toán.

Qua hình trên cho thấy, sau khi áp dụng phương pháp giảng dạy mới, tỉ lệ học sinh
trung bình tăng lên đáng kể. Ban đầu tỉ lệ học sinh trung bình là 55% sau khi áp
dung phương pháp mới đã giảm xuống còn 48%. Tương tự học sinh trung bình, tỉ
lệ học sinh khá, giỏi tăng lần lượt là 10% và 4%.Trong đó, số học sinh yếu kém
giảm đáng kể (từ 22% xuống còn 15%).Điều này cho thấy sự thành công bước đầu
16

Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

của phương pháp giảng dạy mới. Bên cạnh đó, một số học sinh lập được kế hoạch
giải một bài toán theo phương pháp tích cực biết vận dụng các điều đã học vào
trong bài giải, tìm được hướng giải của bài toán. Hiện nay, đề tài này đang trong
quá trình thử nghiệm.
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG:
- Giáo viên cần nhiều thời gian để đầu tư cho việc nghiên cứu, soạn giảng để tìm ra
nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán
- Giáo viên không nên giải bài tập trong một tiết học mà nên chọn ra các bài tập có
tính chất đặc trưng để rèn luyện tư duy cho học sinh qua một số hệ thống bài tập từ
cơ bản đế nâng cao.
- Sau mỗi bài, mỗi dạng cần rút ra những điều cần nhớ nó là kim chỉ nam, cẩm
nang giúp học sinh thành công trong việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Là người giáo viên muốn học sinh đạt kết quả cao thì phải:
Đầu tư học hỏi ở đồng nghiệp, tham khảo, tìm tòi những bài tập có tính tổng hợp
để phát triển tư duy học sinh. Trên đây chỉ là một vài phương pháp giúp học sinh
rèn luyện kỹ năng giải bất phương trình mà tôi đã tham khảo qua một số tài liệu
cũng như qua quá trình giảng dạy thực tế .Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề
tài này đã hiểu sâu sắc hơn về các phương pháp giải bất phương trình
Tôi giảng dạy chuyên đề này cho 3 đối tượng học sinh TB, Khá, Giỏi, tuỳ từng đối
tượng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong
chuyên đề một cách dề dàng.
Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng phù
hợp với đối tượng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý cho học sinh
Khi nghiên cứu đề tài một số dạng bài tập về bất phương trình trong môn toán 8 tôi
thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả, học sinh dễ hiểu hơn và hứng thú
trong quá trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai thác sâu bài toán, biết tự đặt
ra các bài toán mới, tránh được những sai lầm mà mình hay mắc phải.

17


Sáng kiến kinh nghiệm
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 8

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi chưa thể đưa
ra vấn đề một cách trọn vẹn được, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây
dựng để đề tài này được hoàn thiện hơn.
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
- Phương pháp dạy học toán - Hoàng Chúng.
- Áp dụng dạy và học tích cực môn toán - Trần Bá Hoành….
- Rèn luyện khả năng dạy toán - SGD-ĐN.
Ý kiến của BGH

18