Phuong phap tinh TICH PHAN

Tích phân
Phơng pháp tính Tích phân

I. Tính tích phân bằng ph ơng pháp đổi biến:
Những phép đổi biến phổ thông:
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào
có luỹ thừa cao nhất.
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức.
- Nếu tích phân chứa
x
dx
thì đặt
xlnt
=
.
- Nếu tích phân chứa
x
e
thì đặt
x
et
=
.
- Nếu tích phân chứa
x
dx
thì đặt
xt
=
.

- Nếu tích phân chứa
2
x
dx
thì đặt
x
1
t
=
.
- Nếu tích phân chứa
xdxcos
thì đặt
xsint
=
.
- Nếu tích phân chứa
xdxsin
thì đặt
xcost
=
.
- Nếu tích phân chứa
xcos
dx
2
thì đặt
tgxt
=
.

- Nếu tích phân chứa
xsin
dx
2
thì đặt
gxcott
=
.
Bài tập minh hoạ:
1.
( )
( )

++
1
0
3
2
dx1x2x1x
2.
dxx1.x
1
0
3


3.


e

1
2
xln1.x
dx
4.


1
0
x
x
1e
dxe
5.

+
1
0
x1x
dx
6.


+
2
0
2
6xsin5xsin
xdxcos
7.

+
2
0
3
xcos1
xdxsin4
8.


4
0
2
tgx
xcos
dxe
9.



2
4
4
xsin
dx
10.
dxx1.x
1
0

23


II. Tính tích phân bằng ph ơng pháp tích phân từng phần:
Công thức:

=
b
a
b
a
b
a
vduuvdx)x(f
. Nh vậy việc chọn đợc u và dv có vai trò quyết định
trong việc áp dụng phơng pháp này.
Ta th ờng gặp ba loại tích phân nh sau:
Loại 1:
)x(Pu
dx.e).x(P
dx).x(fcos).x(P
dx).x(fsin).x(P
n
b
a
)x(f
n
b
a
n

b
a
n
=












: Trong đó
)x(P
n
là đa thức bậc n.
-N2C-
1
Tích phân
Ta phải tính n lần tích phân từng phần.
Loại 2:

=
b
a
nn

)x(flnudx).x(fln).x(P
: Tính n lần tích phân từng phần.
Loại 3:













b
a
x
b
a
x
dx.xcos.e
dx.xsin.e
Đây là hai tích phân mà tính tích phân này phải tính luôn cả tích
phân còn lại. Thông thờng ta làm nh sau:
- Tính

b
a
x
dx.xsin.e
:Đặt
x
eu

=
. Sau khi tích phân từng phần ta lại có tích phân



b
a
x
dx.xcos.e
.Ta lại áp dụng TPTP với u nh trên.
- Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ giữa hai tích phân và dễ dàng tìm đợc kết quả.
Bài tập minh hoạ:
1.
( )


+
2
0
2
dx.xsin.1xx
2.

e
1
23
dx.xln.x
3.


0
2
dx.x3cos.x
4.


2
0
x3
dx.x5cos.e
5.


2
0
x2003
dx.x2004sin.e
6.


2
0

2x2
dx.xsin.e
Ngoài ra ta xét thêm một vài bài tích phân áp dụng phơng pháp TPTP nhng không theo
quy tắc đặt ở trên:
1.
( )


e
1
dx.xlncos
2.
( )


2
0
3
4
8
1x
dx.x
3.

e
1
3
dx.
x
xln
4.
( )

+
1
0
2
x2
2x
dx.ex
5.


+
+
2
0
x
dxe.
xcos1
xsin1
III. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ:
Phần 1: Tích phân hữu tỷ cơ bản.
1. a.Dạng:

Cbaxln
a
A
dx
bax
A
++=
+

b.Dạng:

+
+=
+
+
dx
dcx
A
dx
c
a
dx
dcx
bax
c. Dạng:
( )

+
++=
+

++
dx
edx
C
dxBAxdx
edx
cbxax
2
2. a.Dạng:

++
cbxax
dx
2
- Nếu
0
>
:
( )( )
( ) ( )
( )( )
...
xxxxa
dxxxxx
xx
1
xxxxa
dx
21
21

1221

=



=

- Nếu
0
=
:
...
a2
b
xa
dx
2

=







- Nếu
0
<

:
( )

+
2
2
x
dx
Đặt
( )
tgt.x
=
3. Dạng:

++
+
=
dx
cbxax
BAx
I
2
-N2C-
2
Tích phân
Phân tích:
( )

++
+

++
++
=
++
+
=
cbxax
dx
.ndx
cbxax
'cbxax
.mdx
cbxax
BAx
I
22
2
2

++
+++=
cbxax
dx
.ncbxaxln.m
2
2
Bài tập minh hoạ:
1.

+

1
0
dx
2004x2003
2003x2004
2.

++
2
1
2
x5x6
dx
3.

+
4
0
2
9x6x
dx
4.

++
1
0
2
1xx
dx

5.

++
+
2
1
2
dx
x5x6
3x2
6.

++

1
0
2
dx
1xx
x34
Phần 2: Tích phân hữu tỷ tổng quát.

b
a
dx
)x(Q
)x(A
- B ớc 1: Nếu bậc của A(x) lớn hơn bậc của B(x): Chia chia A(x) cho B(x). Ta phải tính
tích phân:

b
a
dx
)x(Q
)x(P
- B ớc 2:
+ Nếu Q(x) chỉ toàn nghiệm đơn:
( ) ( ) ( )
n21
ax...axax)x(Q
=
, ta tìm
n21
A...A,A
sao
cho :
n
n
2
2
1
1
ax
A
..
ax
A
ax
A

)x(Q
)x(P

++

+

=
+ Nếu Q(x) gồm cả nghiệm đơn và nghiệm bội:
( )( )( )
2
cxbxax)x(Q
=
, ta tìm
21
C,C,B,A
sao cho :
( )
( )
cx
C
cx
C
bx
B
ax
A
)x(Q
)x(P
2

2
1

+

+

+

=
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai đơn:
( )
( )
qpxxax)x(Q
2
++=
, ta tìm
C,B,A
sao cho :
qpxx
CBx
ax
A
)x(Q
)x(P
2
++
+
+

=
+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai bội:
( )
( )
2
2
qpxxax)x(Q ++=
, ta tìm
2211
C,B,C,B,A
sao cho :
( )
qpxx
CxB
qpxx
CxB
ax
A
)x(Q
)x(P
2
22
2
2
11
++
+
+
++
+

+

=
Bài tập minh hoạ:
1.
dx
x4x
8x16x4
3
2
3
2


+
2.
dx
2x3x
3x3x3
2
1
3
2

+
++
3.
dx
xx
1x

5
2
23


+
IV. Tích phân hàm vô tỷ đơn giản:
1.Dạng:

+
+
b
a
n
b
a
n
bax
dx
;dx.bax
: Đổi
( )
n
1
n
baxbax
+=+
2.Dạng:

++

b
a
2
dx.cbxax
- Nếu a>0 : Tích phân có dạng
duau
b
a
22

+
đặt u=atgt
Hoặc chứng minh ngợc công thức:
Cauuln
2
u
au
2
u
duau
22
2
2222
+++++=+

-N2C-
3
Tích phân
-- Nếu a<0 : Tích phân có dạng
duua

b
a
22


đặt u=asint
3.Dạng:

++
b
a
2
cbxax
dx
- Nếu
0
>
:
( )( )
( ) ( )
( )( )
...
xxxxa
dxxxxx
xx
1
xxxxa
dx
21
21

12
21

=



=

- Nếu
0
=
:

=







=

a2
b
xa
dx
a2
b
xa
dx
2
- Nếu
0
<
: Với a>o:
( )

+
2
2
x
dx
Đặt
( )
tgt.x
=
Hoặc chứng minh ngợc công thức:
Cauuln
au
du
22
22

+++=
+

Với a<0:
( )


2
2
x
dx
Đặt
( )
tsin.x
=
Bài tập minh hoạ:
1.

+
=
3
0
2
2x3x
dx
I
2.

++
=

1
0
2
1x2x
dx
I
3.

++
=
1
0
2
1xx
dx
I
4.

+
=
1
0
2
3x2x
dx
I
5.

++=
1

0
2
dx.1xxI
6.

+=
1
0
2
dx.3x2xI
4.Dạng
( )

+++
b
a
2
cbxaxx
dx
Đặt
( )
t
1
x
=+
BTMH: 1.
( )

+++
1

0
2
1xx1x
dx
2.
( )

++
1
0
2
x2x4x2
dx
5.Dạng:
( ) ( )
( )
dx.bax;baxR
q
p
n
m

++
Đặt
( )
s
1
baxt
+=
với s là BCNN của n và q.

BTMH:
( ) ( )

++
1
0
3
2
1x21x2
dx

( ) ( )


1
0
4
x21x21
dx


+
1
0
3
6
dx
x1
x
V. Tích phân hàm số l ợng giác:

1.Dạng:
( )

b
a
dxxcos;xsinf
- Nếu f là hàm lẻ theo sinx: Đặt t=cosx.
- Nếu f là hàm lẻ theo cosx: Đặt t=sinx.
- Nếu f là hàm chẵn theo sinx và cosx: Đặt t=tgx.
Bài tập minh hoạ:
1.


2
0
3
3
dx
xcos
xsin
2.


+
6
0
3
dx
xsin4
xcos

3.


4
0
3
xcos.xsin
dx
4.
( )


+
4
0
2
xcosxsin
dx
2.Dạng:

b
a
nm
dx.xcos.xsin
- Nếu m và n chẵn: Hạ bậc.
- Nếu m lẻ: Đặt t=cosx.
- Nếu n lẻ: Đặt t=sinx.
-N2C-
4
Tích phân

Bài tập minh hoạ:
1.


2
0
23
dx.xcos.xsin
2.


2
0
24
dx.xcos.xsin
3.


2
0
2
4
dx
xcos
xsin
4.


2
0

44
xsin.xcos
dx
3.Dạng:
( )

b
a
dx.xcos;xsinR
trong đó R là hàm hữu tỉ theo sinx, cosx.
Đặt
2
x
tgt
=
2
t1
dt2
dx
+
=
;
2
t1
t2
xsin
+
=
;
2

2
t1
t1
xcos
+

=
;
2
t1
t2
tgx

=
Cụ thể là hàm:

++
=
b
a
cxcosbxsina
dx
I
Bài tập minh hoạ:
1.


++
=
4

0
1xcosxsin
dx
I
2.
( )
( )
dx
1xcos.xsin
xsin1
I
2
0


+
+
=
3.
( )


+
=
2
0
2xcos
dx
I
4.Dạng:

+
+
=
b
a
dx
xcosdxsinc
xcosbxsina
I
Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số)
( )

+
+
+=
+

+=
+
+
=
b
a
b
a
b
a
b
a

b
a
xcosdxsinc
xcosdxsincd
.BdxAdx
xcosdxsinc
xsindxcosc
.BdxAdx
xcosdxsinc
xcosbxsina
I
Bài tập
minh hoạ:


+

=
2
0
dx
xcos3xsin4
xcos2xsin3
I
5.Dạng:

++
++
=
b

a
222
111
dx
cxcosbxsina
cxcosbxsina
I
Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số) +C
( )
J.C
cxcosbxsina
cxcosbxsinad
BdxA
cxcosbxsina
dx
Cdx
cxcosbxsina
xsinbxcosa
BdxAI
b
a
222
222
b
a
b
a
222
b
a

222
22
b
a
+
++
++
+=
++
++
++

+=


J là tích phân tính đợc.
Bài tập minh hoạ: 1.


++
+
=
2
0
dx
3xcos2xsin
1xcosxsin
I
2.

+
+
=
2
0
dx
5xcos4xsin3
1xsin
I
VI. Phép đổi biến đặc biệt:

=
b
a
dx)x(fI
Khi sử dụng các cách tính tích phân mà không tính đợc ta thử dùng phép đổi biến:
( )
xbat
+=
.Thực chất của phép đổi biến này là nhờ tính chất chẵn lẻ của hàm số f(x).
Bài tập minh hoạ:
1.




+
=
2

2
x
dx
1e
xcos
I
2.
( )


++=
1
1
23
dx1xxlnI
3.


+
=
0
2
dx
xcos1
xsinx
I
4.


+

=
1
1
x
dx
12003
x2004sin
I

Chứng minh rằng:
1. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên
[ ]
a;a

thì:


=
a
0
a
a
dx)x(f.2dx)x(f
-N2C-
5