Để thi Môn Toán đạt điểm cao

Từ đề thi minh họa trong cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT và ĐH năm 2009:
ĐỂ THI MÔN TOÁN ĐẠT ĐIỂM CAO
Dưới đây là những nhận xét một số kinh nghiệm mà thầy Trần Phương muốn lưu ý các thí sinh trong
quá trình ôn luyện môn Toán.
Thí sinh cần lưu ý các phần sau:
Câu I trong đề thi minh họa (phần chung dành cho thí sinh) nằm ở khung kiến thức: Khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số và câu hỏi phụ.
Ví dụ: Cho hàm số
3 2
1
x
y
x
−
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2. Tìm m để đường thẳng
2y mx= +
cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt.
Đây là câu hỏi rất cơ bản của dạng hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
, câu hỏi phụ trong ví dụ này liên quan đến
biện luận phương trình bậc hai. Chú ý học sinh học theo chương trình chuẩn không cần ôn hàm số
2
ax bx c

y
px q
+ +
=
+
(học sinh theo chương trình nâng cao phải ôn).
Câu II của đề thi nằm ở khung kiến thức chung: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và
lôgarit; Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số;Tìm nguyên hàm, tính tích phân; Bài toán tổng hợp.
Ví dụ:
1. Giải bất phương trình
1
2
2 1
log 0
1
x
x
−
<
+

2. Tính tích phân
(
)
2
0
sin cos 2
2
x
I x dx

π
= +
∫
3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
( )
2x
f x x e= −
trên đoạn
[ ]
1;0
−
.
Có thể nhận xét như sau: Tổng quát dạng này
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
log ;log ;log ;log
a a
u x u x
f x m f x m f x m f x m
≥ ≤ ≥ ≤
.
Học sinh cần chú ý đặt điều kiện có nghĩa của hàm lôgarit là
( )
0f x
>
và phân chia trường hợp theo
cơ số:

( ) ( )
1; 0 1; 1;0 1a a u x u x
> < < > < <
.
Đây là dạng tích phân sử dụng bảng công thức nguyên hàm cơ bản, có thể tạo ra các bài toán khó
hơn một chút nếu phải thực hiện các phép biến đổi lượng giác trước khi lấy tích phân.
Câu III thuộc khung kiến thức: Hình học không gian (tổng hợp)
Ví dụ: Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
60
o
. Tính thể tích
của khối chóp S.ABCD.
Lưu ý: Các bài toán ở câu này chỉ đòi hỏi học sinh cần nắm chính xác các khái niệm và công thức
hình học. Chẳng hạn S.ABCD là chóp đều thì đáy ABCD là hình vuông và nếu gọi O là tâm hình
vuông thì SO vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. Phải nắm được khái niệm góc giữa 2 mặt phẳng
để xuất hiện góc giữa mặt bên và mặt đáy và sử dụng công thức thể tích của hình chóp.
Đáp án:
3
3
6
a
V
=
Phần dành riêng cho thí sinh theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao gồm câu IVa,
IVb; Va, Vb, học sinh cần lưu ý như sau:
Câu IV.a, IV.b: Học sinh cần nắm vững các khái niệm hình học như véctơ pháp tuyến của mặt
phẳng, véctơ chỉ phương của đường thẳng, hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng hoặc lên đường
thẳng, kiến thức về mặt cầu và sự tiếp xúc.
Câu V.a; V.b: Học sinh cần nắm vững khái niệm phép nhân hai số phức và trường hợp đặc biệt
dưới dạng lũy thừa

( )
n
a bi+
. Sau đó, chú ý nếu
z a bi
= +
thì môđun của z là
2 2
a b
+
và có thể biểu
diễn số phức dưới dạng lượng giác
( )
2 2
cos sinz a b i= + ϕ + ϕ
.
Kết luận: Học sinh chỉ cần nắm chắc kiến thức sách giáo khoa không cần đọc sách tham khảo là có
thể đạt được điểm 10 thi tốt nghiệp.
Với đề thi tuyển sinh ĐH,CĐ, phần chung dành cho các thí sinh, các em cần lưu ý các kiến
thức sau:
Câu I thuộc khung kiến thức: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số và câu hỏi phụ.
Ví dụ: Cho hàm số
3 2
3 4y x x mx= − − + +
, trong đó m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với
0m
=
.
2. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

( )
0,
+∞
Đây là câu hỏi rất cơ bản của dạng hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
. Câu hỏi phụ có thể giải theo một
trong hai cách: cách 1 là biện luận bất phương trình bậc hai, cách 2 là sử dụng phương pháp hàm số
để biến đổi
( ) ( ) ( )
0, ,f x x D u x m x D Minu x m
′
≤ ∀ ∈ ⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥
. (hoặc
( ) ( ) ( )
0, ,f x x D u x m x D Maxu x m
′
≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤
). Nếu sử dụng phương pháp hàm số cần chú ý
nếu miền D là khoảng mở không nhận giá trị đầu mút thì kết quả nhận được có thể bỏ dấu đẳng
thức. Học sinh học theo chương trình chuẩn không cần ôn hàm số
2
ax bx c
y
px q
+ +
=
+
(học sinh theo
chương trình nâng cao phải ôn).

Câu II thuộc khung kiến thức: Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số; Công thức
lượng giác, phương trình lượng giác.
Ví dụ: 1. Giải phương trình:
( )
( )
2
3 2cos cos 2 3 2cos sin 0x x x x+ − + − =
2. Giải phương trình:
( ) ( )
2
2 4 1
2
log 2 log 5 log 8 0x x+ + − + =
Nhận xét: Câu I của phần này nhiều học sinh dễ biến đổi bằng sử dụng công thức hạ bậc hoặc tìm
cách đưa về phương trình 1 biến số với ẩn là
cos,sin , tan
. Ta cần chú ý nếu các cách giải này gặp
khó khăn thì nên nghĩ đến cách đầu tiên trong việc giải phương trình là phân tích thành các nhân tử.
Thực ra kiểu sáng tác đề thi dạng này rất dễ vì chỉ cần lấy các nhân tử bậc thấp nhân vào nhau rồi
rút gọn các số hạng đồng dạng để che bớt sự dễ dãi.
Câu II: Học sinh cần nắm vững công thức
log log ;log log log
a a a a
a
b b b c bc
β
α
α
= + =
β

Câu III thuộc khung kiến thức: Tìm giới hạn; Tìm nguyên hàm, tính tích phân và ứng dụng của tích
phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay.
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
x
y e
= +
, trục hoành và hai đường
thẳng
ln 3, ln8x x= =
.
Nhận xét: Khi tính diện tích hình phẳng
( )
{ }
; 0; ;S y f x y x a x b
= = = = =
, ta sử dụng công thức tổng
quát
( )
b
a
S f x dx=
∫
như vậy cần phải xét dấu
( )
f x
trên đoạn
[ ]
;a b
để phá dấu giá trị tuyệt đối.

Trong trường hợp ở đây
[ ]
1 0, ln 3, ln8
x
y e x
= + > ∀ ∈
nên
ln 8
ln 3
1
x
S e dx= +
∫
. Tích phân này không có
trong bảng nguyên hàm cơ bản nên học sinh cần phải sử dụng phương pháp đổi biến số. Khi đổi
biến số ta nên đặt
1
x
u e
= +
và cần chú ý phải đổi 3 đại lượng: đổi hàm số, đổi vi phân và đổi cận
dưới dấu tích phân.
Câu IV thuộc khung kiến thức: Hình học không gian (tổng hợp)
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB)
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD
Với câu này, học sinh cần sử dụng các giả thiết để xác định được tâm mặt cầu ngoại tiếp. Sau đó
mới áp dụng các công thức phù hợp để tìm bán kính.
Câu V thuộc khung kiến thức: Bài toán tổng hợp
Ví dụ: Xét các số thực dương
, ,x y z

thỏa mãn điều kiện
1x y z+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
( )
( )
( )
2 2
2
x y z z x y
y z x
P
yz zx xy
+ +
+
= + +
.
Nhận xét: Đây là dạng toán so sánh các biểu thức đồng bậc bậc 1 cụ thể là
2 2
2 2
2 2
y y
x x
z z
P
y z z x x y
= + + + + +
và ta có thể chứng minh hai bất đẳng thức đồng bậc bậc 1
2 2
2 2

2 2
;
y y
x x
z z
x y z x y z
y z z x x y
+ + ≥ + + + + ≥ + +
. Tương tự ta có thể xây dựng vô số các bài toán có
bản chất là so sánh các biểu thức đồng bậc với bậc n tùy ý.
Trong phần riêng dành cho thí sinh theo chương trình chuẩn, cần lưu ý như sau:
Câu VI.a thuộc khung kiến thức: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian.
Câu VII thuộc khung kiến thức: Số phức, tổ hợp, xác suất thống kê, bất đẳng thức.
Ví dụ: Tìm hệ số của
2
x
trong khai triển thành đa thức của
( )
6
2
1P x x
= + −
Với câu này thí sinh cần phải đưa khai triển tam thức dựa trên khai triển nhị thức
( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
6
6 5 6
2 0 1 2 2 5 10 6 12
6 6 6 6 6

1 1 1 ... 1 ... 1
k
k k
P x x C x C x x C x x C x x C x
−
= + − = − + − + + − + + − +
Từ đó suy ra hệ số của
2
x
trong khai triển thành đa thức là
0 2 1 0
6 6 6 5
. . 9C C C C
− =
.
Phần dành riêng cho thí sinh theo chương trình nâng cao, TS cần lưu ý:
Câu VI.b giống với Câu VI.a
Câu VII.b nằm ở khung kiến thức: Số phức, tổ hợp, xác suất thống kê, bất đẳng thức.