MỘT SỐ BT CỰC TRỊ HÌNH HỌC 12

Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo dục Bộ môn Toán
Một số bài toán điển hình ứng dụng đạo hàm để giải
toán cực trị hình học
Một số bài toán cực trị trong hình học không gian tổng hợp
Bài toán 1. Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh bằng 1. Điểm M chạy trên
đoạn AA, điểm N chạy trên BC sao cho AM = BN = x (0 < x < 1). P là trung điểm
của CD. Dựng thiết diện tạo bởi mp(MNP) của hình lập phơng. Tìm x để chu vi
thiết diện đạt GTNN.
Bài toán 2. Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a. Lấy hai điểm M và N
theo thứ tự trên AC và AB sao cho AM = AN = x (0

x

a
2
). Tìm GTNN
của MN khi M, N lần lợt chuyển động trên AC, AB.
Bài toán 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
AB = 2a, AD = DC = a; cạnh bên SA

đáy, SA = 2a, Gọi E là trung điểm của SA.
Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm E và song song với AB, cắt các cạnh SB, BC,AD lần
lợt tại M, N, F. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (P) là hình gì? Tìm vị trí
của F để thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
Bài toán 4. Cho hình chóp S.ABC có SA

(ABC) và SA = 2a, tam giác ABC
vuông tại C, AB = 2a , góc A bằng 30
0
. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC,
SH

BM. Đặt AM = x, Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x. Tìm x để
khoảng cách đó lớn nhất.
Bài toán 5. Cho tứ diện đều cạnh bằng 1. Các điểm M, N di động lần lợt trên AB
và AC sao cho mp(DMN)

mp(ABC). Đặt AM =x, AN =y.
a) Chứng minh hệ thức x+y = 3xy.
b) Xác định vị trí của M và N để Thể tích của tứ diện ADMN đạt GTLN,
GTNN
c) Diện tích toàn phần của tứ diện ADMN đạt GTLN, GTNN.
Bài toán 6.(Bài 34-SBT HH12-NC )
Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và
SA

(ABC), SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích
khối chóp lớn nhất.
Bài toán 7.(Bài 35- SBT HH12-NC)
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng
2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của
khối chóp nhỏ nhất.
Bài toán 8. Cho tứ diện ABCD có một cạnh > 1, còn các cạnh khác đều

1. Tìm
các cạnh của tứ diện sao cho tứ diện có thể tích lớn nhất.
Bài toán 9. (Bài 1.78 SBT GT12 NC)
Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính a.
a) CMR thể tích V của hình chóp là V=
,
)2(3

4
22
ax
xa

x là chiều cao
Nguyễn Trung Kiên GV THPT Minh Khai Hà Nội.
Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo dục Bộ môn Toán
b) Với giá trị nào của x thì hình chóp có thể tích nhỏ nhất.
Bài toán 10. (Bài 46 - SBT HH12 NC)
Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và chiều cao thay đổi. Tìm hệ
thức liên hệ giữa cạnh đáy và chiều cao của hình chóp để
2
1
V
V
đạt GTNN, V
1
, V
2
lần lợt là thể tích của các hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp.
Bài toán 11. Cho một hình cầu nội tiếp trong một hình nón tròn xoay. Một hình trụ
ngoại tiếp hình cầu đó có đáy dới nằm trong mặt phẳng đáy của hình nón. Gọi V
1
và V
2
lần lợt là thể tích của hình nón và của hình trụ.Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số
V
1
/V

2
.
Bài toán 12. Cho mặt cầu (S) bán kính R, tìm hình nón (N) ngoại tiếp mặt cầu sao
cho (N) có thể tích nhỏ nhất.
Bài toán 13. Tìm hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trớc sao cho
a) Thể tích đạt GTLN.
b) Diện tích toàn phần đạt GTLN.
Bài toán 14 . (VD2-BTGT 12-CB)
Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy tìm hình trụ có thể tích
lớn nhất.
Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích
Bài toán 15. (16-Toán BD HS THPT)
Cho n điểm A
1
, A
2
, . . . A
n
và một điểm O cố định. Gọi

1
là đờng thẳng qua
sao cho tổng các bình phơng khoảng cách từ A
i
đến

1
là nhỏ nhất. Gọi

2

là đ-
ờng thẳng qua O sao cho tổng các bình phơng khoảng cách từ A
i
đến

2
là lớn
nhất. Chứng minh rằng

1




2
.
Bài toán 16. Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho Parabol (P): y = x
2
và
điểm A(-3; 0). Tìm M thuộc (P) sao cho đoạn AM nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài toán 17. Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho Elíp (E):
1
4
2
2
=+
y
x
và
đờng thẳng d: x+y - 4 = 0. Tìm N

d, M

(E) sao cho MN nhỏ nhất. Tìm
khoảng cách giữa d và (E).
Bài toán 18. Cho Elíp (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
và tiếp tuyến d của (E) tại T cắt hai tiếp tuyến
tại hai đỉnh trục lớn A
1
, A
2
lần lợt tại M, N. Gọi F là tiêu điểm của (E). Xác định
toạ độ của T sao cho diện tích S
FMN
của tam giác FMN nhỏ nhất.
Bài toán 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A và đờng thẳng d:
2
2
12
1

==

zyx
. Viết phơng trình mp(

) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (

) lớn nhất.
Nguyễn Trung Kiên GV THPT Minh Khai Hà Nội.
Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo dục Bộ môn Toán
Bài toán 20. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đờng thẳng



=+
=++

01
03
:
xy
zyx
; và hai điểm A(1; -2; -1), B(2-
2
; 2; -3 ). Tìm M thuộc

sao cho AM + BM nhỏ nhất.
Bài toán 21. Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a. Lấy hai điểm M và N
theo thứ tự trên AC và AB sao cho AM = AN = t (0

t

a
2
). Tìm GTNN của
M khi M, N lần lợt chuyển động trên AC, AB.
Một số bài toán cực trị hình học có ứng dụng thực tiễn
Bài toán 22.(Giải tích 12 - Cơ bản)
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Ngời ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông
bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại để đợc cái hộp không nắp. Tính cạnh của các hình
vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.
Bài toán 23. (Giải tích 12 - nâng cao)
Một hộp không nắp đợc làm từ một mảnh các tông theo mẫu. Hộp có đáy là
một hình vuông cạnh x(cm), chiều cao h(cm) và có thể tích là 500cm
3
. Tìm diện
tích S(x) của mảnh các tông. Tìm x sao cho S(x) nhỏ nhất
Bài toán 24.(1.26 SBT GT12- NC)
Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán
hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để đợc một cái phễu có
dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu 0 < x < 2

.
a) Hãy biểu diễn bán kính r của hình tròn đáy và đờng cao h của hình nón theo
R và x. Tính thể tích hình nón theo R và x.
b)Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất, và tính giá trị lớn nhất đó.
Bài toán 25. (1.25 SBT GT12-NC)
Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng (H.12). Hai
mặt bên ABBA và ACCA là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m rộng 5m.Gọi x

(m) là độ dài cạnh BC.
a) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x.
b) Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất, tìm giá trị đó.
Bài toán 26. Một nhà máy cần sản xuất một bể nớc bằng tôn có dạng hình hộp
đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng không nắp, có thể tích
4/3m
3
. Hãy tính kích thớc của bể sao cho tốn ít vật liệu nhất.
Bài toán 27. Nguời ta muốn sản xuất những cái hộp hình trụ đứng tròn xoay kín hai
đáy, với thể tích cho trớc bằng V. Hãy tìm kích thớc của hộp sao cho tốn ít vật liệu nhất.
Nguyễn Trung Kiên GV THPT Minh Khai Hà Nội.