cac pp tim nguyen ham tich phan

CHUYÊN ðỀ TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất ñịnh :

∫ 0dx = C
n
∫ x dx =

∫ dx = x + C

x n +1
+C
n +1

1

∫ x dx = ln x + C

n ≠ −1

ax
C
ln a
∫ cos xdx = sin x + C

x
x
∫ e dx = e + C

x
∫ a dx =

∫ sin xdx = − cos x + C
1

∫ cos

1

∫ sin

dx = tan x + C

dx = − cot x + C
2
x
x
u′( x)
1
1
x−a
∫ u ( x) dx = ln u ( x) + C
∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C
x 2
a
2
2
∫ x + a dx = 2 x + a + 2 ln x + x + a + C
2

Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số f (x) liên tục trên ñoạn [a; b] có nguyên hàm là F (x) .

Giả sử u (x) là hàm số có ñạo hàm và liên tục trên ñoạn [α , β ] và có miền giá trị là [a; b]
thì ta có :

∫ f [u ( x)].u' ( x)dx = F ( x)[u ( x)] + C
BÀI TẬP

Tính các tích phân sau :
1

a) I1 = ∫
0

1

e

e x dx
ex − 1
0

xdx
x2 + 1

b) I 2 = ∫

c) I 3 = ∫
1

1 + ln x dx
x

Bài làm :
a) ðặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx =

dt
2

x = 0 → t = 1
x = 1 → t = 2

ðổi cận : 
2

2

2

1 dt 1
xdx
1
Vậy : I1 = ∫ 2 = ∫ = ln t = ln 2
21 t 2
2
1 x +1
1

b) ðặt t = e x − 1 ⇒ dt = e x dx
| - Thư viện sách trực tuyến

Trang 1

x = 1 → t = e − 1

ðổi cận : 

2
x = 2 → t = e − 1

1

e x dx
Vậy : I 2 = ∫ x =
e −1
0

e2 −1

∫

e −1

e 2 −1

dt
= ln t
= ln(e + 1)
t
e−1
1

x

c) ðặt t = 1 + ln x ⇒ tdt = dx
x = 1 → t = 1
x = e → t = 2

ðổi cận : 
e

I3 = ∫
1

3 2

1 + ln x dx
2
2
= ∫ t dt = t 2 = (2 2 − 1)
x
3 1 3
1
2

Tích phân lượng giác :
β

Dạng 1 : I = ∫ sin mx.cos nxdx
α

Cách làm: biến ñổi tích sang tổng .

β

Dạng 2 : I = ∫ sin m x. cos n x.dx
α

Cách làm :
Nếu m, n chẵn . ðặt t = tan x
Nếu m chẵn n lẻ . ðặt t = sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại)
β

Dạng 3 : I = ∫
α

dx
a. sin x + b. cos x + c

Cách làm :
2t

x
sin
=

x
1+ t2
ðặt : t = tan ⇒ 
2
2
cos x = 1 − t


1+ t2
β
a. sin x + b. cos x
Dạng 4 : I = ∫
.dx
+
.
sin
.
cos
c
x
d
x
α

Cách làm :
ðặt :

a. sin x + b. cos x
B (c. cos x − d . sin x)
= A+
c. sin x + d . cos x
c. sin x + d . cos x

Sau ñó dùng ñồng nhất thức .
β

Dạng 5: I = ∫
α

a. sin x + b. cos x + m
.dx
c. sin x + d . cos x + n

Cách làm :
| - Thư viện sách trực tuyến

Trang 2


ðặt :

a. sin x + b. cos x + m
B (c. cos x − d . sin x)
C
= A+
+
c. sin x + d . cos x + n
c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n

Sau ñó dùng ñồng nhất thức.
BÀI TẬP
Tính tích phân :
π

π

2

2

cos xdx
(sin x + 1) 4
0

a) I1 = ∫

π
4

b) I 2 = ∫ cos 5 xdx

c) I 3 = ∫ tan 6 xdx
0

0

Bài làm :
a) ðặt : t = sin x + 1 ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 1
ðổi cận :  π
 x = 2 → t = 2
π
2

2

dt
cos xdx

1
=∫ 4 =− 3
4
3t
0 (sin x + 1)
1 t

Vậy : I 1 = ∫

2

=
1

7
24

b) ðặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 0
ðổi cận :  π
 x = 2 → t = 1
π

Vậy :

2

1

0

0

(

)

2

1

(

)

I 2 = ∫ cos 5 xdx = ∫ 1 − t 2 dt = ∫ 1 + t 4 − 2t 2 dt
0

1

 t5 2

8
= ∫  − t 3 + t  =
5 3
 0 15
0
1

c) ðặt : t = tan x ⇒ dt = (tan 2 x + 1)dx

x = 0 → t = 0
ðổi cận :  π
 x = 4 → t = 1
π
1

1

1 
t 6 dt

I 3 = ∫ tan xdx = ∫ 2
= ∫ t 4 − t 2 +1− 2
dt
t + 1
0
0 t +1
0
4

6

Vậy :

1

π

4
 t5 t3


13 π
=  − + t  − ∫ du =
−
15 4
5 3
0 0

| - Thư viện sách trực tuyến

Trang 3


Tính các tích phân sau :
π

π
2

a) I1 = ∫
0

3

sin x. cos x
a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x

cos x

b) I 2 = ∫

dx

2 + cos 2 x

0

dx

Bài làm :
a) ðặt : t = a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x ⇒ dt = 2(−b 2 + a 2 ) sin x.cos xdx
x = 0 → t = a 2
ðổi cận :  π
2
x = → t = b
2

Nếu a ≠ b
π
2

Vậy :

sin x. cos x

1
dx =
2
2 b − a2
a 2 . sin x + b 2 . cos x

I1 = ∫
0

1
= 2
t
b − a2

b2

=
a2

(

a−b
b −a
2

2

=

b2

)∫

dt

a2

t

1
a+b

Nếu a = b
π

π

2

a 2 . sin 2 x + b 2 . cos 2 x

0

Vậy :

2

sin x. cos x

I1 = ∫
π

=

sin x. cos xdx

a
0

dx = ∫
π

2

2
1
1
1
sin
2
cos
2
xdx
x
=
−
=
∫
2a 0
4a
2a
0

b) ðặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 0
ðổi cận :  π

3
x = → t =
3
2

π
3

Vậy : I 2 = ∫
0

cos x
2 + cos 2 x

3
2

dx =

∫
0

dt
3 − 2t 2

=

1
2

3
2

∫
0

dt
3 2
−t
2

3
3
cos u ⇒ dt = −
sin udu
2
2
π

t = 0 → u = 2
ðổi cận : 
t = 3 → u = π

2
4

ðặt : t =

| - Thư viện sách trực tuyến

Trang 4


1

I2 =

2

3
2

∫
0

Vậy :

π

dt
3 2
−t
2

=

=

2

2

∫

π

4

3
sin udu
2
3
1 − cos 2 u
2

(

)

π

π

2

4

1

1

∫ du =
2π

1
2

4

π

=

u

4 2

π
4

Tính các tích phân sau :
π

π

sin x + 7 cos x + 6
dx
4
sin
+

3
cos
+
5
x
x
0

2

2

1
a) I 1 = ∫
dx
4
sin
+
3
cos
+
5
x
x
0

b) I 2 = ∫

Bài làm :
2dt

x 

⇒ dt =  tan 2 + 1dx ⇒ dx = 2
2 
t +1

x = 0 → t = 0
ðổi cận :  π
 x = 2 → t = 1
2
1
1
2
dt
1
t
+
I1 = ∫
dt = ∫
2
2
2t
1− t
0
0 (t + 1)
4
3
5
+
+

Vậy :
1+ t2
1+ t2

a) ðặt : t = tan

x
2

1

1
1
=−
=
t+2 0 6
sin x + 7 cos x + 6
4 cos x − 3 sin x
C
+
= A+ B
4 sin x + 3 cos x + 5
4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5
Dùng ñồng nhất thức ta ñược: A = 1 , B = 1 , C = 1

b)ðặt :

π

π

2
sin x + 7 cos x + 6
4 cos x − 3 sin x
1


I2 = ∫
dx = ∫ 1 +
+
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 
Vậy :
0
0
π
π
9 1
= (x + ln 4 sin x + 3 cos x + 5 ) 02 + I1 = + ln +
2
8 6
2

Bạn ñọc tự làm :
π
2

a) I1 = ∫
π

π
3

cos x
dx
sin 2x

2

b) I 2 = ∫ cos3 x. sin xdx
0

π
2

dx
0 sin x + 2

c) I 3 = ∫

6

| - Thư viện sách trực tuyến

Trang 5


π

π

π

2
1
sin x − cos x + 1
d) I 5 = ∫
dx d) I 6 = ∫
dx
0 sin x + 2 cos x + 3
0 sin x + 2 cos x + 3

4 sin 3 x
c) I 3 = ∫
dx
0 cos x + 1
2

2

Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
dx
1
1
=−
+ C với (a, n ) ∈ C × (N − {0,1}) ta có :
.
n
n − 1 ( x − a )n−1

(x − a )
dx
Nếu n = 1 , a ∈ R ta có : I = ∫
= ln x + C
x−a
α , β , a, b, c ∈ R
αx + β
dx trong ñó : 
Dạng 2 : I = ∫ 2
n
2
ax + bx + c
∆ = b − 4ac < 0

Dạng 1 : I = ∫

(

)

* Giai ñoạn 1 : α ≠ 0 ,làm xuất hiện ở tử thức ñạo hàm của tam thức ax 2 + bx + c ,
sai khác một số :
I=

α

2 aβ

2ax + b +

2a ∫ (ax

2

α

+ bx + c

−b

)

n

dx =

α

2a ∫ (ax

2ax + b
2

+ bx + c

)

n

dx +

dx
α  2 aβ

− b ∫

n
2
2a  α
 (ax + bx + c )

* Giai ñoạn 2 :
Tính I = ∫

n

dt
 4a  − ∆
.
n dx = 
∫
2
 − ∆  2a 2 ax + b 1 + t 2
ax + bx + c
t=
dx

(

)

(

)

n

−∆

* Giai ñoạn 3 :
Tính I = ∫
Dạng 3 : I = ∫
Ta có :

(t

1
2

)

+1

Pm ( x )
dx
Qn ( x )

n

dt có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc ñặt t = tan φ

Pm ( x ) am x m + ...... + a1 x + a0
=
Qn ( x ) bn x n + ...... + b1 x + b0

Nếu : deg(P ) ≥ deg(Q ) thì ta thực hiện phép chia
phân số

Rr ( x )
có deg(R ) < deg(Q )
Qn ( x )

Pm ( x )
R (x )
= A(m − n ) ( x ) + r
trong ñó
Qn ( x )
Qn ( x )

Nếu : deg(P ) < deg(Q ) ta có các qui tắc sau :
Pm ( x )

A1
An −1
An
+ ...... +
+
n −1
(x − a ) (x − a )
(x − a )

(x − a )n
n
Pm ( x )
Ai
Vdụ 1a : n
=∑
i
(x − ai )i
∏ (x − ai ) i=1

*Qt 1:

n

=

i =1

Vdụ 1b :

Pm ( x )
A
B
C
D
=
+
+
+
2

( x − a )( x − b)( x − c)
x − a x − b x − c ( x − c )2

| - Thư viện sách trực tuyến

Trang 6


Pm ( x )

A1 x + B1
An−1 x + Bn−1
An x + Bn
+ ...... +
+
2
n −1
2
ax + bx + c
ax + bx + c
ax + bx + c
ax 2 + bx + c
m
n
Pt (x )
Ai
Ai x + B1
=
+
*Qt 3:

∑
∑
n
i
m
(x − α ) ax 2 + bx + c i =1 (x − α ) k =1 ax 2 + bx + c i
Pt ( x )
A
Bx + C
=
+
Vdụ 1 :
2
( x − α ) ax + bx + c
x −α
ax 2 + bx + c
Pt ( x )
B1 x + C1
B2 x + C 2
A
Vdụ 2 :
=
+
+
2
2
(x − α ) ax 2 + bx + c (x − α ) ax + bx + c ax 2 + bx + c 2

*Qt 2':

(

=

) (
n

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

n

với ∆ < 0

)

(

)

(

) (

)

BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
1

a) I 1 = ∫
0

1

dx
2

x + 3x + 2

b) I 2 = ∫

(x

0

dx
2

+ 3x + 2

)

2

Bài làm :
1

1

1

1 
dx
dx
 1
a) I 1 = ∫ 2
=∫

= ∫
−
dx
(x + 1)(x + 2) 0  x + 1 x + 2 
0 x + 3x + 2
0

= [ln x + 1 − ln x + 2 ]0 = ln

4
3
1
1
 1

dx
1
2
dx
dx = ∫ 
+
−
b) I 2 = ∫ 2
2
2
2
(x + 2) (x + 1)(x + 2)
0  ( x + 1)
0 (x + 3 x + 2 )
1

1

1

 1
= −
−
− 2(ln x + 1 − ln x + 2 ) = OK
0
 x +1 x + 2

Tính các tích phân sau :
1

a) I1 = ∫
0

1

dx
4
x + 3x 2 + 3

b) I 2 = ∫
0

4x − 2
dx
x + 1 (x + 2)

(

2

)

Bài làm :
dx
1
x
= arctan + C với a > 0
2
x +a
a
a
1
dx
1  1
1 
= ∫ 2
− 2
dx
2
2
x +1 x + 3 2 0  x +1 x + 3 

a)* Bạn ñọc dễ dàng chứng minh ñược I 0 = ∫
1

1

dx
I1 = ∫ 4
=
x + 3 x 2 + 3 ∫0
0

(

)(

2

)

1

(

1
x 
π
1
=  arctan x −
arctan
 = 9−2 3
2
3
30 2

)

| - Thư viện sách trực tuyến

Trang 7


A
Bx + C x 2 ( A + B ) + x(2 B + C ) + 2C + A
4x − 2
=
+
=
(x + 2) x 2 + 1 x + 2 x 2 + 1
(x + 2) x 2 + 1
 A = −2
A + B = 0

Do ñó ta có hệ : 2 B + C = 4 ⇔  B = 2
C = 0
2C + A = 0



b) ðặt :

(

1

Vậy : I 2 = ∫
0

[

)

(

)

1

4x − 2
2
2x 

dx
=
−
+
dx

2
∫
x
x
2
1

+
+
x 2 + 1 (x + 2)


0

(

)

]

1

= − 2 ln x + 2 + ln x 2 + 1 = −2 ln 3 + ln 2 + ln 2 − ln 1 = ln
0

4
9

Bạn ñọc tự làm :
3

5

a) I1 = ∫

x +1
dx

2
x ( x − 1)

b) I 2 = ∫

c) I 3 = ∫

x −1
dx
4x3 − x

d) I 3 =

2
2

1

2
2

3

dx
x + 2x − 3

∫x
3

2

4

x
dx
− 3x 2 + 2

HD:
1
A
B
x +1
A B
C
= + 2+
=
+
b) 2
x −1
x + 2x − 3 x −1 x + 3
x ( x − 1) x x
3

x −1 1 
x−4
x
A
B
C
D

 d) 4
=
+
+
+
= 1 +
c) 3
2
x − 3x + 2 x − 1 x + 1 x + 2 x − 2
4 x − x 4  x(2 x + 1)(2 x − 1) 

a)

2

ðẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận
xét một số ñặc ñiểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng.
BÀI TẬP
1

1

0

0

Chứng minh rằng : ∫ x m (1 − x )n dx = ∫ x n (1 − x )m dx

Bài làm :
1

Xét I = ∫ x m (1 − x )n dx
0

ðặt : t = 1 − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt
| - Thư viện sách trực tuyến

Trang 8


x = 0 → t = 1
x = 1 → t = 0

ðổi cận : 
1

0

1

Vậy : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t )m t n dt (ñpcm)
n

m

m n

0

1

0

Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn [− a, a ] thì :
a

∫ f (x )dx = 0

I=

−a

Bài làm :
0

a

I=

∫

f ( x)dx =

−a

∫

−a

a

f ( x )dx + ∫ f ( x )dx

(1)

0

0

Xét

∫ f (x )dx

. ðặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt

−a

 x = −a → t = a
x = 0 → t = 0

ðổi cận : 
V ậy :

0

a

a

−a

0

0

∫ f (x )dx = ∫ f (− t )dt = − ∫ f (t )dt

Thế vào (1) ta ñược : I = 0 (ñpcm)
Tương tự bạn ñọc có thể chứng minh : Nếu f (x) là hàm chẳn và liên tục trên ñoạn

[− a, a] thì

a

I=

∫

−a

a

f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx
0

Cho a > 0 và f (x ) là hàm chẵn , liên tục và xác ñịnh trên R .
f (x )
∫−α a x + 1 dx = ∫0 f (x )dx

α

Chứng minh rằng :

α

f (x )
f (x )
f (x )
dx = ∫ x
dx + ∫ x
dx
x
a
1
a
1
+1
+
+
−α
0
0

Xét

α

0

∫α a

−

α

Bài làm :

(1)

f (x )
dx . ðặt t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt
x
+1

∫α a

−

 x = −α → t = α
x = 0 → t = 0

ðổi cận : 

f (x )
f (− t )
a t f (t )
dx
=
dt

=
∫ a x + 1 ∫0 a −t + 1 ∫0 at + 1
−α
0

Vậy :

α

α

| - Thư viện sách trực tuyến

Trang 9


f (x )
a x f (x )
f (x )
dx + ∫ x
dx = ∫ f (x )dx (ñpcm)
Thế vào (1) ta ñược : ∫ x dx = ∫ x
a +1
a +1
a +1
−α
−α
0
0
α

α

0

α

Cho hàm số f (x ) liên tục trên [0,1] . Chứng minh rằng :
π

∫ x. f (sin x )dx =

π
2

0

π

∫ f (sin x )dx
0

Bài làm :
π

Xét ∫ x. f (sin x )dx . ðặt t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt
0

x = 0 → t = π
x = π → t = 0

ðổi cận : 
π

π

π

Vậy : ∫ x. f (sin x )dx = ∫ (π − t ). f [sin (π − t )]dt = ∫ (π − t ). f (sin t )dt
0

0

0

π

π

0

0

= π ∫ f (sin t )dt − ∫ t. f (sin t )dt
π

π

⇒ 2 ∫ x. f (sin x )dx = π ∫ f (sin x )dx
0

0

π

⇒

π

π

∫ x. f (sin x )dx = 2 ∫ f (sin x )dx
0

0

Từ bài toán trên , bạn ñọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số f (x ) liên tục trên [a, b] và f (a + b − x ) = f (x ) . Thì ta luôn có :
b

∫ x. f (x )dx =
a

π

a+b
f ( x )dx
2 ∫0

Cho hàm số f (x ) liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T .

a +T

∫

Chứng minh rằng :

a

T

f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
0

Bài làm :
a +T

∫
a

T

a +T

a

T

f ( x )dx = ∫ f (x )dx +

∫

0

T

a +T

0

T

f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx +

Vậy ta cần chứng minh

a

a

a +T

0

T

∫ f (x )dx

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx

a

Xét

∫ f (x )dx . ðặt

t = x +T

⇒ dt = dx

0

| - Thư viện sách trực tuyến

Trang 10