Ước lượng tham số thống kê bản đầy đủ

ƯỚC LƯỢNG THAM
SỐ THỐNG KÊ


Ướcc lượ
Ướ
ượng
ng đi
điểểm


Xét tổng thể có dấu hiệu X cần khảo sát.



Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) phụ thuộc vào
tham số  chưa biết.



Vấn đề: cần tìm tham số .



(X1,X2, …, Xn) là một mẫu ngẫu nhiên được chọn từ tổng
thể.



Thống kê   h(X1 , X 2 , , X n ) gọi là một ước lượng của .



Với mẫu thực nghiệm (x1,x2, …, xn) ta có một ước lượng
cụ thể của : *=h(x1,x2,…,xn).

.


Ướcc lượ
Ướ
ượng
ng đi
điểểm


Ví dụ. Xét bnn X ~ N(, 2).
Cần ước lượng 2 tham số  và 2.
Thống kê trung bình mẫu và phương sai mẫu:

1 n
X  X i
n i 1
n
1
2
S2 
(
X

X

)
 i
n  1 i 1

Xvà S là những ước lượng cho  và 2.


Ướcc lượ
Ướ
lượng
ng điể
điểm
- CÁC TIÊU CHUẨN


ƯỚC LƯỢNG

-

Các tiêu chuẩn ước lượng: không chệch, hiệu
quả, và bền vững.
Ước lượng  gọi là một ước lượng không chệch cho
tham số  nếu

E( )  
E( )   gọi là độ chệch của ước lượng.

X , S2 là những ước lượng không chệch cho kỳ vọng 
và phương sai 2.

Ướcc lượ
Ướ
lượng
ng điể
điểm
- CÁC TIÊU CHUẨN ƯỚC LƯỢNG Xét  1 ,  2 ,...,  k ,... là các ước lượng không chệch của
tham số , một ước lượng  *   1 ,  2 , gọi là ước lượng
hiệu quả nhất nếu
Var ( * )  Var ( i ),  i

Phân phối của

Phân phối của


Ví dụ 1.



Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) biết Xi ~ N(, 2).
a) CMR: các thống kê sau:
X1  X 2  ...  Xi
X1  X 2  ...  X n
Z1  X1; Z 2  X 2 ; Zi 
; Zn 
i
n
đều là các ước lượng không chệch của .



b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt nhất.


Ví dụ 2.


Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể có kì
vọng  và phương sai 2. Xét 2 thống kê:
Z1  2

X1  2 X 2  ...  nX n
n  n  1

X1  X 2  ...  X n
; Z2  X 
n

a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng không
chệch của .
b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn.


Ướcc lượ
Ướ
lượng
ng điể
điểm
- CÁC TIÊU CHUẨN ƯỚC LƯỢNG Ước lượng   h  X 1 , X 2 ,, X n  gọi là ước lượng vững của

tham số  nếu

lim P   X 1 , X 2 , , X n       1,   0
n 





X , s2 là những ước lượng vững cho kỳ vọng  và
phương sai 2.


Ước lượng khoảng


Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết. Dựa vào
mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (1; 2) sao cho:
P(1 <  <2)=(1 - ) khá lớn.




Khoảng (1; 2) được gọi là khoảng tin cậy.
1 -  gọi là độ tin cậy của ước lượng.
|1 - 2| được gọi là độ rộng khoảng tin cậy.


Ước lượng khoảng




Từ tổng thể chọn mẫu ngẫu nhiên (X1,X2,…,Xn). Chọn
thống kê Z= g(X1,X2,…,Xn,θ) có phân phối xác định dù
chưa biết . Từ phân phối xác suất của Z ta tìm khoảng
ước lượng cho Z sao cho: P(Z1≤Z≤Z2)=1-  (*)
Sau đó (*) được đưa về dạng:

P  1     2  1  







Với mẫu cụ thể ta tìm được khoảng (1; 2) sao cho

P  1    2   1  


Khoảng tin cậy


Mong muốn của người làm thống kê là với mẫu
đã cho tìm được khoảng sao cho:





Bề rộng của khoảng tin cậy càng nhỏ càng tốt.
Độ tin cậy càng lớn càng tốt.

Tuy nhiên với cỡ mẫu cố định thì khi bề rộng
của khoảng tin cậy giảm thì độ tin cậy cũng
giảm theo và ngược lại. Do đó, trong thống kê
người ta thường cố định độ tin cậy và tìm
khoảng tin cậy sao cho bề rộng càng nhỏ càng
tốt. Thông thường ta chọn độ tin cậy (1- ) ở các
mức: 0,95; 0,99; 0,999


NHẮC LẠI VỀ PHÂN PHỐI CỦA
TRUNG BÌNH MẪU
1. Trường hợp 1: n≥30; biết 2
 2 
X ~ N  ,

n 


2. Trường hợp 2: n≥30; chưa biết 2
 s2 
X ~ N  , 
 n

3. Trường hợp 3: n<30; tổng thể phân phối chuẩn đã biết 2
 2 

X ~ N  ,

n



4. Trường hợp 4: n<30; tổng thể phân phối chuẩn chưa biết 2

X  
s

n

~ T  n  1


Khoảng tin cậy của kì vọng.
Trường hợp 1
Ta thấy:

X   n

 2 
X ~ N  ,  Z 
~ N (0,1)
n 



Khoảng tin cậy hẹp nhất của Z cho ta khoảng tin cậy hẹp nhất của µ

Do đó với độ tin cậy (1- ) cho trước khoảng ước lượng hẹp nhất của Z
chính là khoảng đối xứng qua 0. Khoảng ước lượng của Z là:

Khi đó:





t
;
t
sao
cho

 1 1 
 t1
 2 2 
 2


P  t1  Z  t1
 2
2

 1

2





 
   X  t1
  1    P  X  t1
  1 
n
n


2
2

Khoảng ước lượng của µ là:



 
; X  t1
 X  t1

n
n

2
2


Khoảng tin cậy của kì vọng.
Trường hợp 2,3
1. Trường hợp 2: tương tự ta có khoảng ước lượng của µ là:


s
s 
; X  t1
 X  t1

n
n

2
2

2. Trường hợp 3: tương tự trường hợp 1. Khoảng ước lượng của µ là:



 
X

t
;
X

t



1
1
n
n

2
2



Ví dụ 1
Ví dụ 1. Một trường đại học thực hiện về nghiên
cứu số giờ tự học của sinh viên trong 1 tuần.
Chọn ngẫu nhiên 200 sinh viên cho thấy số giờ
tự học trong tuần trung bình là 18,36 giờ, độ lệch
chuẩn hiệu chỉnh 3,92 giờ. Với độ tin cậy 95%,
hãy ước lượng số giờ tự học trung bình của sinh
viên trường này trong một tuần.
 Giải:
 Gọi X là số giờ tự học trong tuần của sinh viên.
 Từ mẫu ta có:
n  200  30; x  18,36;
s  3,92



Ví dụ 1.
Gọi µ là số giờ tự học trung bình trong một tuần
của sinh viên trường. Ta đi ước lượng µ với độ
tin cậy (1-α)=0,95.

 Khoảng ước lượng của µ có dạng:



s
s 
; x  t1
 x  t1

n
n

2
2




Trong đó:

t1  t0,475  1,96
2



Vậy khoảng ước lượng của µ là:
3,92
3,92 

18,36


1,96
;18,36

1,96

 hay 17,8167; 18,9032 
200
200 



Ví dụ 2


Ví dụ 2. Một công ty muốn ước lượng số tài liệu
(trang) được chuyển bằng fax trong một ngày.
Kết quả thu thập được từ 15 ngày cho thấy trung
bình một ngày có 267 trang tài liệu được chuyển
bằng fax, và theo kinh nghiệm từ các văn phòng
tương tự thì độ lệch chuẩn là 32 trang. Giả sử
rằng số tài liệu chuyển bằng fax trong một ngày
có phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95%, hãy ước
lượng số trang tài liệu được chuyển đi trong một
ngày.


Ví dụ 2.






Gọi µ là số trang tài liệu trung bình chuyển đi trong một
ngày.
x  267;   32
Từ mẫu ta có: n  15  30;
Ta đi ước lượng µ với độ tin cậy (1-α)=0,95.
Khoảng tin cậy của µ có dạng:


 
; x  t1
 x  t1

n
n

2
2




Trong đó: t1  1,96
2

Khoảng ước lượng của µ là:
32

32 

267

1,96
;
267

1,96

 hay  250,8057; 283,1942 
15
15 



Khoảng tin cậy của kì vọng.
Trường hợp 4
X  

Z

Ta thấy:

s

n

~ T  n  1

Khoảng tin cậy hẹp nhất của Z cho ta khoảng tin cậy hẹp nhất của µ
Do phân phối T đối xứng nên với độ tin cậy (1- ) cho trước khoảng
ước lượng hẹp nhất của Z chính là khoảng đối xứng qua 0. Khoảng ước
lượng của Z là:

 t

n 1

1







; t1n1 sao cho P Z  t1n1  1  

Ta tìm giá trị ở bảng Student hàng (n-1) và cột (1-α).
Khi đó:



n 1

n 1

P t1  Z  t1




n 1 s
n 1 s 
 1    P  X  t1
   X  t1
  1 
n
n


Khoảng ước lượng của µ là:


n 1 s
n 1 s 
; X  t1
 X  t1

n
n



Ví dụ 3.
Ví dụ 3. Công ty điện thoại thành phố muốn ước
lượng thời gian trung bình của một cuộc điện
thoại đường dài vào ngày cuối tuần. Mẫu ngẫu
nhiên 20 cuộc gọi đường dài vào cuối tuần cho

thấy thời gian điện thoại trung bình là 14,8 phút;
độ lệch chuẩn 5,6 phút. Như vật thời gian trung
bình của một cuộc gọi, µ, được ước lượng như
sau:
 Khoảng ước lượng của µ có dạng:



n 1 s
n 1 s 
x

t
;
x

t


1
1
n
n



Ví dụ 3.


Trong đó:

19
x  14,8; s  5,6; n  20;1    0,95; t1n1  t0,95
 2,093

Vậy khoảng ước lượng của µ là: 12,1791;17, 4208 


VÍ DỤ

4.

Ví dụ 4. Biết lương tháng của công nhân (Đv: triệu đồng)
trong
một nhà máy có phân phối chuẩn. Chọn ngẫu nhiên
16 công nhân khảo sát
Lương tháng
Số công nhân
a.
b.

0.8 1,0 1,2 1,3 1,5 1,7 2 2,3 2,5
1
1 2 2 2
3 2 2 1

Giả sử  = 0,63, hãy ước lượng mức lương trung bình
hàng tháng của một công nhân với độ tin cậy 96%.
b. Giả sử chưa biết . Hãy ước lượng với độ tin cậy
99% cho mức lương trung bình. Để có sai số  0,08
triệu đồng thì cần khảo sát tối thiểu bao nhiêu công

nhân?


NHẮC LẠI VỀ PHÂN PHỐI CỦA TỈ LỆ MẪU
Với tổng thể có tỉ lệ p và mẫu có kích thước n
thì:
 Tỉ lệ mẫu có thể xem như trung bình của n biến
độc lập có cùng phân phối A(p)


EF   p


DF  

p 1  p 
n

Theo định lí Giới hạn trung tâm, khi n>30 thì:
 p 1  p  
F ~ N  p,

n




Khoảng tin cậy của tỉ lệ
Ta thấy:

F  p n

Z
~ N (0,1)
p 1  p 

Khoảng tin cậy hẹp nhất của Z cho ta khoảng tin cậy hẹp nhất của p.
Do tính đối xứng nên với độ tin cậy (1- ) cho trước khoảng ước
lượng hẹp nhất của Z chính là khoảng đối xứng qua 0. Khoảng
ước lượng của Z là:




t
;
t
sao
cho
P
Z

t
 1 1 

1   1  
 2 2 

2 
Khi đó:




F  p n  t
P  t1  Z  t1   1    P  t1 
1

p 1  p 
 2
2 
2
 2
Ta xét bất đẳng thức sau:
t1
2

 F  p n  t

1
p 1  p 
2


  1 



2
2
2

2



  2 

 
nF  p 

  t1    n   t1   p   2nF   t1   p  np 2  0


p 1  p   2 
 2  
 2  




Khoảng tin cậy của tỉ lệ
Giải bất đẳng thức trên ta được khoảng ước
lượng cho tỉ lệ.
 Tuy nhiên để đơn giản, trong thực hành ta làm
như sau:





p 1  p   F (1  F )

Xấp xỉ:
Ta có bất đẳng thức:
 F  p n
t1 
2

F (1  F )

 t1  F  t1
2

2

F (1  F )
 p  F  t1
n
2

Vậy khoảng ước lượng của p là:

 F  t1
2


F (1  F )
; F  t1
n
2

F (1  F ) 


n


F (1  F )
n