slide bài giảng lý thuyết xác suất – thống kê toán ước lượng tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

Chương 7
ƯỚC LƯỢNG
THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN


§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1. ĐỊNH NGHĨA
2. CÁC TIÊU CHUẨN
CỦA ƯỚC LƯỢNG


1. ĐỊNH NGHĨA

Một đại lượng thống kê

$
θ(X1 , X 2 , ..., Xn ) được gọi là
một hàm ước lượng của θ
(còn gọi là ước lượng điểm
của θ , hay vắn tắt là ước
lượng của θ )


ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

Ví dụ Gọi X là chiều cao của
sinh viên Đại học Kinh tế
được chọn ngẫu nhiên.
Khi đó
n

1
X = ∑ X i là một hàm ước
n i =1
lượng của µ = E(X)


ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Với một mẫu cụ thể có kích thước
n = 100, ta có:
Chiều cao
(m)
Số sinh viên

1,45 – 1,50 –
1,50
1,55
8

11

1,55 – 1,60 – 1,65 –
1,60
1,65
1,75
39

32

10

x = 1, 59 là một giá trị ước lượng của μ


2. CÁC TIÊU CHUẨN CỦA
ƯỚC LƯỢNG

Định nghĩa
$ $
Hàm ước lượng θ = θ(X1 , X 2 , ..., Xn )
của θ được gọi là ước lượng
không chệch nếu

(

)

$ , X , ..., X ) = θ
Eθ(X 1 2
n


2. CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC
LƯỢNG

Ví dụ Trung bình mẫu X ,
2
phương sai mẫu S ,
tần suất mẫu F lần lượt là
ước lượng không chệch
2

của E(X) =μ , Var(X) =σ , p


2. CÁC TIÊU CHUẨN CỦA
ƯỚC LƯỢNG
Định nghĩa

$ $
θ = θ(X1 , X 2 , ..., Xn )
Hàm ước lượng
của θ được gọi là ước lượng

vững nếu với mọi ε > 0 ta có
$
lim P θ(X , X , ..., X ) − θ < ε = 1
n →∞

(

1

2

n

)

P
$ , X ,..., X )  θ )
→

(nói cách khác θ(X1 2
n


§2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
1. ĐỊNH NGHĨA
2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ
TRUNG BÌNH

3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TỶ LỆ
4. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA PHƯƠNG SAI


1. ĐỊNH NGHĨA

(1/3)

$ $
θ = θ(X1 , X 2 , ..., Xn ) là một đại lượng
thống kê của mẫu.

α ∈ (0;1) cho trước.
µ
µ
θ1 (X1 , X 2 , ..., Xn ), θ 2 (X1 , X 2 , ..., X n )

(

)

Pθ $ 1 θ < θ $ 2 = 1 - α
<
thỏa mãn


ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

(2/3)

$ 1 , θ2
$
θ

là các đại lượng ngẫu nhiên.
Ta thường chọn α dương khá nhỏ
$
$
sao cho biến cố (θ1 < θ < θ 2 )

−
có xác suất 1α khá lớn

(hầu như sẽ xảy ra trong một
phép thử)


ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG


(3/3)

Với mẫu cụ thể (x1, x2, …, xn)

$ $
θ1 ,θ 2 nhận giá trị cụ
tương ứng
thể t1, t2.


Khoảng (t1; t2)

(t1 <

θ

< t2)

được gọi là một khoảng ước
θ
1 -α
lượng của với độ tin cậy


2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN
TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X
2
có E(X) =μ, Var(X) = σ
(X1, X2, ..., Xn) là mẫu ngẫu nhiên

kích thước n được thành lập từ
X.


2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN
TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI

(1) TRƯỜNG HỢP BIẾT PHƯƠNG
SAI


2

s , MẪU LỚN (n ³ 30)

Nếu có giả thiết X có phân phối
chuẩn thì đại lượng ngẫu nhiên

X- µ
Z=
: N(0,1)
s
n


2 . ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH -

KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN
TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI



Nếu khơng có giả thiết này,
khi n khá lớn theo định lý giới
hạn trung tâm ta có thể xấp xỉ

X -μ
Z=
: N(0,1)
σ
n


2 . ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH -

KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN
TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI


σ
σ 
P X − zα
< µ < X + zα
÷= 1 − α
n
n

2
2




Chọn α khá nhỏ thì 1α khá gần 1
−

σ
σ 
Khi đó biến cố X z
< à < X + z
ữ
n
n

2
2
hu như sẽ xảy ra khi thực hiện
phép thử (lấy mẫu)


ĐỊNH NGHĨA

ε = zα
2

σ

được gọi là độ chính xác của

n

ước lượng.


Với mẫu cụ thể, X nhận giá trị x , một
−
ước lượng khoảng với độ tin cậy 1α
của

µ

là

x − zα
2

σ
n

< µ < x + zα
2

σ
n


2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH -

KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN
TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI



Khoảng tin cậy bên trái của µ
−
Cho độ tin cậy 1α
Do Z : N(0,1) , ta cú:


Xà
ữ
P
> z ữ= 1

ữ

ữ
n



2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN
TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI




σ 

P  µ < X + zα
÷= 1 − α

n

Chọn α khá nhỏ thì 1α khá gần 1
−
σ 

Do đó biến cố  µ < X + z α
÷ hầu
n


như sẽ xảy ra khi thực hiện phép
thử (lấy mẫu)


2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN
TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI

Với mẫu cụ thể, X nhận giá trị

x , một ước lượng khoảng bên
σ 

trái của µ là  −∞; x + z α
÷
Giá trị

x + zα



σ

n

được dùng để

n
ước lượng . . . của

µ


2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH -

KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN
TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI

Tương tự :
Với mẫu cụ thể, X nhận giá trị

x , một ước lượng khoảng bên

µ
phải của

σ


là  x − z α n ; +∞ ÷




(độ tin cậy 1 − α )


2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH -

KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN
TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI

(2) TRƯỜNG HỢP BIẾT PHƯƠNG
SAI

2

s , MẪU NHỎ (n < 30)



Giả sử X có phân phối chuẩn ta có



Hồn tồn tương tự, ta cũng có các

X- µ
Z=
: N(0,1)
s
n

công thức như trường hợp (1)


2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH -

KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN
TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI

(3) TRƯỜNG HỢP CHƯA BIẾT PHƯƠNG SAI

s

2

(n ³ 30)

, MẪU LỚN
2
s
Cũng tương tự như trường hợp (1), có
2
s
điểm khác là khi n khá lớn, ta thay
1 - ước lượng
bởi , người ta vẫn xem mộtα

s 
µ
khoảng với độ tin s cậy

; x + zα
 x − zα
÷
n
n
của
là 
2
2


2 . ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH -

KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN
TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI



Một ước lượng khoảng bên trái
của µ với độ tin cậy 1− α
s 

là  −∞; x + z α
÷
n




Một ước lượng khoảng bên phải

của µ với độ tin cậy 1− α

s


; + ∞÷
là  x − z α
n




2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH -

KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI XỨNG – KHOẢNG TIN CẬY BÊN
TRÁI – KHOẢNG TIN CẬY BÊN PHẢI

(3) TRƯỜNG HỢP CHƯA BIẾT PHƯƠNG

s SAI , MẪU(n < 30)
NHỎ
2

Giả sử X có phân phối chuẩn

Xμ
−
thì đại lượng ngẫu nhiên T = S
n

có phân phối Student với n – 1
bậc tự do.