Luận văn thạc sỹ vật lý Khảo sát khả năng giãn nở tăng tốc của vũ trụ trong một số mô hình Braneworld
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (822.98 KB, 110 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ THỊ NGỌC DƯƠNG
KHẢO SÁT KHẢ NĂNG GIÃN NỞ TĂNG TỐC CỦA VŨ TRỤ
TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH BRANEWORLD
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ THỊ NGỌC DƯƠNG
KHẢO SÁT KHẢ NĂNG GIÃN NỞ TĂNG TỐC CỦA VŨ TRỤ
TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH BRANEWORLD
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 604401
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Tiến sĩ: VÕ THÀNH VĂN
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ
ĐỖ THỊ NGỌC DƯƠNG
KHẢO SÁT KHẢ NĂNG GIÃN NỞ TĂNG TỐC CỦA VŨ TRỤ
TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH BRANEWORLD
TP. HỒ CHÍ MINH-2011
Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Vật Lý Lý
Thuyết đã tận tình chỉ dạy, giúp tôi có cơ hội tiếp thu những kiến thức mới trong
quá trình học tập cũng như tìm hiểu sâu hơn về Vật lý .
Tôi xin chân thành biết ơn sâu sắc TS. Võ Thành Văn, cảm ơn thầy đã tin tưởng,
hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Luận văn con gửi tới bố mẹ và gia đình, những người đã đặt trọn niềm tin nơi
con và luôn là chỗ dựa vững chắc cho con trong cuộc sống, đã tạo mọi điều kiện về
vật chất và tinh thần để con có thể theo đuổi con đường học vấn của mình.
Tôi gửi lời cảm ơn đến những người bạn thân thiết đã hết lòng giúp đỡ, chia sẻ
cùng tôi những lúc khó khăn, mệt mỏi.
Đỗ Thị Ngọc Dương
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . .
Mục lục . . . . . . .
Những kí hiệu . . .
Hình vẽ trong luận
Phần mở đầu . . .
. . .
. . .
. . .
văn
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
i
ii
iii
iv
v
Chương 1. Giãn nở tăng tốc trong mô hình Randall-Sundrum
1.1. Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian . . . . . . . . . .
1.1.1. Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Hệ số Hubble trên hai brane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Sự giãn nở tăng tốc trên brane . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Khảo sát trường vô hướng χ trong mô hình Randall-Sundrum như một
trường Quintessence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Hàm tác dụng và biến phân hàm tác dụng . . . . . . . . . . .
1.2.2. Tensor năng-xung lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Các phương trình cơ bản của vũ trụ học trong 5D . . . . . . .
1.2.4. Sự giãn nở tăng tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Mô hình với thế Quintessence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
3
19
Chương 2. Giãn nở tăng tốc trong mô hình DGP
2.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Hệ số metric 5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Phương trình gia tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Vũ trụ với không gian phẳng ở thời kỳ bức xạ vượt trội
2.3.2. Brane vượt trội bởi hằng số vũ trụ Λ . . . . . . . . . .
2.4. Phương trình trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. So sánh mô hình RS và mô hình DGP . . . . . . . . . . . . . .
46
46
47
51
51
53
54
58
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
25
27
31
39
42
44
iii
Mục lục
2.6. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 3. Mô hình kết hợp DGP và RS
3.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Phương trình Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Sự khôi phục lại vũ trụ chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Phương trình gia tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phần kết luận, và hướng phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phụ lục: Biến phân hàm tác dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phụ lục: Tensor Einstein trong metric FRW mở rộng đối
không-thời gian 5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
với
. . .
60
62
62
63
67
70
78
80
83
85
90
Những kí hiệu
DGP
RS
ΛCDM
4D
5D
FRW
y
Λb
Λ, Λ0 , Λc
ω
ωc
a(t)
ρb , pb
ρB , PB
H
Mpl
M
[A]
Dvali, Gapadadze, Porrati.
Lisa Randall, Raman Sundrum.
Lambda Cold Dark Matter.
4 chiều.
5 chiều.
Friedmann - Robertson - Walker.
Chiều thứ 5 thêm vào.
Hằng số vũ trụ trong bulk
Hằng số vũ trụ trong brane
Phương trình trạng thái trong bulk.
Phương trình trạng thái trên brane.
Hệ số kích thước vũ trụ (the scale factor).
Mật độ năng lượng và mật độ áp suất trên brane.
Mật độ năng lượng và mật độ áp suất trong bulk.
Tham số Hubble.
Thang khối lượng Planck trong không-thời gian 4D.
Thang khối lượng Planck trong không-thời gian 5D.
Bước nhảy của A.
Hình vẽ trong luận văn
Hình 1.1 Đồ thị biểu diễn sự phát triển của hệ số kích thước vũ trụ theo thời gian
trong mô hình RS.
Hình 1.2 Đồ thị biểu diễn sự phát triển của hệ số kích thước vũ trụ theo thời gian
trong mô hình khảo sát trường vô hướng χ trong RS như một trường
Quintessence.
Hình 2.1 Gia tốc giãn nở của vũ trụ theo thời gian trong mô hình DGP và RS
1
với ωc = .
3
Hình 2.2 Gia tốc giãn nở của vũ trụ theo thời gian trong mô hình DGP và RS
với ωc = −1.
Phần mở đầu
Các quan sát thiên văn gần đây cung cấp bằng chứng mạnh mẽ rằng chúng ta
đang sống trong vũ trụ giãn nở tăng tốc [1]. Trong quá trình tìm hiểu rõ hơn về vũ
trụ để giải thích cho sự giãn nở tăng tốc, chúng ta phải đối mặt với những vấn đề
[2, 3]:
• Vấn đề hằng số vũ trụ: Năng lượng chân không quá nhỏ so với kết quả tính toán
của vật lý hạt cơ bản ( khoảng 120 bậc về độ lớn).
• Vấn đề trùng hợp ngẫu nhiên: Trong vũ trụ sớm, mật độ năng lượng chân không
không đáng kể so với mật độ vật chất và bức xạ. Nhưng trong thời điểm hiện
tại, mật độ năng lượng chân không (ρΛ ) cùng bậc với mật độ vật chất (ρm ) và
sẽ vượt trội hoàn toàn trong tương lai.
• Vấn đề về hệ thống thứ bậc: Sự khác nhau nhiều về độ lớn giữa thang điện yếu
mEW = 103 GeV và thang Planck Mpl = 1018 GeV - Tỉ số giữa thang điện yếu và
khối lượng Planck quá nhỏ mEW /M pl ∼ 10−16 .
Để giải quyết các vấn đề trên, nhiều mô hình vũ trụ học đã được đề nghị như mô
hình hằng số vũ trụ ΛCDM, mô hình năng lượng tối động lực học "Quintessence".
Tuy nhiên, cho tới nay vẫn chưa có mô hình nào thực sự thành công, có thể đưa ra
giải thích bản chất cho các vấn đề này.
Bắt nguồn từ lý thuyết dây, các mô hình braneworld, trong đó không-thời gian
có thể lớn hơn (3 + 1) chiều, đưa ra một cách tiếp cận mới để tìm hiểu về sự phát
triển của vũ trụ và đã nhận được nhiều sự quan tâm. Mô hình braneworld được đặc
trưng bởi hai ý tưởng cơ bản:
• Giả thiết sự tồn tại của những chiều không gian thêm vào ngoài 4 chiều không-
thời gian mà chúng ta đang sống. Không-thời gian nhiều chiều thường được gọi
là không-thời gian bulk.
• Vũ trụ của chúng ta được gọi là brane gắn trong không-thời gian bulk. Các hạt
"thông thường" như các hạt trong mô hình Weiberg-Salam được giả thiết là bị
giới hạn trên brane trong khi trường hấp dẫn có thể truyền được trong bulk[4].
vi
Phần mở đầu
Ngày nay, hiện tượng giãn nở tăng tốc của vũ trụ đã được thừa nhận bởi thực
nghiệm nhưng chưa giải thích được thỏa đáng bằng lý thuyết. Theo lý thuyết tương
đối rộng, sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ là bằng chứng đầu tiên cho sự tồn tại của
một loại tương tác mới đẩy các thiên hà cách xa lẫn nhau và năng lượng của loại
tương tác này được đặt tên là năng lượng tối. Hằng số vũ trụ Λ, được đưa vào phương
trình trường hấp dẫn bởi Einstein vào năm 1917 nhằm mô tả vũ trụ tĩnh với phương
trình trạng thái hằng ω = −1, được xem là ứng viên đầu tiên và đơn giản nhất cho
năng lượng tối.
Từ mô hình chuẩn 4D, hằng số vũ trụ được đưa vào các mô hình braneworld,
cụ thể là mô hình braneworld Randall-Sundrum với mong muốn tìm được lời giải
thích tốt hơn cho vấn đề giãn nở tăng tốc của vũ trụ. Mô hình braneworld RandallSundrum (RS)[5, 6] khảo sát không-thời gian 5 chiều được lấp đầy bởi hằng số vũ
trụ âm. Tùy vào đặc điểm của chiều thứ 5 compact hay vô hạn mà mô hình này được
chia thành hai loại: Mô hình RS1 và mô hình RS2.
Mô hình RS1[5] đưa ra cách giải quyết vấn đề về hệ thống thứ bậc. Mô hình này
bao gồm bulk 5 chiều với chiều thứ năm y thêm vào compact và có hai brane. Hai
brane 3 chiều được đặt tại các điểm cố định y = 0 và y = yc . Brane ở y = 0 là brane
ẩn hay brane Planck năng lượng cao. Brane ở y = yc là brane quan sát được hay
brane TeV năng lượng thấp. Ứng suất trên hai brane lần lượt là σ và −σ với σ là
một hằng số dương. Mô hình RS2[6] khảo sát cách khôi phục lại hấp dẫn 4D trên
brane gắn trong không-thời gian bulk 5D. Trong mô hình này, chiều thêm vào được
mở rộng tới vô hạn, tức là brane có ứng suất âm trong RS1 bị dịch chuyển ra vô hạn.
Còn lại một brane, vì vậy, mô hình RS2 được gọi là mô hình RS một brane, trong
khi mô hình RS1 được gọi là mô hình RS hai brane.
Các lý thuyết cơ bản với sự có mặt của hằng số vũ trụ Λ đang phải đương đầu
với vấn đề về hằng số vũ trụ vì giá trị quan sát hiện tại của hằng số vũ trụ rất nhỏ
4
∼ 10−55 ). Vì
so với thang Planck ( ρΛ /MP4 l ∼ 10−123 ) hay thang điện yếu ( ρΛ /MEW
vậy, mô hình Randall-Sundrum với giả thiết không-thời gian bulk 5D được lấp đầy
bởi hằng số vũ trụ Λb âm không thể tránh khỏi vấn đề về hằng số vũ trụ.
Một cách tiếp cận khác không cần đến năng lượng tối để giải thích cho sự giãn
nở tăng tốc của vũ trụ được bắt nguồn từ lý thuyết dây thông qua các kịch bản
braneworld. Một trong những mô hình braneworld đơn giản nhất mô tả sự phát
triển của vũ trụ theo chiều hướng này là mô hình DGP[7]. Trong mô hình này, hấp
dẫn trên brane yếu đi do bị rò rỉ từ brane 4D vào bulk 5D ở các thang đo lớn. Do
bởi sự yếu của hấp dẫn trên brane nên dẫn đến sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ. Tuy
nhiên, không phải lúc nào chúng ta cũng thu được sự giãn nở tăng tốc. Chiều thêm
vào vừa có khả năng tăng cường gia tốc giãn nở nhưng cũng có thể làm chậm quá
trình giãn nở tăng tốc thậm chí gây ra sự giãn nở giảm tốc.
Nhằm mục đích phân tích bài toán giãn nở tăng tốc của vũ trụ, luận văn “Khảo
sát khả năng giãn nở tăng tốc của vũ trụ trong một số mô hình braneworld ” tập
Phần mở đầu
vii
trung khảo sát sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ trong một số mô hình braneworld
đang được quan tâm nhất hiện nay: Mô hình Randall-Sundrum và mô hình DGP.
Chúng tôi khảo sát metric Friedmann - Robertson - Walker ( FRW) mở rộng đối với
không thời gian 5D. Giải phương trình Einstein trực tiếp, chúng tôi thu được các
phương trình vũ trụ học cơ bản trong không-thời gian 5D. Các tính chất vũ trụ học
sẽ được giải thích thông qua các phương trình vũ trụ học cơ bản. Với mong muốn có
thể khắc phục các hạn chế của mô hình Randall-Sundrum và mô hình DGP, chúng
tôi xây dựng mô hình mới kết hợp giữa hai mô hình braneworld Randall-Sundrum
và DGP và khảo sát sự giãn nở tăng tốc trong mô hình này. Các mô hình trường vô
hướng như mô hình Quintessence cũng được xem là ứng viên khác cho năng lượng
tối. Chúng tôi khảo sát trường vô hướng χ trong mô hình Randall-Sundrum như một
trường Quintessence.
Để thể hiện nội dung này, luận văn gồm 3 chương:
+ Chương một Chúng tôi dựa trên mô hình hai brane Randall-Sundrum gắn
trong bulk 5D lấp đầy bởi hằng số vũ trụ âm để khảo sát sự giãn nở tăng tốc của
vũ trụ. Chúng tôi tìm biểu thức cụ thể của hệ số Hubble, tìm phương trình cho hệ
số kích thước vũ trụ, phương trình gia tốc và tìm các điều kiện để xuất hiện sự giãn
nở tăng tốc của vũ trụ. Tiếp theo, chúng tôi đưa trường vô hướng Quintessence vào
trong mô hình Randall-Sundrum bằng cách giả thiết rằng hai brane bị vượt trội bởi
trường vô hướng Quintessence. Chúng tôi xác định mật độ năng lượng, mật độ áp
suất, tìm các phương trình cơ bản của vũ trụ học trong không-thời gian 5D và khảo
sát sự giãn nở tăng tốc với thế Quintessence cụ thể.
+ Chương hai Chúng tôi hướng đến một cách tiếp cận khác, không cần đến
năng lượng tối, để giải thích cho sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ - mô hình DGP.
Chúng tôi tìm biểu thức cụ thể của các hệ số metric 5D n(t, y ), a(t, y ) biểu diễn theo
các số hạng của metric 4D. Sau đó, chúng tôi khảo sát các đại lượng này đối với
các trường hợp khi brane được lấp đầy bởi các vật chất khác nhau, từ đó chúng tôi
tìm gia tốc giãn nở của vũ trụ. Cuối cùng, chúng tôi khảo sát phương trình trạng
thái của thành phần "năng lượng tối hiệu dụng" do bởi đóng góp của chiều thêm vào.
+ Chương ba Chúng tôi xây dựng mô hình kết hợp giữa mô hình có mặt của
hằng số vũ trụ Λb và mô hình về sự rò rỉ hấp dẫn theo các kịch bản braneworld.
Cụ thể, chúng tôi kết hợp mô hình braneworld Randall-Sundrum và mô hình DGP
thành một mô hình thống nhất. Chúng tôi sẽ tìm phương trình Friedmann, khảo sát
các điều kiện để có thể khôi phục lại vũ trụ chuẩn 4D. Cuối cùng, chúng tôi tìm
phương trình gia tốc và các điều kiện để xuất hiện sự giãn nở tăng tốc.
Chương 1
Giãn nở tăng tốc trong mô
hình Randall-Sundrum
Mục lục
1.1. Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian . . . . .
1.1.1. Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Hệ số Hubble trên hai brane . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Sự giãn nở tăng tốc trên brane . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Khảo sát trường vô hướng χ trong mô hình Randall-Sundrum
như một trường Quintessence . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Hàm tác dụng và biến phân hàm tác dụng . . . . . . . . . . .
1.2.2. Tensor năng-xung lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Các phương trình cơ bản của vũ trụ học trong 5D . . . . . . .
1.2.4. Sự giãn nở tăng tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Mô hình với thế Quintessence . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
19
24
25
27
31
39
42
44
Nội dung chính:
Trong chương này, chúng tôi khảo sát mô hình hai brane Randall-Sundrum, thực
hiện tính toán lại các kết quả đã đạt được trong [8]. Chúng tôi tìm biểu thức cụ thể
của hệ số Hubble, mối liên hệ giữa hệ số Hubble với mật độ năng lượng và mật độ
áp suất trên hai brane. Từ đó, chúng tôi tìm phương trình cho hệ số kích thước vũ
trụ, phương trình gia tốc và khảo sát sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ.
Các mô hình trường vô hướng được xem là ứng viên khác cho năng lượng tối.
Những mô hình này mô tả năng lượng tối biến đổi theo thời gian và không gian
[10]. Chúng tôi đưa trường vô hướng vào trong kịch bản braneworld. Cụ thể, chúng
tôi khảo sát trường vô hướng χ trong mô hình Randall-Sundrum như một trường
Quintessence, tức là chúng tôi khảo sát mô hình hai brane Randall-Sundrum trong
đó hai brane được lấp đầy bởi trường vô hướng Quintessence và được gắn trong bulk
với hằng số vũ trụ âm.
2
Giãn nở tăng tốc trong mô hình Randall-Sundrum
1.1.
Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian
1.1.1.
Các phương trình cơ bản
Khảo sát hai brane 3 chiều trong bulk Anti de Sitter 5 chiều. Giả thiết 2 brane
đồng nhất và đẳng hướng. Chiều thứ 5 tuần hoàn và có tính đối xứng phản chiếu
(reflection symmetry). Không-thời gian 3 chiều được mô tả bởi metric [10]
dΣ2k = γµν dxµ dxν =
dr2
+ r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 )
1 − kr2
với µ, ν = 0, 1, 2, 3. Hằng số k biểu diễn độ cong không gian
Vũ trụ phẳng
0, ⇔
k=
1, ⇔
Vũ trụ đóng
−1, ⇔
Vũ trụ mở
(1.1)
(1.2)
Metric tổng quát đối với không-thời gian 5 chiều có dạng [11, 12]
dS52 = N 2 (t, y )dt2 − A2 (t, y )dΣ2k − B 2 (t, y )dy 2
(1.3)
Tính đối xứng phản chiếu đối với 2 brane có thể đạt được bằng phép thay thế
y → |y|
Khi đó, metric (1.3) trở thành
dS52 = N 2 (t, |y|)dt2 − A2 (t, |y|)dΣ2k − B 2 (t, |y|)dy 2
(1.4)
với y là chiều thứ 5, 0 ≤ y ≤ yc . Hai brane định xứ tại hai điểm cố định y = 0 và
y = yc . Theo [8], với F (t, y ) là một hàm bất kỳ, ta có
∂F (t, y )
∂F (t, y )
− lim−
∂y
∂y
y→0
y→0
∂F (t, y )
∂F (t, y )
=2
=2
∂y
∂y
y=0+
y=0
[F, y ]0 ≡ lim+
[F, y ]c ≡ lim+
y→yc
∂F (t, y )
∂F (t, y )
− lim−
∂y
∂y
y→yc
∂F (t, y )
= −2
∂y
y=yc−
∂F (t, y )
= −2
∂y
(1.5)
y=yc
Các phương trình Einstein trong bulk và trong hai brane lần lượt có dạng [8]
(D)
(D)
GAB = κ25 TAB + Λb GAB ,
y ∈ (0, yc ),
1
(0)
(0)
κ25 Tµν + Λ0 gµν , (y = 0),
B0 (t)
1
(c)
(c)
(c)
Gµν =
κ25 Tµν + Λc gµν , (y = yc ),
Bc (t)
(0)
Gµν =
(1.6)
(1.7)
(1.8)
3
1.1. Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian
ở đây κ25 = 8πG5 với G5 là hằng số hấp dẫn Newton trong không-thời gian 5D, GAB
là tensor metric 5D và
(0)
(c)
gµν (t) ≡ Gµν (t, 0),
gµν (t) = Gµν (t, yc )
(1.9)
Hằng số Λb , Λ0 , Λc là hằng số vũ trụ trong bulk và hai brane. Xét ở khoảng cách lớn,
mỗi thiên hà là một hạt, có thể xem các hạt này tạo nên chất lỏng vũ trụ là một
môi trường liên tục gọi là chất lỏng lý tưởng. Đối với môi trường liên tục, tensor
năng-xung lượng có liên quan mật thiết với mật độ năng lượng qua biểu thức [8, 9]
(0)
(0) (0)
(c)
(c) (c)
(0)
Tµν = (ρ0 + p0 )uµ uν − p0 gµν ,
(c)
(1.10)
Tµν = (ρc + pc )uµ uν − pc gµν
Trong đó ρ, p là mật độ năng lượng và mật độ áp suất trên brane. u là vector vận
tốc 4 chiều. Từ metric (1.4) và phương trình (1.10), các phương trình (1.7) và (1.8)
có thể được viết lại như sau [8]
1
B0
2
[A, y ]0
A0
+
[N, y ]0
N0
3 [A, y ]0
B0
A0
+ Λ0 = κ5 p0
(1.11)
+ Λ0 = −κ5 ρ0
và
1
Bc
2
[A, y ]c
Ac
+
[N, y ]c
Nc
3 [A, y ]c
Bc
Ac
+ Λc = κ5 pc
(1.12)
+ Λc = −κ5 ρc
Phương trình (1.11) và (1.12) là hai phương trình cơ bản liên hệ giữa các hệ số của
metric với mật độ năng lượng và mật độ áp suất trên hai brane. Hai phương trình
này mô tả hai brane 3 chiều đồng nhất và đẳng hướng. Bây giờ, chúng tôi sẽ sử dụng
các phương trình này để khảo sát sự phát triển vũ trụ học trên hai brane.
1.1.2.
Hệ số Hubble trên hai brane
Trong phần này, chúng tôi sẽ thực hiện tìm phương trình cụ thể đối với hệ số
Hubble trên hai brane. Trước tiên chúng tôi khảo sát mô hình Randall và Sundrum
[5, 6]. Metric trong mô hình có dạng:
dS52 = e−2l|y| ηµν dxµ dxν − dy 2
(1.13)
Với l = (−Λb /6)1/2 là kích thước của chiều thứ 5 thêm vào, ηµν là metric Minkowski
4D. Trong tọa độ cầu, metric (1.13) trở thành
dS52 = e−2l|y| dt2 − e−2l|y| (dr2 + r2 dΩ2 ) − dy 2
(1.14)
4
Giãn nở tăng tốc trong mô hình Randall-Sundrum
với dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2 . Từ phương trình (1.4), thế dΣ2k bởi (1.1), chúng tôi thu
được
dS52 = N 2 (t, |y|)dt2 − A2 (t, |y|)dΣ2k − B 2 (t, |y|)dy 2
= N 2 (t, |y|)dt2 − A2 (t, |y|)
dr2
+ r2 dΩ2
2
1 − kr
− B 2 (t, |y|)dy 2
(1.15)
So sánh (1.14) và (1.15), chúng tôi suy ra
N (t, |y|) = A(t, |y|) = e−l|y|
B (t, |y|) = 1,
k=0
(1.16)
Khi đó, phương trình (1.11) và (1.12) trở thành
κ5 p0 = −κ5 ρ0 = 3
[A, y ]0
+ Λ0
A0
[A, y ]c
+ Λc
κ5 pc = −κ5 ρc = 3
Ac
(1.17)
Áp dụng (1.5), chúng tôi thu được
∂A(t, y )
= 2(−l)e−l|y| y=0 = −2l
∂y
y=0
∂A(t, y )
= 2le−l|y| y=yc
[A, y ]c = −2
∂y
y=yc
[A, y ]0 = 2
(1.18)
Thế (1.18) vào (1.17)
κ5 p0 = −κ5 ρ0 = −6l + Λ0
κ5 pc = −κ5 ρc = 6l
e−l|yc
+ Λc = 6 l + Λc
e−l|yc
(1.19)
Vậy, cuối cùng chúng tôi thu được
ρ0 = −p0 =
1
κ5
ρc = −pc = −
(6l − Λ0 )
1
κ5
(6l + Λc )
(1.20)
Randall và Sundrum chọn
Λ0 = −Λc = 6l
nên
ρ0 = −p0 = 0,
ρc = −pc = 0
(1.21)
(1.22)
5
1.1. Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian
Như vậy, không có những trường vật chất xuất hiện trên hai brane.
Để tìm ra những nghiệm mới, metric 5D được viết lại dưới dạng như sau [8]
dS52 =
4F G
l 2 (F
dt2 − f 2 (y )dy 2 −
− G)2
1
l 2 (F
− G)2
dΣ2
(1.23)
với
F = F (t + f (y )),
G = G(t − f (y ))
và f (y ) là một hàm bất kỳ của y . Dấu ( ) chỉ phép lấy đạo hàm theo các đối số (t, y ).
Thay y → |y| trong các hệ số của phương trình (1.23), khi đó, metric thu được có
dạng
1
4F G
dt2 − f 2 (|y|)dy 2 − 2
dΣ2
(1.24)
dS52 = 2
2
l (F − G)
l (F − G)2
với
F = F (t + f (|y|)),
G = G(t − f (|y|))
So sánh (1.24) với (1.4)
dS52 = N 2 (t, |y|)dt2 − A2 (t, |y|)dΣ2k − B 2 (t, |y|)dy 2
ta suy ra
√
2 FG
N (t, |y|) =
l(F − G)
√
2 FG
f (|y|)
B (t, |y|) =
l(F − G)
1
A(t, |y|) =
l(F − G)
(1.25)
Bây giờ, chúng tôi lần lượt khảo sát hai brane đặt tại y = 0 và y = yc để tìm các
phương trình liên hệ giữa tham số Hubble với mật độ năng lượng và mật độ áp suất
trên hai brane này.
Brane ẩn tại y = 0
Trên siêu mặt y = 0, metric (1.24) rút gọn thành
dS52 |y=0 =
4F0 G0
l2 (F
= dη
2
0
− G0
)2
dt2 −
− a20 (η )dΣ2
1
l2 (F0
− G0
)2
dΣ2
(1.26)
6
Giãn nở tăng tốc trong mô hình Randall-Sundrum
với
dη ≡
2 F0 G0
dt
l(F0 − G0 )
F0 ≡ F (t + f (0)),
a0 ( η ) ≡
1
l(F0 − G0 )
,
G0 ≡ G(t − f (0)),
b0 (η ) ≡
1
l(F0 + G0 )
(1.27)
Chúng tôi thấy rằng metric(1.26) có dạng giống metric FRW [10]
dS 2 = dt2 − a(t)2 dΣ2
trong không-thời gian 4D. Khi đó, a0 (η ) sẽ đóng vai trò là hệ số kích thước của vũ
trụ. Tham số Hubble được định nghĩa
H=
a˙ 0
a0
Để tìm biểu thức cụ thể của H trên brane y = 0, chúng tôi thực hiện tính
da0
da0
=
dη
2 F0 G0
dt
l(F0 − G0 )
1
l(F0 − G0 ) d
=
2 F0 G0 dt l(F0 − G0 )
a˙ 0 =
=
⇒ H0 =
−(F0 − G0 )
2
F0 G0
F0 − G0
=
(F0 − G0 )2 2
−(F0 − G0 )
a˙ 0
=
a0
2
F0 G0 (F0 − G0 )
(1.28)
−(F0 − G0 )
F0 G0 (F0 − G0 )
l(F0 − G0 ) =
−l(F0 − G0 )
2 F0 G0
(1.29)
Tham số Hubble được liên hệ với hệ số b(η ) trong metric. Chúng tôi sẽ thực hiện
tính toán để thu được biểu thức liên hệ này. Đầu tiên, chúng tôi tính
db0
db0
=
dη
2 F0 G0
dt
l(F0 − G0 )
l(F0 − G0 ) d
1
=
2 F0 G0 dt l(F0 + G0 )
b˙ 0 =
=
−(F0 − G0 )
2
F0 G0
F0 + G0
(F0 + G0 )2
(1.30)
7
1.1. Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian
⇒
a0 b˙ 0
1
−(F0 − G0 ) F0 + G0 2
=
l (F0 + G0 )2
2
2
l(F0 − G0 ) 2 F0 G0 (F0 + G0 )
b0
=
−l(F0 + G0 )
(1.31)
2 F0 G0
Sau đó, chúng tôi lấy ((1.31) + (1.29))
−l(F0 + G0 ) −l(F0 − G0 )
−lF0
a0 b˙ 0
a˙
+ 0=
+
=
2
a
b0
2 F0 G0
2 F0 G0
F0 G0
F0
⇒
F0 G0
=−
1 a0 b˙ 0
l
+
b20
a˙ 0
a0
Lấy ((1.31) − (1.29))
−l(F0 + G0 ) −l(F0 − G0 )
−lG0
a0 b˙ 0 a˙ 0
−
=
−
=
2
a0
b0
2 F0 G0
2 F0 G0
F0 G0
G0
⇒
F0 G0
=−
1 a0 b˙ 0
l
b20
−
a˙ 0
a0
+
a˙ 0
a0
(1.32)
−
a˙ 0
a0
(1.33)
Chúng tôi thu được hai phương trình
F0
F0 G0
=−
y=0
G0
F0 G0
1 a0 b˙ 0
=−
y=0
b20
l
1 a0 b˙ 0
b20
l
Lấy (1.32) nhân (1.33)
2
⇒l +
F0
G0
F0 G0
F0 G0
a˙ 0
a0
2
=
a20
=1=
b˙ 0
b20
1
l2
2
⇒
a20
b˙ 0
b20
b˙ 0
b20
2
=
2
a˙ 0
a0
−
1
a20
2
l +
2
a˙ 0
a0
2
Cuối cùng, chúng tôi thu được phương trình liên hệ giữa hệ số b và tham số Hubble
b˙ 0
= 0 (l2 + H02 )1/2
2
a0
b0
a˙ 0
H0 =
a0
(1.34)
8
Giãn nở tăng tốc trong mô hình Randall-Sundrum
Ở đây, 0 = ±1. Giá trị của hai hàm F0 và G0 phụ thuộc vào . Chúng tôi sẽ làm rõ
điều này. Thế (1.34) trở lại phương trình (1.32)
F0
F0 G0
Với
0
1
=−
0 (l
l
y=0
2
+ H02 )1/2 + H0
= 1, khi đó
F0
F0 G0
<0
y=0
⇒ F0 < 0, G0 < 0
Thế (1.34) trở lại phương trình (1.33)
G0
F0 G0
Với
0
= −1 ⇒
G0
F0 G0
y=0
=−
1
y=0
0 (l
l
2
+ H02 )1/2 − H0
> 0 ⇒ G0 > 0, F0 > 0
Như vậy
0
−1,
+1,
=
F0 > 0, G0 > 0
F0 < 0, G0 < 0
(1.35)
Tiếp theo, để biểu diễn H0 theo mật độ năng lượng và mật độ áp suất, chúng tôi
trở lại phương trình (1.11)
1
B0
2
[A, y ]0
A0
+
[N, y ]0
N0
3 [A, y ]0
B0
A0
+ Λ0 = κ5 p0
+ Λ0 = −κ5 ρ0
Chúng tôi lần lượt tính từng số hạng trong (1.11):
• Số hạng thứ nhất
[A, y ]0
A0 B0
Áp dụng (1.5), chúng tôi có
[A, y ]0 = 2
=
∂A(t, y )
∂y
=2
y=0
∂
1
∂y l(F − G)
−2 ∂F
∂G
f (|y|) +
f (|y|)
l
∂f
∂f
−2 (F + G )|f (0)|
=
l
(F0 − G0 )2
y=0
1
y=0
(F0 − G0 )2
y=0
9
1.1. Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian
⇒
[A, y ]0
B0 A0
=
−2 (F0 + G0 )|f (0)| l(F0 − G0 )
l(F0 − G0 )
l
(F0 − G0 )2
2 F0 G0 f (0)
(1.36)
−l(F0 + G0 ) |f (0)|
=
f (0)
F0 G0
Từ (1.32) và (1.33), chúng tôi có
(F0 + G0 )
F0 G0
Với
=
−2 a0 b˙ 0
l b20
(1.37)
b˙ 0
thu được từ (1.34)
b20
b˙ 0
= 0 (l2 + H02 )1/2
2
a0
b0
thế vào (1.37), chúng tôi được
(F0 + G0 )
F0 G0
=
−2 0 2
(l + H02 )1/2
l
(1.38)
Cuối cùng, thế (1.38) vào (1.36), chúng tôi thu được số hạng thứ nhất
[A, y ]0
B0 A0
• Số hạng thứ hai
=
|f (0)|
2 0 (l2 + H02 )1/2
f (0)
(1.39)
[N, y ]0
B0 N0
Xét
∂N (t, y )
[N, y ]0 = 2
∂y
y=0
√
∂ 2 FG
=2
∂y l(F − G)
y=0
√
F G −G F
√
f
(
|y|
)(
F
−
G
)
−
(
F
+
G
)
f
(
|y|
)
FG
4
2
F
G
=
l
(F − G)2
y=0
2(F0 G0 − G0 F0 )
4 (F0 + G0 ) F0 G0
−
|f (0)|
l
(F0 − G0 )2
l(F0 − G0 ) F0 G0
=
⇒
[N, y ]0
N0
=
2(F0 G0 − G0 F0 ) 4 (F0 + G0 ) F0 G0
−
(F0 − G0 )2
(F0 − G0 ) F0 G0 l
=
F0 G0 − G0 F0 2(F0 + G0 )
−
|f (0)|
F0 G0
F0 − G0
l(F0 − G0 )
2 F0 G0
|f (0)|
10
Giãn nở tăng tốc trong mô hình Randall-Sundrum
Chúng tôi thu được số hạng thứ hai
[N, y ]0
B0 N0
=
=
F0 G0 − G0 F0 2(F0 + G0 ) l(F0 − G0 ) |f (0)|
−
F0 G0
F0 − G0
2 F0 G0 f (0)
l(F0 G0 − G0 F0 )(F0 − G0 )
2F0 G0
F0 G0
l(F0 + G0 ) |f (0)|
−
f (0)
F0 G0
(1.40)
Như vậy, chúng tôi đã tính được cụ thể hai số hạng trong (1.11). Thế số hạng thứ
3 [A, y ]0
+ Λ0 = −κ5 ρ0 chúng tôi được
nhất ở (1.39) vào phương trình
B0
A0
|f (0)|
= −κ5 ρ0 − Λ0
f (0)
1
Λ0
f (0)
= − κ5 0
ρ0 +
6
κ5
|f (0)|
6 0 (l2 + H02 )1/2
⇒(l
Đặt Λ0 =
Λ0
κ5
và
0
f
=
2
+ H02 )1/2
(1.41)
f (0)
, chúng tôi thu được
|f (0)|
1
(l2 + H02 )1/2 = − κ5
6
0
0 f (ρ0
+ Λ0 )
(1.42)
Phương trình (1.42) cho thấy mối liên hệ giữa tham số Hubble H0 với mật độ năng
lượng ρ0 trên brane y = 0. Tiếp tục, chúng tôi tìm mối liên hệ giữa H0 với mật độ
áp suất p0
Trở lại cặp phương trình (1.11), lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ
hai, chúng tôi thu được
−[A, y ]0
[N, y ]0
+
= κ5 (ρ0 + p0 )
B0 A0
B0 N0
(1.43)
Số hạng thứ nhất trong (1.43) thu được từ (1.36)
[A, y ]0
B0 A0
=
−l(F0 + G0 ) |f (0)|
f (0)
F0 G0
và số hạng thứ hai thu được từ (1.40). Thế (1.36) và (1.40) vào phương trình (1.43),
chúng tôi được
l(F0 + G0 ) |f (0)| l(F0 G0 − G0 F0 )(F0 − G0 ) |f (0)|
+
f (0)
F0 G0 f (0)
2F0 G0 F0 G0
−
l(F0 + G0 ) |f (0)|
= κ5 (ρ0 + p0 )
F0 G0 f (0)
11
1.1. Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian
⇔
l(F0 G0 − G0 F0 )(F0 − G0 )
2F0 G0
F0 G0
l(F0 G0 − G0 F0 )(F0 − G0 )
⇔
F0 G0
2F0 G0
F0 G0 F0 + G0
F0 + G0
⇔
= κ5
f (0)
(ρ0 + p0 ) = κ5 0f (ρ0 + p0 )
|f (0)|
= κ5 0f (ρ0 + p0 )
F0 G0
l(F0 G0 − G0 F0 )(F0 − G0 )(F0 + G0 )
= κ5 0f (ρ0 + p0 )
F0 + G0
2(F0 G0 )2
F0 G0
Từ phương trình (1.38), chúng tôi có
F0 + G0
F0 G0
=
−2 0 2
(l + H02 )1/2 , thế vào phương
l
trình trên, chúng tôi được
−l2 (F0 − G0 )(F0 + G0 )(F0 G0 − G0 F0 )
1
= κ5
4(F0 G0 )2
(l2 + H02 )1/2
0
0 f (ρ0
+ p0 )
(1.44)
Mặt khác, chúng tôi có
H0 =
Với dη =
⇒ H˙ 0 =
a˙ 0
dH0
⇒ H˙ 0 =
a0
dη
2 F0 G0
−l(F0 − G0 )
dt và H0 thu được từ (1.29) H0 =
l(F0 − G0 )
2 F0 G0
−l(F0 − G0 ) d l(F0 − G0 )
2 F0 G0 dt 2 F0 G0
(F0 − G0 )
l2 (F0 − G0 )
=−
4 F0 G0
=−
(F0 − G0 )(F0 G0 + G0 F0 )
F0 G0 −
2 F0 G0
F0 G0
l2 (F0 − G0 ) 2F0 F0 G0 − 2G0 F0 G0 − F0 F0 G0 − F0 F0 G0 + G0 G0 F0 + G0 F0 G0
4
2F0 G0
F0 G0
F0 G0
l2 (F0 − G0 )
[F0 F0 G0 − G0 F0 G0 − F0 F0 G0 + G0 G0 F0 ]
8(F0 G0 )2
l2 (F0 − G0 )
=−
(F0 G0 − G0 F0 )(F0 + G0 )
8(F0 G0 )2
=−
Chúng tôi suy ra
−
l2 (F0 − G0 )(F0 G0 − G0 F0 )(F0 + G0 )
= 2H˙ 0
4(F0 G0 )2
(1.45)
12
Giãn nở tăng tốc trong mô hình Randall-Sundrum
Thế (1.45) vào (1.44), chúng tôi thu được
2H˙ 0
= κ5
(l2 + H02 )1/2
0
0 f (ρ 0
+ p0 )
Hay
H˙ 0
1
=
−
κ
2
2 5
(l2 + H0 )1/2
0
0 f (ρ0
+ p0 )
(1.46)
Vậy đối với brane đặt tại y = 0, chúng tôi thu được hai phương trình liên hệ giữa
tham số Hubble H0 với mật độ năng lượng và mật độ áp suất
1
(l2 + H02 )1/2 = − κ5 0 0f (ρ0 + Λ0 )
6
˙
H0
1
= κ5 0 0f (ρ0 + p0 )
(1.47)
2
1/2
2
2
(l + H0 )
Brane quan sát được tại y = yc
Tương tự brane đặt tại y = 0, trên brane y = yc metric (1.24) trở thành
dS52 |y=0 =
4Fc Gc
l 2 (F
= dτ
2
c − Gc
)2
dt2 −
1
l2 (Fc
− Gc )2
dΣ2c
(1.48)
− a2c (τ )dΣ2c
với
2 Fc Gc
dt
l(Fc − Gc )
dτ ≡
Fc ≡ (t + f (|yc |)),
ac (τ ) ≡
1
l(Fc − Gc )
Gc ≡ G(t − f (|yc |)),
,
bc (τ ) ≡
1
l(Fc + Gc )
(1.49)
Tham số Hubble được định nghĩa
Hc =
a˙ c
ac
Để tìm biểu thức cụ thể của Hc , chúng tôi thực hiện tính
dac
dac
=
dτ
2 Fc Gc
dt
l(Fc − Gc )
l(Fc − Gc ) d
1
=
2 Fc Gc dt l(Fc − Gc )
a˙ c =
=
−(Fc − Gc )
2 Fc Gc
Fc − Gc
=
(Fc − Gc )2 2
(1.50)
−(Fc − Gc )
Fc Gc (Fc − Gc )
13
1.1. Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian
Chúng tôi thu được
Hc =
a˙ c
=
ac
2
−(Fc − Gc )
Fc Gc (Fc − Gc )
l(Fc − Gc ) =
−l(Fc − Gc )
2 Fc Gc
(1.51)
Tham số Hubble có liên hệ với hệ số metric b. Để tìm biểu thức liên hệ này, chúng
tôi thực hiện các tính toán
dbc
dbc
=
dτ
2 Fc Gc
dt
l(Fc − Gc )
l(Fc − Gc ) d
1
=
2 Fc Gc dt l(Fc + Gc )
b˙ c =
=
⇒
−(Fc − Gc )
2 Fc Gc
Fc + Gc
(Fc + Gc )2
ac b˙ c
1
−(Fc − Gc ) Fc + Gc 2
=
l (Fc + Gc )2
2
bc
l(Fc − Gc ) 2 Fc Gc (Fc + Gc )2
=
(1.52)
−l(Fc + Gc )
(1.53)
2 Fc Gc
Lấy ((1.53) + (1.51)), chúng tôi được
a˙
−l(Fc + Gc ) −l(Fc − Gc )
−lFc
ac b˙ c
+ c=
+
=
2
bc
a
2 Fc Gc
2 Fc Gc
Fc Gc
⇒
Fc
Fc Gc
=−
1 ac b˙ c
b2c
l
+
a˙ c
ac
Lấy ((1.53) − (1.51)), chúng tôi được
ac b˙ c a˙ c
−l(Fc + Gc ) −l(Fc − Gc )
−lGc
−
=
−
=
b2c
ac
2 Fc Gc
2 Fc Gc
Fc Gc
⇒
Gc
Fc Gc
=−
1 ac b˙ c
b2c
l
−
a˙ c
ac
Vậy, chúng tôi thu được hai phương trình
Fc
Fc Gc
=−
y=yc
Gc
Fc Gc
=−
y=yc
1 a0 b˙ 0
l
b20
1 ac b˙ c
l
b2c
+
a˙ c
ac
(1.54)
−
a˙ c
ac
(1.55)
14
Giãn nở tăng tốc trong mô hình Randall-Sundrum
Tiếp tục, chúng tôi lấy (1.54) nhân (1.55)
2
⇒l +
Fc
Gc
Fc Gc
Fc Gc
a˙ c
ac
2
=
=1=
l2
a2c
2
b˙ c
b2c
a2c
1
b˙ c
b2c
⇒
b˙ c
b2c
2
=
2
a˙ c
ac
−
1
a2c
2
2
l +
a˙ c
ac
2
Cuối cùng, chúng tôi thu được phương trình
b˙ c
= c (l2 + Hc2 )1/2
2
bc
ac
(1.56)
Trong đó, c = ±1. Tương tự như trên brane y = 0, trên brane y = yc , giá trị của
các hàm Fc và Gc cũng phụ thuộc vào c . Chúng tôi sẽ làm rõ sự phụ thuộc này. Thế
(1.56) trở lại phương trình (1.54), chúng tôi thu được
Fc
Fc Gc y=yc
=−
1
c (l
l
2
+ Hc2 )1/2 + Hc
Từ phương trình (1.57), chúng tôi thấy rằng với
Fc
Fc Gc
c
(1.57)
= 1, khi đó
<0
y=yc
⇒ Fc < 0, Gc < 0
Tiếp tục, thế (1.56) trở lại phương trình (1.55), chúng tôi được
Gc
=−
Fc Gc
Rõ ràng với
c
y=yc
Gc
= −1 thì ⇒
Fc Gc
y=yc
1
c (l
l
2
+ Hc2 )1/2 − Hc
> 0 ⇒ Gc > 0, Fc > 0
Như vậy
c
−1,
+1,
=
Fc > 0, Gc > 0
Fc < 0, Gc < 0
(1.58)
Bây giờ, chúng tôi tìm biểu thức liên hệ giữa Hc với mật độ năng lượng và mật
độ áp suất trên brane. Trở lại phương trình (1.12)
1
Bc
2
[A, y ]c
Ac
+
[N, y ]c
Nc
3 [A, y ]c
Bc
Ac
+ Λc = κ5 pc
+ Λc = −κ5 ρc
