BAO CAO LICH SU TOAN XAC SUAT THONG KE

PHẦN I

TỔNG QUAN LỊCH SỬ XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Lý thuyết xác suất chỉ thực sự hình thành và phát triển trong khoảng 3 thế kỷ rưỡi.
Chình việc giải bài toán chia tiền cược khi cuộc chơi bị gián đoạn giữa chừng đã dẫn đến
sự hình thành nên khái niệm xác suất vào đầu thế kỷ XVII, sau đó các phép tính về xác
suất phát triển dần thành lý thuyết hiện đại được xây dựng theo một hệ tiên đề vào thể kỷ
XX. Tuy nhiên, có thể nói rằng mầm mống của lý thuyết xác suất đã có từ thiên niên kỷ
thứ III TCN, với các trò chơi may rủi.
Dưới đây chúng tôi sẽ tổng kết lại những giai đoạn chủ yếu của lịch sử hình thành,
phát triển lý thuyết xác suất và làm rõ đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất
trong mỗi giai đoạn đó.
I.1 Từ thời trung đại (Moyen-age) đến nửa đầu thế kỷ XVII: nhu cầu tính toán các
cơ hội
I.1.1 Sự ngẫu nhiên
Theo Michel Henry: “Không có sự ngẫu nhiên thì không có xác suất” (Henry,
2004, tr.1). Đã nói đến xác suất thì không thể không nói đến các hiện tượng ngẫu nhiên.
Từ xa xưa, con người đã sớm ý thức được sự tồn tại của ngẫu nhiên khi nói rằng
“Tất cả những gì tồn tại trong vũ trụ đều là kết quả của ngẫu nhiên và tất yếu”. Và
người ta cũng ý thức được là con người không thể “điều khiển” được các hiện tượng
ngẫu nhiên vì nó là “sự thể hiện ý muốn của thần thánh” (Pichard, 1997, tr.105).
I.1.2 Trò chơi may rủi và một khai thác đầu tiên về “Đại số tổ hợp”
Những con súc sắc hình lập phương và đồng chất bằng đất nung được tìm thấy
trong các ngôi mộ cổ chứng tỏ rằng các trò chơi liên quan đến “Phép thử ngẫu nhiên” đã
có từ rất lâu qua các trò chơi với astragales, với súc sắc, … rất phổ biến ở vùng Lưỡng Hà
từ thời Ai Cập cổ đại (tức thế kỷ III TCN). Cho đến ngày nay, trò chơi này vẫn còn là
một mô hình quen thuộc trong các bài toán về xác suất.
Vào thời Hy Lạp cổ đại, đạo luật cấm các trò chơi cờ bạc với súc sắc đã được ban
hành. Nhà thờ thiên chúa giáo cũng lên án các trò chơi đó. Dù vậy, chúng vẫn có sức hấp
dẫn mãnh liệt và tồn tại một cách dai dẳng.
Bài thơ có tựa đề De Vetula (của Richard de Fournival (1201-1260)), một tu sỉ

uyên bác người Pháp, được ghi nhận là có từ khoảng năm 1250 là một bằng chứng về
điều đó. Bài thơ miêu tả trò chơi “Tung ba con súc sắc và đếm tổng các điểm nhận được”
(tức là tổng số chấm xuất hiện trên ba mặt của ba con súc sắc).

1


Một trích đoạn của bài thơ (xem Annex 1) cho thấy tác giả đã sử dụng đến hoán
vị khi nói rằng việc tung 3 súc sắc sinh ra 16 kiểu tổng các điểm, ứng với 56 dạng điểm
và việc hoán vị mỗi dạng điểm đã chứng tỏ rằng tổng cộng có 216 cách rơi 3 súc sắc.
Mặt khác trích đoạn cũng khẳng định: sự xuất hiện của các dạng điểm ứng với
mỗi một trong 16 kiểu tổng các điểm là không đều nhau và tổng lớn nhất bằng 18 ứng với
dạng điểm 6, 6, 6 hoặc tổng nhỏ nhất bằng 3 ứng với dạng điểm 1, 1, 1 rất hiếm khi xảy
ra, trong khi các tổng trung bình lại thường xảy ra hơn. Để giải thích, cùng với bài thơ
người ta đưa ra bảng sau đây (trích theo Henry, 2004, tr.4):

Mỗi dòng của bảng liệt kê các dạng điểm tương ứng với mỗi tổng các điểm, theo
thứ tự tổng các điểm giảm dần từ trên xuống (cột cuối cùng). Với bảng này, có thể thấy
khả năng xảy ra trường hợp tổng các điểm bằng 9, hay 10, hay 11, hay 12 là lớn hơn cả
(tức thường xảy ra hơn các trường hợp kia vì có đến 6 dạng điểm). Mặt khác, một vấn đề
được đặt ra là tại sao tổng bằng 9 hay 12 cũng có cùng số dạng điểm như tổng bằng 10
hay 11 (6 dạng điểm), nhưng khả năng xảy ra của tổng 10 hay 11 lớn hơn khả năng xảy
ra tổng 9 hay 12? Điều này có thể được giải thích phần nào (4) qua thống kê theo số cách
rơi của 3 súc sắc dưới đây:

2


•

Thống kê trên cho thấy ứng với tổng bằng 9 hay 12 có 25 cách rơi, còn ứng với
tổng bằng 10 hay 11 có 27 cách rơi.
Bài thơ này được Henry đánh giá là “Một khai thác đầu tiên về đại số tổ hợp trên
các kết cục có thể để chỉ dẫn người chơi”, vì đã “liệt kê các dạng khác nhau có thể quan
sát được và gắn liền với khả năng nhận được chúng”.
1.1.3 Bài toán các điểm và sự nảy sinh nhu cầu tính toán cơ hội
Bài toán các điểm đầu tiên được Luca Pacioli (1445 – 1509) đưa ra vào năm 1494, trong
tác phẩm Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalita:
“Một lữ đoàn chơi bóng quần. Mỗi cú trúng được 10 điểm và được
60 điểm thì được xem là thắng. Tiền đặt cược trò chơi là 10 đồng
đu-ca. Một tai nạn bỗng xảy ra buộc các binh lính phải dừng ván
đang chơi khi phe thứ nhất đã được 50 điểm và phe thứ hai được
20 điểm. Bài toán đặt ra là phải trả lại cho mỗi phe bao nhiêu
phần của số tiền đặt cược?”
Giải pháp của Pacioli là chia số tiền cược tỉ lệ thuận với số bàn thắng của hai phe.
Về sau này, trong tác phẩm Liber de lulo aleae (được viết vào khoảng giữa năm 1526 và
1560, mãi đến 1663 mới được xuất bản), Jérôme Cardan chứng tỏ rằng chia như vậy là
sai và ông cho là phải dựa vào số ván mà họ có thể chơi nữa. Thế nhưng giải pháp của
Cardan cũng đã bị Tartaglia (1499 – 1557) bác bỏ. Điều đáng lưu ý là trong các tính toán
của mình Cardan đã chú ý đến vấn đề đồng khả năng khi coi con súc sắc như một khối
lập phương hoàn hảo.
Vấn đề đồng khả năng của các kết quả của việc tung súc sắc cũng được Galilé
dùng làm giả thiết trong tiểu luận về các trò chơi súc sắc của mình (nó còn có mặt trong
trao đổi thư từ giữa Pascal và Fermat sau này nữa).
• Trở về với trò chơi gieo 3 súc sắc trong bài thơ De Vetula, một bài toán
đáng chú ý thứ hai đã được Grand Duc de Toscane đặt lại cho Galilé vào
năm 1620
“Tại sao kinh nghiệm của những người chơi lại chỉ ra rằng cá
cược tổng bằng 10 hay 11 thì có lợi thế hơn là tổng bằng 9 hay 12 (27 so
với 25) trong khi mỗi một trong bốn tổng này đều có cùng số dạng (6)?”

(trích theo Henry, 2004, tr.5).
Phân tích lời giải đáp cho câu hỏi này của Galilé, M.Henry nhận thấy chứng minh
của ông cũng sử dụng phép đếm đã được thể hiện tường minh trong bài thơ De Vetula có
từ bốn thế kỷ trước đó. Hơn thế, trong một nghiên cứu (được xuất bản năm 1718) Galilé
kết luận:
“… từ bảng này (bảng thống kê trong bài thơ De Vetula), những
người am hiểu trò chơi có thể đo lường rất chính xác tất cả mọi lợi thế
của các ván chơi súc sắc, các cuộc tranh tài và tất cả các qui tắc riêng
khác mà người ta quan sát được trong trò chơi”.
(trích theo Henry, 2004, tr.5)
Phân tích nghiên cứu của Galile, M. Henry đã đánh giá rằng:
“ Bằng cách đề nghị người chơi trò súc sắc “đo” cơ hội chiến
thắng của họ, Galile đã đến gần với xác suất trong gang tấc, nhưng tất
nhiên là đã không diễn đạt được nó”
(trích theo Henry, 2004, tr.5).

3


•

•

•

Như vậy, cho đến nửa đầu thế kỷ XVII, khái niệm xác suất mới chỉ xuất hiện
dưới dạng công cụ ngầm ẩn để so sánh cơ hội. Cũng như người ta đã nói “Sự kiện
này có cơ hội xảy ra lớn hơn sự kiện kia” hay “Các sự kiện có cùng khả năng xảy
ra”. Nhưng cụ thể “độ đo” cơ hội xảy ra của một sự kiện là bao nhiêu? Được tính
bằng cách nào? Một số yếu tố của Đại số tổ hợp đã được khai thác khi người ta tìm

kiếm câu trả lời cho trường hợp vài trò chơi may rủi. Tuy vậy, vẫn chưa có một câu
trả lời tổng quát nào cho vấn đề đo cơ hội xảy ra của một sự kiện tùy ý. Và tất
nhiên, cho đến lúc này, chưa một định nghĩa nào về xác suất được đưa ra.
I.2 Nửa sau thế kỷ XVII đến cuối thế kỷ XIX: vấn đề tính xác suất của các biến cố
đồng khả năng và không đồng khả năng
I.2.1 Những tính toán đầu tiên về “xác suất” với công cụ của Đại số tổ hợp
Mùa hè năm 1651, Chevalier de Méré đã hỏi Blaise Pascal (1623 – 1662) về vấn đề chia
tiền cược như sau: có lần Méré cùng một người bạn gieo đồng tiền sấp, ngửa ăn tiền, họ
góp mỗi người 32 đồng tiền vàng làm tiền cược và qui ước nếu Méré gieo 3 lần được tất
cả các mặt sấp thì ông được toàn bộ số tiền, còn nếu bạn ông gieo 3 lần được tất cả các
mặt ngửa thì tiền cược thuộc về người bạn ấy. Khi Méré được 2 lần mặt sấp và bạn của
ông mới được 1 lần mặt ngửa thì cuộc chơi phải dừng vì nhà vua gọi Méré. Vậy nên chia
tiền cược như thế nào?
Bài toán này khiến Pascal phải suy nghĩ và ông đã viết thư cho nhà toán học Pierre de
Fermat (1601 – 1665). Qua thư từ trao đổi, họ đã “toán học hóa” các trò chơi cờ bạc và
vào tháng 7 năm 1654, họ đi đến kết luận là Méré được ¾ tiền cược. Hai ông đã giải đúng
nhưng theo hai cách khác nhau.
Pascal đã sử dụng tam giác số học các hệ số khai triển của nhị thức để giải
bài toán. Phân tích lời giải do Pascal đề nghị, Henry cho rằng phương pháp của ông khá
độc đáo và nó nhắc ta nghĩ đến kỳ vọng thắng cuộc. Thật vậy, theo lập luận của Pascal thì
phải chia cho người thứ nhất 48 đồng và người thứ hai 16 đồng, và ta thấy: ; , trong đó, ¾
và ¼ lần lượt là “xác suất” để người thứ nhất và người thứ hai nhận được 64 đồng tiền
cược. Theo ngôn ngữ hiện đại, kỳ vọng toán của người thứ nhất là 48, còn của người thứ
hai là 16.
Sau đó, trong một lá thư gửi Fermat (ngày 24/08/1654), Pascal còn nói đến tổ
hợp khi chỉ ra tỉ lệ tiền cược phải chia cho hai người chơi:
“… có bao nhiêu tổ hợp làm cho người thứ nhất thắng cuộc và có bao nhiêu
cho người thứ hai thì chia tiền theo tỉ lệ này …”
(Blaise Pascal, (Euvres completes, Edition du Seuil, 1963, tr.47), trích theo
Pichard, 1997, tr.111)

Khác với Pascal, bằng cách tưởng tượng là trò chơi tiếp tục với những ván giả nhằm đạt
đến số ván cần chơi để xác định được người chiến thắng, Fermat sử dụng các tổ hợp để
liệt kê các dãy kết quả thuận lợi có thể có của mỗi người chơi rồi chia tiền các cược theo
tỉ lệ đó. Ông giải thích:
“… việc giả tưởng mở rộng trò chơi này đến một số ván nào đó chỉ nhằm làm
cho quy luật dễ đi, và (theo cảm tính của tôi) sẽ khiến cho tất cả các sự ngẫu nhiên bằng
nhau, hoặc dễ hiểu hơn là rút gọn tất cả các phân số về cùng mẫu số”
(trích theo Henry, 2004, tr.6)
Chẳng hạn, để giải quyết trường hợp: có ba người chơi, ai thắng ba ván sẽ
là người chiến thắng, với giả thiết người thứ nhất đã được 2 ván, hai người kia mỗi người

4


•

1 ván và cho là trò chơi sẽ kết thúc trong tối đa 3 ván nữa, Fermat đưa ra tính toán đầu
tiên về xác suất như sau:
“… người thứ nhất có thể thắng sau một, hai hay ba ván. Nếu anh ta thắng
chỉ sau một ván, thì phải có một con súc sắc có ba mặt và trong trường hợp
đó anh ta gặp thuận lợi. Một con súc sắc tạo nên 3 ngẫu nhiên, nên người
chơi này có được 1/3 sự ngẫu nhiên khi chỉ chơi một ván. Nếu chơi hai ván,
anh ta có thể thắng hai cách, đó là khi người thứ hai thắng ván đầu và anh ta
thắng ván thứ hai, hoặc người thứ ba thắng ván đầu và anh ta thắng ván thứ
hai. Nhưng hai con súc sắc tạo nên 9 ngẫu nhiên nên người chơi này được 2/9
sự ngẫu nhiên khi anh ta chơi 2 ván. Nếu chơi ba ván, anh ta chỉ có hai cách
thắng, hoặc là người thứ hai thắng ván đầu, người thứ ba thắng ván thứ hai
và anh ta thắng ván thứ ba, hoặc là người thứ ba thắng ván đầu, người thứ
hai thắng ván thứ hai và anh ta thắng ván thứ ba bởi vì nếu như người thứ hai
hay người thứ ba thắng ở hai ván đầu thì người đó sẽ chiến thắng trò chơi

chứ không phải là người thứ nhất. Nhưng ba con súc sắc có 27 ngẫu nhiên
nên người thứ nhất có 2/27 sự ngẫu nhiên khi chơi ba lần. Khi đó, các ngẫu
nhiên làm cho người thứ nhất thắng lần lượt là 1/3, 2/9, 2/27 cho tổng cộng là
17/27”
(trích bởi Henry, 2004, tr.6)
Theo Henry, có thể hiểu ngầm là Pascal đã thừa nhận sự “đồng khả năng xuất
hiện” của các biến cố qua lý lẽ trong thư khi nói “sự ngẫu nhiên là bằng nhau”. Về
phần Fermat, ông dùng từ “ngẫu nhiên” để chỉ xác suất của một biến cố. Cũng như
Pascal, ông sử dụng tổ hợp để liệt kê các trường hợp có thể và các trường hợp thuận
lợi cho mỗi người chơi. Ông cũng thừa nhận giả thiết “đồng khả năng” khi giải quyết
bài toán. Tuy nhiên, cần phải nói rằng trong những bức thư trao đổi, cả Pascal lẫn
Fermat chưa đưa ra một thuật ngữ nào để chỉ tỉ số mà họ đề nghị dựa vào đó để chia
tiến cá cược. Như chúng ta biết, tỷ lệ đó chính là tiền thân của “xác suất” sau này.
Với những nghiên cứu chính thức về tính toán “xác suất” của hai nhà toán
học Pascal và Fermat, có thể nói các trò chơi ngẫu nhiên đã chuyển thành đối tượng
nghiên cứu của toán học và có mặt trong các bài toán tính “cơ hội” thắng cuộc.
Lúc này, khái niệm “xác suất” còn đang hoạt động trong phạm vi của số
học và đại số tổ hợp, chưa có tên, chưa có định nghĩa tường minh và được sử dụng
như công cụ tính toán các “cơ hội”.
Do cả Pascal lẫn Fermat đều không chính thức xuất bản một cuốn sách nào nói về các
tính toán “xác suất” của mình nên chỉ trong cuốn sách Lý thuyết trò chơi súc sắc do
Christian Huygens xuất bản năm 1657, người ta mới được biết về phép tính mới này. Tuy
nhiên, thuật ngữ “xác suất” vẫn chưa xuất hiện và Huygens đã sử dụng từ “cơ hội” để chỉ
“xác suất”:
“Dù trong các trò chơi thuần ngẫu nhiên, các kết quả có không chắc chắn
đi nữa thì cơ hội mà người chơi thắng cuộc hay thua cuộc đều có một giá
trị xác định”
(Huygens, bản dịch tiếng Pháp Về các tính toán trong các trò chơi ngẫu
nhiên, quyển 14, (Euvres completes, 22 vol, 1888 – 1950, La Haye), trích
theo Pichard, 1997, tr.112)

Theo Pichard, “giá trị của cơ hội” mà Huygens nói đến ở đây chính là “kỳ vọng
toán”. Bản thân Huygens cũng đồng quan điểm với Pascal về kỳ vọng toán và ông coi nó
5


như nguồn gốc cho phép tính mới này. Ngày nay, ông có vinh dự được xem là cha đẻ của
“lý thuyết xác suất”.
• Phải đến năm 1662, trong Nghệ thuật tư duy của Antoine Arnauld và Pierre Nicole (các
bạn của Pascal), thì thuật ngữ “xác suất” mới thực sự xuất hiện lần đầu tiên với nghĩa
đúng như chúng ta biết ngày nay:
“… đừng chỉ cho rằng cái tốt và cái xấu là tự nó, mà còn lá xác suất xảy
ra hay không xảy ra và phải chú ý chính xác vào tỉ lệ mà tất cả những cái
này có chung, điều này có thể được làm rõ như sau: có trò chơi gôm 10
người, mỗi người góp 1 écu, chỉ một người ăn tất cả, còn 9 người kia
thua; cũng như mỗi người chỉ ngẫu nhiên mà mất 1 écu, chín mức độ của
xác suất để mất 1 écu và chỉ một mức độ của xác suất để ăn được chín
écu. Điều này đặt sự việc trong một sự công bằng hoàn hảo”.
• Một trong những định nghĩa tường minh đầu tiên của xác suất được tìm thấy trong Thử
phân tích các trò chơi ngẫu nhiên của Pierre Raymond de Montmort, xuất bản năm
1708:
“Sự rủi may của Pierre de Fermat là tỉ số của tất cả các lần thuận lợi với
số tất cả các lần có thể, … Trong một trò chơi công bằng, số tiền đặt cược
của hai người chơi phải cùng tỉ số với độ xác suất khác nhau hay với kỳ
vọng chiến thắng của mỗi người”
(Henry, 2004, tr.6-7)
Cũng trong tác phẩm này, Montmort đã đưa ra lời giải cho 5 bài toán của
Huygens và các bài toán về cơ hội khác. Ông cũng phát triển nhị thức và đa thức, sử dụng
đại số tổ hợp để phân tích các trò chơi.
Năm 1713, Montmort xuất bản tác phẩm thứ hai là Chuyên luận về các tổ hợp.
Trong tác phẩm này ông đã nhóm các tính chất của đại số tổ hợp đã sử dụng trong tác

phẩm đầu của mình theo lời khuyên của Jean Bernoulli.
Như thế, trong vòng nửa sau của thế kỷ XVII, từ bài toán chia tiền các cược
mà khái niệm xác suất đã được nảy sinh, và để tính xác suất người ta sử dụng đại số
tổ hợp. Trong trường hợp này, hiển nhiên phải thừa nhận tính đồng khả năng xảy
ra của các biến cố.
I.2.2 Sự nảy sinh các tiếp cận “thống kê” của xác suất
• Nhà toán học Jacques Bernoulli đã dành suốt 20 năm của đời mình để hoàn thành tác
phẩm Thuật suy đoán, nhưng năm 1713 (8 năm sau khi ông mất), tác phẩm này mới
được người cháu là Nicolas Bernoulli xuất bản
Bernoulli đã lấy lại các kết quả của Huygens, nghiên cứu sâu các kết quả đó,
phát triển lý thuyết chuỗi, làm sáng tỏ vai trò của công thức nhị thức, chỉ ra rằng tần suất
của một biến cố tiến về một kết quả theo luật xác suất. Tác phẩm giá trị này gồm 4 phần
chính:
1 Giải 5 bài toán do Huygens đặt ra
2 Học thuyết về các hoán vị và tổ hợp
3 Ứng dụng học thuyết trên trong các may rủi thay đổi và các trò chơi
súc sắc.
4 Áp dụng học thuyết trên vào các vấn đề hộ tịch, đạo đức và kinh tế.
Một số kết quả đáng ghi nhận của Bernoulli trong phần cuối của tác phẩm
đã được Henry và Coutinho tổng hợp lại như sau:
- Bernoulli đã nêu lên một số định nghĩa liên quan đến xác suất:
6


-

-

-

-

-

“Xác suất trong thực tế là mức độ chắc chắn…”
“Dự đoán một điều gì đó chính là đo lường xác suất của nó…”
(trích theo Henry, 2004, tr.7)
Bernoulli thừa nhận định nghĩa tiên nghiệm của xác suất trong
các tình huống đồng khả năng:
“Đặt b là số trường hợp mà một đối số nào đó tồn tại, đặt c là số
trường hợp mà nó có thể không tồn tại, (…). Nhưng tôi cho là tất
cả các trường hợp đều có khả năng như nhau, hay chúng có thể
bất chợt xảy ra như nhau; (…) sao cho một đối số như vậy có thể
chứng minh về sự việc hay về độ chắc chắn của sự việc”.
(trích theo Henry, 2004, tr.7)
Nhưng ông cũng chỉ rõ điểm hạn chế của cách xác định xác suất
bằng phương pháp đếm. Sự hạn chế này sinh ra từ việc giả sử các
biến cố sơ cấp là đồng xác suất. Cụ thể, Bernoulli đã chứng tỏ
rằng:
“Sự cần thiết này loại trừ việc ứng dụng học thuyết về cơ hội vào
các hiện tượng tự nhiên phức tạp như: sự xuất hiện một bệnh nhân
hay các hiện tượng về khí tượng, hay dự đoán các chiến lược của
người chơi mà cách hoạt động là không thể đoán trước”
(Henry, 1997, tr.22, trích theo Coutinho, tr.38)
Để ước lượng xác suất trong bối cảnh này, Bernoulli đề nghị xác
định hậu nghiệm xác suất của biến cố mong đợi sau khi quan sát
thực nghiệm một số lớn phép thử giống nhau qua sự ổn định tần
suất. Trích đoạn dưới đây của Bernoulli gợi ra phương pháp tiến
hành thống kê:
“Nhưng thực ra ở đây, chúng ta còn một con đường khác để có

được cái mà chúng ta tìm. Điều gì không có được ở tiên nghiệm
thì tối thiểu cũng nhận được ở hậu nghiệm, nghĩa là có thể khai
thác nó bằng cách quan sát các kết cục của nhiều ví dụ tương tự;
…”
(Bernoulli, 1713, tr42-44, trích theo Coutinho, 2001, tr.39)
Điều này được Henry đánh giá là cái gút của vấn đề. Ông nói:
“…nó dẫn Bernoulli đến việc đề ra cách ước lượng tần suất cho
khái niệm xác suất…” (Henry, 2004, tr.7)
Coutinho bình luận lời lẽ của Borovcnik (1991) như sau:
“… chính từ sự thay đổi cương vị này của xác suất, ta có thể đưa
ra một cách mới để ước lượng cơ hội xảy ra của biến cố, đó là
phương pháp thực nghiệm. Một tiếp cận như vậy giả sử rằng xác
suất là một dữ kiện khách quan, gắn liền với biến cố và phép thử.
Sự ước lượng này được chứng minh bởi sự hội tụ của dãy các tần
suất được quan sát, các dữ kiện bên trong của phép thử được lặp
lại, độc lập với vị trí chủ quan của người quan sát”
(Coutinho, 2001, tr.39)
Để làm rõ thêm cho tiếp cận nêu trên, Coutinho trưng ra định
nghĩa khái niệm xác suất của Rényi (được trình bày trong giáo
trình xác suất của ông, xuất bản năm 1966):
7


•

•

•

“Ta gọi xác suất của một biến cố là con số mà tần suất tương đối

của biến cố được xem xét dao động xung quanh con số này (…)
Vì vậy ta coi xác suất như một giá trị độc lập với người quan sát,
giá trị này gần bằng với tần suất của biến cố được xem xét khi
thực hiện một số lượng lớn các phép thử”
(Coutinho, 2001, tr.39)
Định nghĩa xác suất như trên theo Rényi còn được gọi là định nghĩa “thống kê”
của xác suất.
Như vậy, có thể nói là với “Thuật suy đoán của Bernoulli, lần đầu tiên việc
tính xác suất của một biến cố đã chuyển từ chỗ sử dụng công cụ đại số tổ hợp sang
sử dụng công cụ giải tích. Chúng ta biết rằng điều này có một ý nghĩa quan trọng,
bởi từ chỗ chỉ có thể tính xác suất tiên nghiệm cho trường hợp các biến cố đồng khả
năng xuất hiện người ta đã chuyển sang phạm vi của những biến cố phức tạp hơn
như tác giả nói.
Song song với các nghiên cứu của Nicolas Bernoulli, còn có công trình Học thuyết về cơ
hội của Abraham de Moivre được công bố vào năm 1718. Tác phẩm này là một xử lý
thuần toán học, đã thực sự vận dụng giải tích vào lý thuyết xác suất.
Với Học thuyết về cơ hội, Moivre đã tu chỉnh định lý của Bernoulli và đưa ra
một dạng mà ngày nay ta gọi là định lý về giới hạn trung tâm. Trong tác phẩm này
Moivre cũng giải các bài toán chia tiền cược trong trường hợp mỗi người trong hai người
chơi có một xác suất riêng nào đó để chiến thắng trong từng ván. Ngoài ra ông còn đưa
vào khái niệm hàm sinh, khái niệm độc lập, và khái niệm xác suất có điều kiện.
Có thể nói là nếu như trước thế kỷ XVIII công cụ số học và đại số tổ hợp
gắn liền với các công trình nghiên cứu về tính toán cơ hội thì ở đây các thành tựu của giải
tích hiện đại đã thực sự được sử dụng trong tính toán xác suất.
Vấn đề còn lại mà Bernoulli chưa làm sáng tỏ được là việc tối ưu hóa số thí nghiệm cần
thiết để phỏng đoán một xác suất. Moivre và sau này là Laplace đã tìm cách giải quyết
vấn đề đó. Henry ghi nhận lại kết quả của hai ông như sau:
“Định lý Moivre – Laplace sau này cho phép đưa ra một giá trị tương
đương với xác suất P nên cũng cho phép tính được con số lý tưởng các thí
nghiệm cần thực hiện để có độ chính xác và độ tin cậy là cho trước.

Cũng như với độ chính xác và độ tin cậy là 95 thì các điều tra thông
thường hiện nay có thể phỏng đoán được xác suất với kích thước mẫu thử
vào khoảng 1000”
(Henry, 2004, tr.8)
Liên quan đến kiểu tiếp cận này, như chúng ta biết, Buffon là một trong những người đầu
tiên đã tiến hành thực nghiệm với việc tung đồng xu nhiều lần. Ông đã đưa ra bảng tần số
xuất hiện mặt sấp, mặt ngửa để chứng tỏ tần suất xuất hiện mỗi mặt đều xấp xỉ bằng ½.
I.2.3 Định nghĩa khái niệm xác suất của Laplace
Cho đến đầu thế kỷ XIX, ngoài định nghĩa theo kiểu mô tả của Bernoulli (“Xác
suất trong thực tế là mức độ chắc chắn…”, “Dự đoán một điều gì đó chính là đo lường
xác suất của nó”) thì chưa có một định nghĩa toán học nào về khái niệm xác suất. Vấn đề
này chỉ được giải quyết bởi Pierre Simon Marquis de Laplace trong Chuyên luận giải tích
về xác suất công bố năm 1812. Với chuyên luận này Laplace đã chính thức đưa ra định
nghĩa đầu tiên về xác suất trong nguyên lý thứ nhất. Định nghĩa của ông được trình bày
trong cùng một cách tiếp cận của Pascal, Fermat, Huygens và Monmort:
8


“Nguyên lý thứ nhất cũng là định nghĩa của xác suất, như đã biết, đó là tỉ
số của số trường hợp thuận lợi với số tất cả các trường hợp có thể xảy
ra”
(P.S. Laplace, Introduction du traité analytique des probabilité, trích theo
Thiénard, 1997, tr.140)
Để nhấn mạnh điều kiện sử dụng cho định nghĩa trên, Laplace đã viết
“Lý thuyết về sự ngẫu nhiên dựa trên việc rút gọn tất cả các biến cố cùng
loại về một số nào đó các trường hợp đồng khả năng … xác định số các
trường hợp thuận lợi cho biến cố mà ta tính xác suất. Tỉ số của con số này
với số tất cả các trường hợp có thể, là số đo của xác suất, nó là một phân
số có tử là số trường hợp thuận lợi và mẫu là số tất cả các trường hợp có
thể”

(trích theo Thiénard, 1997, tr.140)
Như vậy, trước khi tính xác suất, ta phải đưa ra các giả thiết về sự đồng khả năng
rồi tính xác suất bằng cách đếm các kết cục thuận lợi. Tuy vậy, Laplace cũng nhận thấy
không phải luôn luôn có thể đưa về các trường hợp đồng khả năng được, nên trong
nguyên lý thứ hai, ông viết:
“Nhưng điều đó giả định rằng các trường hợp là đồng khả năng. Nếu
chúng không đồng khả năng, trước hết ta phải xác định các khả năng
riêng của chúng mà việc ước lượng đúng các khả năng này chính là một
trong những việc khó nhất của lý thuyết về sự ngẫu nhiên. Khi đó, xác
suất sẽ là tổng các xác suất của mỗi trường hợp thuận lợi”
(trích dẫn bởi Thiénard, 1997, tr.140)
Ví dụ mà Laplace đưa ra để minh họa cho nguyên lý thứ hai này là tung một đồng
tiền có hai mặt: sấp và ngửa. Bài toán yêu cầu tìm xác suất để được ít nhất một mặt ngửa
sau hai lần tung. Laplace nêu lên rằng: “rõ ràng là có bốn trường hợp đồng khả năng…”.
Để đơn giản trong cách viết, chúng tôi ghi bốn trường hợp này là NN, NS, SN, SS (S:
sấp, N: ngửa). Ông đã giải thích rằng: bốn trường hợp có xác suất đều bằng 1/4, ba
trường hợp đầu là thuận lợi cho biến cố có ít nhất một mặt ngửa nên xác suất cần tìm là
¾. Mặt dù Laplace không ghi rõ phép toán, nhưng có thể hiểu rằng:

Ông còn phân tích một lời giải sai và sửa lại như sau:
“… Khi lần đầu được mặt “Ngửa” thì không cần tung lần thứ hai; nếu
lần đầu “Sấp” thì lần thứ hai có thể là “ngửa” hay “sấp”. Điều này rút
gọn về xác suất 2/3, nếu ta coi ba trường hợp này là đồng khả năng như
d’Alambert. Nhưng rõ ràng là xác suất để có mặt “Ngửa” lần đầu là ½,
trong khi hai trường hợp kia có xác suất là ¼. Trường hợp đầu là một biến
cố đơn tương ứng với hai biến cố kép: “ngửa” lần đầu và lần hai; “ngửa
lần đầu và sấp lần hai. Theo nguyên lý thứ hai, ta thêm xác suất ½ của hai
mặt ngửa lần đầu với xác suất ¼ của trường hợp sấp lần đầu và ngửa lần
hai thì được ¾ cho xác suất cần tìm, điều đó phù hợp với kết quả tìm được
khi giả sử là tung đồng tiền hai lần. Giả thiết này không làm thay đổi gì sự

9


may rủi của người các cược biến cố này. Nó chỉ giúp rút gọn các trường
hợp khác nhau về các trường hợp đồng khả năng”.
(trích theo Thiénard, 1997, tr.140-141)
Có thể nói Laplace đã đưa ra một định nghĩa tường minh cho khái niệm xác suất,
dựa trên giả thiết về sự đồng khả năng. Ngày nay, định nghĩa xác suất như trên của
Laplace còn được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất, hay “định nghĩa theo Laplace”.
Nó được gọi là cổ điển vì xác suất chính là tỉ số đã được Pascal, Fermat, Huygens nói đến
trước đây (bấy giờ nó chưa có tên gọi chính thức là xác suất như Laplace nêu lên ở đây).
Tóm lại, trong suốt hai thế kỷ rưỡi, các tính toán xác suất hình thành và phát
triển với hai điểm nổi bật là:
-

Tính xác suất theo công thức của Laplace với giả thiết về sự
đồng khả năng của các biến cố.
- Ước tính xác suất hậu nghiệm qua quan sát thực nghiệm một
số lượng lớn các phép thử ngẫu nhiên như nhau theo Bernoulli
khi các biến cố không đồng khả năng.
I.3 Thế kỷ XX: Giai đoạn toán học hiện đại và vấn đề tiên đề hóa lý thuyết xác suất
Một trong những khó khăn trong việc phát triển lý thuyết xác suất là đi đến một
định nghĩa tổng quát, chính xác trong toán học. Cuối thế kỷ XIX, nhiều thành tựu của
công cụ giải tích, trong đó có phép biến đổi Fourier, cho phép thế thay cho các hàm sinh
bởi một hàm số đặc trưng. Tiếp đó là sự phát triển lý thuyết tập hợp số, lý thuyết độ đo,
lý thuyết tích phân của Borel và Lebesgue ở đầu thế kỷ XX đã dẫn đến xu hướng xây
dựng một lý thuyết xác suất hình thức hơn theo phương pháp tiên đề của Hilbert.
Năm 1928, Von Mises đề nghị một hệ tiên đề bằng cách tiếp cận thống kê, theo
đó xác suất được định nghĩa như là giới hạn chung của một dãy các tần suất. Nhưng định
nghĩa này được đánh giá là nặng về mặt kỹ thuật và không đủ cho sự hiểu biết tổng quát

về mặt khái niệm (tham khảo Henry, 2004).
Borel đã giải thích là phải đi theo chiều hướng nào:
“… Lý thuyết xác suất liên tục có thể đặt cơ sở trên các hệ tiên đề và các
định nghĩa hoàn toàn giống với cái mà ta đã làm trong lý thuyết độ
đo…”
(Henry, 2004, tr.10)
Năm 1933, một công trình nghiên cứu của mình, nhà toán học Nga Andre
Kolmogorov đã phác thảo một hệ tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện đại.
Theo lý thuyết này, một phép thử ngẫu nhiên và các kết cục của nó được biểu thị
bởi một tập hợp bất kỳ, trên đó có định nghĩa một độ đo bị chặn với .
Xác suất của một biến cố là độ đo của tập hợp mô tả biến cố A nào đó liên quan đến
một phép thử ngẫu nhiên. Đó là một số thực, được ghi là sao cho thỏa các tiên đề
Tiên đề 1: Với mọi biến cố A,
Tiên đề 2: Với là không gian các biến cố sơ cấp, .
Tiên đề 3: Với mọi dãy các biến cố đôi một rời nhau, thì:
Hệ tiên đề này chấp nhận một cách hài hòa các khái niệm về biến ngẫu nhiên và
các qui luật (sự chuyển từ trong lĩnh vực số).
10


Kể từ đó, những ý tưởng này đã được chọn lọc lại phần nào và ngày nay lý thuyết
xác suất và thống kê trở thành một ngành toán ứng dụng, được biết đến như là lý thuyết
độ đo và phạm vi hoạt động rộng rãi trên nhiều lĩnh vực như: vật lý (phương trình sóng),
cơ học (chuyển động Brownien), sinh vật, kinh tế (đánh giá trợ cấp lợi tức trọn đời, đánh
giá sự biến động tài sản, hàng hóa, …), địa lý, giáo dục, xã hội học, nhân khẩu học (tỉ lệ
trẻ sơ sinh trai – gái, tỉ lệ sinh – tử), …
KẾT LUẬN
Như nhiều khái niệm toán học khác, sự hình thành khái niệm xác suất phải trải
qua một thời gian khá dài và gắn liền với những vấn đề nảy sinh từ thực tế. Có thể phân
chia quá trình hình thành khái niệm này thành bố giai đoạn chủ yếu, trong đó, ba giai

đoạn đầu tương ứng với ba cơ chế khác nhau của nó.
• Trong giai đoạn đầu (Từ thời Trung đại đến nửa đầu thế kỷ thứ XVII):
xác suất lấy cơ chế của một khái niệm protomathématique (không tên,
không định nghĩa) và xuất hiện như là công cụ ngầm ẩn cho phép giải
quyết vấn đề tính toán cơ hội trong vài trò chơi may rủi. Ở giai đoạn này,
Đại số tổ hợp đã bước đầu được khai thác trong tính toán các cơ hội (xác
suất).
• Giai đoạn thứ hai (nửa sau thế kỷ XVII): khái niệm xác suất nảy sinh và
phát triển với việc giải quyết vấn đề chia tiền cá cược mà người khởi
xướng là Pascal và Fermat. Thuật ngữ xác suất lần đầu xuất hiện năm
1662 trong Nghệ thuật tư duy của Antoine Arnauld và Pierre Nicole
nhưng vẫn chưa có định nghĩa toán học chính thức nào. Xác suất vẫn lấy
cơ chế công cụ và đã bắt đầu là đối tượng nghiên cứu. Nói cách khác, nó
xuất hiện dưới hình thức paramathematique. Trong giai đoạn này, các tính
toán về cách chia tiền cá cược đều được đưa về xét trên các biến cố đồng
khả năng xuất hiện, và thường lấy đại số tổ hợp làm công cụ tính.
• Giai đoạn thứ ba (đầu thể kỷ XVIII đến cuối thế kỷ XIX): xác suất chính
thức có cơ chế của một khái niệm toán học. Với công trình công bố năm
1812 của Laplace, xác suất được định nghĩa là tỷ số của số trường hợp
thuận lợi với số tất cả các trường hợp có thể xảy ra.
• Giai đoạn thứ tư (Thế kỷ XX): Với Andre Kolmogorov (1933), khái
niệm xác suất được đin một các hình thức bằng phương pháp tiên đề. Tính
toán xác suất ngày càng phát triển và là công cụ tường minh cho phép giải
quyết nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác nhau của toán ứng dụng, vật
lý học, cơ học, sinh vật học, …

11


PHẦN II:

MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU
BIỂU
I. BLAISE PASCAL
1. Tiểu sử
Blaise Pascal(1623 - 1662) sinh ngày 19 tháng 6 năm 1623 tại Clermont Ferrand,
thuộc tỉnh Auvergne của nước Pháp. Cha của Pascal, ông Etienne, trước kia là một luật
gia tại thành phố Paris và vào lúc Pascal chào đời, ông là chánh án tòa Hộ tại Clermont.
Khi Pascal lên 3 tuổi, bà mẹ Antoinnette Bégan từ trần, để lại cho chồng 3 người con là
Gilberte, Blaise và Jacqueline lúc đó đều còn quá nhỏ. Ngay từ khi mới tập nói, Pascal đã
tỏ ra là một đứa trẻ có năng khiếu khác thường. Lớn lên, Pascal thường hỏi người lớn
những câu hỏi hắc búa và cậu cũng trả lời được những câu hỏi thật khó giải đáp. Những
điều này làm cho ông Etienne tin tưởng rằng con của ông là một thiên tài, vì vậy ông
quyết định lấy cách giáo dục con. Nguyên tắc của ông là luôn luôn khiến cho đứa trẻ làm
các việc khó khăn hơn, tiến bộ hơn.
Vào năm 1631, sau cái chết của vợ 2 tháng, ông Etienne nhường chức vụ của mình
cho người khác rồi dọn nhà lên thành phố Paris để chăm sóc sự học vấn của con, ông
quyết định ở vậy để nuôi dưỡng và giáo dục các con để giúp họ phát huy khả năng trí tuệ
tuyệt vời, đặc biệt là người con trai của ông là Blaise. Ông tự đảm trách việc giáo huấn và
vì vậy, Pascal không có thầy giáo nào khác ngoài người cha thân yêu tài ba. Cậu được
dạy cách quan sát, suy tưởng và thường học được những kiến thức qua các cuộc đàm luận
với cha. Khởi đầu, ông Etienne quyết định dạy con tiếng La Tinh và Hy Lạp cho đến năm
12 tuổi, tuy nhiên trong các thời giờ nhàn rỗi, ông Etienne cũng kể cho con trai nghe các
câu chuyện về khoa học nhưng những điều này không bao giờ làm cho Pascal thỏa mãn,
cậu luôn luôn khao khát những lý lẽ cuối cùng của sự vật.
Vì muốn con chuyên tâm về tiếng La Tinh và Hy Lạp là hai ngôn ngữ rất khó học,
nên ông Etienne đã cấm Pascal học toán, ông cất dấu tất cả những sách về Khoa học và
Toán học, điều này càng kích thích tính tò mò của cậu. Thường vào buổi chiều, phòng
khách của ông Etienne đông chật những nhân vật có tên tuổi ở Pari. Họ thảo luận với
12

nhau về nhiều vấn đề, trong đó có vấn đề Toán học, thỉnh thoảng Pascal hé cửa ngó vào
nhìn họ tranh cãi.
Một buổi, Pascal hỏi bố: Bố ơi, cái “hình học” mà các bác thường tranh cãi với bố là
cái gì vậy? Tuy là nhà toán học, nhưng ông Etienne chưa bao giờ nghĩ đến việc dạy con
kiến thức về toán, vì ông nghĩ rằng còn quá sớm, lúc đó ông trả lời cho qua. Ông trả lời
rằng: À, đó là phương pháp vẽ các hình vuông, hình tròn và tìm mối quan hệ giữa chúng
với nhau.
Rồi một hôm, khi bước vào phòng, ông thấy con trai đang loay hoay dùng phấn
chứng minh trên nền nhà những hình vẽ kì lạ. Ông hỏi:
- Con làm gì thế ?
Cậu bé lúng túng trả lời:
- Con…con đang tìm mối liên hệ giũa “hình bánh xe” và “hình vuông dài”! “Hình
bánh xe” mà Pascal nói đó là “hình tròn”, còn “hình vuông dài” là “hình chữ nhật”, mối
quan hệ mà Pascal đang tìm là định luật thứ nhất trong 32 định luật của Euclide. Sau khi
nghe con thuật lại cách chứng minh, ông Etienne đã phải bỏ nhà, chạy sang nhà ông hàng
xóm Le Pailleur để "khóc lên vì sung sướng".
Xưa nay, ông Etienne chưa từng dạy cho con học Toán bao giờ, vả lại định luật của
Euclide đó là một bài toán rất khó đối với người lớn, không phải dành cho trẻ em 12 tuổi.
Pascal đã chứng minh được rằng tổng số các góc trong một tam giác bằng hai góc vuông,
đúng như Euclide đã từng phát biểu. Cũng vì chưa từng học Hình Học, Pascal đã gọi
đường tròn là "cái tròn" (un rond), đường thẳng là "cái thước kẻ" (une barre). Pascal đã
tự khám phá ra nhiều định lý và tự chứng minh bằng phương pháp của mình. Từ đây,
Pascal mới được cha cho phép đọc các cuốn khái luận của Euclide. Do trí thông minh sẵn
có, Pascal đọc tới đâu, hiểu tới đó mà không cần một ai giảng giải. Cậu còn giải được
nhiều bài toán khó. Sự tự tìm hiểu do ý thích đã khiến Pascal chẳng bao lâu trở thành một
nhà toán học có hạng.
Thời bấy giờ, ông Etienne thường gặp gỡ nhiều nhân vật danh tiếng về Khoa Học
nên Pascal cũng được tham dự vào các buổi hội thảo, cậu được làm quen với Cha

Mersenne là một nhà bác học thời đó, cũng như với những nhà khoa học danh tiếng khác,
chẳng hạn như Desargues, Fermat, Roberval. Tại các buổi họp này, Pascal đã góp ý kiến
về các tư tưởng, các lý luận, các lời phê phán những tác phẩm của các nhà bác học đương
thời. Cậu cũng trình bày những điều do mình khám phá.
Năm 16 tuổi, Pascal đã hoàn thành cuốn "Khảo Sát về Thiết Diện Côníc" (Traité des
sections coniques, 1640) theo phương pháp Hình Học của Desargues. Trong đó ông đã
chứng minh được một trong những định lý đẹp nhất của hình học, gọi là định lý “lục giác
thần kì” sau này được đặt tên lại là “định lý Pascal”. Nội dung định lý: “cho một lục giác
nội tếp một đường conic, các cặp cạnh đối diện của lục giác sẽ cắt nhau theo ba điểm
thẳng hàng”. Tác phẩm này bao gồm các công trình của Apollonius, nhưng đã được
Pascal tự tìm ra và lại chứng minh bằng một phương pháp luận lý vừa đơn giản hơn, vừa
tổng quát hơn. Tác phẩm của Pascal đã khiến rất nhiều nhà toán học tài ba đương thời
phải khâm phục, kể cả Cha Mersenne và Descartes, và ai cũng đồng ý rằng cuốn sách đó
xứng đáng là công trình của một bậc thầy chứ không phải là của một thiếu niên chưa đủ
16 tuổi. Điều ngạc nhiên nhất là cậu bé 16 tuổi này đã viết một công trình về đường
Conic với 400 mệnh đề về thiết diện Conic. Nhiều người đã thúc dục Pascal đưa in tác
phẩm nhưng do lòng khiêm tốn, cậu đã từ chối vì vậy ngày nay người ta chỉ còn lưu giữ
được hai cuốn sách đầu tay của nhà thiên tài toán học Pascal.
13


P

N

M
4

6
3

2

1

Công trình về đường Conic
Năm 17 tuổi, lúc đó cha của Pascal là một kế toán, phải làm nhiều tính toán vất vả,
Pascal đã nảy ra ý định chế tạo một chiếc máy tính. Sau 5 năm lao động căng thẳng và
miệt mài, ông đã chế tạo xong chiếc máy tính làm được bốn phép cộng, trừ, nhân, chia,
tuy rằng chưa nhanh lắm. Đó là chiếc máy tính đầu tiên trong lịch sử nhân loại. Phát
minh này đã làm dang tiếng của Pascal vang lừng. Để ghi nhớ công lao này, tên của ông
đã được đăt cho một ngôn ngữ lập trình, đó là ngôn ngữ lập Pascal.

5

Máy tính Pascaline, 6 số
Vào các năm trước, gia đình Pascal tuy ngoan đạo nhưng tôn giáo chưa được coi là
quan trọng cho tới năm 1646, dòng tu khổ hạnh (Jansenism) của Cơ Đốc Giáo đã ảnh
hưởng tới vùng Pascal cư ngụ. Đây là nhóm tôn giáo chủ trương do ông Cornelis Jansen,
một giáo sư thần học gốc Hòa Lan, sống tại Louvain. Các niềm tin của giáo phái này
khác hẳn với các lời rao giảng của các giáo sĩ Dòng Tên (the Jesuites). Ông Etienne
Pascal, do không ưa thích tôn giáo, nên đã mang gia đình dọn lên thành phố Paris. Tới
khi ông Etienne qua đời vào năm 1651, cô em gái Jacqueline của Pascal liền vào nhà tu
tại Port Royal. Do ảnh hưởng này, Pascal đã để tâm tới tôn giáo cũng như tới các vấn đề
thần học.
Cũng vào năm biết tới dòng tu Khổ Hạnh, Pascal đã thực hiện lại các thí nghiệm của
Torricelli và phổ biến các điều khám phá của mình trong tác phẩm "Các thí nghiệm mới
liên quan tới khoảng chân không" (Nouvelles expériences touchant le vide, 1647). Pascal
đã dựa vào thí nghiệm rồi dùng lý luận, đánh đổ các quan niệm cổ xưa của Aristotle về
chân không và ông cũng đưa ra những khám phá mới về áp suất không khí. Pascal đã tìm

thấy kết luận rằng càng lên cao, áp suất của không khí càng giảm đi. Để kiểm chứng điều
này, Pascal đã nhờ người anh rể là Florin Perier lên ngọn núi Puy-de-Dome thực hiện
nhiều thí nghiệm cần thiết. Các kết quả của Perier đã xác nhận lời tiên đoán của Pascal.
Do khám phá này của Pascal, các nhà khoa học đã chế tạo được các phong vũ biểu và các
cao độ kế.
Trong khi nghiên cứu các thí nghiệm của Torricelli, Pascal còn tìm cách tổng
quát hóa những ý niệm về chất lỏng. Ông đã thiết lập nhiều định luật về áp suất của chất
lỏng để rồi phổ biến qua tác phẩm :"Khảo sát sự cân bằng chất lỏng" (Traité de l
14


'équilibre des liqueurs). Cuốn sách này được hoàn thành vào năm 1651 nhưng mãi tới
năm 1663 mới được xuất bản và căn cứ vào đó, nhiều nhà khoa học đã coi Pascal là một
trong những người sáng lập ra môn Thủy Động Học (Hydrodynamics).
Tháng 9 năm 1651 ông Estienne qua đời, lúc này Pascal 28 tuổi. Sau khi người cha
thân yêu qua đời, Pascal không chuyên tâm nhiều vào việc khảo cứu khoa học. Ông
thường giao du với nhiều người, nhất là Hầu Tước trẻ tuổi De Roannez và Hiệp Sĩ De
Mere. Chính trong thời kỳ này, ông đã chuyên đọc về Epictète và Montaigne. Cũng vào
năm đó, do sự đi lại với De Mere, Pascal đã lưu tâm tới lý thuyết toán học của cách đánh
bài. Ông bắt đầu nghiên cứu phép tính Sác Xuất (Probability). Chuyện xãy ra vào mùa hè
năm 1651, trong một chuến đi Pascal tình cờ gặp một kị sĩ De Mere người Pháp, người
này rất giỏi chơi cờ và có kinh nghiệm. trong cuộc nói chuyện, De Mere hỏi Pascal về
vấn đề chia tiền cược, đây cũng là vấn đề xuất hiện cũng khá lâu trong giới cờ bạc nhưng
chưa có cách giải quyêt nào ổn thỏa. Vấn đề cụ thể như sau:
De Mere với bạn của mình cùng chơi xúc sắc ăn tiền, mỗi bên cùng góp 32 đồng và
đưa ra điều kiện Nêu De Mere gieo cả 3 lần đêu được mặt 6 chấm thì sẽ được toàn bộ tiền
cược, nghĩa là 64 đồng. Còn nếu bạn ng gieo3 lần được mặt 4 chấm thì sẽ thắng. Nhưng
khi De Mere gieo được 2 lần mặt 6 chấm và bạn ông gieo 1 lần mặt 4 chấm thì cuộc chơi
kết thúc. Vấn đề đặt ra là tìm tỷ lệ chia tiền cược. De Mere nói với bạn:“ giả sử còn 1 lần
mà cậu gieo được mặt 4 chấm thì tôi cũng được một nữa của 64 đồng, tức là 32 đồng.

Nếu chúng ta tiếp tục gieo luân phiên thì tôi có nữa cơ hội nhận 32 đồng còn lại. như vậy
cuối cùng tôi được ¾ tiền cược”. Nhưng bạn ông không đồng ý và bảo rằng:” Cậu phải
gieo một lần nữa, nếu được mặt 6 chấm thì sẽ thắng hoàn toàn, còn nếu tôi gieo them 2
lần mà được mặt 4 chấm thì cũng thắng. Như vậy tiền cược mà tôi nhận được phải là một
nữa của cậu, tức là 1/3 của 64 đồng, còn cậu được 2/3 của 64 đồng”. Hai người tranh luận
mãi nhưng không ai đưa ra được cách giải quyết thuyết phục.
Pascal đã suy nghĩ đến vấn đề này khoảng 3 năm, ông cùng với nhà toán học
Fermat,người được mệnh danh là “Quái kiệt” trong giới toán học đương thời. Hai người
trao đổi với nhau, cuối cùng cả hai cùng kết luận rằng cách chia tiền của De Mere là
đúng. Nhưng hai người đã đưa ra 2 cách chứng minh khác nhau. Sau đây là cách giải
quyết vấn đề cưa Pascal:
“ Giả sử hai người cùng chơi trò chơi 3 điểm và mỗi người đật cược 32 đồng. sẽ xảy
ra 3 trường hợp:
Trường hợp 1: giả sử ngươi thứ nhất đạt được 2 điểm, người thứ hai đạt 1 điểm, cả
hai sẽ chơi them một lần nữa, và nếu người thứ nhất đạt được 1 điểm cuối cungfthif sẽ
được toàn bộ tiền cược, trong khi đó nếu người thứ hai thắng thì mỗi người sẽ có 2 điểm
và cùng được 32 đồng. Do đó nếu người thứ nhất thắng sẽ được 64 đồng ngược lại sẽ
được 32 đồng. Nhưng cuộc chơi phải dừng lại nửa chừng, nên người thứ nhất nói với
người thứ hai rằng:” tôi tất nhiên sẽ nhận được 32 đồng dù tôi có thua trong lần chơi cuối
này, và 32 đồng còn lại sẽ chia đôi vì cơ hội thắng của chúng ta là ngang nhau”, cuối
cùng người thứ nhất sẽ nhận được 48 đồng, người thứ hai nhận được 16 đồng.
Trường hợp 2: giả sử ngươi thứ nhất đạt được 2 điểm, người thứ hai chưa có điểm
nào và họ phải chơi cho một điểm cuối cùng. Trong lần chơi này nếu người thứ nhất
thắng sẽ được 64 đồng, nếu người thứ hai thắng thì cả hai sẽ rơi vào trường hợp 1, tức là
người thứ nhất được 48 đồng, còn người thứ hai được 16 đồng. Nhưng do họ không tiếp
tục chơi nữa, cuộc chơi tạm gián đoạn nên người thứ nhất bảo với người thứ hai:” nếu tôi
thắng trong lần chơi cuối cùng sẽ được 64 đồng, nếu thua sẽ được 48 đồng. Bây giờ tất
15

nhiên là tôi nhận được 48 đồng, và chia 16 đồng còn lại thành hai phần bằng nhau vì
chúng ta có cơ hội thắng ngang nhau”. Do đó người thứ nhất sẽ nhận được 56 đồng, và
người thứ hai được 8 đồng.
Trường hợp 3: giả sử ngươi thứ nhất đạt được 1 điểm, người thứ hai chưa có điểm
nào và họ phải chơi một lần cuối. Nếu người thứ nhất thắng sẽ trở về trường hợp 2, tức là
người thứ nhất được 56 đồng. Nếu người thứ hai thắng và người thứ nhất thua thì mỗi
người sẽ nhận được 32 đồng. Do đó nếu cuộc chơi dừng ngang thì người thứ nhất nói với
người thứ hai:” tôi tất nhiên sẽ nhận được 32 đồng, và chia số dư của 48 ra làm hai, có
nghĩa là chia 24 ra hai phần bằng nhau”. Cuối cùng người thứ nhất sẽ nhận tổng cộng là
32 + 12 đồng, tức 44 đồng và vì vậy người thứ hai sẽ nhận được 20 đồng”.
Bài toán chia tiền trên đây đã gây chú ý cho Christian Huygent (1629 – 1695) người
Hà Lan. Năm 1656 ông đã viết cuốn “Bàn về các bài toán trong cờ bạc”, và năm 1657
ông đã viết bản luận văn đầu tiên về Xác suất dựa trên sự qua lại thư từ giữa Pascal và
Fermat.
Rồi vào năm 1654, đã phổ biến các kết quả qua các bức thư viết cho Fermat và qua
cuốn "Khảo Sát về Tam Giác Số Học" (Traité du triangle arithmétique) còn gọi là “tam
giác Pascal”.

Tam giác Pascal
Cũng vào năm 1654, Pascal tới Port Royal thăm chị gái Jacqueline đang sống trong
tu viện, lại thêm ốm đau bệnh tật. Cuộc đi thăm này khiến cho Pascal cảm thấy "ghê tởm
cực độ các sự giả dối của đời người". Sự bất toại nguyện càng tăng thêm cho tới khi "đêm
lửa" xẩy đến, làm thay đổi hẳn cuộc sống cũ của Pascal, lúc này ông chán trường tất cả,
bỏ toán học đắm chìm vào những suy nghĩ tín ngưỡng và nghiên cứu thần học.
Từ tháng Giêng năm 1656 tới tháng 4 năm 1657. Khi sống tại Port Royal, Pascal
được mời viết cho nhà trường các bài giảng về Hình Học, có lẽ vì lý do này, Pascal đã
viết nên cuốn "Phương Pháp chứng minh Hình Học" (On Geometrial Demonstrations).
Vào một đêm đầu xuân năm 1658, Pascal lại bị chứng đau răng hành hạ và vì muốn
tìm quên nỗi đau nhức, Pascal quay ra làm Toán. Ông nghiên cứu hình học Cycloide, là
thứ hình học đang được Roberval và các nhà toán học đương thời khảo sát, và đây cũng

chính là công trình cuối cùng của ông. Cycloid là đường cong được tạo ra bởi một điểm
nằm trên đường tròn lăn trên một đường thẳng. Kì lạ thay, ông đã giải được bài toán đó
và sang hôm sau cũng khỏi luôn bệnh đau răng. Ông suy nghĩ rằng đây là một thong điệp
của Chúa nhắc nhở rằng ông không được quên và rời bỏ toán học. Pascal đã tổng kết
được giới hạn của sinα, sin 2α , αsinα là tương đương nhau, tức là cùng có giới hạn là 0
hoặc π/2 dựa trên phép tính tích phân. Ông cũng kiểm tra được hình xoắn ốc của
Archimede.

16


Đường Cycloid
Càng về cuối đời, Pascal càng sống khổ hạnh. Sau khi đứa cháu của ông được cứu
khỏi tại Port Royal và được mọi người coi là một sự huyền diệu, Pascal chuyên tâm đọc
sách và kiếm tài liệu để viết nên cuốn sách "Biện hộ cho Thiên Chúa Giáo" (Apology for
the Christian Religion) mà sau này, tác phẩm đó được phổ biến sau khi ông qua đời dưới
tên là "Tư Tưởng" (Pensées).
Tháng 6 năm 1662, Pascal đem nốt căn nhà ở tặng cho một gia đình nghèo đang mắc
bệnh đậu mùa. Ông dọn tới ở nhờ người chị gái Gilberte. Tại nơi này, Pascal bị ốm nặng
và biết mình không còn sống bao lâu nữa, ông đã yêu cầu đưa đến bệnh viện điều trị bệnh
nan y, nhưng bác sĩ nói rằng ông quá yếu nên không thể đưa di được. Ngày 18 tháng 8
năm 1662, Pascal bắt đầu co giật và người ta đã làm lễ xức dầu cuối cùng cho ông (thuộc
về tôn giáo). Pascal qua đời vào buổi sáng ngày 19 tháng 8 năm 1662, hưởng thọ 39 tuổi.
Những lời cuối cùng của ông thốt ra là:”Chúa không bao giờ ruồng bỏ tôi”. Cuộc phẫu
thuật đã được tiến hành ngay sau khi ông mất, người ta phát hiện ra những vấn đề nghiêm
trọng ở dạ dày và những cơ quan khác ở vùng bụng cùng với sự tổn thương ở não, và ông
được chôn ở nghĩa trang Sain-Estienne-du-Mont.
Năm 1962, cả nước Pháp đã làm lễ kỷ niệm 300 năm ngày húy kỵ của Blaise Pascal,
nhà bác học kiêm triết gia kiêm văn sĩ. Để ghi nhớ bậc Vĩ Nhân Khoa Học này, người ta
đã phát hành tem thư, tổ chức các buổi thuyết trình về Triết Học, Toán Học và Văn

Chương. Nhiều phòng triển lãm đã trưng bày các tác phẩm của Pascal cùng chiếc máy
tính, phát minh lừng danh của ông. Qua các bài diễn văn, các Viện Sĩ Louis de Broglie,
Francois Mauriac. đã ca ngợi Blaise Pascal là một thiên tài của Nhân Loại, đã mang cả
cuộc đời phụng sự cho Khoa Học và Triết Học.
2. Các công trình
Thiên tài toán học của ông bộc lộ năm ông 12 tuổi khi ông đã tự xây dựng được 32
mệnh đề trong tập một của bộ Elément của Euclide và không cần sách vở, một mình cậu
tự chứng minh được rằng tổng 3 góc trong một tam giác bằng hai góc vuông.
Năm 14 tuổi ông tham gia “câu lạc bộ khoa học” cùng với cha ông và các nhà toán
học đương thời.
Năm 16 tuổi, Pascal đã hoàn thành cuốn "Khảo Sát về Thiết Diện Côníc" là công
trình đầu tiên của ông.
Năm 17 tuổi Pascal xuất bản công trình “nghiên cứu về đường coniques”.
Về mặt kĩ thuật, ngay từ năm 1642, lúc mới 19 tuổi, Pascal đã sáng chế ra một máy
tính để thực hiện các phép tính số học.
Năm 31 tuổi, Pascal phổ biến các kết quả nghiên cứu được về phép tính Xác Suất
qua cuốn "Khảo Sát về Tam Giác Số Học". Pascan đã tìm ra các hệ số nhị thức bằng
phương pháp toán học, đó là một trong những phát minh quan trọng của ông. Và Pascan
đã giải những bài toán của lí thuyết xác suất.
17


Năm 34 tuổi, tại Port Royal, Pascal đã viết nên cuốn "Phương Pháp chứng minh
Hình Học".
Năm 35 tuổi, Ông nghiên cứu hình học Cycloide.
Một cống hiến lớn nữa của Pascan là việc khởi thảo phép tính các đại lượng vô cùng
bé.
Công thức Pascal về hệ số tổ hợp:
. (Với
)

3. Giai thoại
Trước khi tin vào Thiên Chúa giáo, Pascal không những là nhà toán học vĩ đại, ông
còn là nhà tư tưởng luôn đấu tranh chống lại sự mê muội tôn giáo. Sau đây là hai mẫu
chuyện giúp chúng ta hiểu thêm về tư tưởng của ông:
1. Bạn của Pascal vì thấy Pascal có tư tưởng chống lại tôn giáo, nên một bữa nọ
người ấy khuyên Pascal rằng:
- Con người chỉ như cây sậy yếu ớt trước thiên nhiên hùng mạnh, bao la, làm sao anh
có thể đương đầu nổi những cơn giông tố!
Pascal đáp:
- Đúng, con người như một cây sậy mềm yếu, nhưng là một cây sậy biết suy nghĩ, vì
thế nó không cho giông tố dập dùi.
2. Một lần trong bữa tiệc Pascal tình cờ ngồi gần một cha xứ. Lúc cha xứ hút thuốc,
ông đánh diêm, không que diêm vừa lóe lên đã tắt. Cha xứ mỉm cười nói đùa:
- Ngài xem, ánh sáng khoa học vừa nhen lên đã tắt rồi đó !
Ý cha xứ là muốn ám chỉ những cuộc tranh luận vừa mới diễn ra giữa các nhà khoa
học và những người trong giáo hội. Pascal cười và đáp lại rằng:
- Thưa cha, trong tay cha ánh sáng nào mà không tắt.
II. HUYGENS
1. Tiểu sử
Christiaan Huygens (14 tháng 4 năm 1629 – 8 tháng 7 năm 1695) là một nhà
toán học, thiên văn học và vật lý học người Hà Lan. Ông được
coi là một trong những nhà khoa học tiên phong của Cách mạng
Khoa học với những nghiên cứu mang tính đột phá trong các
lĩnh vực Toán học, Vật lý và Thiên văn học. Huygens còn là
một nhà phát minh lớn đặc biệt với các sáng chế về đồng hồ.
Christian Huygens sinh năm 1629 tại Den Haag, Hà Lan
trong một gia đình quyền quý có truyền thống khoa học, bố ông
là Constantijn Huygens, vốn là thư ký cho hoàng tử và là bạn
của René Descartes. Ông học luật và toán ở Đại học Leiden và
Đại học Orange ở Breda trước khi chuyển sang học khoa học.

Với tư cách một nhà vật lý, Huygens đã thu hút sự chú ý từ giới khoa học với ý kiến
cho rằng ánh sáng có tính chất sóng, mà sau đó đã trở thành phương tiện để hiểu lưỡng
tính sóng hạt. Năm 1655, sử dụng kiểu kính thiên văn do mình chế tạo, Christiaan
Huygens đã phát hiện ra vê tinh Titan của Sao Thổ và kiểm chứng được rằng vành đai
Sao Thổ có chứa đá. Cùng năm đó ông quan sát và vẽ phác thảo được hình dáng của tinh
18


vânOrion, những khám phá này sau đó được in trong tác phẩm Systema Saturnium
(1659). Huygens cũng thành công trong việc chia tinh vân thành các ngôi sao khác nhau,
nội vùng sáng hơn của tinh vân Orion được đặt tên là Vùng Huygens (Huygens region).
Ông cũng đồng thời phát hiện ra vài tinh vân năm giữa các vì sao và các ngôi sao kép.
Huygens đa đưa ra công thức mà bây giờ được biết đến dưới cái tên định luật thứ hai về
chuyển động của Isaac Newton trong dạng một phương trình bậc hai. Newton đã công bố
lại công thức và tổng quát hóa định luật này lên.
Huygens được coi là một trong những nhà toán học tiên phong trong sự phát triển
phương pháp tính hiện đại với việc chứng minh được tính đẳng thời của đường Cycloid.
Sau khi được Blaise Pascal khích lệ, Huygens đã viết quyển sách đầu tiên trong lĩnh vực
lý thuyết xác suất, được xuất bản vào năm 1657.
Ông cũng làm việc trong lĩnh vực thiết kế những chiếc đồng hồ chính xác, cần
thiết cho hải quân. Vào năm 1658, ông xuất bản một cuốn sách trong lĩnh vực này có tên
là Horologium. Năm 1657 ông đăng ký sáng chế cho phát minh đồng hồ quả lắc, phát
minh đã tạo ra một bước tiến lớn trong lĩnh vực đồng hồ. Bộ phận đáng chú ý do
Huygens phát minh là cái hồi, đây là bộ phận giúp điều chỉnh lại tốc độ của đồng hồ và
đồng hồ đeo tay. Ông cũng áp dụng chứng minh của mình về tính đẳng thời của đường
Cycloid để tạo ra các má cycloid giúp hệ thống treo quả lắc hoạt động được trơn chu hơn,
bảo đảm cho chuyển động đều của quả lắc bất chấp biên độ lớn của dao động, bất chấp
làm thế nào mà quả lắc dịch chuyển liên tục từ bên này sang bên kia. Phần lý thuyết toán
học và ứng dụng cụ thể của phát hiện này được in trong sách Horologium Oscillatorium
năm 1673. Huygens cũng quan sát được hiện tượng hai quả lắc được treo trên cũng một

thanh xà chuyển động theo các hướng trái ngược nhau một cách hoàn hảo, hiện tượng
này ông gọi là sự đồng điệu kì lạ ngày nay biết dưới cái tên cộng hưởng. Trái với những
điều mà phần lớn mọi người nghĩ, Huygens không phải một thợ đồng hồ, và được biết
đến là một người không tự làm đồng hồ cho bản thân. Ông là một học giả, một nhà khoa
học và một nhà phát minh, và chiếc đồng hồ quả lắc cổ nhất được biết đến là được làm
"với đặc quyền" - sự cho phép của Huygens - bởi tay của thợ đồng hồ Salomon Coster ở
Den Haag. Chiếc đồng hồ quả lắc cổ nhất còn được biết đến theo mẫu của Huygens năn
1657 có thể tìm thấy ở bảo tàng Boerhaave tại Leiden, tại đó cũng trưng bày cả chiếc
đồng thiên văn vô cùng quan trọng của Huygens. Một phát triển khác trong kỹ thuật chế
tạo đồng hồ của Huygens là đồng hồ lên dây cót, sáng chế này được ông thực hiện cùng
thời điểm với sáng chế của Robert Hooke, dẫn đến cuộc tranh cãi về ai là chủ của sáng
chế này kéo dài đến hàng thế kỉ. Vào tháng 2 năm 2006, bản photo bị mất tích của một
bản viết tay của Hooke đã được tìm thấy ở Hampshire, cuộc tranh cãi về chiếc đồng hồ
lên dây đến đây kết thúc nhờ những bản photo này.
Ngày 3 tháng 5 năm 1661, ông cùng hai nhà thiên văn học Thomas Streete và
Richard Reeveshe đã quan sát và nhận thấy rằng Sao Thủy quay quanh Mặt Trời, qua
kính viễn vọng Richard Reeves ở London.
Hội Hoàng gia Luân Đôn bầu Huygens thành một thành viên vào năm 1663. Năm
1666 Huygens chuyển đến Paris, nơi mà ông nắm giữ một vị trí trong Viện Hàn lâm
Khoa học Pháp dưới sự bảo trợ của Louis XIV. Sử dụng Đài thiên văn Paris (hoàn thành
19


vào năm 1672), ông đã mở rộng tầm nhìn của thiên văn học. Năm 1684 ông xuất bản
cuốn sách Astroscopia Compendiaria mà trong đó ông có giới thiệu đến loại kính viễn
vọng mới của ông.
Huygens còn nghiên cứu chi tiết về sự sống ngoài Trái Đất. Trong sách của ông
Cosmotheoros, với đầu đề The celestial worlds discover'd: or, conjectures concerning
the inhabitants, plants and productions of the worlds in the planets ông đã tưởng tượng
về một vũ trụ tràn đầy sự sống, phần lớn cuộc sống đó tương đối giống với cuộc sống

trên Trái Đất vào thế kỉ 17. Bầu không khí tự do của Hà Lan vào thời điểm này không chỉ
cho phép mà còn khuyến khích cho nghiên cứu này. Một cách tương phản, trong khi đó,
nhà triết học Giordano Bruno, một người cũng tin tưởng vào những cuộc sống ngoài Trái
Đất, bị thiêu sống bởi Giáo hội La Mã vì đức tin của ông năm 1600.
Năm 1673, Huygens tiến hành các thí nghiệm về sự cháy trong. Mặc dù ông đã
thiết kế được dạng đơn giản của động cơ đốt trong, chất đốt được tạo ra từ năng lương
của đạn, nhưng ông không bao giờ thành công trong việc này.
Năm 1675, Huygens nhận bằng sáng chế đồng hồ bỏ túi. Ông còn phát minh ra
nhiều dụng cụ khác như bộ điều hòa 31 quãng cho đàn keyboard quãng 8.
Huygens trở lại Den Haag vào năm 1681 sau khi bị một trân ốm nặng. Ông cố
gắng trở lại Pháp vào năm 1685 nhưng việc hủy bỏ của chỉ dụ Nantes đã ngăn cản dự
định này. Huygens mất ở Den Haag ngày 8 tháng 7 năm 1695.

2. Công trình
Ấn phẩm đầu tiên của Huygens năm 1651 và 1654 được coi là vấn đề toán
học. Các ấn phẩm 1651 Cyclometriae cho thấy sự sai lầm trong phương pháp của đề
xuất Gregory của Saint-Vincent.
Vào năm 1654, sự chú ý của ông đã dẫn đến sự cải thiện của kính thiên văn .
Năm 1656, Huygens đã phát minh ra đồng hồ quả lắc đầu tiên, tính chính xác
tăng lên rất nhiều trong đo lường thời gian.
Năm 1655 khi trở về Hà Lan Huygens đã viết một tác phẩm nhỏ De Ratiociniis
trong Ludo Aleae trên các tính toán xác suất, công việc in ấn đầu tiên về chủ đề này.
Quan trọng nhất của công việc Huygens là tác phẩm Oscillatorium
Horologium của ông xuất bản tại Paris năm 1673.
Năm 1680, Christian Huygens thiết kế (nhưng không bao giờ được xây dựng) một
động cơ đốt trong đã được thúc đẩy với thuốc súng.
III. ABRAHAM DE MOIVRE
1. Tiểu sử

20

Abraham de Moivre (26 tháng 5 năm 1667 tại Vitry-leFrançois , Champagne , Pháp - ngày 27 tháng 11 năm 1754 tại
London-Anh là một nhà toán học Pháp nổi tiếng với công thức
de Moivre của, trong đó liên kết số phức và lượng giác, và cho
công việc của mình trên các phân phối bình thường và lý thuyết
xác suất. Ông là một người bạn của Isaac Newton, Edmund
Halley, và James Stirling. Trong số các đồng nghiệp của mình
Huguenot lưu vong ở Anh, ông là một đồng nghiệp của trình
biên tập và dịch giả Pierre des Maizeaux .
De Moivre đã viết một cuốn sách về lý thuyết xác suất, Học thuyết của Cơ hội, đã
được đánh giá cao bởi con bạc. De Moivre đầu tiên phát hiện ra công thức của Binet, các
công thức biểu hiện cho số Fibonacci liên kết sức mạnh thứ n của φ để các thứ Fibonacci
số n.
Abraham de Moivre được sinh ra trong Vitry trong Champagne on May 26,
1667.Cha của mình, Daniel de Moivre, là một bác sĩ phẫu thuật người, mặc dù tầng lớp
trung lưu, tin tưởng vào giá trị của giáo dục. Mặc dù cha mẹ của Abraham de Moivre là
Tin Lành, ông lần đầu tiên tham dự trường Công Giáo Christian Brothers trong Vitry, đó
là khoan dung bất thường cho những căng thẳng tôn giáo ở Pháp vào thời điểm đó. Khi
anh mười một tuổi, cha mẹ gửi ông đến Học viện Tin lành ở Sedan, nơi ông đã trải qua
bốn năm học Hy Lạp dưới Jacques du Rondel. Tin Lành Học viện Sedan đã được thành
lập năm 1579 theo sáng kiến của Françoise de Bourbon, góa phụ của Henri-Robert de la
Marck; năm 1682 Học viện Tin lành ở Sedan đã bị đàn áp và de Moivre ghi danh học
logic tại Saumur trong hai năm.Mặc dù toán học không phải là một phần của công việc
khóa học của mình, de Moivre đọc một số công trình toán học của riêng mình bao gồm cả
yếu tố de mathématiques Cha Prestet và một luận ngắn về trò chơi may rủi, De
Ratiociniis trong Ludo Aleae, bởi Christiaan Huygens.Năm 1684 ông chuyển đến Paris
để nghiên cứu vật lý và lần đầu tiên được đào tạo toán học chính thức với những bài học
riêng từ Jacques Ozanam .
Đàn áp tôn giáo ở Pháp trở nên nghiêm trọng khi vua Louis XIV đã ban hành các

sắc lệnh của Fontainebleau năm 1685, trong đó thu hồi sắc lệnh của Nantes , đã trao
quyền đáng kể cho Pháp Tin Lành.Nó cấm thờ Tin Lành và yêu cầu tất cả trẻ em được
rửa tội bởi linh mục Công giáo.De Moivre đã được gửi đến Prieure de Saint-Martin, một
trường học các cơ quan chức gửi trẻ em Tin Lành cho truyền bá vào Công giáo.Nó là
không rõ ràng khi de Moivre rời Prieure de Saint-Martin và chuyển đến Anh, như các hồ
sơ của Prieure de Saint-Martin cho biết rằng ông rời trường vào năm 1688, nhưng de
Moivre và anh trai của ông trình bày mình là người Huguenot nhận vào Giáo Hội Savoy
tại London vào ngày 28 tháng 8 năm 1687.
Do thời gian ông đến London, de Moivre là một nhà toán học có thẩm quyền với
một kiến thức tốt về nhiều văn bản tiêu chuẩn.Để kiếm sống, de Moivre trở thành một gia
sư riêng của toán học, tham quan học sinh hoặc giảng dạy của mình trong các quán cà
phê của London.De Moivre tiếp tục nghiên cứu của ông về toán học sau khi quý khách
đến thăm bá tước Devonshire và nhìn thấy cuốn sách gần đây của Newton, Principia
21


.Nhìn qua các cuốn sách, ông nhận ra đó là sâu xa hơn những cuốn sách ông đã nghiên
cứu trước đây, và đã được xác định để đọc và hiểu nó.Tuy nhiên, như ông phải đem đi bộ
mở rộng xung quanh London để đi du lịch giữa các sinh viên của mình, de Moivre có ít
thời gian để nghiên cứu vì vậy anh sẽ xé các trang từ cuốn sách và mang chúng xung
quanh trong túi của mình để đọc giữa bài học.Cuối cùng de Moivre trở nên am hiểu về
các tài liệu mà Newton gọi câu hỏi với anh ta, nói: "Tới Ông de Moivre, ông biết những
điều này tốt hơn tôi".
Bởi 1692, de Moivre trở thành bạn của Edmond Halley và ngay sau đó với Isaac
Newton mình. Năm 1695, Halley truyền giấy toán học đầu tiên de Moivre, mà xuất phát
từ nghiên cứu của ông fluxions trong Principia, đến Hội Hoàng gia .Bài viết này được
xuất bản trong các giao dịch triết học cùng năm đó.Một thời gian ngắn sau khi xuất bản
bài viết này de Moivre cũng nổi tiếng với khái quát của Newton Định lý nhị thức vào lý
đa thức .Các Hội Hoàng gia đã trở thành thông báo về phương pháp này vào năm 1697 và
làm de Moivre thành viên hai tháng sau đó.

Sau khi de Moivre đã được chấp nhận, Halley khuyến khích ông chuyển sự chú ý
của mình cho thiên văn học.Năm 1705, de Moivre phát hiện, trực giác, rằng "các lực
hướng tâm của hành tinh nào có liên quan trực tiếp đến khoảng cách từ trung tâm của các
lực lượng và hỗ tương liên quan đến các sản phẩm của đường kính của evolute và lập
phương của vuông góc với tiếp tuyến ".Nói cách khác, nếu một hành tinh, M, sau một
quỹ đạo hình elip xung quanh tập trung F và có P điểm mà AM là tiếp tuyến với đường
cong và FPM là một góc bên phải để FP là vuông góc với tiếp tuyến, sau đó các lực
hướng tâm tại điểm P là tỷ lệ thuận với F * M / (R * (F * P) trong đó R là bán kính của
đường cong tại M. Johann Bernoulli đã chứng minh công thức này vào năm 1710.
Mặc dù có những thành công, de Moivre đã không thể có được một cuộc hẹn với
một Chủ tịch Toán học tại một trường đại học, trong đó có thể giải phóng anh khỏi sự
phụ thuộc của mình vào thời gian tiêu thụ, dạy kèm mà gánh nặng anh hơn nó đã làm các
nhà toán học khác hầu hết thời gian.Ít nhất là một phần lý do là một sự thiên vị đối với
nguồn gốc Pháp của mình.
Trong tháng 11 năm 1697 ông được bầu một viên của Hội Hoàng gia và trong
năm 1712 đã được bổ nhiệm vào một ủy ban được thành lập bởi xã hội, cùng với
MM.Arbuthnot, Hill, Halley, Jones, Machin, Burnet, Robart, Bonet, Aston và Taylor để
xem xét những tuyên bố của Newton và Leibniz như người phát hiện ra tính toán. Các chi
tiết đầy đủ của những tranh cãi có thể được tìm thấy trong Leibniz và Newton tính toán
tranh cãi bài viết.
Trong suốt cuộc đời của ông de Moivre vẫn nghèo. Được biết, ông là một khách
hàng thường xuyên của Slaughter của Coffee House, St Martin ngõ tại Cranbourn Street,
nơi ông giành được một ít tiền từ việc chơi cờ vua .
De Moivre tiếp tục nghiên cứu các lĩnh vực xác suất và toán học cho đến khi ông
qua đời vào năm 1754 và một số giấy tờ bổ sung đã được xuất bản sau khi ông qua
đời.Khi lớn lên, ông ngày càng trở nên hôn mê và cần nhiều giờ hơn ngủ.Ông lưu ý rằng
22


ông đang ngủ thêm 15 phút mỗi đêm và tính toán một cách chính xác ngày chết của ông

vào ngày khi thời gian ngủ thêm tích lũy đến 24 giờ, ngày 27 Tháng Mười Một 1754.
Ông qua đời tại London và được chôn cất tại St Martin-in-the-Fields , mặc dù cơ thể của
mình sau đó đã được di chuyển.
De Moivre đi tiên phong trong sự phát triển của hình học giải tích và lý thuyết xác
suất bằng cách mở rộng khi công việc của người tiền nhiệm của mình, đặc biệt là
Christiaan Huygens và một số thành viên của gia đình Bernoulli.Ông cũng sản xuất sách
giáo khoa thứ hai trên lý thuyết xác suất, Học thuyết của Cơ hội: một trong phương pháp
tính toán xác suất của các sự kiện chơi .(Cuốn sách đầu tiên về trò chơi may rủi, Liber de
ludo aleae ("Về đúc Die"), được viết bởi Girolamo Cardano trong 1560s, nhưng không
công bố cho đến 1663.) Cuốn sách này xuất hiện trong bốn phiên bản, 1711 trong tiếng
Latin, và năm 1718, 1738 và 1756 bằng tiếng Anh.Trong các phiên bản sau của cuốn
sách của mình, de Moivre cung cấp cho các tuyên bố đầu tiên của công thức cho các phân
phối bình thường đường cong, phương pháp đầu tiên của việc tìm kiếm xác suất của sự
xuất hiện của một lỗi của một kích thước nhất định khi lỗi được thể hiện bằng sự thay đổi
sự phân bố như một đơn vị, và việc xác định đầu tiên của lỗi có thể xảy ra tính
toán.Ngoài ra, ông đã áp dụng những lý thuyết đến các vấn đề cờ bạc và bảng tính toán
bảo hiểm.
Một biểu hiện thường thấy trong xác suất là n!nhưng trước khi những ngày của
máy tính tính n!cho một n lớn là tốn thời gian.Năm 1733 de Moivre đề xuất công thức để
tính toán một nhân tố như n!Cn = n +1 / 2 e - n.Ông thu được một biểu hiện cho c liên tục
nhưng đó là James Stirling người thấy rằng c là √ (2 π). Do đó, xấp xỉ Stirling là càng
nhiều do de Moivre như nó là Stirling.
De Moivre cũng xuất bản một bài viết gọi là Tiền lãnh hàng năm trên cuộc đời,
trong đó ông cho thấy sự phân bố bình thường của tỷ lệ tử vong hơn tuổi của một
người.Từ đây ông đã tạo ra một công thức đơn giản cho xấp xỉ doanh thu sản xuất theo
phương thức trả hàng năm dựa trên tuổi của một người.Điều này cũng tương tự như các
loại công thức được sử dụng bởi các công ty bảo hiểm hiện nay.
2. Các công trình khác của Moivre
- De Moivre đi tiên phong trong sự phát triển của hình học giải tích và lý thuyết xác
suất . Ông đã xuất bản Học thuyết của Chance: Một phương pháp tính toán xác suất của

các sự kiện chơi trong năm 1718.
- Năm 1718 công bố các phiên bản đầu tiên của “Học thuyết của Cơ hội” và năm 1725
công bố “niên kim trên Sống” .
- Năm 1730 Abraham De Moivre xuất bản tạp lục văn tập Analytica, một cuốn sách có
chứa kết quả nghiên cứu trong một số lĩnh vực của toán học, nhưng đặc biệt là trong lý
thuyết xác suất.
Công thức của de Moivre
23


Năm 1707 de Moivre xuất phát:

mà ông đã có thể chứng minh cho tất cả các giá trị thiếu tích cực của n. Năm 1722, ông
đề nghị nó trong các hình thức biết đến nhiều hơn của công thức de Moivre của

Năm 1749 Euler đã chứng minh công thức này cho bất kỳ thực n sử dụng công
thức Euler , mà làm bằng chứng khá đơn giản.Công thức này rất quan trọng vì nó liên
quan số phức và lượng giác .Ngoài ra, công thức này cho phép nguồn gốc của biểu thức
hữu ích cho cos (nx) và sin (nx) về cos (x) và sin (x).
3. Giai thoại
Người ta kể rằng de Moivre đã có thể dự đoán chính xác ngày chết của
mình. Được cho là, Ông lưu ý rằng ông đang ngủ thêm 15 phút mỗi đêm, và tính toán
rằng ông sẽ chết vào ngày đó, thêm 15 phút một đêm lũy kế đến 24 giờ. Đó là vào ngày
27 Tháng Mười Một 1754, ngày thực tế cái chết của ông.
IV. GAUSS (1777 - 1855)
Carl Friedrich Gauss là nhà toán học người Đức vĩ đại
nhất trong thế kỷ XIX và thường được xếp ngang hàng với
Archimedes và Isaac Newton. Ông là một trong ba nhà toán học
vĩ đại nhất của mọi thời đại. Ngay từ nhỏ Gauss đã biểu hiện một
khả năng kỳ lạ về tính nhẩm. Ngay khi lên 3 Gauss đã phát hiện

trong việc kế toán của cha mình có chỗ sai. Khi còn nhỏ, đã biết

1 + 2 + L + 100

101.50

tính nhanh tổng
bằng tích
làm kinh ngạc
thầy giáo.
Gauss nổi tiếng chủ yếu nhờ những công trình về toán học, mặc
dù các công trình nghiên cứu về thiên văn và vật lý cũng được đánh giá rất cao. Ngay từ
những năm trung học, Gauss đã nắm vững các công trình Newton, Euler, Lagrange và đã
tìm ra phương pháp bình phương tối thiểu. Ông là một trong ba người khám phá ra hình
học phi Euclid, khám phá ra khả năng chia một đường tròn thành 17 cung bằng phương
pháp của Euclid. Ông có nhiều công trình về lý thuyết số. Gauss là người chứng minh

n

chặt chẽ định lý cơ bản của đại số học (một phương trình đa thức bậc và có các hệ số
phức thì có ít nhất một nghiệm phức). Tác phẩm “Disquistiones Arithemeticae” (các

1801

nghiên cứu về số học) của ông công bố vào năm
được xem là công trình mở đầu
của đại số hiện đại. Gauss còn nghiên cứu lý thuyết các mặt cong, số phức, sự tương
đẳng, hình học hyperbolic và nhiều vấn đề cơ bản khác của toán học.

24

Bảng phân phối của Gauss trong thống kê toán học
Những thành công của Gauss trong thiên văn học, trắc địa, vật lý cũng hết sức to
lớn. Gauss là một thiên tài bẩm sinh, suốt cuộc đời ông là cuộc đời sáng tạo không
ngừng.
Gauss đã được xem là “một người khổng lồ của toán học, với chiều cao của mình
ông đã nhìn thấy cả trời cao và biển thẳm”.
V. BERNSTEIN (1880 - 1968)
Sergei Natanovich Bernstein là nhà khoa học Ucraina, sinh
ngày 5 tháng 3 năm 1880 tại Odessa, mất ngày 26 tháng 10 năm
1968 tại Moscow- Liên Xô. Ông tốt nghiệp trường đại học Paris
năm 1899. Luận án tiến sĩ của mình, nộp trong năm 1904 đến
Sorbonne, giải quyết vấn đề XIX Hilbert về các giải pháp phân
tích của phương trình vi phân elip. Luận án của ông được xuất
bản vào năm này. Năm 1913 ông nhận bằng tiến sĩ thứ hai của
mình, lần này từ Đại học Kharkov, các kết quả của luận án đã
mang về cho Bernstein được giải thưởng của Viện Hàn lâm
Khoa học Bỉ vào năm 1911. ông là viện sĩ viện hàn lâm khoa
học Liên Xô từ năm 1929. Năm 1932 Bernstein lại Kharkov để trở thành người đứng đầu
của Sở Lý Thuyết Xác Suất và Thống kê toán học của Viện Toán học của Viện Hàn lâm
Khoa học Liên Xô tại Leningrad. Từ năm 1933 Bernstein làm việc tại Viện Toán học của
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô tại Leningrad (bây giờ lại được gọi là St Petersburg), và
cũng dạy tại trường Đại học và Viện Đại học Bách khoa. Năm 1955 ông là viện sĩ viện
hàn lâm khoa học Paris.
Các công trình của ông tập trung vào lí thuyết phương trình vi phân, tính gần
đúng hàm số bởi đa thức và lý thuyết xác suất. Đưa ra phương pháp mới để giải bài toán
biên cho các phương trình phi tuyến loại elliptic. Trong lý thuyết xác suất, năm 1911,
Bernstein thiết lập bất đẳng thức cho phép thay cho đánh giá xác suất có độ lệch chuẩn
lớn bằng đánh giá hàm mũ thông thường gọi là bất đẳng thức Bernstein. Năm 1917, ông

xây dựng phương pháp tiên đề đầu tiên cho lý thuyết xác suất và sau đó nghiên cứu các
định lý giới hạn và lý thuyết thống kê. Để hoàn tất hướng nghiên cứu này, ông có các
công trình về áp dụng lý thuyết xác suất cho các vấn đề vật lý học và sinh học.
25