Bài tập toán kinh tế

BÀI TẬP HÀM NHIỀU BIẾN
1. Tính đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau:
1)

x3 + y3
z= 2
x + y2

2)

z = ln( x + x 2 + y 2 ) ,

3)

z = y 2 sin

4)

z=x

y3 ,

5)

z = arctg

6)

z = arcsin( x − 2y ) ,

7)

z = ln

8)

x2 − y2
z = arctg 2
x + y2

9)

u=x

10)

ĐS:

zx =

, ĐS:

x2 + y2 + x

yz ,

ĐS:

1

−1

,

x
y

x +y
2

,

, ĐS:

zx =

, ĐS:

zx =

−1

,

z y = 2y sin

zy =

,

− 2y

. 2
( x + y 2 + z 2 )2

−x
x + y2

,

1 + ( x − 2y )

2

−2
x +y
2

,

x x4 + y4

zy =

zy =

,

2

y2

zx =

−2
1 + ( x − 2y )2
2x

y x2 + y2
−y
x4 + y4

z

z

uy = x y . ln x.z.y z −1 , uy = x y . ln x.y z . ln y

ux = e

x2 + y 2 + z2

.

− 2x
( x + y 2 + z 2 )2
2

1

,

x + y + x x2 + y2
2

2

1

, ĐS:

y
2

x
x
− x cos
y
y

1

zx =

z

zy =

3

2

ĐS:

,

,

2

y 4 + 3 x 2 y 2 − 2x 3 y
zy =
( x 2 + y 2 )2

z y = 3 x y y 2 ln x

y
x + y2

ux = y z x y

1
2
x + y 2 + z2

x2 + y 2 + z2

3

z x = y3 x y

1

zx =

ĐS:

z x = y cos

ĐS:

x2 + y2 − x

u=e

ux = e

, ĐS:

x
,
y

x
y

x 4 + 3 x 2 y 2 − 2xy 3
zx =
( x 2 + y 2 )2

ux = e

x2 + y 2 + z2

.

,

− 2z
( x + y 2 + z 2 )2
2


y 1
y
y
y
ux = e xyz.yz. sin , u y = e xyz ( xz. sin + cos ) ,
,
ĐS:
z
z z
z
z
y y
y
u z = e xyz ( xy. sin − 2 cos )
z z
z

11)

u = e xyz sin

3) Tính đạo hàm của các hàm số ẩn được xác định bởi phương trình sau:
3

3

4

1) x y – y x = a , ĐS:
y

x

xy

2) xe + ye – e = 0, ĐS:
x+y y
= ,
a
a

3)

arctg

ĐS:

4)

ln x 2 + y 2 = arctg

x
y

y(3 x 2 − y 2 )
x( x 2 − 3 y 2 )

y' = −

y' =

e y + yex − yexy
y' = − y
xe + e x − xexy

a2
( x + y )2

, ĐS:

y' = −

x−y
x+y

5) x + y + z = ez, tính z’x, z’y, ĐS:
3

3

zx = zy =

3

6) x + y + z – 3xyz = 0, tính z’x, z’y,

zx =

1
x + y + z −1
x 2 − yz
y 2 − xz
z
=
, y z2 − xy
z2 − xy

4) Tính đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:
1)

1
z=
( x 2 + y 2 )3
3

, ĐS:

2) z = x2ln(x+y), ĐS:
z xy =

3)

2x
x2
−
( x + y ) ( x + y )2

,

z xx =

2x 2 + y 2
x2 + y2

,

z xx = 2 ln( x + y ) +

z yy = −

z xy =

xy
x2 + y2

,

z yy =

2x
x − 2xy
+
( x + y ) ( x + y )2

x2
( x + y )2

2
2 −3 / 2
2
2 −3 / 2
z = ln( x + x 2 + y 2 ) , z xx = x( x + y )
, z xy = y( x + y )

z yy =

x3 + ( x2 − y2 ) x 2 + y2
( x + x 2 + y 2 )2 ( x 2 + y 2 )3 / 2

x 2 + 2y 2
x2 + y2


4)

z = arctg

y
x

, ĐS:

z xx =

− 2xy
( x 2 + y 2 )2

,

z xy =

− 2xy
− ( x2 − y2 )
z yy = 2
2
2 2 ,
( x + y 2 )2
(x + y )

5) Tìm cực trị của các hàm số sau:
1) z = 4(x - y) – x2 – y2, ĐS: Cực đại tại (2,-2)
2) z = x2 + xy + y2 + x – y + 1, ĐS : Cực tiểu tại (-1,1)
3) z = x + y - xey, ĐS: Không có cực trị
4) z = 2x4 + y4 – x2 – 2y2, ĐS : Cực tiểu tại (-1/2,-1), (1/2,-1), (-1/2,1),
(1/2,1)
5) z = ( x 2 + y 2 )e −( x + y ) , ĐS : Cực tiểu tại (0,0), cực đại tại x2+y2=1
6) Tìm cực trị có điều kiện:
1) z = xy với điều kiện x + y = 1, ĐS : Cực đại tại (1/2,1/2)
2) z = x2 + y với điều kiện x2 + y2 = 1, ĐS : Cực tiểu tại (0,-1), cực đại tại

2

(±

2

3 1
, )
2 2

3) z = x + 2y với điều kiện x2 + 2y = 2, ĐS : Cực đại tại (1/2,7/8)
4) z = 2x + 8y với điều kiện x1/2y1/4 = 8, ĐS : Cực tiểu tại (32,4)
5) z = 3x + 2y – 5 với điều kiện x1/2 + y1/2 = 5 : Cực đại tại (4,9)
6) u = x + y + z với điều kiện 1/x + 1/y + 1/z = 1, ĐS : Cực tiểu tại (3,3,3)
BÀI TẬP PHẦN MA TRẬN
1. Cho các ma trận:
1 0 − 1
A=
,
2 1 3 

1 2 
 1 2 − 1
1 0 2 − 1
3 − 1


 , C = 3 1 0 , D = 3 1 0 4 
B=





2 4 




2
−
1
1
2
−
3
1
2





4 1 

a) Có thể lập được tích của những ma trận nào trong 4 ma trận
trên ?
b) Hãy tính CDBA. Cấp của ma trận tích là bao nhiêu ?
c) Có thể tính được các tích DBAC, ACDB không? Nếu được thì
cấp của nó là bao nhiêu ?
2. Thực hiện phép nhân AB, BA, trong đó :

a)

2
− 1 1 3
 1 2 − 1

A=
B =  2 1 − 3 − 1 
,

3 0 1 
 1 0 2 − 2


3.

4 − 1 3 
1 3 2 




b) A = 2 3 1  , B = 4 2 − 1
 1 0 − 3
1 0 − 3
0 1 1


Cho ma trận B = 0 0 1
0 0 0

Hãy tính BBT, BTB, B2, B3. Chứng minh Bn = θ với n ≥ 3.
4. Tính:
1 1
A=

0 1

k

,

a11 0
0 a
22
B=
 ... ...

0
0

... 0 
... 0 
... ... 

... a nn 

k

 1 − 1

A=

− 3 3 
6. Một công ty xây dựng có xưởng thiết kế và đội thi công như sau:

5. Hãy tìm f(A) với f(x) = x2 – 5x + 3 với

Kỹ sư Kỹ thuật viên Công nhân
Xưởng thiết kế 10
15
12
Đội thi công
14
13
50
Nhu cầu về nhà ở, đồ bảo hộ lao động và tiền lương được biểu thị
như sau:
Diện tích nhà ở Đồ bảo hộ lao động Lương tháng
Kỹ sư
60
1
1000
Kỹ thuật viên
40
2
600
Công nhân
20
3
300

Hãy lập ma trận nhu cầu về nhà ở, đồ bảo hộ lao động và tiền
lương cho toàn công ty.
7. Một công ty điện máy có 3 cửa hàng bán đồ gia dụng như sau:
Đến 31.12.2008 báo cáo hàng tồn kho như sau:
Cửa hàng Tivi 21” Tivi 32" Máy giặt Tủ lạnh Máy lạnh Máy ảnh
1
50
40
100
150
100
100
2
70
40
80
70
50
80
3
80
50
70
100
140
100
Giá bán của các sản phẩm:


Tivi 21” Tivi 32" Máy giặt Tủ lạnh Máy lạnh Máy ảnh

Giá bán
2
7
4
5
6
3
Báo cáo kinh doanh 2 tháng đầu năm:
Tháng 1 Tivi 21” Tivi 32" Máy giặt Tủ lạnh Máy lạnh Máy ảnh
1
20
10
25
40
8
38
2
10
12
30
32
12
32
3
15
20
18
38
14
40

Tháng 2 Tivi 21” Tivi 32" Máy giặt Tủ lạnh Máy lạnh Máy ảnh
1
15
20
10
30
12
28
2
12
24
20
38
14
42
3
10
30
12
18
10
50
a) Tính doanh thu tháng 1, 2 và doanh thu 2 tháng
b) Tính hàng tồn kho đến cuối tháng 2/2009

BÀI TẬP PHẦN ĐỊNH THỨC
1. Tính định thức cấp 2:
A =

2 −3

4 4

,

B =

sin x cos x
− cos x sin x

,

C=

2. Tính định thức:
2 3 −1
A = −3 4 2 ,
5 1 3

4 1 3
B = −2 5 2
3 2 −1

3. Tính định thức:
1 b
1
A =0 b
0,
b 0 −b

4. Tính định thức:

−x
1
x
B = 0 − x −1
x
1 −x

x −1
1
a
D =
,
3
2
x
x + x +1
a

1
a


1
2
A =
3
−2

2 −3 4

3 5 −1
,
1 0
2
0 3
1

−1 2
3
0
B =
4
1
2 −3

5 3
2 −1
0 5
4 1

5. Hãy tính định thức:
ax a 2 + x 2 1
A = ay a 2 + y 2 1 ,
az a 2 + z 2 1

1
B = x
x2

1

y
y2

1
z
z2

6. Tìm x từ các phương trình sau:
a)

x2
x
1

4 9
2 3 =0
1 1

b)

x2
x
0

3 2
−1 1 = 0
1 4

7. Tính định thức:
1 0

0 −1
A =
a b
−1 −1
0 1 1
1 0 a
C=
1 a 0
1 b c

−1
−1
c
1
1
b
,
c
0

−1
2 1
1
1 2
B =
,
d
1 1
0
1 1

1 x
1 y
2 z
1 t

,

x
y
x+y
D= y
x+y
x
x+y
x
y

8. Tính định thức cấp n:
1 + x 1y 1 1 + x 1y 2
1+ x 2 y1 1+ x 2 y 2
A =
...
...
1+ x n y1 1+ x n y 2

... 1 + x 1y n
... 1 + x 2 y n
...
...

... 1 + x n y n

,

0 1 1 ... 1 1
x + a1
1 0 x ... x x
a1
1 x 0 ... x x
C =
, D = a1
... ... ... ... ... ...
...
1 x x ... 0 x
a1
1 x x ... x 0

1
1
1
B =
...
1
1
a2
x + a2
a2
...
a2

x1
x
x1
...
x1
x1

x2
x2
x
...
x2
x2

a3
a3
x + a3
...
a3

...
...
...
...
...
...

x n−1
x n−1
x n−1

...
x
x n−1

...
an
...
an
...
an
...
...
... x + a n

xn
xn
xn
...
xn
x


MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1. Tìm ma trận nghịch đảo:
2 1
− 1 3 
 − 1 − 2
5 2
A=
B=

C=
D=
,
,
,




7 
 1 2
 2 − 4
3
7 4

2. Tìm ma trận ngịch đảo :
1
A = 2
5
1
D = − 1
 2

1 − 1
5 8
3 1  , B = 1 1
8 2 
2 3
− 1 − 1
2

1 − 1 , E = 1
1
2 0 

3
 1 − 1 2
2 , C = − 1 2 1
 2 − 3 2
−1
1 1
2 1
1 2

3. Tìm ma trận X biết :
a)

 − 1 2
− 3 1 X =



2 3
4 1 ,



b)

 1 3 5 2
X

=

2 5 0 1

4. Tìm ma trận X thoả mãn phương trình:


− 1 − 5 3  2 1 0 
X  1 − 3 2 = − 1 3 1 
 5 − 2 3  4 1 − 2

5. Tìm tất cả giá trị của p sao cho A khả nghịch và tìm ma trận nghịch
đảo.
1 0 p
 1 1 0


2 1 1

HẠNG CỦA MA TRẬN
1. Tìm hạng của ma trận :
 3 2 − 1
A =  4 1 2  ,
− 1 0 3 

1 2 − 1 3 
B = 3 4 0
1 
2 2 1 − 2

2. Tìm hạng của ma trận :
3
 1
− 2 5
A=
3
1

 4 −1

5
4
, B=
2

0

2
−4
0
− 1 − 4
5 

3
1
7 


5 − 10
0

3. Xác định hạng của ma trận A sau tùy thuộc giá trị của tham số (tham
số là một số thực) :
3 λ 1 2 
 1 4 7 2
,
A=
 1 10 17 4


4 1 3 3 

 1 a − 1 2
B = 2 − 1 a 5
 1 10 − 6 1

2.. Xác định hạng của ma trận tùy theo tham số thực:
− 1 2
 λ −1

 1 λ

 1 2

1 − 1 1
1 − 1 − 1
0
1 1

2 − 1 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
1. Giải hệ phương trình Crame bằng định thức:
 3x 1

− x 1
 2x
 1

+ 2x 2
+ 4x 2
+ 3x 2

− x3
+ 2x 3
+ x3

= −1
=2
=0

2. Dùng phương pháp ma trận nghịch đảo để giải hệ phương trình sau:
 − x1

 4x 1
− 2 x
1


+ 3x 2
− x2
+ 3x 2

− 2x 3
+ 4x 3
− 3x 3

=2
= −1
=3

3. Dùng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình:
a)

2x 1

3 x 1
x
 1

+ x2
− 2x 2

− 3x 3
+ 4x 3

=1
=2

+ 3x 2

− 2x 3

= −1

b)

3 x 1

 x1
2x
 1

+ 2x 2
− 3x 2

− x3
+ 4x 3

+ x4
− 2x 4

= −3
=1

+ x2

− 2x 3

+ 3x 4

=2

4. Giải và biện luận hệ phương trình sau :
x2 +
x3 = 1
(1 + a)x 1 +

x 1 + (1 + a)x 2 +
x3 = a


x1 +
x 2 + (1 + a)x 3 = 2


5. Tìm điều kiện cần và đủ để hệ phương trình có nghiệm :
 x 1 + 2x 2 + 2x 3
2 x −
x2 +
x3
 1

x2 −
x3
3 x 1 +
 x 1 − 3 x 2 − 5 x 3

=

=
=
=

a
b
c
d

6. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số:
y+
z=
1
λx +

z= λ
 x + λy +
 y+
y λz = λ2


7. Giải và tìm một hệ nghiệm cơ bản của các hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất sau:
a)

 3x 1

− 2 x 1
 x
 1

− 2x 2
+ x2
+ 3x 2

+ x3
− x3
+ 4x 3

− 3x 4
+ 2x 4
− x4

=0
=0
=0


b)

 x1
3 x
 1

4 x 1
4 x 1

− x2
− 2x 2
− 3x 2

− 3x 2

+ 3x 3
− 2x 3
+ x3
+ x3

− x4
+ x4
− x5
− x5

+ x5
− 2x 5

=0
=0
=0
=0

8. Xác định a để hệ sau có nghiệm không tầm thường:
a)

z= 0
ax − 3 y +

y+
z= 0
2x +
3 x + 2y − 2z = 0

