đề thi ts lớp 10 quốc học huế 2007

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên Tin
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2005-2006
150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề chính thức
Bài 1: (2,75 điểm)
a) Xác định các hệ số
, ,a b c
của hàm số
2
y ax bx c= + + , biết đồ thị (P) của hàm số
cắt trục Oy tại điểm
( )
0; 5
, cắt trục Ox tại điểm
( )
1; 0
và đi qua điểm
( )
1; 6
.
b) Với giá trị nào của x thì hàm số vừa xác định có giá trị nhỏ nhất ? tìm giá trị nhỏ
nhất đó của hàm số.
c) Xác định sự biến thiên của hàm số đã tìm đợc ở câu a) khi
3
4
x <
và khi
3
4
x >
.

Bài 2: (2,75 điểm)
a) Giải hệ phơng trình:
30
35
x y y x
x x y y

+ =


+ =


b) Cho
0 a b c d
< < < <
. Chứng minh rằng:
( )
( )
2
1 1
a d
b c
b c ad
+

+ + <
ữ

Bài 3: (3,5 điểm)

Cho đờng tròn (O) đờng kính BC = 2R, tam giác cân ABC nội tiếp trong đờng tròn
(O). M là điểm di động trên cung nhỏ
ằ
AC
, đờng thẳng AM cắt đờng thẳng BC tại D.
a) Tính độ dài của các cạnh còn lại của tam giác ABC theo R.
b) Chứng minh rằng: Tích
AM ADì
luôn là hằng số.
c) Tính số đo của góc
ã
CMD
. Chứng tỏ rằng tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác
MCD chạy trên một đờng cố định khi M di động trên cung nhỏ
ằ
AC
.
Bài 4: (1 điểm)
Bốn học sinh Hồng, Hà, Long, Giang làm trực nhật, trong đó có một học sinh vẽ
tranh lên tờng. Thầy Chủ nhiệm hỏi: "Ai đã vẽ tranh lên tờng ?"
Các bạn lần lợt trả lời:
Hà: - Tha Thầy, có thể bạn Giang, cũng có thể bạn Long đã vẽ ạ !
Giang: - Tha Thầy, Em không vẽ đâu ạ !
Hồng: - Tha Thầy, chính bạn Long vẽ ạ !
Long: - Bạn Hồng ơi, bạn nhầm rồi. Tha Thầy, em không vẽ đâu ạ !
Biết rằng có ba học sinh nói đúng, còn một học sinh nói sai. Hỏi ai đã vẽ tranh lên t-
ờng ?
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên tin
Thừa Thiên Huế Năm học 2005-2006
Đề chính thức Đáp án và thang điểm

Bài
ý
Nội dung Điểm
1
2,75
1.a
+ (P) cắt Oy tại
( )
0; 5
, nên:
5c
=
.
0,25
+ (P) cắt Ox tại
( )
1; 0
, nên:
0 5 5 (1)a b a b= =
0,25
+ (P) đi qua điểm
( )
1; 6
, nên:
6 5 1 (2)a b a b = + + =
0,25
+ Giải hệ (1) và (2) ta có:
2; 3a b= =
. Hàm số cần xác định là:
2

2 3 5 ( )y x x P=
0,50
1.b
+Ta có:
2
2
3 49
2 3 5 2
4 16
y x x x


= =

ữ



có tập xác định là
R
0,25
2
49
2 3 5 ,
8
y x x x= R
0,25
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
min
49

8
y =
khi và chỉ khi:
3 3
0
4 4
x x = =
0,25
1.c
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3 3 3 3 3
, : 0
4 4 4 4 4
x x x x x x x x

< < < < >
ữ ữ

2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
1 1 2 2 1 2
3 49 3 49 3 49 3 49
2 2
4 16 4 16 4 16 4 16
2 3 5 2 3 5
x x x x
x x x x y y

> >

ữ ữ ữ ữ



> >
Vậy: hàm số nghịch biến khi
3
4
x <
.
0,25
0,25
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3 3 3 3 3
, : 0
4 4 4 4 4
x x x x x x x x

< < < < <
ữ ữ

2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
1 1 2 2 1 2
3 49 3 49 3 49 3 49

2 2
4 16 4 16 4 16 4 16
2 3 5 2 3 5
x x x x
x x x x y y


< <

ữ ữ ữ ữ



< <
Vậy: hàm số đồng biến khi
3
4
x >
.
0,25
2
2,75
2.a
( )
( ) ( )
30
30
( 0; 0)
35
35

xy x y
x y y x
x y
x x y y
x y x xy y

+ =

+ =



+ =
+ + =




0,50
( )
( ) ( )
( )
2
30
3 35
xy x y
x y x y xy

+ =

+ + =


0,25
Đặt 0; 0S x y P xy= + = , hệ trở thành:

( )
2
3 3
30
30 30
5; 6
3 35
3 35 125
SP
SP SP
S P
S S P
S SP S
=

= =


= =

=
= =

0,50
x
và y là 2 nghiệm của phơng trình:
2
5 6 0X X + =
.
Suy ra:
( ) ( )
2; 3 3; 2x y hay x y= = = =
.
Do đó:
( ) ( )
4; 9 9; 4x y hay x y= = = =
0,25
0,25
2.b
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1
0
a d b c a d
b c
b c ad bc ad
+ + +

+ + < <

ữ

0,25
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
0 0
b c ad a d bc
b c ad a d bc
abcd
+ +
< + + <
(vì a, b, c, d dơng)
0,25
( ) ( )
2 2 2 2
0 0b ad c ad a bc d bc bd ab cd ac cd ab + < + <
( ) ( )
0ab cd bd ac <
0,25
Mà
0 a d
< <
và
0 b c
< <
, nên:
0ab cd ab cd
< <

0d c> > và 0b a> > , nên : 0bd ac bd ac> >
Suy ra:
( ) ( )
0ab cd bd ac <
(đpcm)
0,25
3
3,5
3.a
+ Ta có: BC là đờng kính của
đờng tròn (O), do đó tam giác
ABC chỉ có thể cân tại A.
+ Suy ra tam giác ABC vuông
cân tại A, nên:

2AB AC R= =
0,25
0,50
3.b
Ta có:
ã
ằ
ẳ
ằ
ẳ
ẳ
ã
2 2 2
AB MC AC MC AM
ADB ACM

= = = =
0,50
Xét hai tam giác AMC và ACD có:
à
A
chung,
ã
ã
ã
ACM ADB ADC= =
, nên:
AM AC
AMC ACD
AC AD
=:
. Suy ra:
2 2
2AM AD AC Rì = =
0,25
0,50
3.c
Ta có:
ã
ã
ã
0 0
180 45CMD AMC ABC= = =
(không đổi)
0,50

Trong đờng tròn ( I ) ngoại tiếp tam giác MCD, ta có:

ã
ã
ã
0 0
45 90
2
CID
CMD CID= = =
, mà tam giác CID cân tại I, nên:
ã
0
45ICD =
0,50
IC tạo với đờng thẳng CD cố định một góc có số đo bằng 45
0
không đổi, do đó
khi M di động trên cung nhỏ
ằ
AC
I chạy trên đờng thẳng đi qua C và tạo với CD
một góc 45
0
.
0,50
4
1,0
Dùng phơng pháp loại suy:
+ Giả sử Hà nói sai, thì 3 ngời còn lại nói đúng: Khi đó, cả 2 bạn Giang và

Long đều không vẽ, do đó bạn Giang nói đúng, nhng bạn Hồng nói sai (mâu
thuẫn, vì cả Hà và Hồng đều nói sai). Khả năng này không xảy ra.
0,25
+ Giả sử Giang nói sai: Khi đó Hà nói đúng, nghĩa là Long không vẽ, do đó bạn
Hồng lại nói sai (Giang và Hồng đều nói sai, dẫn đến mâu thuẫn). Khả năng này
không xảy ra.
0,25
+ Giả sử Hồng nói sai: Khi đó, Long không vẽ, Long nói đúng, mà Giang không
thể nói sai, do đó Hà nói sai vì cả Long và Giang đều không vẽ (cả Hồng và Hà
đều nói sai, mâu thuẫn). Khả năng này không xảy ra.
0,25
+ Chỉ còn lại khả năng Long nói sai: tức là Long đã vẽ tranh lên tờng, Hồng nói
đúng, Giang nói đúng (không thể nói sai) và Hà cũng nói đúng. Vậy: ngời vẽ
tranh lên tờng là Long.
0,25