đề thi ts lớp 10 quốc học huế 2008

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Bi 1: (3 im)
a) Khụng s dng mỏy tớnh b tỳi, hóy chng minh ng thc :
3 3 13 4 3 1 =
.
b) Gii h phng trỡnh :
2
1 5
( 2 1) 36
x y
x x y

+ + =


+ + =


Bi 2: (1,5 im)
Cho phng trỡnh:
4 2
2 2 1 0x mx m
+ =
.
Tỡm giỏ tr
m
phng trỡnh cú bn nghim
1 2 3 4
, , ,x x x x

sao cho:
1 2 3 4
x x x x< < <
v
( )
4 1 3 2
3x x x x =
.
Bi 3: (3 im)
Cho ng trũn (O), ng kớnh AB. Gi C l trung im ca bỏn kớnh OB v (S)
l ng trũn ng kớnh AC. Trờn ng trũn (O) ly hai im tựy ý phõn bit M, N
khỏc A v B. Gi P, Q ln lt l giao im th hai ca AM v AN vi ng trũn (S).
a) Chng minh rng ng thng MN song song vi ng thng PQ.
b) V tip tuyn ME ca (S) vi E l tip im. Chng minh:
2
ME = MA MP
ì
.
c) V tip tuyn NF ca (S) vi F l tip im. Chng minh:
ME AM
NF AN
=
.
Bi 4: (1,5 im)
Tỡm s t nhiờn cú bn ch s (vit trong h thp phõn) sao cho hai iu kin sau
ng thi c tha món:
(i) Mi ch s ng sau ln hn ch s ng lin trc.
(ii) Tng p + q ly giỏ tr nh nht, trong ú p l t s ca ch s hng chc v ch
s hng n v cũn q l t s ca ch s hng nghỡn v ch s hng trm.
Bi 5: (1 im)

Mt tm bỡa dng tam giỏc vuụng cú di ba cnh l cỏc s nguyờn. Chng
minh rng cú th ct tm bỡa thnh sỏu phn cú din tớch bng nhau v din tớch mi
phn l s nguyờn.
Ht
SBD thớ sinh: ................. Ch ký GT1: ..............................
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009
P N - THANG IM
BI NI DUNG im
B.1 3,0
1.a
( )
( )
2
2
3 3 13 4 3 3 3 12 4 3 1
3 3 2 3 1 3 3 2 3 1
3 3 2 3 1 3 3 1
3 3 1 3 3 1 1
= +
= =
= + =
= = + =
0.25
0.25
0,25
0.25
1.b iu kin y

0 . 0,25

( )
2
2 1 36 1 6x x y x y+ + = + =
.
0,25
t
1u x= +
,
v y=
(
0, 0u v
), ta cú h
5
6
u v
uv
+ =


=


0,50
Gii ra : u

= 2 , v = 3 hoc u =3 , v = 2 0,25
Trng hp u

= 2 , v = 3 cú : ( x

= 1 ;

y = 9 ) hoc ( x

=

3 ;

y = 9) 0,25
Trng hp u

= 3 , v = 2 cú : ( x

= 2 ;

y = 4 ) hoc ( x

=

4 ;

y = 4) 0,25
H ó cho cú 4 nghim: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) . 0,25
B.2 1,5
4 2
2 2 1 0x mx m
+ =
(1)
t :
2

t x=
, ta cú :
2
2 2 1 0t mt m + =
(2) (
0t
) .
0,25
( )
2
2
' 2 1 1 0m m m = + =
vi mi
m
.
0,25
Vy (1) cú bn nghim phõn bit thỡ (2) luụn cú hai nghim dng phõn bit
1 2
,t t
.
Tng ng vi:
1
' 0, 2 1 0, 2 0 , 1
2
P m S m m m > = > = > >
(3)
0,25
Vi iu kin (3), phng trỡnh (2) cú 2 nghim dng
1 2
0 t t< <

v phng trỡnh (1)
cú 4 nghim phõn bit:
1 2 2 1 3 1 4 2
x t x t x t x t= < = < = < =
Theo gi thit:
( )
4 1 3 2 2 1 2 1 2 1
3 2 6 3 9x x x x t t t t t t = = = =
(4)
0,25
Theo định lí Vi-ét, ta có:
1 2
2t t m+ =
và
1 2
2 1t t m= −
(5)
Từ (4) và (5) ta có:
1
10 2t m=
và
2
1
9 2 1t m= −
2
1 2
5
9 50 25 0 ; 5
9
m m m m⇒ − + = ⇔ = =

.
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán thì cần và đủ là:
5
9
m =
và
5m =
.
0,50
2
B.3 3,0
3.a + Hình vẽ
·
·
0
90 //CPA BMA CP BM= = ⇒
Do đó :
AP AC
AM AB
=
(1)
+ Tương tự:
//CQ BN
và
AQ AC
(2)
AN AB
=
Từ (1) và (2):

AP AQ
AM AN
=
,
Do đó
//PQ MN
0,25
0,25
0,25
0,25
3.b
+ Hai tam giác MEP và MAE có :
·
·
EMP AME=
và
· ·
PEM EAM=
.
Do đó chúng đồng dạng .
+ Suy ra:
2
ME MP
ME MA MP
MA ME
= ⇒ = ×
0,50
0,50
3.c
+ Tương tự ta cũng có:

2
NF NA NQ= ×
+ Do đó:
2
2
ME MA MP
NF NA NQ
×
=
×
+ Nhưng
( // )
MP MA
Do PQ MN
NQ NA
=
+ Từ đó:
2 2
2 2
ME AM ME AM
NF AN NF AN
= ⇒ =
0,25
0,25
0,25
0,25
B. 4
1,5
Xét số tùy ý có 4 chữ số
abcd

mà
1 9a b c d
≤ < < < ≤
. (a, b, c, d là các số nguyên).
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của
c a
p q
d b
+ = +
0,25
Do b, c là số tự nhiên nên:
1c b c b
> ⇒ ≥ +
. Vì vậy :
1 1
9
b
p q
b
+
+ ≥ +
1 1 1 1 7
2
9 9 9 9 9
b b
p q
b b
+ ≥ + + ≥ + × =
0,75
7

9
p q+ =
trong trường hợp
1
1, 9, 1,
9
b
c b d a
b
= + = = =
Vậy số thỏa mãn các điều kiện của bài toán là: 1349
0,25
0,25
B.5
1,0
Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền.
Ta có
2 2 2
a b c+ =
; a, b, c
*
∈ N
, diện tích tam giác ABC là
2
ab
S =
Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12.
0.25
+ Chứng minh
3abM

Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì
2 2
a b+
chia 3 dư 2.
Suy ra số chính phương
2
c
chia 3 dư 2, vô lý.
0,25
3
+ Chứng minh
4abM

- Nếu a, b chẵn thì
4abM
.
- Nếu trong hai số a, b có số lẻ, chẳng hạn a lẻ.
Lúc đó c lẻ. Vì nếu c chẵn thì
2
4c M
, trong lúc
2 2
a b+
không thể chia hết cho 4.
Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h
∈
N
. Ta có :
( ) ( )

2 2
2
2 1 2 1b h k= + − +
=
( ) ( )
4 1h k h k− + +
=
( ) ( ) ( )
4 1 8 8h k h k k h k− − + + − M
Suy ra
4bM
.
0,25
Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối các điểm chia với C thì
tam giác ABC được chia thành 6 tam giác, mỗi tam giác này có diện tích bằng
12
ab
là
một số nguyên.
0.25
Ghi chó:
− Häc sinh lµm c¸ch kh¸c ®¸p ¸n nhng ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a.
− §iÓm toµn bµi kh«ng lµm trßn.
4