Tính giảm được của bài toán tối ưu đa mục tiêu

1

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học. Với sự kính
trọng và lòng biết ơn sâu sắc, tôi chân thành cảm ơn PGS. TS. Tạ Duy
Phượng, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong
quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, các
thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn
thành luận văn này.
Nhân đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục và Đào tạo Điện
Biên, Ban Giám hiệu trường Phổ thông Dân tộc Nội trú tỉnh Điện Biên, các
bạn đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tôi về mọi mặt trong thời gian
học tập và nghiên cứu.
Và cuối cùng, tôi xin cảm ơn tới gia đình, người thân đã động viên và
giúp đỡ rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 7 năm 2013
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Loan


2

LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản
thân cùng sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo PGS. TS. Tạ Duy Phượng,
Viện Toán học, được hoàn thiện và bổ sung trên cơ sở những nhận xét đánh

giá và góp ý các thầy, cô giáo trong Hội đồng chấm Luận văn Thạc sĩ và
những trao đổi của các bạn trong nhóm.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả của các nhà khoa
học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng số liệu, kết quả
nghiên cứu trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện
luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã
được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 7 năm 2013
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Loan


3

MỤC LỤC
Lời cảm ơn…………………………………………………………………………......1
Lời cam đoan…………………………………………………………………….….....2
Mục lục………………………………………………………………………..………..3
Mở đầu…………………………………………………………...…………………......5
Chương I Kiến thức cơ bản .......................................................... ………..9
1.1 Tập lồi………………………….…………………………………………….…......9
1.2 Bao lồi của một tập .......................................................................................... 10
1.3 Nón lồi .............................................................................................................. 10
1.4 Nón sinh bởi một tập ...................................................................................... 11
1.5 Phần trong và phần trong tương đối của một tập ...................................... 11
1.6 Hàm lồi .............................................................................................................. 11
1.7 Hàm tựa lồi........................................................................................................ 12
1.8 Hàm tựa lồi nửa ngặt ....................................................................................... 13

1.9 Hàm tựa lồi hiển ............................................................................................... 14
1.10 Hàm nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên ............................................... 14
Chương II Tính giảm được của bài toán tối ưu pareto ............................ 17
2.1 Quan hệ thứ tự và tối ưu theo nón ................................................................ 17
2.2 Điểm hữu hiệu và điểm hữu hiệu yếu của tập ............................................ 18
2.3 Tập  m  bất biến ............................................................................................ 20
2.4 Tập nón-tia ........................................................................................................ 22


4

2.5 Bài toán tối ưu đa mục tiêu Pareto ................................................................ 34
2.6 Tính giảm được của bài toán tối ưu đa mục tiêu Pareto ............................ 35
Chương III Quan hệ giữa bài toán tối ưu theo thứ tự từ điển
và tính giảm được của bài toán tối ưu pareto .......................................... 41
3.1 Quan hệ nón theo thứ tự từ điển.................................................................. 41
3.3 Thứ tự từ điển…………………………………………….…………...45
3.3 Hàm tựa lồi theo thứ tự từ điển .................................................................... 46
3.4 Quan hệ giữa tính giảm được của bài toán tối ưu theo thứ tự từ điển và
bài toán tối ưu Pareto ............................................................................................. 53
Kết luận ................................................................................................................... 59
Tài liệu tham khảo ............................................................................................... 59


5

MỞ ĐẦU
Cho hàm vectơ

f :  n   m , f   f1 ,..., f m  , f ( x)   f1 ( x ),..., f m ( x )  , x   n .

Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu (Vector Optimization Problem-VOP):

min f ( x ) , trong đó D   n .

(P).

xD

Điểm x  D được gọi là điểm tối ưu Pareto của bài toán (P) nếu không tồn tại
điểm x  D nào sao cho f i ( x)  f i ( x ) với mọi i  1,2,..., m và tồn tại một chỉ
số i0 sao cho f i0 ( x)  fi0 ( x ).
Rõ ràng, nếu tồn tại một điểm x  D thỏa mãn f i ( x)  f i ( x ) với mọi

i  1,2,..., m và tồn tại một chỉ số i0 sao cho f i0 ( x )  fi0 ( x ), thì x  D tốt hơn

x  D (theo tiêu chuẩn min), do đó x  D không thể được gọi là tối ưu.
Điểm x  D được gọi là điểm tối ưu Pareto yếu của bài toán (P) nếu không
tồn tại một điểm x  D sao cho f i ( x )  f i ( x ) với mọi i  1,2,..., m.
Tập các điểm tối ưu (tối ưu yếu) được kí hiệu là Min  D f  ( WMin  D f  )
Kí hiệu I m : 1,2,..., m , I  I m ( I là số phần tử của I , I  m ).
Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu con PI của bài toán ban đầu, dạng min f I ( x ) ,
xD





trong đó f I ( x )  f i1 , f i2 ,..., f iI , ik  1,2,..., m.
Nghĩa là, trong bài toán con ta bỏ bớt một số mục tiêu của bài toán ban đầu.
Thí dụ, bài toán ban đầu là chọn học sinh đi học nước ngoài theo cả ba mục

tiêu: Học giỏi, Đạo đức tốt, Sức khỏe tốt, thì các bài toán con là: Học giỏi và
Đạo đức tốt; Đạo đức tốt và Sức khỏe tốt; Học giỏi và Sức khỏe tốt (các bài


6

toán tối ưu hai mục tiêu) và Học giỏi; hoặc Đạo đức tốt; hoặc Sức khỏe tốt
(các bài toán tối ưu một mục tiêu).
Ta có bài toán thú vị sau đây: Hãy chỉ ra quan hệ giữa tập nghiệm của bài
toán tối ưu ban đầu (có m mục tiêu) với tập nghiệm của các bài toán con của
nó. Có hay không một công thức biểu diễn tập nghiệm của bài toán ban đầu
qua tập nghiệm của các bài toán con của nó. Nếu có, ta có thể giải các bài
toán con với số mục tiêu ít hơn, nói chung, dễ hơn. Từ đó dễ dàng hơn trong
khảo sát tập nghiệm của bài toán ban đầu.
Bài toán này lần đầu tiên đã được Lowe, Thisse, Ward và Wendell ([6], 1984)
giải quyết cho trường hợp hàm vectơ f là tuyến tính hoặc lồi, Malivert và
Boisard ([7], 1994) cho trường hợp f là tựa lồi chặt. Các tác giả này đã đưa
ra công thức biểu diễn tập nghiệm yếu của bài toán ban đầu qua tập nghiệm
mạnh của các bài toán con và của chính nó, tức là

WMin  D f  



Min I  D f  .

(*)

 I  I m

Nếu có công thức trên thì theo Popovici ([8], 2005) , bài toán (VOP) được gọi
là giảm được (reducible).
Các kết quả của Malivert và Boisard ([7], 1994) đã được trình bày và phân
tích trong luận văn của Hoàng Mai Hương ([1], 2005). Sun ([12], 1996) đã
chứng minh công thức (*) cho lớp hàm vectơ tựa lồi chặt có một thành phần
là tựa lồi mạnh. Tạ Duy Phượng và Mai Quang Tâm ([2], 1998) đã mở rộng
kết quả của Sun cho lớp bài toán với f là hàm F  tựa lồi chặt.
Gần đây, N. Popovici ([8]-[11], 2005-2008) đã đưa ra tiêu chuẩn giảm được
cho bài toán (VOP) với hàm f tổng quát hơn hoặc với tiêu chuẩn tối ưu theo
thứ tự từ điển.


7

Một số tính chất của tập nghiệm (tính liên thông, tính co rút được,…) của bài
toán ban đầu có thể được nghiên cứu dựa trên công thức (*) biểu diễn tập
nghiệm (xem, thí dụ, [2], [8], [9], [10], [11]).
Luận văn có mục đích nghiên cứu tính giảm được của bài toán tối ưu đa mục
tiêu, chủ yếu theo các bài báo gần đây [8]-[11] của N. Popovici.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn có mục đích trình bày các kết quả mới gần đây về tính giảm được
của bài toán tối ưu đa mục tiêu, chủ yếu dựa trên bốn bài báo của N. Popovici.
Luận văn gồm ba Chương.
Chương 1: Kiến thức cơ bản
Chương 2: Tính giảm được của bài toán tối ưu Pareto
Chương 3: Quan hệ giữa tính giảm được của bài toán tối ưu theo thứ tự từ
điển và bài toán tối ưu Pareto.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu và trình bày các kết quả mới về tính giảm được của bài
toán tối ưu đa mục tiêu.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Tính giảm được của Bài toán tối ưu đa mục tiêu.
Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến bài toán tối ưu
đa mục tiêu và tính giảm được của bài toán tối ưu đa mục tiêu.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, giải tích hàm và lí thuyết tối
ưu để tiếp cận và giải quyết vấn đề.


8

Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới
trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới.
6. Đóng góp của luận văn
Hy vọng luận văn sẽ được các sinh viên và học viên cao học sử dụng như là
một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt trong nghiên cứu tính giảm được và
cấu trúc tập nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu.


9

CHƯƠNG I

KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trong suốt luận văn ta kí hiệu  n là không gian Euclid hữu hạn chiều với số
chiều n  2.
1.1 Tập lồi
Tập D  X là một tập khác rỗng trong không gian tuyến tính X . D được gọi
là lồi nếu nó chứa cả đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của nó, tức là nếu

x1 , x2  D thì l x1 , x2  t  : 1  t  x1  tx2  D với mọi t  0;1.
Nhận xét 1.1.1 Giả sử D  X là tập lồi và xi  D , i  1,..., l . Khi ấy tổ hợp lồi
l

của các điểm xi cũng thuộc D, tức là

l

 ti xi  D với mọi 0  ti  1,  ti  1.
i 1

i 1

Chứng minh Khi l  2 thì đây là định nghĩa tập lồi. Giả sử khẳng định được
chứng minh với mọi k  l  1. Nếu t1  0 thì khẳng định đúng theo qui nạp.
l

ti
xi . Khi ấy do
i  2 1  t1

Giả sử 0  t1  1. Đặt x : 
l

ti

1  t
i 2

1



t2
t
t
t  t  ...  tl 1  t1
 3  ...  l  2 3

1
1  t1 1  t1
1  t1
1  t1
1  t1
l

ti
xi  D với mọi xi  D , i  2,..., l.
i 2 1  t1

và D lồi nên theo qui nạp x  

Lại theo định nghĩa tập lồi, ta suy ra
l

 l ti

t
x


t
x

(1

t
)
xi   t1 x1  (1  t1 ) x  D.

i i
1 1
1 
i 1
 i 1 1  t1 
Nhận xét 1.1.1 được chứng minh.


10

1.2 Bao lồi của một tập
Giao của tất cả các tập lồi chứa tập A  X được gọi là bao lồi của tập A và
được kí hiệu là coA.
Nhận xét 1.2.1
-

coA là tập lồi nhỏ nhất (theo nghĩa bao hàm thức) chứa tập A.

-

coA trùng với tập hợp chứa tất cả các tổ hợp lồi của A :

l
l


coA   x  A : x   ti xi , xi  A,  ti  1, ti  0, i  1,..., l .

i 1
i 1


1.3 Nón lồi
Tập C  X được gọi là nón nếu

x  C 
   x  C.
  0 
Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi. Điều này tương đương với:

x, y  C 
   x   y  C.
 ,   0
Thật vậy:
- Nếu C là nón lồi thì  ,   0, x, y  C ta có x1   x  C , y1   y  C . Khi
đó, do C lồi nên

1
1
1
  x   y   x 1  y1  C.

2
2
2

1

Vì C là nón nên  x   y  2    x   y   C.
2

- Ngược lại, giả sử  x   y  C , với  ,   0, x, y  C. Chọn   0 ta có

 x  C với mọi x  C ,   0 suy ra C là nón. Chọn   1   ,   0,1 ta
có  x   y   x  1    y  C. Suy ra C là tập lồi. Vậy C là nón lồi.


11

Nón lồi C được gọi là nhọn nếu C   C   0.
Nhận xét 1.3.1 Ta cũng có thể định nghĩa nón lồi như sau: tập C là nón lồi
khác rỗng trong X nếu C bất biến với phép nhân với các số thực không âm
và C bất biến với phép cộng, tức là C    C và C  C  C.
1.4 Nón sinh bởi một tập
Nón C A :  x : x  A,   0 được gọi là nón sinh bởi tập A.
Nón CcoA được gọi là nón lồi sinh bởi tập coA.
Nhận xét 1.4.1 Nếu A là tập lồi thì C A là nón lồi và C A  CcoA .
1.5 Phần trong và phần trong tương đối của một tập
Phần trong của tập D   n , kí hiệu là intD, là tập

intD  x  D :   0, x   B  D.
Phần trong tương đối của tập D, kí hiệu là riD, được định nghĩa như sau

riD  x  affD :   0, x   B  affD  D ,
trong đó B là một lân cận của gốc tọa độ và affD là không gian affine bé
nhất chứa D. Tập D được gọi là mở tương đối nếu riD  D.
Biên của tập D kí hiệu là bdD được định nghĩa như sau:

bdD  D \ riD.
1.6 Hàm lồi
Hàm số f : D   được gọi là hàm lồi trên tập lồi D nếu

x1 , x2  D 
 f
0  t  1 

1  t  x

1

 tx2   1  t  f  x1   tf  x2 .

Hàm f : D   được gọi là lõm trên tập lồi D nếu  f là hàm lồi trên D.


12

1.7 Hàm tựa lồi
Hàm f : D   được gọi là tựa lồi trên tập lồi D nếu

x1 , x2  D 
 f

0  t 1 

 1  t  x

1

 tx2   max  f  x1  , f  x2 .

Hàm f : D   được gọi là tựa lõm trên tập lồi D nếu  f là tựa lồi trên D.
Nhận xét 1.7.1 Nếu f là hàm lồi trên tập lồi D thì f là hàm tựa lồi trên D.
Chứng minh Giả sử f là hàm lồi trên tập lồi D. Khi ấy với mọi x1 , x2  D
và 0  t  1 ta có

 1  t  x  tx   (1  t ) f ( x )  tf ( x )
 t max  f  x  , f  x   (1  t ) max  f  x  , f  x   max  f  x  , f  x .
f

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

Vậy f là hàm tựa lồi trên D.
Nhận xét 1.7.2 Nếu f là hàm tựa lồi trên tập lồi D thì

xi  D , i  1,..., l , 
 l


l

f
ti xi   max  f  xi  , i  1,..., l .



0  ti ,  ti  1
 i 1


i 1

Chứng minh Nếu l  2 thì đây chính là định nghĩa hàm tựa lồi. Giả sử bất
đẳng thức trên đã được chứng minh cho k  l  1. Nếu t1  0 thì bất đẳng thức
l

ti
xi thì theo Nhận xét
i 2 1  t1

trên đúng theo qui nạp. Giả sử t1  0. Đặt x  
l

1.1.1 ta có

ti

1 t
i 2

 1 và x  D với mọi xi  D , i  2,..., l.

1

Theo qui nạp ta có

 l ti

f (x )  f  
xi   max  f ( xi ), i  2,..., l.
 i 2 1  t1 


13

Vì
l

l

l

ti
xi  t1 x1  1  t1  x  D
i  2 1  t1

 ti xi  t1x1   ti xi  t1x1  1  t1  
i 1

i 2

nên lại theo định nghĩa hàm tựa lồi, ta có

 l

f   ti xi   max  f  x1  , f  x .
 i 1

Vậy

 l

f   ti xi   max  f  xi  , i  1,..., l .
 i 1


Nhận xét 1.7.2 được chứng minh.
1.8 Hàm tựa lồi nửa ngặt
Hàm f : D  

được gọi là tựa lồi nửa ngặt (semistrictly quasiconvex

function) trên tập lồi D nếu

x , y  D ; f  x   f  y  
  f
0  t 1


 1  t  x  ty   max  f  x  , f  y .

Mệnh đề 1.8.1 Cho  : D   là một hàm tựa lồi nửa ngặt, xác định trên
một tập con lồi khác rỗng D của không gian tuyến tính X . Khi đó với mỗi
cặp

 x1, x2   D  D









tập T  x1, x2  : t  0,1  lx1 ,x2  t   max  x1  ,  x2 

hoặc rỗng hoặc là tập chỉ gồm một điểm.
Chứng minh Giả sử phản chứng, tồn tại x1 , x2  D và t1 , t2  T  x1 , x2  ,

t1  t2 . Do  là hàm tựa lồi nửa ngặt nên nếu   x1     x2  nên với mọi

t  0,1 ta có

  lx1 , x2  t    max   x1  ,  x2 .
Suy ra với t1 , t2  T  x1 , x2  , t1  t2 , các bất đẳng thức


14

  lx1 , x2  t1    max   x1  ,  x2  và   l x1 , x2  t2    max   x1  ,  x2 
chỉ có thể xảy ra khi

  l x1 , x2  t1      x1     x2  và   lx1 , x2  t2      x1     x2 .
Đặt  1 :

t1
t t
, 2 : 2 1 , u1   x1 , x2  t1  và u 2   x1 , x2  t2 . Ta có
t2
1  t1

  u1     lx1 , x2  t1      x1     x2  và   u2     lx1 , x2  t2      x1     x2 .
Mặt khác, do t1   1t2 và 1  t1  1   1t2 nên
u1   x1 , x2  t1   1  t1  x1  t1 x2  1   1t2  x1  t1 x2  1   1t2   1   1  x1  t1 x2
 1   1  x1   1 1  t2  x1   1t2 x2  1   1  x1   1  1  t2  x1  t2 x2  

 1   1  x1   1u 2  l x ,u 2 ( 1 ).
1

Tương tự, u 2  lu1 , x ( 2 ).
2

Vì  1 , 2  0,1 và  là lồi nửa ngặt nên ta suy ra









  u1     x ,u 2  1   max   x1  , u 2    u 2 



1



   u1 , x  2   max   u1  ,  x2     u1 .
2

Mâu thuẫn. Vậy tập T  x1 , x2  chứa không quá một điểm.
1.9 Hàm tựa lồi hiển
Hàm f : D   được gọi là tựa lồi hiển (explicitly quasiconvex function)

trên tập lồi D nếu nó đồng thời là tựa lồi và tựa lồi nửa ngặt.
1.10 Hàm nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên
Giả sử D là một tập mở khác rỗng trong không gian tôpô tuyến tính X ,

x0  X . Ta đã biết khái niệm giới hạn trên và giới hạn dưới:


15

lim f  x   sup inf0 f  x  ;
  0 x  x 

x x0

lim f  x   inf sup f  x .

x x0

 0

x  x 0 

Hàm số f : D   được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x0  D nếu

lim f  x   f  x0 .

x x0

Nói cách khác, với mọi   0 tồn tại   0 sao cho với mọi x  D thỏa mãn

x  x 0   thì f  x   f  x 0    .
Hàm số f : D   được gọi là nửa liên tục trên tại điểm x 0  S nếu

lim0 f  x   f  x0  ,

x x

tức là với mọi   0 tồn tại   0 sao cho với mọi x  S thỏa mãn
x  x 0   thì f  x   f  x 0    .

Định nghĩa trên tương đương với: Hàm số f : D   được gọi là nửa liên
tục trên tại điểm x0  D nếu với mỗi dãy con xk   D hội tụ tới x0 mà

 f ( xk ) hội tụ tới





y thì y  f ( x0 ), tức là sup lim0  f ( xk )  f ( x 0 ).
xk  x

Hàm f : D   là liên tục tại điểm x 0  D nếu và chỉ nếu hàm f vừa là nửa
liên tục dưới, vừa là nửa liên tục trên tại điểm x0  D.
Nhận xét 1.10.1 Mọi hàm lồi là tựa lồi hiển và nửa liên tục trên trên đường
thẳng. Hàm tựa lồi nửa ngặt và nửa liên tục dưới trên đường thẳng là tựa lồi
hiển.
Tuy nhiên, hàm tựa lồi nửa ngặt và nửa liên tục trên trên đường thẳng không
nhất thiết là hàm tựa lồi.
Ví dụ 1.10.1  :    cho bởi   x   0 , x   \ 0 và   0   1.

16

Giả sử   x1    ( x2 ). Khi ấy chỉ có thể x  0 và x2  0. Do đó với mọi

t   0,1 ta có xt : l x1 , x2 (t ) : 1  t  x1  tx2  tx1  0, do đó   xt   0. Suy ra

  1  t  x1  tx2    tx1   0  max   x1  ,  0   1.
Vậy  (.) là hàm tựa lồi nửa ngặt. Hơn nữa, vì lim   xk   0  1 với mọi dãy
xk 0

xn  0 nên  (.) là hàm nửa liên tục trên tại 0. Do  (.) là hàm nửa liên tục tại
mọi điểm x0  0 nên nó là hàm nửa liên tục trên trên .

1
Nhưng  (.) không phải là hàm tựa lồi, vì, thí dụ, chọn x2   x1  0 và t  .
2
Khi ấy ta có   x1    ( x2 )  0 và 1  t  x1  tx2 

1
 x1  x2   0. Do đó
2

  1  t  x  ty     0   1  max   x  ,  y   0.


17

CHƯƠNG II

TÍNH GIẢM ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU PARETO
2.1 Quan hệ thứ tự và tối ưu theo nón
Cho không gian Euclid  m , m  2, với cơ sở chính tắc

e ,..., e .
1

m

Đặt

I m : 1,..., m. Với mỗi v   m , i  I m ta kí hiệu vi là tọa độ thứ i của vectơ v.

Với mỗi I  I m , ta kí hiệu nón lồi đóng

CI : v   m | vi  0 i  I .
Hiển nhiên CI là nón vì nếu v   m thì vi  0 với mọi i  I . Suy ra  v cũng
có tính chất  vi  0 với mọi i  I hay v  CI .
Hơn nữa, C I là nón lồi vì hai vectơ u  CI và v  CI thì ui  0 và vi  0 với
mọi i  I . Suy ra ui  vi  0 với mọi i  I . Do đó u  v  CI hay C I là nón lồi.
Nón C I là đóng vì nếu dãy các vectơ v ( k )  CI hội tụ tới vectơ v, tức là các
tọa độ vi( k ) hội tụ tới tọa độ tương ứng vi của v với mọi i  I m . Do vi( k )  0
nên vi  lim vi( k )  0 với mọi i  I hay v  CI . Vậy C I là nón đóng.
k 





Phần trong của CI được kí hiệu là int CI  v   m | i  I : vi  0 .

Nhận xét rằng int CI là tập mở khác rỗng nếu I  . Thật vậy, nếu v  int CI
thì vi  0 với mọi i  I . Do đó tồn tại số   0 ( 0    min vi , i  I  ) sao cho

vi   B  CI vì vi   i bi  0 với mọi i  I và với mọi vectơ b  B ( B là hình
cầu đơn vị của  m ). Vậy int CI là tập mở.
Với mỗi I  I m khác rỗng thì int CI  . Do đó mỗi nón C I với   I  I m
sinh ra trên  m ba quan hệ hai ngôi  I ,  I ,  (với quan hệ ngược lại tương
I

ứng là  I ,  I ,  ) xác định bởi:
I


18

u  I v  u  v  CI  ui  vi i  I ;
u  I v  u  v  int CI  ui  vi i  I
và

u  v  v  u  CI \ CI   ui  vi i  I , j  I : u j  v j .
I

Từ các bất đẳng thức ui  vi , ui  vi , ta thấy rằng  I và  I là quan hệ trong

 m (tức là nó có tính phản xạ và bắc cầu), nó là phản đối xứng khi và chỉ khi
I  I m , tức là CI   m .
Để đơn giản kí hiệu, thay vì viết  In (  I n ,  ,  I n ,  In ,  ) ta sẽ viết tương
 In

 In

ứng là  ( , , , ,  ).




Quan hệ  I là toàn phần (tức là hai vectơ bất kỳ có thể so sánh được) khi và
chỉ khi I  1. Trong trường hợp này ta viết Ci thay cho Ci .
2.2 Điểm hữu hiệu và điểm hữu hiệu yếu của tập
Vì bài toán tối ưu đa mục tiêu có thể đưa về bài toán tìm các điểm hữu hiệu và
điểm hữu hiệu yếu của tập ảnh nên trước tiên ta trình bày các khái niệm điểm
hữu hiệu và điểm hữu hiệu yếu của một tập trong không gian Euclid  m .
Trong tối ưu hóa vectơ, tập các điểm hữu hiệu và điểm hữu hiệu yếu của tập
con Y trong  m theo nón lồi C I ,   I  I m được định nghĩa bởi (xem, [7]):

 



Min I Y : y 0  Y Y   y 0  C I   y 0  C I  y 0  Y y  Y : y  y 0
I



và





WMin I Y : y 0  Y Y   y 0  int CI      y 0  Y y  Y : y  I y 0 .
Đặc biệt, tập hữu hiệu (efficient set, mặt hữu hiệu-efficient frontier) của Y là
tập


19

MinY : Min Im Y .
Tập hữu hiệu yếu (weakly efficient set, mặt hữu hiệu yếu-weakly efficient
frontier) của Y là tập:

WMinY : WMin Im Y .
Nhận xét 2.2.1 Ta có

Min I Y  WMin I Y  WMin J Y  bdY

nếu   I  J  I m .

(2.2.1)

Chứng minh Giả sử y 0  Min I Y . Khi ấy y 0  WMin I Y . Thật vậy, nếu

y 0  WMin I Y thì phải tồn tại y  Y để y  I y 0 , tức là yi  yi0 với mọi i  I .
Có nghĩa là, tồn tại điểm y  Y để tức là yi  yi0 với mọi i  I và tồn tại j  I
(thực ra là với mọi i  I ) sao cho y j  y 0j . Chứng tỏ y 0  Min I Y . Vô lí. Vậy
ta có y 0  WMin I Y .
Giả sử y 0  WMin I Y . Khi ấy y 0  WMin J Y với   I  J  I m . Thật vậy,
nếu y 0  WMin J Y thì phải tồn tại y  Y để y  J y 0 , tức là yi  yi0 với mọi

i  I . Do I  J

nên ta cũng có

yi  yi0 với mọi i  I . Chứng tỏ

y 0  WMin I Y . Vô lí. Chứng tỏ y 0  Min I Y .
Vì WMin I Y  WMin J Y

nếu

I J

nên ta chỉ cần chứng minh

WMinY  bdY .
Nếu affY   m thì riY  int Y . Giả sử phản chứng, y 0  WMinY mà

y 0  bdY  Y \ riY  Y \ int Y . Do y 0  Y nên y 0  intY , tức là tồn tại số

  0 sao cho đủ nhỏ và vectơ v  B, v  0 sao cho y : y 0   v  0 hay
y  y 0 . Mâu thuẫn với y 0  WMinY .


20

T

 

Nếu affY   m thì mọi y  Y có dạng y   0, y2   0 m1  affY . Do đó

không tồn tại y  Y mà y  y 0  WMinY

(vì

y1  y10  0 m1 với mọi

T

y   y1 , y2   Y , ( y2  affY ). Chứng tỏ mọi y 0  Y là nghiệm yếu của tập Y
hay bdY  WMinY . Mặt khác, WMinY  bdY .
2.3 Tập  m  bất biến
Định nghĩa 2.3.1 Tập Y của  m được gọi là tập  m  bất biến hay tập tăng
bất biến (upward set) nếu Y   m  Y .
Tập  m  bất biến đóng vai trò quan trọng trong tối ưu vectơ bởi vì nghiên
cứu tập nghiệm (tập nghiệm yếu) của một tập bất kì Y   m có thể đưa về
nghiên cứu tập nghiệm (tập nghiệm yếu) của tập Y   m . Ta có
Nhận xét 2.3.1 Với mọi tập   I  I m thì

Min I Y  Y  Min I Y   m  và WMin I Y  Y  WMin I Y   m .

(2.3.1)

Khi I  I m ta có

MinY  Min Y   m  và WMinY  WMin Y   m .
Chứng minh Giả sử y 0  Min I Y , tức là y 0  Y và không tồn tại y  Y sao
cho y  y 0 , tức là không tồn tại y  Y sao cho yi  yi0 với mọi i  I và tồn
I

tại một chỉ số

j  I sao cho yi  yi0 . Vì

0   m nên ta cũng có

y 0  Y  Y   m và không tồn tại y  Y   m sao cho y  y 0 (nếu tồn tại
I

y  y  r  Y   m
y  y  y 0 . Vô lí).
I

với y  Y và r   m sao cho y  y 0 thì ta có
I


21

Vậy Min I Y  Y  Min I Y   m 
Đảo lại, giả sử y 0  Y  Min I Y   m  , tức là y 0  Y và y 0  Min I Y   m  ,
do đó không tồn tại y  Y   m sao cho yi  yi0 với mọi i  I . Hiển nhiên khi
ấy cũng không tồn tại y  Y sao cho yi  yi0 với mọi i  I (bởi vì nếu tồn tại
y  Y sao cho yi  yi0 với mọi i  I thì cũng tồn tại y  y  0  Y   m sao

cho yi  yi0 với mọi i  I . Vô lí). Vậy Y  Min I Y   m   Min I Y . Kết hợp
lại ta được

Min I Y  Y  Min I Y   m 
Đẳng thức

WMin I Y  Y  WMin I Y   m 
chứng minh tương tự.
Bổ đề dưới đây rất có lợi trong các nghiên cứu tiếp theo.
Bổ đề 2.3.1 ([9], Lemma 1) Cho Y là một tập con của  m . Khi ấy với mỗi
tập con I khác rỗng của I m thì

Y   WMin I Y  CI   WMin I Y .

(2.3.2)

Đặc biệt nếu Y là tập  m  bất biến thì

Y      WMinY     WMinY .
m


m


(2.3.3)

Chứng minh Giả sử ngược lại, với một tập con khác rỗng I  I m nào đó tồn
tại

y Y   WMin I Y  CI 

sao

cho

y  WMin I Y .

Do

y Y   WMin IY  CI  nên tồn tại y  WMin I Y và vectơ c  C I sao cho
y  y  cI , tức là y  I y. Mặt khác, y  WMin I Y nên theo định nghĩa, tồn


22

tại vectơ y  Y sao cho y  I y. Suy ra y  I y  I y hay y  I y. Mâu thuẫn
với y  WMin I Y . Do đó

Y   WMin I Y  CI   WMin I Y .
Giả sử Y là tập  m  bất biến, tức là Y  Y   m . Bằng cách cho I  I m
trong (2.3.2) và thay Y bằng Y   m , ta có

Y      WMinY     WMinY .
m


m


Bổ đề chứng minh xong.
2.4 Tập nón-tia
Định nghĩa 2.4.1

Cho nón C   m . Tập A   n

được gọi là tập

C  radiant (hay tập bất biến đối với nón C theo tia) nếu
C     A  a   A  a với mọi a  A.
Nhận xét 2.4.1 Về mặt hình học, điều này có nghĩa là mọi tia

ray  a, a  :  a     a  a  xuất phát từ a theo hướng a  a mà a  a  C
phải nằm trong A :

ray  a, a :  a     a  a   A với mọi a, a  A, a  a  C.
Nói riêng, A là  n  radiant khi và chỉ khi với mọi a, a  A với a  a ta có

ray  a, a   A.
Chứng minh Thật vậy, giả sử A là tập C  radiant, tức là với mọi a  A ta có

C     A  a   A  a. Ta phải chứng minh ray  a, a :  a     a  a   A
với mọi a, a  A, a  a  C.
Do a  a  C nên a  a  C. Do C là nón nên x  t  a  a   C với mọi

t  0. Mặt khác, do a, a  A và t  0 nên x  t  a  a      A  a . Vậy


23

x  A  a vì x  C     A  a   A  a. Suy ra a  x  a  t  a  a   A với
mọi t  0 hay ray  a, a :  a     a  a   A.
Đảo lại, nếu ray  a, a :  a     a  a   A với mọi a, a  A, a  a  C thì

   a  a   A  a với mọi a  A. Chứng tỏ    A  a   A  a. Do đó
C     A  a      A  a   A  a với mọi a  A.

Nhận xét 2.4.2 Các tập  m  bất biến là  m  radiant.
Chứng minh Thật vậy, nếu Y là  m  bất biến thì Y   m  Y . Với mỗi

a  a, a, a  Y ta có  a  a    m . Suy ra,    a  a    m . Do đó với mỗi
a  Y thì ray  a, a :  a     a  a   Y   m  Y .
Theo Nhận xét 2.4.1, Y là  m  radiant.
Nhận xét 2.4.3 Tuy nhiên tập hữu hiệu yếu của tập  m  bất biến có thể
không phải là  m  radiant, như ví dụ dưới đây chỉ ra.
Ví dụ 2.4.1 Cho f :    2 là hàm vectơ xác định bởi

f  x    cos x,sin x  với mọi x  .
  
 

Các tập Y : f  0,     2 và Z : f    ,     2 là  2  bất biến.
 2 
 2 

Nhận xét rằng y1  cos x và y2  sin x nên y12  y22  cos 2 x  sin 2 x  1. Do đó

1
 
ảnh của đoạn  0,  qua ánh xạ f chính là
cung của đường tròn đơn vị
4
 2
giao với  2 . Do đó ta có (Hình 1):


24

sinx

1

O

1

cosx

Hình 1: Y và bdY

  
 
Giả sử y 0  f   0,    bdY , tức là tồn tại x0  0,  sao cho y10  cos x0
 2
 2
T
 
và y20  sin x0 . Nếu y   y1 , y2   Y thì phải tồn tại x  0,  và r   2 sao
 2

cho y1  cos x  r1 và y2  sin x  r2 . Do hàm y  cos x là giảm ngặt, còn

 
y  sin x là tăng ngặt trên  0,  nên nếu y  y 0 thì y1  cos x  r1  cos x0 .
 2
Suy ra cos x  cos x0 , do đó sin x  sin x0 . Kéo theo y2  sin x  r2  sin x0 .
Nói cách khác, không tồn tại điểm y  Y để y  y 0 cả, hay mọi

  
điểm y 0  f   0,   đều là điểm hữu hiệu yếu.
 2


25

Giả sử y 0  1,0      0  bdY , tức là y 0   r ,0  với r  1. Vì với mọi
T

y   y1 , y2   Y ta đều có y2  0 nên không có điểm y  Y nào để y2  y20 ,
hay mọi điểm y 0  1,0      0  bdY đều là điểm hữu hiệu yếu.
Tương tự, y 0   0,1  0     bdY , tức là y 0   0, r  với r  1. Vì với mọi
T

y   y1 , y2   Y ta đều có y1  0 nên không có điểm y  Y nào để y1  y 0 ,
hay mọi điểm y 0   0,1  0     bdY đều là điểm hữu hiệu yếu.
Vậy

Do

bdY  W min Y .

ta

luôn

có

y 0  W min Y  bdY

nên

W min Y  bdY .
Hơn nữa WMinY  bdY là tập  2  radiant. Thật vậy, cặp a, a  WMinY ,

a  a tồn tại khi a có dạng a  (a1 ,0) hoặc a  (0, a2 ). Hiển nhiên khi ấy
ray  a, a  W min Y . Theo nhận xét 2.4.1 thì tập WMinY  bdY là tập

 2  radiant.
3
  
Vì ảnh của đoạn   ,   qua ánh xạ f chính là cung của đường tròn đơn
4
 2 
vị nên ta có WMinZ  bdZ (Hình 2):
sinx
1

-1

1

O
-1

Hình 2

cosx