MÔ HÌNH TOÁN học CON lắc NGƯỢC

Chương I Mô hình toán học con lắc ngược

Chương I: MÔ HÌNH TOÁN HỌC CON LẮC NGƯỢC
1.1. Cấu tạo và các thông số của con lắc ngược.
Cấu trúc động học chung của mô hình con lắc ngược được trình bày trên hình
1.1. Bộ phận cơ khí gồm một xe goòng nhỏ, trên đó có các bộ phận chính là tay đòn
gắn con lắc có thể xoay tù do trên một trục ngang. Xe goòng đó được truyền động
bởi một động cơ điện một chiều thông qua hệ thống Puly và dây đai có thể di
chuyển trên đường ray phẳng trong phạm vi chuyển động giới hạn. Vị trí của xe
goòng được điều khiển bởi hệ thống điều khiển số thông minh đảm bảo con lắc di
chuyển và được giữ cân bằng. Đường ray có độ dài cố định là điều kiện ràng buộc
của thuật toán điều khiển. Encoder gắn cùng trục puly của cơ cấu chuyển động
được sử dụng cho xác định vị trí tức thời xe goòng. Góc quay của con lắc được đo
bằng một chiết áp xoay gắn trên trục quay của con lắc ngược.

§

Hình 1.1. Cấu trúc động học của mô hình con lắc ngược.

Các thông số của hệ thống con lắc ngược:
Chiều dài hành trình chuyển động (mm)

900

Chiều dài con lắc quy đổi (mm)

162,5

Khối lượng xe (kg)

2,4

Khối lượng con lắc quy đổi (Kg)

0,23

Bán kính puly (mm)

61,3

Tỉ sè bộ truyền

15

Hiệu suất bộ truyền

0,9

Động cơ một chiều

40VDC;0,7A;4000vg/ph

1


Chương I Mô hình toán học con lắc ngược

1.2. Xây dựng mô hình toán học con lắc ngược.
Từ cấu tạo của con lắc ngược ta cần xây dựng mô hình toán học của con lắc
ngược để phục vụ quá trình tổng hợp bộ điều khiển và mô phỏng trên máy tính một
cách chính xác. Khi xây dựng mô hình toán học của con lắc ngược ta có thể sử

dụng nhiều phương pháp để tìm được phương trình động lực học. Ở đây ta sử dụng
một phương pháp thường được sử dụng đó là phương pháp Euler_Lagrange.
Để có thể xác định được phương trình động lực học của con lắc ngược trước
hết ta cần tính quy đổi con lắc.

y
θ

lt
lp

mc

F
x

x

mt mp ml

Hình 1.2. Mô hình và các thông sè con lắc ngược.

1. Tính quy đổi con lắc về khối tâm.
Theo hình 1.2 ta có thể tính được khối lượng của khối tâm con lắc và vị trí
của khối tâm:

mp = mt + ml
lp = lt

m t + 2m l

2( m t + m l )

(1.1)
(1.2)

Trong đó:
mp: Khối lượng của con lắc quy đổi về khối tâm.
lp: Khoảng cách từ tâm con lắc đến điểm gốc.

2


Chương I Mô hình toán học con lắc ngược

ml: Khối lượng của cần lắc.
ll: Chiều dài của cần lắc.
mt: Khối lượng của thanh
mt: Chiều dài của thanh.

2. Phương pháp Euler_Lagrange.
Phương pháp Euler_Lagrange là phương pháp thường được sử dụng để xác
định phương trình động lực của các hệ theo công thức:
d  ∂T

dt  ∂q i

 ∂T
 −
= Q *i
 ∂q i

(1.3)

Trong công thức (1.3):
T: Tổng động năng của hệ.
qi: Toạ độ suy rộng thứ i.

Q *i : Lực suy rộng tương ứng với tọa độ thứ i.
Lực suy rộng được xác định theo công thức:
Q *i =

∑ δA
δq i

(1.4)

Trong đó:

∑ δA : Tổng công của hệ.
3. Phương trình động lực học của con lắc ngược.
Phương trình động lực học của con lắc ngược được xác định bằng phương
pháp Euler_Lagrange trong đó các tọa độ suy rộng là vị trí của xe goòng( x) và góc
lệch của con lắc so với phương thẳng đứng(θ).
a. Tính động năng của hệ.
T = T1 + T2

(1.5)

Trong đó:
T1: Động năng của xe goòng

T2: Động năng của con lắc.

3


Chương I Mô hình toán học con lắc ngược

1
Mx 2
2
1
1
T2 = m p v 2p + J pθ 2
2
2
T1 =

(1.6)
(1.7)

Trong đó:
vp: Vận tốc khối tâm con lắc.
Jp: Momen quán tính của con lắc đối với trục quay đi qua khối tâm.
v 2p = x 2p + y 2p

(1.8)

Trong công thức (1.8) xp, yp là toạ độ của khối tâm con lắc và được xác định:

x p = x + l p sin θ



 y p = l p cosθ

(1.9)

Từ (1.9) suy ra
x p = x + l pθ cos θ

 y p = −l pθ sin θ

(1.10)

Thay (1.10) vào (1.8) ta được:
v 2p = ( x + l pθ cos θ ) 2 + (−l pθ sin θ ) 2
= x 2 + 2l p x θ cos θ + l 2pθ 2

(1.11)

Từ đó ta có:
1
1
1
Mx 2 + m( x 2 + 2l p x θ cos θ + l 2pθ 2 ) + J pθ 2
2
2
2
1
1
= (M + m) x 2 + (J p + m p l 2p )θ 2 + m p l p x θ cos θ

2
2

T=

(1.12)

b. Tính các lực suy rộng.
∑ δA = Fδx − Ppδy

(1.13)

Với:
y = l p cos θ hay δy = −l pδθ sin θ

Suy ra:
∑ δA = Fδx + m p gl pδθ sin θ

(1.14)

Từ đó ta tính được các lực suy rộng:

4


Chương I Mô hình toán học con lắc ngược

∑ δA
=F
δx

∑ δA
Q θ* =
= m p l p g sin θ
δθ
Q *x =

(1.15)
(1.16)

c. Xác định phương trình động lực học của hệ.
+ Tính đối với toạ độ suy rộng x:
∂T
= (M + m) x + m p l pθ cos θ
∂x
d  ∂T 
2
  = (M + m)x + m p l pθ cos θ − m p l pθ sin θ
dt  ∂x 
∂T
=0
∂x

Thay vào phương trình (1.3) ta được:
(M + m)x + m l θ cos θ − m l θ 2 sin θ = F
p p

p p

(1.17)
(1.18)

(1.19)

(1.20)

+ Tính đối với tọa độ suy rộng θ:
∂T
= (J p + m p l 2p )θ + m p l p x cosθ

∂θ
d  ∂T 
2
   = (J p + m p l p )θ + m p l p x cosθ − m p l p x θ sin θ
dt  ∂θ 
∂T
= −m p l p x θ sin θ
∂θ
Thay vào phương trình (1.3) ta được:
(J + m l 2 )θ + m l x cos θ = m l g sin θ
p

p p

p p

p p

(1.21)
(1.22)
(1.23)

(1.24)

Phương trình (1.20) và (1.24) là phương trình động lực học mô tả chuyển
động của con lắc ngược dưới tác động của lực F. Trong thực tế con lắc ngược được
truyền động bằng động cơ một chiều do đó cần tính tới cả phần truyền động để có
được phương trình mô tả chính xác hệ thống phục vụ cho việc tổng hợp các bộ điều
khiển và mô phỏng hệ thống.

1.3. Mô hình con lắc ngược có xét đến phần truyền động.
1.3.1. Mô hình đầy đủ.

5


Chương I Mô hình toán học con lắc ngược

Động cơ một chiều truyền động cho con lắc ngược được cấp nguồn từ bộ
băm xung áp, có hai mạch vòng dòng điện và tốc độ. Sơ đồ khối của hệ thống được
trình
bày trên hình 1.3.

I*
Gs(s)

Gc(s)

Gr(s)

W§C

Ia

CLN

w*

KI


x

Gw(s)

Hình 1.2: Sơ đồ cấu trúc hệ thống con lắc ngược
xét đến phần truyền động

Trong đó:
Hàm truyền động cơ:
WDC (s) =

I a (s)
1 + sTm
= K1
U (s)
(1 + sT1 )(1 + sT2 )

Bộ biến đổi:
G r (s) =

Kr

1 + sTr

Bộ điều chỉnh dòng điện:
G c (s) =

K c (1 + sTc )
sTc

Bộ điều chỉnh tốc độ:
G s (s) =

K s (1 + sTs )
sTs

Hàm truyền khâu phản hồi tốc độ:

6


Chương I Mô hình toán học con lắc ngược

G ω (s ) =

Kω
1 + sTω

Hệ số phản hồi dòng điện KI.
Mạch vòng dòng điện được tổng hợp theo chuẩn tối ưu modul và có coi gần
đúng là một khâu quán tính bậc nhất:
I a (s)

Ki
=
I * (s) 1 + sTi

Từ đó ta có được sơ thu gọn:

w*

K s (1 + sTs )
sTs

I*

Ki
1 + sTi

Ia

CLN

Wi(s)

Gc(s)


x

Hω
1 + sTω
Gw(s)

Hình 1.3: Sơ đồ cấu trúc gần đúng hệ thống con lắc ngược

Ta cần xác định phương trình mô tả con lắc ngược khi coi tín hiệu đầu vào
tác động là dòng điện Ia.
Momen sinh ra trên trục động cơ:
M = KΦI a

(1.25)
M

Hép truyÒn

U

Fk

Hình 1.4: Mô hình động cơ- Puly

Momen động cơ quy đổi về Puly làm việc:
M ' = Miη

(1.26)

Với i là tỉ số truyền và η là hiệu suất cơ cấu.

7


Chương I Mô hình toán học con lắc ngược

Gọi Fk là lực kéo xe goòng, momen do lực Fk sinh ra:
M k = Fk r

(1.27)

Với r là bán kính Puly.
Phương trình II Newton của động cơ:
M − M c = J dc

dω
dt

(1.28)

Với Jdc là Momen quán tính của động cơ.
Quy đổi phương trình (1.28) về Puly:
M '−M k = J qd

dω '
dt

(1.29)

Trong đó:
J qd = J dc i 2η

(1.30)

dω ' x

=
dt
r

(1.31)

Từ đó ta tính được:
Fk =

i 2ηJ
iη
KΦI a − 2 dc x
r
r

(1.32)

Thay vào phương trình (1.20) và (1.24) ta có hệ phương trình mô tả chuyển
động của con lắc ngược:
i 2ηJ dc
iη
(M + m +
)x + m p l pθ cos θ − m p l pθ 2 sin θ = KΦI a
2
r
r

(1.33)

(J p + m p l 2p )θ + m p l p x cos θ = m p l p g sin θ

(1.34)

Đặt :
x1 = x
x 2 = x
x3 =θ
x = θ

(1.35)

4

8


Chương I Mô hình toán học con lắc ngược

Thay vào (1.33) và (1.34) ta có hệ phương trình:

x 1 = x 2

iη

− m p l p x 4 cos x 3 + m p l p x 24 sin x 3 + KΦI a
r
x =
2
 2
i

η
J
dc

M+m+
2

r

x 3 = x 4

− m p l p x 2 cos x 3 + m p l p g sin x 3
x 4 =
J p + m p l 2p


(1.36)

1.3.2. Mô hình đơn giản hoá.
Khi các bộ điều chỉnh tốc độ và dòng điện tổng hợp theo tiêu chuẩn tối ưu
modul, hàm truyền kín của hệ thống truyền động điện mô hình con lắc:
W ( p) =

1/ K d
ω ( p)
=
U dω (p) 1 + 2Tσ s + 2Tσ2 s 2

(1.37)

Trong đó:
Kd: Hệ số phản hồi tốc độ.
Tσ: Hằng số thời gian hệ thống.
Có thể coi gần đúng là 1 khâu quán tính bậc nhất:
W ( p) =

1/ K d
1/ K d
ω ( p)
=
=
U dω (p) 1 + 2Tσ s 1 + Td s

(1.38)

Từ đó suy ra:

ω (p)(1 + Td s) = U dω (p) / K d
hay
Td dω / dt + ω = U dω / K d

(1.39)

Ta có:
dω M
=
dt J dc

(1.40)

Từ (1.39) và (1.40) có được:

9


Chương I Mô hình toán học con lắc ngược

Td

M
+ ω = U dω / K d
J dc

⇒ M=

(1.41)

J dc
J
U dω − dc ω
K d Td
Td

(1.42)

Kết hợp các công thức (1.26), (1.27), (1.29), (1.30), (1.31), (1.42) ta có:
J dc
J dc i 2η
i 2η


x
iηU dω −
x − Fk r = J dc
K d Td
Td r
r

(1.43)

J dc iη
J dc i 2η
J dc i 2η
x
x −
⇒ Fk = K T r U dω −
Td r 2
r2
d d

(1.44)

Thay Fk từ (1.44) vào (1.20) ta được:
(M + m)x + m p l pθ cos θ − m p l pθ 2 sin θ =

J dc iη
J i 2η
J i 2η
U dϖ − dc 2 x − dc 2 x
K d Td r
Td r

r

Suy ra:
2
i 2ηJ dc
 cos θ − m l θ 2 sin θ + J dc i η x = J dc iη U


)
x
+
m
l
θ
(1.45)
p p
p p
dω
K d Td r
r2
Td r 2
(J p + m p l 2p )θ + m p l p x cos θ = m p l p g sin θ
(1.46)

(M + m +

Đặt :
x1 = x
x 2 = x
x3 =θ

x = θ

(1.47)

4

Thay vào (1.45) và (1.46) ta có hệ phương trình:
x 1 = x 2

J dc i 2η
J iη
2

− m p l p x 4 cos x 3 + m p l p x 4 sin x 3 −
x 2 + dc
U dω
2

K d Td r
Td r
x 2 =
i 2ηJ dc

M+m+

r2

x 3 = x 4

x = − m p l p x 2 cos x 3 + m p l p g sin x 3

 4
J p + m p l 2p


(1.48)

10


Chương I Mô hình toán học con lắc ngược

Đặt:
C1 = M + m +

J dc i 2η
r2

J dc i 2η
C2 =
Td r 2
C3 =

J dc iη
K d Td r

C 4 = J p + m p l 2p

Biến đổi (1.48) ta được:

x 1 = x 2


2
2 2
x = − C 2 C 4 x 2 + C 4 m p l p x 4 sin x 3 − gm p l p cos x 3 sin x 3 + C 3 C 4 U dω
 2
C 2 C 4 − m 2p l 2p cos 2 x 3

(1.49)


x
=
x
3
4


C 2 m p l p x 2 cos x 3 − m 2p l 2p x 24 cos x 3 sin x 3 + C1 gm p l p sin x 3 − C 3 m p l p cos x 3 U dω
x 4 =

C 2 C 4 − m 2p l 2p cos 2 x 3

Hệ phương trình trên có thể tuyến tính hóa vì với góc lắc θ bé thì:
cos x 3 = cos θ ≈ 1

sin x 3 = sin θ ≈ θ = x 3
 2 2
x 4 = θ ≈ 0
2 2
Đặt C 5 = C 2 C 4 − m p l p

Thay vào (1.49) ta có được hệ phương trình tuyến tính hóa:
x 1 = x 2

2 2
x = − C 2 C 4 x 2 − gm p l p x 3 + C 3 C 4 U dω
 2
C5

x 3 = x 4

C m l x + C1 gm p l p x 3 − C 3 m p l p U dω
x 4 = 2 p p 2

C5

(1.50)

Đặt các ma trận:

11


Chương I Mô hình toán học con lắc ngược

1
0
0 
0



2 2
0 − C 2 C 4 − gm p l p 0 


C5
C5
A=

0
0
1 
0
 C m l

C1gm p l p
2
p p
0
0


C5
C5

C = [1

0

0

0


 C C 
3 4



C5 
B=

0


 C3m plp 
−

C 5 


x 1 
x 
X =  2
x 3 
 
x 4 

0]

Y = x1

Mô hình toán học của con lắc ngược được biểu diễn dưới dạng hệ phương
trình trạng thái tuyến tính hoá:
 = AX + BU
X
dω

Y = CX

(1.51)

12