Phép tính Tenxơ và ứng dụng trong cơ học chất rắn, w18, E48

TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, SAU ĐẠI HỌC
LUẬN ÁN-ĐỒ ÁN-LUẬN VĂN-KHOÁ LUẬN-TIỂU LUẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG



TỔNG QUAN
Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết các
vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý
thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhà toán học Tullio
Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học khác. Trong luận văn
này tenxơ được sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các tập véctơ hình học.
Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ các phương
trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng - chuyển vị.
Việc thiết lập các phương trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong như hệ tọa độ trụ, hệ tọa
độ cầu ,….là tương đối phức tạp. Vì vậy trong các bài báo hay các giáo trình cơ học nói
chung thường chỉ nêu ra trực tiếp phương trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ
các bước biến đổi để thu được kết quả.
Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi của
tenxơ. Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phương trình liên
hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong hệ tọa độ cong
bất kỳ. Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu được các phương trình liên hệ biến
dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằng trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ
cầu.
Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận và tài liệu
tham khảo. Nội dung chính của luận văn bao gồm:
-

Chương 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính của
tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai. Đồng thời tác giả cũng
trình bày cách biến đổi để thu được hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến và phản
biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé trong hệ tọa độ cong, cụ
thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc xác định các phương trình cân

-

bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị ở chương 2.
Chương 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các
phương trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phương trình liên hệ biến
dạng- chuyển vị. Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài toán vỏ

mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu.
Nội dung của luận văn sẽ được trình bày chi tiết dưới đây:
3


Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ
1.1 Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Tenxơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số hoặc là
hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ cơ sở các
thành thay đổi theo một quy luật xác định.
Hệ thống kí hiệu
Các kí hiệu trong hệ thống đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dưới.
Ví dụ như .
Theo quy ước: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3. Ví dụ, nếu kí hiệu nghĩa là
biểu thị 1 trong 3 phần tử biểu thị 1 trong 9 phần tử , , , ,

Hạng của tenxơ
Hạng của tenxơ xác định bằng số lượng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Như phụ thuộc vào
một chỉ số nên là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử. phụ thuộc vào 2 chỉ số nên là hệ
thống hạng 2 bao gồm phần tử.
Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm phần tử.
Quy ước về chỉ số
Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số lặp lại
2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3”. Chỉ số như vậy là chỉ số câm nên nó có thể thay
bằng chữ khác.
Ví dụ:
Hệ thống đối xứng
Xét hệ thống hạng hai
Nếu thay đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay đổi dấu
giá trị thì hệ thống gọi là hệ thống đối xứng.
.
Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu mà
không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống là hệ thống phản đối xứng.
Ví dụ hệ thống Kronecker
nếu

là hệ thống đối xứng
4


nếu
Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số
Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi khi đổi
chỗ hai chỉ số đó cho nhau.
Ví dụ: Nếu hệ thống đối xứng theo 2 chỉ số thì
Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3

khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau
khi là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3.
khi là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3
Cụ thể:

,

,
Cách thành phần còn lại của .
Loại tenxơ
Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) được xác định bởi vị trí của chỉ số.
Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai.
Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ phản biến hạng hai.
Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

1.2. Phép biến đổi tọa độ
1.2.1. Hệ tọa độ Đề các

5


Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc với
véc tơ cơ sở (Hình 1)
là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ trong
hệ tọa độ Đềcác.
O
Hình 1.

Véc tơ được biểu diễn dưới dạng
(1.1)

Xét điểm Q là lân cận của điểm P.
là độ dài bình phương vô cùng nhỏ của
Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở là các véctơ đơn vị và trực giao nên tích vô
hướng =0 nếu , nếu nên .
Suy ra:
a. Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ )
Xét một hệ thống có các thành phần trong hệ cơ sở .
Phép cộng
Nhân với một số
Nhân vô hướng
Nhân véctơ
Hay viết dưới dạng:
Tích hỗn hợp
Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là )
6


b. Các phép tính đối với tenxơ hạng hai. Tenxơ hạng cao
Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương tự
như đối với tenxơ hạng nhất.
Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùng loại.
Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ.
Ví dụ: xét tenxơ hạng hai :
Phép cộng

Phép trừ
Phép nhân vô hướng

Tích tenxơ
Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các phép

cộng và nhân tenxơ, chỉ số dưới vẫn là chỉ số dưới, chỉ số trên vẫn là chỉ số trên.
1.2.2. Hệ tọa độ cong

7


Hệ tọa độ cong với hệ véc tơ cơ sở
(Hình 2).
là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ
trong hệ tọa độ cong.
Biểu diễn véc tơ dưới dạng :

Hình 2

O

Lấy điểm là lân cận của điểm .
Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ được xác định bằng
Trong đó
Phép tính đối với vectơ
Cho hai véctơ

và

Phép cộng, trừ
Tích vô hướng

1.2.3. Phép biến đổi tọa độ
Bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác biểu diễn dưới dạng:
Với các véc tơ cơ sở là không đổi.

Trong tọa độ cong bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các trong miền đang xét bằng
phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị.
8


và
Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không.
Ta có:
Suy ra 2 ma trận

là nghịch đảo của nhau.

Ta kí hiệu :
hay
(1.3)
Các véctơ thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ
tọa độ cong. Trong đó
là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;
là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;
là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ .
Cùng với hệ véctơ cơ sở , ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ theo hệ thức sau
(1.4)
Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô cùng
nhỏ từ tới điểm cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán kính của điểm .
Vậy véctơ được biểu diễn dưới dạng:
Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân được từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ
cong khác
Ta kí hiệu là các rêpe địa phương trong hệ tọa độ cong Do đó sẽ được xác định từ biểu
thức:
Thay ở (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành:

Khai triển cụ thể sẽ được kết quả:
Ngược lại, nếu biến đổi từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ cong
Khai triển cụ thể (1.9)
9


Xét một véctơ (tenxơ hạng nhất) bất kỳ . Có thể biểu diễn véc tơ dưới dạng:
Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ không đổi.
Biểu diễn với các thành phần phản biến
Suy ra:
Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:
Biểu diễn với các thành phần hiệp biến

từ đó suy ra
Biểu diễn cụ thể (1.14) như sau
Đối với tenxơ hạng hai
Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:
Trong đó là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ.
là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ.
là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ.
Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở tenxơ hạng 2 sẽ
được biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành phần 2 lần phản biến như sau:
Suy ra:
bao gồm 9 thành phần:
Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần ta sẽ được
Tượng tự với 8 thành phần còn lại của với chú ý là
10


Nếu biểu diễn dưới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:

Vậy:
Hệ thống gồm có 9 phần tử
trong đó
Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ được:
Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:
Vậy:
Tương tự đối với tenxơ hạng cao ta có:
Tenxơ kết hợp
Do các véc tơ đều là các véctơ cơ sở nên véctơ có thể biểu diễn thông qua hệ véctơ cơ
sở và ngược lại.
Ví dụ:
Nhân cả hai vế của (1.19) với ta được
Vì nên

(1.21 )

Thay (1.21) và ( 1.20) có
Làm tương tự, ta nhân hai vế của ( 1.19) với
Tương tự tính được
Thay các vào ( 1.19) suy ra
Ngược lại véc tơ có thể biểu diễn qua các cơ sở . Ví dụ
Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với sẽ được

11


Do nên
Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với sẽ có
Nhân 2 vế của ( 1.23) với
Thay vào ( 1.23)

Hay
Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số như sau:
( phép nâng chỉ số)
( phép hạ chỉ số)
1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide
a. Tenxơ mêtric hiệp biến
Xét trong hệ tọa độ Đềcác. Gọi là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là
Xét trong tọa độ cong
Trong đó là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong.
Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi
Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận được
Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến như sau
b. Xác định tenxơ mêtric phản biến.
Hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức
-

tenxơ Kronecker

Với hệ cơ sở đã biết ta xác định được
hay
Đặt:

12


Hoặc
Trong đó :
Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao (, các véc tơ cơ sở trùng nhau về hướng nhưng độ lớn
khác nhau.
Thật vậy, ta có

mà

Suy ra : cùng hướng, khác nhau về độ lớn.
Tương tự các cặp cũng cùng chiều và khác độ lớn.
Trong trường hợp này:
Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính ta được:

Thực hiện tương tự ta cũng nhận được

Giống như trên ta có thể suy ra .

c. Ví dụ:
Hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu là hai hệ tọa độ cong trực giao. Ta đi xác định tenxơ metric
trong hai hệ tọa độ này.
Tọa độ trụ
( Hình 3.)
Phép biến đổi tọa độ

13


z

Hình 3.

P

14

Ta tính được
Suy ra từ công thức (1.31)
Thay (1.31) vào (1.29) ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ
trụ
Vậy:
Suy ra
Thay (1.32) vào (1.30) ta sẽ thu được các thành phần của tenxơ metric phản biến trong hệ
tọa độ trụ
Suy ra :

Vậy:
,

Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4)
Phép biến đổi tọa độ:

15


Hình 4.

Ta tính được các đạo hàm riêng

Vậy từ (1.3) ta có
16


Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cầu

Từ (1.34) ta tính được

Vậy theo (1.30) ta có:
Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong.

1.3. Thành phần vật lý của tenxơ
1.3.1. Tenxơ hạng nhất
Xét véctơ ( tenxơ hạng nhất )
Gọi các véc tơ là các véctơ phản biến và hiệp biến đơn vị
Suy ra:
Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao, trùng nhau về hướng, khác nhau về độ lớn nên các
véc tơ trùng nhau. Vậy
Ta gọi là thành phần vật lý của tenxơ hạng nhất.
Kí hiệu:
gọi là hệ số Lamé. Thành phần vật lý của véctơ có dạng :
( không tổng theo i )
17


1.3.2. Tenxơ hạng hai
Một tenxơ hạng 2 bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:
Suy ra:
( không tổng theo )
là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai.
Tương tự như trên ta có thể xác định được thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ.
1.3.3. Khai triển cụ thể

1

Áp dụng đối với hệ tọa độ trụ

2
3

Đối với hệ tọa độ cầu

4
5
6
7
8
9

Tổng kết lại ta có bảng giá trị sau:

10
11 Tọa độ trụ (Hình 3).

13
14
16
17
18
22
23
24
28
29
30
31

32

12 Tọa độ cầu

15
19
20
21
25
26
27
33
34
35

18

(Hình 4).


36
37
38
39
43
44

40
41
42

45
46 Bảng 1.

47
48

1.4. Đạo hàm hiệp biến

49

1.4.1. Đạo hàm véctơ cơ sở

50

Sử dụng công thức (1.3) thu được đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở

51
52

Ta biểu thị qua các véctơ cơ sở như sau :

53
54

Vậy :

55

Các đại lượng là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2.

56

Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệ véctơ
cơ sở.

57

Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc với hệ véctơ cơ sở

58

Ta có:

59
60

Trong đó

61
62

Xét

63
64
65

Nhân 2 vế của (1.41) với . Do hệ cong trực giao nên , nên

66

67

Suy ra:

68
69

Tiến hành tương tự, ta nhân lần lượt hai vế của (1.41) với sẽ thu được

70
71

Suy ra:
19


72
73

Công thức tổng quát là

74
75

Suy ra

76

20

77

Đạo hàm theo biến

78
79

Ta thay từ (1.42) vào (1.44)

80
81 1.4.2. Kí hiệu Christoffel
82

Kí hiệu Christoffel đã được xuất hiện ở biểu thức (1.39). Và trong mục này sẽ đi vào
xác định các thành phần của kí hiệu đó thông qua tenxơ mêtríc và đạo hàm véctơ cơ
sở.

83

Theo biểu thức (1.39):

84

Ta đồng nhất (1.45) và (1.39) rút ra được:

85
86
87

91

a. Xác định biểu thức qua tenxơ mêtríc
T
a
có
:
Suy ra:

88

89

nê
n

90

92
93

Tương tự ta tính được :

94
95
96

Vậy có

97

98

Suy ra:

99
100 Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến
101 Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến ta xuất phát từ biểu thức (1.22): suy ra

102
103 Trong đó:
104 Thay (1.49) vào (1.48), (1.48) trở thành:

105
106 Xét tổng
107 Với:
21


108
109 Thay (1.52) vào (1.51) cho kết quả

110
111 Lại có:

112
113 Vậy
114 Hay:
115 Thay (1.53) vào (1.50) ta nhận được:

116

117 Biểu thức (1.54) là biểu thức xác định thành phần của đạo hàm véctơ cơ sở phản

biến.
118 b. Biểu thức liên hệ giữa các thành phần và đạo hàm của véctơ cơ sở
119 Do ta đã xác định được biểu thức

120
121
122 Để xét ta thay ở biểu thức (1.45) vào tích

sẽ có

123
124
125 Vậy tổng hợp 3 biểu thức trên ta được kết quả như sau:

126
127 Trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc các véctơ cơ sở không đổi,
128 Suy ra:

129
130 Hay
131 Trong hệ tọa độ cong trực giao, với thì
132 Suy ra
133 Thay vào công thức (1.47) suy ra:
134 Thay vào biểu thức (1.40) suy ra
135 Sử dụng biểu thức (1.47) tính được các hạng tử

136
137 c. Ví dụ

22


138 Để tính các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và cầu, ta sử dụng

bảng giá trị ở bảng 1, ta tính ra được các rồi thay vào (1.58) sẽ cho ta kết quả.
139 Trong hệ tọa độ trụ,cầu có 27 thành phần nhưng do tính chất (9 cặp) nên ta chỉ cần

tính 18 thành phần Christoffel.
140 Trong hệ tọa độ trụ ( Christoffel loại hai )

141
142 Do
143 Nên:

144
145 Từ (1.58) suy ra:

146
147

148
149 Theo (1.55) ta có

150
151

152 Vậy trong hệ tọa độ trụ chỉ có 3 thành phần của kí hiệu Christoffel khác không. .

153
154 Trong hệ tọa độ cầu (Christoffel loại 2 )
155 Ta có
156 suy ra

157
158 Vậy

159
160

Các thành phần khác bằng 0.

161 1.4.3. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất
162 Trong hệ tọa độ cong

với các véctơ cơ sở tạo thành rêpe địa phương thay đổi tại

từng điểm.
163 Xét véctơ có các thành phần phản biến

164
23


165 Lấy vi phân biểu thức của véctơ

166
167 Sử dụng biểu thức

suy ra

168
169 Thay (1.60) vào (1.59), biểu thức (1.59) trở thành

170
171 Trong đó :

172
173 Kí hiệu:
174 Vậy:
175 Biểu thức (1.63) là đạo hàm hiệp biến của tenxơ phản biến hạng nhất

đối với biến

số trong hệ tọa độ cong.
176

gọi là vi phân tuyệt đối của thành phần của véctơ .

177 Trong trường hợp rêpe cố định , suy ra
178 Xét véctơ với các thành phần hiệp biến .

179
180 Lấy vi phân hai vế của véctơ

181
182 Sử dụng biểu thức (1.54):

183

184 Đặt:
185 là đạo hàm biệp biến của ten xơ hạng nhất
186 Vậy:

187
188 1.4.4. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai
189 Xét đạo hàm hiệp biến của các thành phần phản biến của tenxơ hạng hai

190
191 Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68)

192
193 ở số hạng thứ 2: , ta thế ở biểu thứ (1.60) và thay thì số hạng thứ 2 trở thành:

194
195 ở số hạng thứ 3, sử dụng biểu thức (1.60) và thay các chỉ số thì số hạng thứ 3 trở

thành:
24


196
197 Thay các số hạng số 2, 3 vừa biểu diễn ở trên vào biểu thức (1.69) nhận được

198
199 Vậy vi phân tuyệt đối của các thành phần của tenxơ có dạng

200
201 Và đạo hàm hiệp biến

202

203Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ
204 2.1. Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động.
205 Trong phần này bài luận văn sử dụng kết quả của véctơ ứng suất, công thức

Ostrogradsky- Gauss, định lý về động lượng và thành phần vật lý của tenxơ.
206 Giả sử tại thời điểm ta xét một vật có thể tích giới hạn bởi mặt của môi trường liên

tục chuyển động.
208

207 Vật chuyển động với vận tốc , chịu

tác động của lực khối

S

, tại một

điểm bất kỳ trên mặt chịu tác dụng

V

của véctơ ứng suất .

,

O

209 Động lượng tổng cộng của môi trường chứa trong được kí hiệu là xác định bởi biểu

thức
210
211 Theo định lý về động lượng: biến thiên động lượng của miền nào đấy trong môi

trường liên tục bằng tổng các lực tác dụng lên môi trường đó.
212
213 Áp dụng công thức Ostrogradsky- Gauss, ta đưa biểu thức tích phân mặt trong (2.1)

thành biểu thức tích phân thể tích
214
215 Xét vế trái của (2.1), ta sử dụng công thức tính đạo hàm vật chất của tích phân khối

216
25