tong hop luong giac toan tap

Phần II: Một số phơng trình lợng giác chuyển về phơng trình
lợng giác bậc nhất.

Bài toán: Giải những phơng trình lợng giác sau:
1
2 (cos x sin x)
1,
2, sin2x + cos2x = 1 + sinx 3cosx
=
tan x + cot 2 x
cot x 1
4
4

3, sin x + cos x = 1 (tan x + cot x)
4, 2sin2(x - ) = 2sin2x tanx.
4
sin 2 x
2

5, Tìm x 0; là nghiệm của phơng trình: cos3x 4cos2x + 3cosx 4 = 0.
4
6, (2cosx 1)(2sinx + cosx) = sin2x sinx
7, cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
8, sin2x + sin23x = cos22x + cos24x
9, sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x
x
7
10, sinxcos4x sin22x = 4sin2( ) với x 1 < 3
11, sin23x cos24x = sin25x cos26x
4 2

2
12, sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x
13, 4sin3 x+ 3cos3x 3sinx sin2xcosx = 0
14, cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos33x
15, sinx + cosx + 1 + sin2x + cos2x = 0
16, (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx 4) + 4cos2x = 3
17, sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x)
1

18, cosxcos2xcos4xcos8x =
19, 8cos3(x + ) = cos3x
16
3
11
20, tan2x tanxtan3x = 2
21, tan2x + cot2x + cot22x =
3
x
x
22, sin2( )tan2x cos2( ) = 0
23, sin2x(cotx + tan2x) = 4cos2x
2 4
2
2
2
7


24, cot x tan x = 16(1 + cos 4 x)
25, sin4x + cos4x = cot(x + )cot( x )

8
3
6
cos 2 x
1
3(sin x + tan x)
26, 2tanx + cot2x = 2sin2x +
27,
2(1 + cos x) = 0
sin 2 x
tan x sin x
(1 + cos x ) 2 + (1 cos x) 2
1
28,
29, cos3x.tan5x = sin7x
tan 2 x sin x = (1 + sin x) + tan 2 x
4(1 sin x)
2
4
4
30, sin x + cos x = 1 (tan x + cot 2 x)
31, tan2x.cot22x.cot3x = tan2x cot22x + cot3x.
sin 2 x
2
5
7

32, Tìm nghiệm trên ( ;3 ) của phơng trình: sin( 2 x +
) 3cos(x ) = 1 + 2sinx.
3

2
2

33, Tìm nghiệm trên (0; ) của phơng trình sin24x cos26x = sin(10,5 + 10x)
2
sin x + sin 2 x + sin 3x
34, sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)
35,
= 3
cos x + cos 2 x + cos 3 x
1 + cos x
36, tan2x =
37, tan2x tan3x tan5x = tan2x.tan3x.tan5x
1 sin x
4x

1
1
38, cos
= cos2x
39, 2 2 sin(x + ) =
+
3
4
sin x cos x
2
40, 2tanx + cot2x = 3 +
41, sin2x + sin22x + sin23x = 2
sin 2 x
sin 2 x

42,
43, 25 4 x 2 (3 sin 2x + 8 sin x) = 0
+ 2 cos x = 0
1 + sin x
sin x. cot 5 x
2
44,
45, 3tan6x = 2tan2x cot4x.
=1
cos 9 x
sin 8 x

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

1


46, 2sin3x (1 – 4sin2x) = 1
x
x
5
48, sin4 3 + cos4 3 = 8
x
x
50, sin 4 + cos 4 = 1 – 2sinx
2
2
2
52, tan4x + 1 = (2 − sin 24x) sin 3 x
cos x

54, cos3x -4cos2x + 3cosx – 4 = 0
2
56, cos x(cos x − 1) = 2(1 + sin x )
sin x + cos x
58, sin4x.sin7x = cos3xcos6x

2
4

47, cos3xcos3x + sin3xsin3x =

49, cos3x – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0
π
π
51, sin(3x - ) = sin2x sin(x + )
4
4
x
53, tanx + cosx - cos 2 x = sinx(1 + tan .tanx)
2
55, 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0
π
57, 2 2 cos3(x - ) – 3cosx – sinx = 0
4
π
cos 2 x − 1
59, tan(x + ) – 3tan2x =
2
cos 2 x

60, cos3x.cos3x – sin3xsin3x = 2 + 3 2
8

61, cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0

62, cos3x + sin3x + 2sin2x – 1 = 0

63, cotx + sinx(1 + tanxtan

64, cot2x =

1 − sin x
1 + cos x

x
)=4
2

65, 1 + sinx + cosx + tanx = 0

2
 3π 
66, T×m nghiÖm x ∈ 0;  tháa m·n: cos x(cos x − 1) = 2(1 + sin x )
 2
sin x + cos x
67, tan2x + 8cos2xcot2x = cot2x
68, 2sinx + cosx = sin2x + 1
x
π 3x
π x

+ )
− )
2
69, sin2x + cos2x + sinx – 2cos 2 = 0
70, sin( 4 2 = 3sin( 4 2
71, sin9x + sin5x + 2sin2x = 1
72, sin8x + sin2x = cos3x – cos7x
73, 2sinxcos2x + sin2xcos2x = sin4xcosx
74, cos34x = cos3xcos3x + sin3xsin3x
2
1 − tan x
75, cot x − 1 − cos 4 x cot 2 x = cos x
76,
= 1 − sin 2 x
1 + tan x
2 cot x
4
4
1
2 (cos x − sin x)
77,
78, sin x + cos x = 1 (tan x + cot x)
=
sin 2 x
2
tan x + cot 2 x
cot x − 1
3
3
3

3
79, sin x + cos x + sin xcotx + cos xtanx = 2 sin 2 x
80, sinx + cosx – cos4x = 0
2
81, 3tan6x – 2tan2x =
82, tanxsin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx)
− cot 4 x
sin 8 x
x
3x
π
π
83, sin - (sinx + sin ) = 0
84, sin(3x - ) = sin2xsin(x + )
2
2
4
4
85, tanx + tan2x – tan3x = 0
86, (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
87, cosx(cos4x + 2) + cos2xcos3x = 0
88, (cosx – sinx)cosxsinx = cosxcos2x

89, sin23x – sin22x – sin2x = 0

x

x

90, log (sin 2 −sin x ) + log (sin 2 + cos 2 x ) = 0

0 , 25
4

 π
91, T×m nghiÖm thuéc 0;  cña ph¬ng tr×nh sin24x – cos26x = sin(10,5 π + 10x)
 2
3π
π x
1
92, sin(
93, sin3xcosx = + cos 2 x sin x
+ x ) = 2sin( − )
5
5 2
4
π
94, T×m x ∈ Ζ tháa m·n: cos (3x − 9 x 2 − 16 x − 80 ) = 1
95, sin4x = tan4x
4

Gi¸o viªn: NguyÔn ViÕt S¸ng – tuyÓn tËp lîng gi¸c 11.

2


3
8

96, 1 + tanx = sinx + cosx

97, sin32xcos6x + sin6xcos32x =

98, cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
100, 3tan2x 4tan3x = tan23xtan2x
102, tan2x(1 sin3x) + cos3x 1 = 0
4
4
104, 3sin2x + sin 2 x + 2 cos 2 x = 3 sin 6 x + cos 6 x 1
2
sin x + cos x 1

106, Tìm x thỏa mãn: cos (3x 9 x 2 + 160 x + 800 ) = 1
8
1 cos 2 x
108, 1 + cot2x =
sin 2 2 x


110sin21,5x + sin2( 2,5 x ) = sin25,5x + sin2( 6,5 x)
4
4
sin x cot 5 x
112,
=1
cos 9 x

99, 2sin3x(1 4sin2x) = 0
101, 2(sin3x + 3 cos3x) = sinx + 3 cosx
103, tanx = cotx + 2cot32x

114, 4 3 sinxcosxcos2x = sin8x

115, sin3xcos3x sinxcos3x =

105, 2cos3x + sinxcosx + 1 = 2(sinx + cosx)
107, sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0
x
109, log sin
cos x = 1

111, sin2x + sin22x + sin23x =

3
2

113, sin3x cos3x = cosx sinx
1
4
117, sin5x + sin9x + 2sin2x 1 = 0

116, 4cosx 2cos2x cos4x = 1
118, 2cos2x + 2cos22x + 2cos23x 3 = cos4x(2sin2x + 1)
2 sin x 1
Bài toán 2: Tìm m để phơng trình:
= m có đúng hai nghiệm thuộc [ 0; ]
sin x + 3
1
2
Bài toán 3: Cho phơng trình f(x) = sinx + sin 3 x + sin 5 x . Giải phơng trình f(x) = 0
3

5
Bài toán 4: Cho f(x) = cos2xsin4x + cos2x
Giải phơng trình f(x) = 2cosx(sinx + cosx) 1
CMR: f ( x) 1 x
Bài toán 5: Cho phơng trình: sin x - cos x = 0
Giải phơng trình.
Tìm nghiệm thỏa mãn: 2 x < 1

Phần III: Một số phơng trình lợng giác chuyển về phơng trình
lợng giác bậc hai.
Bài toán1: Giải những phong trình sau:

1, Tìm các nghiệm trên (0; 2 ) của phơng trình: 5(sinx +
2, cos23xcos2x cos2x = 0

cos 3x + sin 3 x
) = 3 + cos2x.
1 + 2 sin 2 x
3, cos4x + sin4x + cos(x -

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.



3
)sin(3x - ) =0
4
4
2

3


4, 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x
2
6, cos x( 2 sin x + 3 2 ) − 2 cos x − 1 = 1
1 + sin 2 x
3
8, 8cos x + 3 2 sin2x = 8cosx

1
1
= 2cos3x +
sin x
cos x
x
3x
x
3x
1
7, cosxcos cos
- sinxsin sin
=
2
2
2
2
2
2
2

9, 3cot x + 2 2 sin x = (2 + 3 2 )cosx
5, 2sin3x -

2
2
π
π
) + cos(2x - ) + 4sinx = 2 + 2 (1 – sinx)
11, 4 sin 2 x + 6 sin x − 9 − 3 cos 2 x = 0
4
4
cos x
1
2
12, Cho f(x) = sinx + sin3x + sin5x. Gi¶i ph¬ng tr×nh f’(x) = 0
3
5
17
5x
x
13, sin8x + cos8x =
cos22x
14, sin
= 5cos3xsin
16
2
2
6x
8x
15, sin2x.(cotx + tan2x) = 4cos2x

16, 2 cos 2
+ 1 = 3 cos
5
5
4
4
sin 2 x + cos 2 x
π
= cos 4 4 x
17, tan 3 ( x − ) = tan x − 1
18,
π
π
tan( − x ) tan( + x)
4
4
4
1
2
5
19, 48 =
20, sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + cos2x
(1+ cot 2 x. cot x )
4
2
4
cos x sin x
cos 2 x
1
21, cotx – 1 =

22, sin2x + 2tanx = 3
+ sin 2 x − sin 2 x
1 + tan x
2
2
23, cotx – tanx + 4sin2x =
24, (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
sin 2 x
π
π
9
25, sin4x = tanx
26, sin4x + sin4(x + ) + sin4(x – ) =
4
4
8
2
27, tanx + cotx = 4
28, sin x (3 2 − 2 cos x) − 2 sin x − 1 = 1
1 − sin 2 x
1
1
2
29, 4cos4x + 3 2 sin2x = 8cosx
30,
+
=
cos x sin 2 x sin 4 x
π
4x

31, sin2x + 2 sin(x - ) = 1
32, cos
= cos2x
4
3
π
π
x
33, 2 (2sinx – 1) = 4(sinx – 1) – cos(2x + ) – sin(2x + )34, tan cosx + sin2x = 0
4
4
2
35, 1 + 3tanx = 2sin2x
36, cotx = tanx + 2tan2x
3x
4x
37, 2 cos 2
38, 3cos4x – 2cos23x = 1
+ 1 = 3 cos
5
5
3x
x
39, 2 cos 2
40, cosx + tan = 1
+ 1 = 3 cos 2 x
2
2
3
41, 3tan2x – 4tan3x = tan23x tan2x

42, cosx.cos4x + cos2x.cos3x + cos24x =
2
3
43, cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =
44, sin4x = tanx
2
13
3π x
1
π 3x
45, sin6x + cos6x =
cos22x
46, sin( − ) = sin( + )
8
10 2
2
10 2
4
4
47, sin x + cos x = 1 cot 2 x − 1
48, cos2x + cosx(2tan2x – 1) = 0
5 sin 2 x
2
8 sin 2 x

10, cos(2x +

Gi¸o viªn: NguyÔn ViÕt S¸ng – tuyÓn tËp lîng gi¸c 11.

4

49, 3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0
51, 5sinx – 2 = 3tan2x(1 – sinx)
π
π
3
53, sin4x + cos4x + cos(x - )sin(3x - ) =0
2
4
4
2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x cos x
55,
=0
2 − 2 sin x
57, (2sin2x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0
3π
sin x
59, tan(
− x) +
=2
2
1 + cos x
61, 2sin2x(4sin4x – 1) = cos2x(7cos22x + 3cos2x – 4)
(cos x − sin x )
x + cos 2 x )
+ log (cos
=0
1
63, log x

x

65, cosx – cos2(

3x
)=0
4

x
67, tan cos x + sin 2 x = 0
2
3
69, 1 + sin3x + cos3x = sin 2 x
2
x
71, 2 + cosx = 2tan
2

2 cos 4 x
sin 4 x
52, cos23xcos2x – cos2x = 0
50, cotx = tanx +

54, sinxcos2x + cos2x(tan2x – 1) + 2sin3x = 0
56, 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0
58, cos2x + cos4x – 2 = 0
2
2
60, 4 sin 2 x + 6 sin x − 9 − 3 cos 2 x = 0
cos x

2
sin 2 x + cos 2 2 x
= cos 2 4 x
62,
π
π
tan( − x ) tan( + x)
4
4
64, sin2x(cotx + tan2x) = 4cos2x
66, 4 cos 2 x + 4 cos 2 x = 3
68, tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
70, tan3(x -

π
) = tan x − 1
4

72, sin3x + cos3x + 2cosx = 0

73, cos3x – 4sin3x – 3sin2xcosx + sinx = 0

74, cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =

75, sin3x + cos2x = 1 + 2sinxcosx
sin 3 x sin 5 x
77,
=
3
5

79, sin6x + cos6x = cos4x
81, cos2x + sin3x + cosx = 0
83, 8 2 cos6x + 2 2 sin3xsin3x - 6 2 cos4x – 1 = 0
85, sin2x = cos22x + cos23x
5
87, cos6x – sin6x = cos 3 2 x
4
π)=0

76, (1 + sinx)2 = cosx
3(sin x + tan x)
78,
= 2 + 2 cos x
sin x − tan x
80, sin3x + sin2x = 5sinx
82, 4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1)
84, 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx
86, cos6x – sin6x = cos22x

89, 2cos2x – 4cosx = 1 víi sinx ≥ 0
91, sin3x + cos2x = 1 + 2sinxcosx
93, 4sin2x + 3tan2x = 1
95, 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x)
17
cos 2 2 x
16
99, cosxcos4x + cos2xcos3x = 0
101, 3tan2x + 4tanx + 4cotx + 3cot2x + 2 = 0
97, sin8x + cos8x =

3
2

88, sin3(x + π ) – sin2(x + 2 π ) – sin(x + 3
2
3
x −1
90, cos2x – tan2x = cos x − cos
2
cos x
tan x
tan x
92, 8 + 3 7
+ 8−3 7
= 16
94, 1 + cos2x + cos3x = 2cosxcos2x
2
96, cos x( 2 sin x + 3 2 ) − 2 cos x − 1 = 1
1 + sin 2 x

(

)

(

)

98, 2cos3x + cos2x + sinx = 0
100, 3cos4x – 4cos2xsin2x + sin4x = 0

102, cos4x – 5sin4x = 0

Bµi to¸n 2: Cho ph¬ng tr×nh cos2x – (2m + 1)cosx + m + 1 = 0

Gi¸o viªn: NguyÔn ViÕt S¸ng – tuyÓn tËp lîng gi¸c 11.

5


a. Giải phơng trình khi m =

3
.
2

3
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm trên ( ; )
2 2
Bài toán 3: Cho phơng trình (cosx + 1)(cos2x mcosx) = msin2x (*)
a. Giải phơng trình khi m = -2.
2
b. Tìm m để (*) có đúng 2 nghiệm thuộc [0;
]
3
2
Bài toán 4: Cho phơng trình: (1 a) tan2x + 1 + 3a = 0 (1)
cos x
1
a. Giải phơng trình khi a = .
2

b. Tìm a để phơng trình có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc (0; )
2
Bài toán 5: Cho phơng trình cos4x + 6sinxcosx = m
a. Giải phơng trình khi m = 1.

b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt trên [0; ]
4
Bài 6: Cho phơng trình 4cos5xsinx 4sin5xcosx = sin24x + m
a. Biết x = là nghiệm của phơng trình. Giải phơng trình trong trờng hợp đó?

b. Biết x =
là nghiệm của phơng trình, tìm các nghiệm của phơng trình thỏa mãn: x4 3x2 + 2 < 0
8
Bài 7:Tìm a để hai phơng trình sau tơng đơng:
2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x và 4cos2x cos3x = acosx + (4 a)(1 + cos2x)
Bài 8: Cho phơng trình: cos4x = cos23x + asin2x
(1)
a. Giải phơng trình khi a = 1.

b. Tìm a để (1) có nghiệm thuộc (0; )
12
Bài 9: Cho phơng trình sin6x + cos6x = asin2x (1)
a. Giải phơng trình khi a = 1.
b. Tìm a để (1) có nghiệm.
6
6
Bài 10: Cho phơng trình cos 2 x + sin 2 x = 2m tan 2 x
cos x sin x
1

a. Giải phơng trình khi m = .
8
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
Bài 11: Tìm m để phơng trình sin4x = m tanx có nghiệm x k
Bài 12: Tìm m để phơng trình cos3x cos2x + mcosx 1 = 0

Có đúng 7 nghiệm thuộc (
;2 ) .
2
Bài 13: Tìm m để phơng trình 4(sin4x + cos4x) 4(sin6x + cos6x) sin24x = m có nghiệm.
m
2m + 1 2

Bài 14: Tìm m để phơng trình sin4x + cos4x + sin4x sin x = 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc ( ; )
4
4
4 2
Bài 15: Tìm m để phơng trình sin6x + cos6x = m(sin4x + cos4x) có nghiệm.
Bài 16: Cho phơng trình cos4x = cos23x + asin2x. Tìm a để phơng trình có nghiệm thuộc (0;


).
12


Bài 17: Tìm m để phơng trình 2sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x + m = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc 0; .
2
Bài 18: Cho phơng trình: 4cos3x + (m 3)cosx 1 = cos2x
Giải phơng trình khi m = 0

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

6



Tìm m để phơng trình có bốn nghiệm phân biệt thuộc ;
2
2

( 2+ x + x )
0
Bài 19, Tìm nghiệm phơng trình: sin4x + cos4x = cos2x thỏa mãn: 1 + log 1
2

Bài 20: Cho phơng trình: sinx + cosx +

1
1
+
+ tan x + cot x = m
cos x sin x

Giải phơng trình với m = -2.
Tìm m để phơng trình vô nghiệm.
2
2
Bài 21: Giải biện luận: mcot2x = cos 6 x sin 6 x
cos x + sin x

Bài 22: Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất: 1 + sin2mx = cosx
Bài 23: Cho y = 4x sin2x + 4 2 cosx. Giải phơng trình y = 0

Bài 24: Tìm m để bất phơng trình: 2sin2x mcosx 3 0 nghiệm đúng x 0;
2
Bài 25: Tìm m để f(x) có nghĩa với mọi x: f(x) = sin 4 x + cos 4 x m sin x cos x
x
Bài 26: Tìm k để phơng trình 2sin2x + 6cos2( ) = 5 2k có nghiệm. Giải phơng trình khi k = 1.
2
Bài 27, Tìm nghiệm phơng trình: 1 sinx + cos2x = 0 thỏa mãn cosx 0 .
Bài 28: Cho phơng trình: 2cos2x + 3sinx + m = 0
Giải phơng trình khi m = 5.
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
x
Bài 29: Tìm k để phơng trình 5 - 4sin2x - 8cos2( ) = 3k có nghiệm. Giải phơng trình khi đó?
2
Bài 30: Tìm m để phơng trình: cos2x + mcosx + 2m + 1 = 0 có nghiệm.
Bài 31: Cho bất phơng trình: 4 tan x + m.2 tan x 2m 0
Giải bất phơng trình khi m = 1.
Tìm m để bất phơng trình vô nghiệm.
6
6
Bài 32: Cho phơng trình: cos 2 x + sin 2 x = 2m tan 2 x
cos x sin x
1
Giải phơng trình khi m =
8
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
2
Bài 33: Cho phơng trình: (1 a)tan2x + 1 + 3a = 0

cos x
1
Giải phơng trình khi a =
2

Tìm a để phơng trình có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc 0;
2
6
6
Bài 34: Cho phơng trình: sin x + cos x 1) = 3sin6x
Giải phơng trình khi k = 4.

Biện luận số nghiệm phơng trình với x
;
4 4
Bài 35: Cho phơng trình: 3 + 2 2 tan x + 3 2 2 tan x = m
Giải phơng trình khi m = 6.

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thuộc
; .
2 2
Bài 36: Cho phơng trình: 4cos5xsinx 4sin5xcosx = sin24x + m

(

)

(

)

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

7


Biết x = là một nghiệm của phơng trình. Tìm các nghiệm của phơng trình khi đó?

Cho x =
là một nghiệm của phơng trình. Tìm các nghiệm phơng trình thỏa mãn: x4 3x2 + 2 < 0
8
Bài 37: Cho phơng trình: cos4x = cos23x + asin2x
Giải phơng trình khi a = 1.

Tìm a để phơng trình có nghiệm x 0;
12
Bài 38: Tìm m để phơng trình: 4(sin4x + cos4x) 4(sin6x + cos6x) sin24x = m có nghiệm.
Bài 39: Cho phơng trình: cos4x + 6sinxcosx = m.
a. Giải phơng trình khi m = 1.

b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thuộc 0;
4
Bài 40: Cho phơng trình: (cosx + 1)(cos2x mcosx) = msin2x.
a. Giải phơng trình khi m = -2.
2
b. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm thuộc 0;
3
Bài 41: Cho phơng trình: 6sin2x sin22x = m cos22x
a. Giải phơng trình khi m = 3.
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm.

1
Bài 42: Cho phơng trình: sin4x + cos4x cos2x + sin 2 2 x + m = 0
2
a. Giải phơng trình khi m = -2.
b. Giải biện luận phơng trình.
Bài 43: Cho phơng trình: cos2x + 6sinx = 4m2 2
a. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b. Giải phơng trình khi m = 2
Bài 44: Giải biện luận phơng trình: sin4x + cos4x + sin2x + m = 0.

Phần IV: Phơng trình bậc nhất theo sin và cos: asinu(x) + bcosu(x) = c
Bài toán 1:

2 6
1, Tìm x
;
thỏa mãn phơng trình: cos7x 5 7
2, 3sin3x -

3 cos9x = 1 + 4sin33x

3
1
+
cos x sin x
6, sin2x + 2cos2x = 1 + sinx 4cosx

4, 8sinx =

8, sin2x cos2x = 3sinx+ cosx 2

10, 2cos3x+ cos2x + sinx = 0
12, 4(sin4x + cos4x) +

3 sin4x = 2

14, tanx 3cotx = 4(sinx +

1
16, cos4x + sin4(x + ) =
4
4

3 cosx)

3 sin7x = - 2
3, tanx sin2x cos2x + 2(2cosx -

1
)=0
cos x

5, 9sinx + 6cosx 3sin2x + cos2x = 8
7, 2sin2x cos2x = 7sinx + 2cosx 4

9, (sin2x + 3 cos2x)2 5 = cos(2x - )
6
1 cos 2 x
11, 1 + cot2x =
sin 2 2 x
1

13, 1 + sin32x + cos32x = sin4x
2
15, sin3x + cos3x = sinx cosx
17, 4sin3xcos3x + 4cos3xsin3x + 3 3 cos4x = 3

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

8


3π
− x)
18,
6 tan x
2
=
sin x
1 + tan 2 x
20, (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 1
22, 3sinx = 3 - 3 cosx
5 + 4 sin(

24, cosx +

19, 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
21, 2cos2x =
23, 2cos3x +

3 sinx = sin2x + cosx + sinx

26, sinx + cosx = cos2x
6
=6
3 cos x + 4 sin x + 1
30, 4(sin4x + cos4x) + 3 sin4x = 2
28, 3cosx + 4sinx +

6 (cosx – sinx)
3 sinx + cosx = 0
3
25, cosx + 3 sinx =
cos x + 3 sin x + 1
3
27, 4sin x – 1 = 3sinx - 3 cos3x
29, cos7xcos5x 31, cos2x -

3 sin2x = 1 – sin7xsin5x

3 sin2x = 1 + sin2x

32, 4sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)

33, tanx – sin2x – cos2x = - 4cosx +

x π
(2 − 3 ) cos x − 2 sin 2 ( − )
34,
2 4 =1
2 cos x − 1

35, cotx – 1 =

36, T×m nghiÖm thuéc ( 0; π ) cña ph¬ng tr×nh: 4 sin 2

π
) + 4sinx + 1 = 0
6
sin x − sin 2 x
39,
= 3
cos x − cos 2 x
37, 2sin(2x -

1
1
π
−
= 2 2 cos( x + )
cos x sin x
4
45, sin2x - 2 2 (sinx + cosx) – 5 = 0
47, 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2
49, (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 1
51, 3cos2x + sin2x = 4cosx – 2sinx – 1
43,

3 sinx + cosx =

1
cos x

x
3π
− 3 cos 2 x = 1 + 2 cos 2 ( x − )
2
4

40, cos3x – sin2x =

3 (cos 2 x − sin 3 x)

42, sin3x + cos3x = 1 -

1
sin 2 x
2

44, sinx + sin2x =

3 (cosx + cos2x)

46, cos2x + 5 = 2(2 – cosx)(sinx – cosx)
48, 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
50, 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
52, tanx – 3cotx = 4(sinx + 3 cos x)
54: cos3x + sin3x = sin2x + sinx + cosx

π
1
)=

4
4
cos x − 2 sin x cos x
58,
= 3
2 cos 2 x + sin x − 1
60, 1 + cos3x + sin3x = sin2x
62, 4sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)
56: cos4x + sin 4 ( x +

55: 2sin2x – 2(sinx + cosx) + 1 = 0
57, tanx – sin2x – cos2x + 2(2cosx -

cos 2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x
1 + tan x
2

38, sin3x + cos3x = sinx – cosx

41, (sin3x + cos3x) = 2(sinx + cosx) – 1

53:

2
cos x

1
)=0

cos x

59, 2sin3x – cos2x + cosx = 0
61, 2sin4x = sinx + 3 cos x
π
1
1
63, 2 2 sin( x + ) =
+
4
sin x cos x
1
65, tanx + 1 = 2sinx +
cos x
π
68, 2 cos 2 ( cos 2 x) = 1 + cos(π sin 2 x)
2
70, sinx + cosx + 2sinx + 2cosx + 2 = 0
72, 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x

64, 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
67, (1 – tanx)sin2x = 2tanx
69, 2cos3x +

3 sin x + cos x = 0

71, cosx + sinx = cos2x
73, (1 + sin2x)(cosx – sinx) = cos2x

Gi¸o viªn: NguyÔn ViÕt S¸ng – tuyÓn tËp lîng gi¸c 11.

9


74, sin2x 12(sinx cosx) + 12 = 0

75,

Bài 2: Cho phơng trình: 2sin2 x sinxcosx cos2x = m
a. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b. Giải phơng trình với m = 1.
Bài 3: Cho phơng trình cosx + m sinx = 2.
a. Giải phơng trình khi m = 3 .
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
m sin x 2 m cos x 2
Bài 4: Cho phơng trình:
(1)
=
m 2 cos x m 2 sin x
a. Giải phơng trình khi m = 1
b. Khi m khác 0 và 2 thì (1) có bao nhiêu nghiệm thuộc [20 ; 30 ]

sin x + cos x
=1
1 + sin 2 x

2 sin x + cos x + 1
=m
sin x 2 cos x + 3
1

a. Giải phơng trình khi m = .
3
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
3
5 + 4 sin( x )
Bài 6: Cho phơng trình:
6 tan .
2
=
sin x
1 + tan 2

a. Giải phơng trình với =
.
4
b. Tìm để phơng trình có nghiệm.
Bài 7: Tìm max, min của: y = 3sin2x + 4sinxcosx 5cos2x + 2

Bài 8: Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc 0; : mcos22x 4sinxcosx + m 2 = 0
4
1
1

Bài 9: Tìm miny với x 0; và y =
.
+
sin x cos x
2
cos x + 2 sin x + 3
Bài 10: Tìm max, min của y =

2 cos x sin x + 4

Bài 11: Tìm max, min của: y = 4sin2x + 2 sin(2x + )
4
Bài 12: Tìm m để phơng trình có nghiệm:



4sin3xsinx + 4cos(3x - ) cos( x + ) cos 2 (2 x + ) + m = 0 .
4
4
4
Bài 13: Cho hai phơng trình: 1 + sinx + cosx = 0 (1)
Và
1 + sin3x + cos3x = msin2x (2)
a. CMR: nghiệm của (1) là nghiệm của (2).
b. Tìm m để nghiệm của (2) là nghiệm của (1).

Bài 14: Tìm m để phơng trình: mcos2x 4sinxcosx + m 2 = 0 có nghiệm x 0;
4
2
2
Bài 15: Tìm max, min của y = 2cos x - 3 3 cosx sin x + 5
Bài 16: Cho phơng trình: sin2x + 4(cosx sinx) = m
a. Giải phơng trình khi m = 4
b. Xác định m để phơng trình có nghiệm.
cos x + 2 sin x + 3
Bài 17: Tìm max, min của hàm số: y =
2 cos x sin x + 4
Bài 5: Cho phơng trình:

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

10


sin x
với x [ 0; ]
2 + cos x
m sin x 2 m cos x 2
Bài 19: Cho phơng trình:
=
m 2 cos x m 2 sin x
a. Giải phơng trình khi m = 1.
b. Với m 0; 2 phơng trình có bao nhiêu nghiệm thuộc [ 20 ;30 ]
Bài 20: Cho phơng trình: cos2x sinxcosx 2sin2x m = 0
a. Giải phơng trình khi m = 1
b. Giải biện luận nghiệm phơng trình theo m
2k cos x + k + 1
Bài 21: Cho hàm số: y =
cos x + sin x + 2
a. Tìm min, max của hàm y với k = 1.
b. Tìm k để GTLN của y min?
Bài 22: Tìm min, max: y = 3sinx + 4cosx 4
Bài 23: Cho phơng trình: 2sin2x 2m 2 (cosx + sinx) + 1 6m2 = 0
a. Giải phơng trình khi m = 1
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
Bài 18: Tìm min, max của y =

{

}

Phần V: Phơng trình bậc ba của tan, cot.
Bài toán 1: Giải những phơng trình sau:
1, 6sinx 2cos3x = 5sin2xcosx
3, sinx 4sin3x + cosx = 0
5, cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 2
2
7, sinxsin3x = sin2x + sin 3x (cos3xsin3x + sin3xcos3x)
3 sin 4 x
9, cos3x sin3x = sinx + cosx
11, 4sin3x + 3cos3x 3sinx sin2xcosx = 0
13, sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx sinx) + 3
15, 1 + 3tanx = 2sin2x
17, 4cos3x cosx sinx = 0
19, 2sin3x + cos2x = sinx
21, sin4x + cos2x + 4cos6x = 0
23, 3 tan x + 1(sin x + 2 cos x) = 5(sin x + 3 cos x)

2, cos4x + sin6x = cos2x

4, sin3(x + ) = 2 sinx
4
6, 4cosxcos2x + 1 = 0
17
8, sin8x + cos8x =
32
10, cos3x 2cos2x = 2
12, 2cos22x + cos2x = 4sin22xcos2x

14, cos3(x + ) = cos3x
3
16, 3cotx tanx(3 8cos2x) = 0
18, cos3x + sinx 3sin2xcosx = 0
20, 3cos4x 2cos23x = 1
22, (sinx + cosx)3 4sinx = 0
24, 3cosx + cos2x cos3x + 1 = 2sinxsin2x


Bài toán 2: Tìm m để phơng trình: cos4x = cos23x + msin2x có nghiệm x 0; .
12
Bài toán 3: Tìm m để phơng trình: sin3x mcos2x (m + 1)sinx + m = 0 có đúng 8 nghiệm phân biệt thuộc ( 0;3 ) .
Bài toán 4: Cho phơng trình: cos3x sin3x = m
a. Giải phơng trình khi m = -1

b. Tìm m để phơng trình có đúng 2 nghiệm thuộc
;
4 4

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

11


Phần v: Phơng trình đối xứng theo sin và cos: dạng a(sinu(x) + cos(x))+
bsinu(x)cosu(x) = c
Bài toán 1: Giải những phơng trình sau:
3
1, -1 + sin3x + cos3x = sin2x

2
3, 3(cotx cosx) 5(tanx sinx) = 2
3(1 + sin x)
x
= 8 cos 2 ( )
2
4 2
cos x
5, 2sin3x sinx = 2cos3x cosx + cos2x
7, sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x
9, cos2x + 5 = 2(2 cosx)(sinx cosx)
11, 3tan2x + 4tanx + 4cotx + 3cot2x + 2 = 0
2
13,
+ 2 tan 2 x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0
2
sin x
15, cos3x + cos2x + 2sinx 2 = 0
17, sin3x cos3x = sinx cosx

19, sin2x + 2 sin(x - ) = 1
4
sin x + cos x
21,
=1
sin 2 x + 1
23, 5(sinx + cosx) + sin3x cos3x = 2 2 (2 + sin2x)
25, sin2x cosx cos2x + sinx = cos2xsinx + cosx
27, 4sin3x 1 = 3sinx -

3 cos3x

29, cos3x + sin3x + 2sinx 2 = 0
31, sinx + sin2x + cos3x = 0

2,

2 (sinx + cosx) = tanx + cotx
4, 3tan3x tanx +

6, tan2x(1 sin3x) + cos3x 1 = 0
8, 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
10, cos3x + sin3x = cos2x
12, tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6
14, 1 + cos3x sin3x = sinx
16, cotx tanx = sinx + cosx
18, 1 + tanx = sinx + cosx
20, sin2x 12(sinx cosx) + 12 = 0
3
22, 1 cos 2 x = 1 cos3 x
1 + cos 2 x 1 sin x
24, 1 + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 0
26, cos2x + sin3x + cosx = 0
3(1 + sin x)
x
28, 3tan3x tanx +
8 cos 2 ( ) = 0
2
4 2
cos x

30, 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
32, cotx tanx = sinx + cosx

Bài 2: Cho phơng trình: m(sinx + cosx + 1) = 1 + sin2x. Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc [0;
Bài 3: Cho phơng trình: cos3x + sin3x = msinxcosx
a. Giải phơng trình khi m = 2 .
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
1
1
1
Bài 4: Cho phơng trình: m(sinx + cosx) + 1 + (tanx + cotx +
)=0
+
2
sin x cos x
1
a. Giải phơng trình khi m = .
2

b. Tìm m để phơng trình có nghiệm trên 0;
2
Bài 5: Cho hàm f(x)= cos22x + 2(sinx + cosx)3 3sin2x + m
a. Giải phơng trình f(x) = 0 khi m= -3.
b. Tìm theo m GTLN, GTNN của f(x). Tìm m để f2(x) 36 với mọi x thuộc R.
Bài 6: Cho phơng trình: cos3x sin3x = m
a. Giải phơng trình khi m = 1.

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

]
2

12



b. Tìm m để phơng trình có đúng 2 nghiệm thuộc
.
;
4 4
Bài 7: Cho phơng trình: 2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x = m(sinx + cosx)
a. Giải phơng trình khi m = 2.

b. Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc 0; .
2
Bài 8: Cho phơng trình sin2x + 4(cosx sinx) = m
a. Giải phơng trình với m = 4.
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
Bài 9: Cho phơng trình: sinxcosx m(sinx + cosx) + 1 = 0
a. Giải phơng trình khi m = 2 .
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
3
Bài 10: Cho phơng trình:
+ 3 tan 2 x m(tan x + cot x) = 1 . Tìm m để phơng trình có nghiệm.
2
sin x
Bài 11: Cho phơng trình: sin2x (sinx + cosx) = m.
a. CMR: nếu m > 2 thì phơng trình vô nghiệm.
b. Giải phơng trình khi m = 1.

Phần vi: Phơng trình đẳng cấp: dạng asin2u(x) + bcos2u(x) + csinu(x)cosu(x) = d và những dạng chuyển về
tan, cot.
Bài 1: Giải những phơng trình sau:
1, cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x
2, cos3x 4sin3x 3cosxsin2x + sinx = 0
4
2
2
4
3, 3cos x 4sin xcos x + sin x = 0
4, sin2x + 2tanx = 3

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

13


cos 2 x
1
+ sin 2 x sin 2 x
1 + tan x
2
5
sin
4
x
cos
x
8, 6sinx - 2cos3x =

2 cos 2 x
10, tanxsin2x 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx)
12, sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx sinx) + 3
3
14, tan2x = 1 cos3 x
1 sin x
16, cos3x + sinx 3sin2xcosx = 0
18, sin3x + cos3x = sinx cosx
sin x + cos x
20,
=0
sin 2 x

5, sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

6, cotx 1 =

7, sin3x + cos3x + 2cosx = 0
9, sinx 4sin3x + cosx = 0
11, cos3x + sinx 3sin2xcosx = 0
13, 2cos2x + cos2x + sinx = 0

15, sin3x 5sin2xcosx 3sinxcos2x + 3cos3x = 0
17, 1 + tanx = 2 2 sin x
3(1 + sin x )

19, 3tan2x tanx +
8 cos 2 ( x) = 0
2
4

cos x
21, 4cos2x 6sin2x + 5sin2x 4 = 0
Bài 2: (4 6m)sin3x + 3(2m 1)sinx + 2(m 2)sin2xcosx (4m 3)cosx = 0
a. Giải phơng trình khi m = 2

b. Tìm m để phơng trình có duy nhất một nghiệm thuộc 0;
4
Bài 3: Cho phơng trình: sin2x + 2(m 1)sinxcosx (m + 1)cos2x = 0
a. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b. Giải phơng trình khi m = -2

Phần vii: Phơng trình chứa căn và chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 1: Phơng trình chứa căn
Bài toán 1: Giải những phơng trình sau:
1,

2, 1 + 8 sin 2 x cos 2 2 x = 2 sin(3x +

5 cos x cos 2 x + 2 sin x = 0

3, sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx =
5, sinx +

3 cosx +

2 sin 2 x

sin x + 3 cos x = 2

7, sin3x(1 + cotx) + cos3x(1 + tanx) = 2 sin x cos x

4,
6,
8,

(


4

1 sin 2 x + 1 + sin 2 x
= 4 cos x
sin x
1
1 cos x + cos x cos 2 x = sin 4 x
4
cos 2 x + 1 + sin 2 x = 2 sin x + cos x

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

)

14


9, 1 + sin x + cos x = 0

10,

11, sinx +

12,

3 cosx =

2 + cos 2 x + 3 sin 2 x
3 tan x
3
13, 2 3 sin x =
2 sin x 1
15, 8cos4xcos22x + 1 cos 3 x + 1 = 0

cos

4x
cos 2 x
3
=0
1 tan 2 x

sin 2 x 2 sin x + 2 = 2 sin x 1
sin 2 2 x + cos 4 2 x 1

=0
sin x cos x
16, sin x + sin x + sin 2 x + cos x = 1
18, cos2x = cos2x 1 + tan x
14,

17,

5 3 sin 2 x 4 cos x 1 = 1 2 cos x
Bài 2: Cho phơng trình: 1 + sin x + 1 sin x = m cos x (1)
a. Giải phơng trình khi m = 2.
a. Giải biện luận theo m phơng trình (1)
Bài 3: Cho f(x) = 3cos62x + sin22x + cos4x m = 0
a. Giải phơng trình f(x) = 0 khi m = 2.
b. Cho g(x) = 2cos22x 3 cos 2 2 x + 1 . Tìm m để phơng trình f(x) = g(x) có nghiệm.

Bài 4: Tìm m để phơng trình 1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x = m có nghiệm.
Dạng 2: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Bài toán 1: Giải những phơng trình sau:
1, cos 3x = 1 3 sin 3 x
2, 3sinx + 2 cos x 2 = 0
3, sinxcosx + sin x + cos x = 1

4, sin x cos x + 2 sin 2 x = 1

5, sin4x cos4x = sin x + cos x

6,

7, Tìm nghiệm thuộc ( 0;2 ) của phơng trình:

sin 3 x sin x
1 cos 2 x

8, sin x cos x = 1 4 sin 2 x
10, tan x = cot x +

1
cos x

1
1
1
1 + 3 cos 2 x
+
2= 2
sin x 1 cos x 1 + cos x
sin 2 x
14, 1 + cos x + 1 cos x = 4 sin x
cos x
3
3
16, cos 2 x + 1 + sin 2 x = sin x + cos x
2
12,

18, cos x + 2 sin 2 x cos 3 x = 1 + 2 sin x cos 2 x

3 sin2x 2cos2x = 2 2 + 2 cos 2 x

= sin 2 x + cos 2 x
9, 4sinx + 3 cos x = 3
11, cot x = tan x +

1
sin x

13, 2cosx - sin x = 1
15,

1 cos 2 x
1
= 2 (cos x )
sin x
2

17, cos x + sin 3 x = 0
19,

tan 2 x
1
= tan x + 1 +
tan x 1
tan x 1

20, sin x cos x + sin x + cos x = 2
Bài 2: Cho phơng trình: sin6x + cos6x = m sin 2 x . Tìm m để phơng trình có nghiệm.

Bài 3: Cho phơng trình: cos2x = mcos2x 1 + tan x . Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc 0; .
3
Bài 4: Cho phơng trình: sin x + cos x + m sin 2 x = 1 . Tìm m > 0 để phơng trình có nghiệm.
Bài 5: Cho phơng trình: sin x cos x + 4 sin 2 x = m .
a. Giải phơng trình khi m = 0
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm.

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

15


Bài tập tổng hợp:

Bài toán 1: Giải những phơng trình sau:
cos 3 x sin 3 x

= 2 cos 2 x

1,

(1 + cos x) tan x tan x sin x = 2 cos x tan x

2,

3,

1 sin 2 x + 1 + sin 2 x
= 4 cos x
sin x

4, cos4x sin4x = cos x + sin x

5 3 sin 2 x 4 cos x = 1 2 cos x

sin 3 x sin x
= cos 2 x + sin 2 x

6, 1 cos 2 x

0 < x < 2


5,

1
1
1
1 + 3 cos 2 x
+
2 = 2
sin x 1 cos x 1 + cos x
sin 2 x
9, 3 sin 2 x cos 2 x = 2 2 + 2 cos 2 x
11, 4sinx + 3 cos x = 3
7,

13,

cos 2 x + 1 + sin 2 x = 2 sin x + cos x

1 + cos 2 x + 1 cos 2 x
= 2 sin x
cos x
1
1
+
=2 2
17,
cos x sin x

15,

19,

1 sin 2 x + 1 + sin 2 x
= 4 cos x
sin x

cos 3 x + sin 3 x
cos 2 x + 1 + sin 2 x =
2
23, sin x cos x + sin x + cos x = 2
21,

25,

5 sin x + cos 2 x + 2 cos x = 0
tan 2 x
1
= tan x + 1 +
27,
tan x 1
tan x 1
29, cos 3x = 1 3 sin 3 x

cos x + sin x


)
4

10, cos 2 x + 1 sin 2 x = 2 sin x cos x
12, 4sinx + 3 cos x = 4
8, 1 + 8 sin 2 x cos 2 2 x = 2 sin(3x +

1 cos 2 x
1
= 2 (cos x )
sin x
2

14,

16, 1 + sin x + cos x = 0

(

)

18, 1 cos x + cos x cos 2 x =
20,

sin 2 2 x + cos 4 2 x 1
sin x cos x

1
sin 4 x
4

=0

22, cosxsinx + cos x + sin x = 1
24,

5 cos x cos 2 x + 2 sin x = 0
26, 8cos4xcos22x + 1 cos 3 x + 1 = 0
28, 3sinx + 2 cos x 2 = 0
30, tan x = cot x +

1
cos x

Bài 2: Cho phơng trình: 3cos2x + 2 sin x = m .
a. Giải phơng trình với m = 2


b. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất thuộc ;
4 4
Bài 3: Tìm m để phơng trình có nghiệm: 1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x = m
Bài 4: Cho phơng trình: sin x cos x + 4 sin 2 x = m .
a. Giải phơng trình khi m = 0
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm.

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

16


Phần vii: Phơng trình có cách giải bằng phơng pháp nhận xét:
Dạng 1: Tổng hai số không âm: A, B 0 và A + B = 0 thì A = B = 0
Bài 1: Giải những phơng trình sau:

1, 4cos2x + 3tan2x - 4 3 cos x + 2 3 tan x + 4 = 0
2, 8cos4xcos22x + 1 cos 3 x + 1 = 0
2
3, sin2x + sin 3x (cos 3 x sin 3 x + sin 3x cos 3 x) = sin x sin 2 3x
3 sin 4 x
Dạng 2: Phơng pháp đối lập: Nếu A M B và A = B thì A = M = B
Bài 2: Giải những phơng trình sau:
1, sin4x cos4x = sin x + cos x
2, (cos2x cos4x)2 = 6 + 2sin3x
3,

cos 3 x sin 3 x
sin x + cos x

5, cos3x +

= 2 cos 2 x

4,

2 cos 2 3 x = 2(1 + sin 2 2 x )

3 cos x cos x + 1 = 2

6, tan2x + cot2x = 2sin5(x +


)
4

Dạng 3: Nếu A M và B N và A + B = M + N thì A = M và B = N
Bài 3: Giải những phơng trình sau:
3x
1, cos2x + cos 2 = 0
2, 4cosx 2cos2x cos4x = 1
4
3, cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 2
4, cos23xcos2x cos2x = 0
5, cos2x -

3 sin2x -

3 sinx cosx + 4 = 0

Dạng 4: Phơng pháp dùng hàm số:
Bài 4: Giải những phơng trình sau:
2
1, 1 - x = cos x
2
Một số bài toán tổng hợp:
1, sin4x + sin6x = sin8x + sin10x
3, sin4x cos4x = 1 + 4 2 sin(x 5, sin

x

= cos x


)
4

6, tan2x + tan3x +

1
=0
sin x cos 2 x cos 3 x

2, lg(sin2x) 1 + sin3x = 0
1
4, sin2x + sin33x = sinxsin23x
4
6, 2cosx + 2 sin10x = 3 2 + 2cos28xsinx

7, (cos4x cos2x)2 = 5 + sin3x
8, sinx + cosx = 2 ( 2 sin3x)
9,sin3x(cos2x 2sin3x) + cos3x(1 + sin2x 2cos3x) = 0 10, tanx + tan2x = -sin3xcos2x

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

17


13, cos13x + sin14x = 1
15, sinx + cosx = 2 (2 – cos3x)

 π
12, 2 sin x = cos x víi x ∈ 0; 
 2
14, cos2x – cos6x + 4(sin2x + 1) = 0
16, sin3x + cos3x = 2 – sin4x

17, cos2x – 4cosx – 2xsinx + x2 + 3 = 0

18, 2 sin x + sin x = sin 2 x + cos x

19, 3cot2x + 4cos2x - 2 3 cotx – 4cosx + 2 = 0

20, cos 3x = 1 − 3 sin 3 x

x
x
11, 2 log cot
= log cos
2
2

21,

1
= sin x
8 cos 2 x

22, 1 − sin x + 1 − cos x = 1

1
sin 3 x + 1 + cos x
3
25, sin3x(cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 0
27, tanx – tan2x = sinx
29, 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1

1
1
y
31, sin 4 x + cos 4 x +
+
= 8 + sin
4
4
2
sin x cos x
33, cos2x - 3 sin2x - 3 sinx – cosx + 4 = 0
35, cos2x + sin5x + cos2x + sin2x = 2 + 2

1
(cos3x + sin5x)sin2x = 0
2
26, sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx)
28, 4sin22x + sin26x – 4sin2xsin26x = 0
30, sin x + sin x + sin 2 x + cos x = 1
3
32, cos2x + cos2y + cos2(x – y) =
4
34, cosx – sinx = 2 (2 + sin3x)
2
2
36, 8 sin x + 8 cos x = 10 + cos 2 y

23, cos3xsin2x – cos4xsinx =

24, cos5x + sin7x +

37, cos24x + cos28x = sin212x + sin216x + 2

38, tan2x + tan3x +

39, sin4x – cos4x = 1 + 4 2 sin(x -

π
)
4

41, sin2010x + cos2010x = 1
x
x
π x
43, sin sin x − cos sin 2 x + 1 = 2 cos 2 ( − )
2
2
4 2

1
=0
sin x cos 2 x cos 3 x

40, 1 + 3cosx + cos2x = cos3x + 2sinxsin2x
42, tan2x + tan2y + cot2(x + y) = 1

Gi¸o viªn: NguyÔn ViÕt S¸ng – tuyÓn tËp lîng gi¸c 11.

18

Phần viii: hệ Phơng trình lợng giác
Dạng 1: Giải bằng phơng pháp thế:
2 cos x 1 = 0

1,
3
sin 2 x =
2

sin x + sin y = 2
3,
cos x + cos y = 2
cos 3 x cos x + sin y = 0
5, 3
sin x sin y + cos x = 0
Dạng 2: Giải bằng phơng pháp cộng:
1

sin x cos y =
1,
2
tan x cot y = 1
Dạng 3: Giải bằng phơng pháp đặt ẩn phụ:
Bài 1: Giải những hệ sau:

2 3
tan x + tan y =

3
1,
cot x + cot y = 2 3

3
1

sin x + sin y =
Bài 2: Cho hệ phơng trình:
2
cos 2 x + cos 2 y = m

1
2
b. Tìm m để hệ có nghiệm
sin 2 x + m tan y = m
Bài 3: Cho hệ phơng trình: 2
tan y + m sin x = m
a. Giải hệ khi m = -1
b. Với giá trị nào của m thì hệ đã cho có nghiệm.
Một số bài toán giải hệ tổng hợp:
Bài 1: Giải những hệ phơng trình sau:


tan x + cot x = 2 sin( y + 4 )
1,
tan y + cot y = 2 sin( x )

4
sin x + sin y = 2

3, 2
2
sin x + sin y = 2

sin x + sin y = 1

2,

x + y = 3
tan x tan y tan x tan y = 1
4,
cos 2 y + 3 cos 2 x = 1

2,

2,

a. Giải hệ khi m =

x y = m
2,
2
2(cos 2 x + cos 2 y ) 1 4 cos m = 0
tan x + tan y + tan x tan y = 1
4,
3 sin 2 y 2 = cos 4 x

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

19

1

sin x sin y = 2
5,
cos x cos y = 1

2
2 cos x = 1 + cos y
7,
2 sin x = sin y
1

sin x cos y =
9,
4
3 tan x = tan y
sin 2 x = cos x cos y
11, 2
cos x = sin x sin y
tan x tan y = 1 + tan x tan y
13,
cos 2 y + 3 cos 2 x = 1


3
sin x sin 2 y =
2
6,

1
cos x + cos 2 y =

2
cos( x + y ) = 2 cos( x y )

8,
3
cos x cos y = 4
sin x = 7 cos y
10,
5 sin y = cos x 6
tan x + tan y = 1

12,
x
y
tan 2 + tan 2 = 2
3

sin x + sin y = 2
14,
sin 2 x + sin 2 y = 5

4

sin x + sin y = 2
15,
cos x + cos y = 2

cos 3 x cos x + sin y = 0
16, 3
sin y sin y + cos y = 0

sin x + sin y = 1

17,

x + y = 3



2 x 3 y = 3
18,
sin 2 x cos 3 y = 3

4



2 5x
1 + (sin x cos x) sin = 2 cos
19,
4
2
sin 6 x < 0
cos x cos y = m + 1
Bài 2: Cho hệ phơng trình:
2
sin x sin y = 4m + 2m

1
a. Giải hệ phơng trình khi m =
.
4
b. Tìm m để m có nghiệm.
y 2 + tan 2 x = 1
Bài 3: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất:
2
y + 1 = mx + m + sin x
sin x cos y = m 2
Bài 4: Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm:
sin y cos x = m

sin x + m cos x = 1
Bài 5: Cho hệ phơng trình:
m sin x + cos x = 1
a. Giải hệ khi m = - 3 .
b. Tìm m để (1) có nghiệm và mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2).

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

20


sin 2 x + k tan y = k
Bài 6: Cho hệ phơng trình: 2
tan y + k sin x = k
a. Giải hệ phơng trình với k = 1.
b. Tìm k để hệ phơng trình có nghiệm.
mx 2 + sin 2 x + m = y + 1

Bài 7: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất:
2
tan 6 x + 2 y = 2
1

sin x + sin y =
Bài 8: Cho hệ phơng trình:
2
cos 2 x + cos 2 y = m
1
a. Giải hệ phơng trình khi m =
.
2
b. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm.
m sin x + (m + 1) cos x + 1 = 0
Bài 9: Cho hệ phơng trình:
0 x 2
a. Tìm m để hệ không có quá hai nghiệm.

b. Tìm m để hệ có hai nghiệm cách nhau .
2
2
sin x + m tan y = m
Bài 10: Cho hệ phơng trình: 2
. Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
tan y + m sin x = m
1
2
2
sin x + cos y = m + 2

Bài 11: Cho hệ phơng trình:
x + y =

4
a. Giải hệ với m = 0
b. Tìm m để hệ có nghiệm.
Bài 12:

Giáo viên: Nguyễn Viết Sáng tuyển tập lợng giác 11.

21