Phép biến đổi sine và cosine fourier hữu hạn

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cám ơn TS Nguyễn Văn Hào, người đã trực tiếp
hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Với những lời chỉ dẫn, những tài liệu,
sự tận tình hướng dẫn và những lời động viên của thầy đã giúp tôi vượt
qua nhiều khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin cám ơn quý thầy cô giảng dạy chương trình cao học “Toán
giải tích” đã truyền dạy những kiến thức quý báu, những kiến thức này
rất hữu ích và giúp tôi nhiều khi thực hiện nghiên cứu.
Xin cám ơn các Quý thầy, cô công tác tại Thư viện Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình tìm tài
liệu.
Xin gửi lời cảm ơn các anh chị lớp Toán giải tích K15 đã giúp đỡ tôi rất
nhiều trong quá trình học tập.
Tôi xin chân thành cám ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 08 năm 2013
Học viên

Nguyễn Hồng Việt

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này với đề tài “Phép biến đổi sine và cosine
Fourier hữu hạn” là công trình nghiên cứu của bản thân tôi.
Trong quá trình hoàn thành Luận văn, tôi đã kế thừa các thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Học viên

Nguyễn Hồng Việt

ii


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Lý thuyết cơ bản về chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Khai triển Fourier của hàm có chu kì 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3. Chuỗi Fourier của hàm chẵn, lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4. Chuỗi Fourier của hàm có chu kì khác 2π . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.5. Chuỗi Fourier của hàm xác định trên đoạn [a, b] . . . . . . . . . . .

7

1.1.6. Đạo hàm và tính hội tụ của chuỗi Fouier . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.7. Dạng phức của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2. Tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.2. Dạng khác của công thức Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

iii


1.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier
25
1.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Chương 2. Phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn . .

31

2.1. Khái niệm về phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn . . .

31

2.2. Tính chất cơ bản của phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn
34
Chương 3. Một số ứng dụng của phép biến đổi sine và cosine
Fourier hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.1. Vấn đề truyền nhiệt trong một miền hữu hạn với các dữ liệu Dirichlet
ở biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.2. Chuyển dịch ngang của một thanh đàn hồi có chiều dài hữu hạn . .
45
3.3. Biến đổi Fourier hữu hạn của hàm hai biến và áp dụng . . . . . . .

47

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

iv

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài. Phép biến đổi Fourier là công cụ giải tích hiệu
lực trong nhiều lĩnh vực như; lý thuyết xác suất, quang học, phân tích tín
hiệu, kỹ thuật máy tính hiện đại,. . . . Tuy nhiên, phép biến đổi này còn
một số hạn chế nhất định trong việc giải quyết một số bài toán Vật lý.
Chẳng hạn như bài toán liên quan đến sự truyền nhiệt trong một miền hữu
hạn, chuyển vị ngang của một chùm tia đàn hồi có chiều dài hữu hạn,. . . .
Để giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực này, nhiều nhà toán học đã
nghiên cứu và đưa ra một phép biến đổi khắch phục điều đó, được gọi
là “ Phép biến đổi sine và cosine hữu hạn”. Người đầu tiên đề xuất phép
biến đổi này là nhà toán học người Đức Gustav Doetsch (1892-1977) đăng
tải trong công trình “Integration von Differentialgleichungen vermittels der
endlichen Fourier Transformation”. Sau đó, phép biến đổi này được phát
triển và tổng quát hóa bởi nhiều tác giả như Kneitz [4] , Roettinger [5] và
Brown [2].
Với ý nghĩa và tầm quan trọng của phép biến đổi Fourier hữu hạn của
hàm sine và cosine trong việc giải quyết một số bài toán Vật lý cùng với
sự định hướng của thầy hướng dẫn, em chọn đề tài
PHÉP BIẾN ĐỔI SINE VÀ COSINE FOURIER HỮU HẠN
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn và
ứng dụng của nó trong giải một số bài toán Vật lý.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

1


Trình bày lý thuyết cơ bản về chuỗi Fourier.

Trình bày hệ thống phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn.
Trình bày ứng dụng của phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn và ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Trình bày hệ thống về lý thuyết của phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu
hạn.
Giới thiệu một số ứng dụng cơ bản của phép biến đổi sine, cosine Fourier
hữu hạn trong một số bài toán Vật lý.

2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Lý thuyết cơ bản về chuỗi Fourier
1.1.1. Một số khái niệm
Hàm tuần hoàn. Cho hàm số ϕ (t) xác định trên R, ϕ (t) được gọi là
hàm tuần hoàn trên R, nếu ∃T > 0 nhỏ nhất sao cho

ϕ (t + T ) = ϕ (t) .
Hàm điều hòa. Xét hàm số

ϕ (t) = A0 + A1 sin (ωt + α1 ) + A2 sin (2ωt + α2 ) + ...
∞

= A0 +

An sin (nωt + αn );

(1.1.1)

n=1

trong đó, A0 , A1 , ..., α1 , α2 , ... là các hằng số có giá trị đặc biệt đối với mỗi
2π
hàm như trên, ω =
gọi là thành phần điều hòa của hàm ϕ (t).
T
2πt
Nếu ta chọn biến độc lập x = ωt =
thì ta thu được hàm đối với x,
T
x
f (x) = ϕ
ω

3


cũng là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π . Khi đó khai triển công thức
(1.1.1) có dạng

f (x) = A0 + A1 sin (x + α1 ) + A2 sin (2x + α2 ) + ...
∞

= A0 +

An sin (nt + αn )

(1.1.2)

n=1

Khai triển các số hạng chuỗi (1.1.2) theo công thức sine của tổng và đặt

a0 = A0 , an = An sin αn , bn = An cosαn ; n = 1, 2, ...
Khi đó ta có được

f (x) = a0 + (a1 cos x + b1 sin x) + (a2 cos 2x + b2 sin 2x) + ...
∞

= a0 +

(an cos nx + bn sin nx)

(1.1.3)

n=1

Hàm tuần hoàn f (x) có chu kỳ T = 2π được khai triển theo công thức
(1.1.3) được gọi là hàm điều hòa.
Chuỗi lượng giác. Chuỗi lượng giác là chuỗi có dạng
∞

a0

+
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1

(1.1.4)

trong đó a0 , a1 , b1 , a2 , b2 .... là các hằng số.

1.1.2. Khai triển Fourier của hàm có chu kì 2π
Cho hàm f (x) xác định trên R, có chu kỳ 2π . Bằng phép đổi biến t = x−a,
ta nhận được
a+π

π

f (t)dt, (∀a ∈ R)

f (x)dx =
a−π

−π

4


Định nghĩa 1.1.1. Ta nói f (x) khai triển được thành chuỗi lượng giác
nếu có thể viết
∞

a0
f (x) =
+
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1

(1.1.5)

với mọi x ∈ R.
Giả sử f (x) được khai triển thành chuỗi lượng giác. Nếu có thể tích phân
từng số hạng thì ta có
π

π

∞

a0
dx +
2
n=1

f (x) dx =
−π

−π

a0
= x

2

∞

π

+
−π

n=1

π

(an cos nx + bn sin nx) dx
−π

an
sin nx
n

Do đó, ta nhận được

bn
−
cos nx
n
−π
π

π

= πa0
−π

π

1
a0 =
π

f (x) dx

(1.1.6)

−π
π

π

cos2 nxdx = an π

f (x) cos nxdx = an
−π

−π
π

1
⇒ an =
π

f (x) cos nxdx

(1.1.7)

−π
π

π

f (x) sin nxdx = bn

sin2 nxdx = bn π

−π

−π
π

1
⇒ bn =
π

f (x) sin nxdx
−π

với n = 1, 2, ....

5

(1.1.8)


Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm f (x) là một hàm tuần hoàn với chu kì 2π .
Khi đó ta gọi chuỗi Fourier của f (x) là chuỗi
∞

a0
S (x) =
+
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
trong đó các hệ số được xác định như trong các công thức (1.1.6) - (1.1.8).

1.1.3. Chuỗi Fourier của hàm chẵn, lẻ
Cho hàm f (x) là một hàm tuần hoàn với chu kì 2π . Ta thấy
π

1
an =
π

f (x) cos nxdx = 0, nếu f (x) là hàm lẻ

(1.1.9)

f (x) sin nxdx = 0, nếu f (x) là hàm chẵn

(1.1.10)

−π
π

1
bn =
π
−π

Vậy nếu f (x) là hàm lẻ thì chuỗi Fourier có dạng
π

∞

1
f (x) =
bn sin nx; bn =
π
n=1

f (x) cos nxdx

(1.1.11)

−π

Vậy nếu f (x) là hàm chẵn thì
π

∞

a0
1
f (x) =
+
an cos nx; an =
2
π
n=1

f (x) sin nxdx

(1.1.12)

−π

1.1.4. Chuỗi Fourier của hàm có chu kì khác 2π
Giả sử f (x) là hàm tuần hoàn có chu kì 2L = 2π . Xét phép đổi biến
tL
tL
πx
⇔ x = . Khi đó hàm g (t) = f
có chu kì 2π . Vậy chuỗi
t=
L
π
π
Fourier của g (t) sẽ là
π

1
a0 =
π

g (t) dt
−π

6

(1.1.13)


π

1
an =
π

g (t) cos ntdt

(1.1.14)

g (t) sin ntdt

(1.1.15)

−π
π

1

bn =
π
−π

Trở lại biến xuất phát ta có
∞

πx
πx
a0
+
an cos n
+ bn sin n
S (x) =
2
L
L
n=1

(1.1.16)

L

1
a0 =
π

f (x) dx

(1.1.17)

−L
L

1
an =
L

f (x) cos

nπx
dx
L

(1.1.18)

f (x) sin

nπx
dx
L

(1.1.19)

−L
L

1
bn =
L

−L

1.1.5. Chuỗi Fourier của hàm xác định trên đoạn [a, b]
Giả sử a = 0. Khi đó có thể xét chuỗi Fourier của f (x) theo các cách sau

(i). Mở rộng f (x) thành hàm xác định trên toàn trục số tuần hoàn với chu
kì b. Thu hẹp chuỗi trên trên đoạn [0, b], ta có chuỗi Fourier của f (x).

(ii). Mở rộng hàm f (x) thành f¯(x) trên [−b, b] sau đó xét chuỗi Fourier
của f¯(x) theo cách (i).
- Nếu đặt f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ [ − b, 0], thì f¯(x) là hàm chẵn nên
chuỗi có dạng

∞

nπx
a0
S (x) =
+
an cos
2
b
n=1
7

(1.1.20)


- Nếu đặt f¯(x) = −f (x) với mọi x ∈ [ − b, 0], thì f¯(x) là hàm lẻ nên chuỗi
có dạng

∞

a0
nπx
S (x) =
+
bn sin
2
b
n=1

(1.1.21)

1.1.6. Đạo hàm và tính hội tụ của chuỗi Fouier
Nhận thấy rằng không phải khi nào chuỗi Fourier của một hàm cũng hội
tụ đến chính hàm đó, cho nên ta sẽ dùng biểu thức
∞

a0
f (x) ≈
+
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1

(1.1.22)

để biểu thị rằng hàm f có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải.
Mệnh đề 1.1.1. Cho hàm f liên tục trên đoạn [−π, π] với f (−π) = f (π)

và có khai triển Fourier là
∞

a0
+
(an cos nx + bn sin nx)
f (x) ≈
2
n=1
Nếu hàm f là khả vi từng khúc trên đoạn [−π, π] thì chuỗi Fourier f bằng
chuỗi của đạo hàm các số hạng trong chuỗi Fourier hàm f , nghĩa là
∞

f (x) ≈

(−nan sin nx + nbn cos nx)

(1.1.23)

n=1

Chứng minh. Giả sử f có chuỗi Fourier là
∞

α0
+
(αn cos nx + βn sin nx)
f (x) ≈
2
n=1

Trong đó theo định nghĩa, ta có
π

1
α0 =
π

f (t) dt =

1
[f (π) − f (−π)] = 0
π

−π

8

(1.1.24)


π

1
αn =
π

f (t) cos (nt) dt

(1.1.25)

−π
π

n
= f (t) cos (nt)|π−π +
π

f (t) sin (nt) dt = 0 + n.bn = n.bn

(1.1.26)

−π

βn =

1
π

π

f (t) sin (nt) dt
−π
π

=f

(t) sin (nt)|π−π

n
−

π

f (t) cos (nt) dt = 0 − n.an = −n.an (1.1.27)
−π

Mệnh đề được chứng minh.
Bổ đề 1.1.1. Cho hàm f là khả vi liên tục đến cấp k − 1 và khả vi từng
khúc ở cấp k (k ≥ 1) , ngoài ra f (i) (−π) = f (i) (π) , với i = 1, ..., k − 1.
Khi đó các hệ số Fourier của f thỏa mãn

|an | ≤
∞

với các εn > 0 sao cho
n=1

εn
εn
,
|b
|
≤
, n = 1, 2, ...,
n
nk
nk
ε2n < ∞.

Chứng minh. Sử dụng định lý trên k lần liên tiếp ta thu được
∞

f

(k)

(x) ≈

(αn cos nx + βn sin nx)

(1.1.28)

n=1

Trong đó, phụ thuộc vào k chẵn hay lẻ, ta có hoặc là

αn = ±nk an , βn = ±nk bn , hoặc là αn = ±nk bn , βn = ±nk an .
Đặt εn =

αn2 + βn2 và áp dụng bất đẳng thức Bessel cho hàm f (k) (x) ta
∞

suy ra chuỗi
n=1

ε2n là hội tụ. Ngoài ra
|αn | =

αn2 + βn2
εn
=

nk
nk

|αn |
≤
nk
9

(1.1.29)


Bằng cách tương tự ta cũng nhận được việc đánh giá đối với bn . Bổ đề
được chứng minh.
Định lý 1.1.1. Cho hàm f là khả vi liên tục đến cấp k − 1 và khả vi từng
khúc ở cấp k , (k ≥ 1), ngoài ra f (i) (−π) = f (i) (π) , với i = 1, ..., k − 1.
Khi đó chuỗi Fourier của f hội tụ đều đến hàm f trên đoạn [−π; π], và
ngoài ra

|f (x) − Sn (x; f )| ≤

ηn
1
nk− 2

(1.1.30)

trong đó ηn là dãy số hội tụ đến 0 và Sn (x; f ) là tổng riêng Fourier bậc n
của hàm.
Chứng minh. Giả sử
∞

a0
+
f (x) ≈
(am cos mx + bm sin mx)
2 m=1

(1.1.31)

n

a0
+
(am cos mx + bm sin mx)
Sn (x; f ) =
2 m=1

(1.1.32)

∞
εm
εm
,
|b
|
≤
,
m
=
1,

2,
...,
và
chuỗi
ε2m là
m
mk
mk
m=1
hội tụ. Ta đánh giá phần dư của chuỗi so với tổng Fourier như sau

Theo bổ đề ta có |am | ≤

∞

|rn (x)| =

∞

(am cos mx + bm sin mx) ≤
m=n+1

(|am | + |bm |)
m=n+1

∞

≤2

εm

= An
k
m
m=n+1

(1.1.33)

Từ bất đẳng thức Cauchy- Schwats ta có
∞

1
An = 2
εm k ≤ 2
m
m=n+1

∞

∞

ε2m
m=n+1

10

1
m2k
m=n+1

(1.1.34)

∞

Để ý rằng γn =
m=n+1
∞

ε2m tiến tới 0 khi n → ∞, và
∞

m

∞

1
≤
2k
m
m=n+1
k=n+1

dx
≤
x2k

(1.1.35)

n

m−1

Cho nên, với ηn = √

dx
1
=
x2k
(2k − 1) n2k−1

2
√
γn ta có lim ηn = 0 và
n→∞
2k − 1

|rn (x)| ≤

ηn
1
1 = o
1
nk− 2
nk− 2

, n = 1, 2, ...

(1.1.36)

Với các điều kiện của định lý, chuỗi Fourier hội tụ điểm đến hàm f , cho nên

rn (x) cũng chính là độ lệch của hàm f so với tổng riêng Fourier Sn (x; f ).
Cách đánh giá trên cho thấy tính hội tụ đều và mọi khẳng định của định
lý được chứng minh.
Nhận xét. Định lý trên cho thấy rằng hàm càng trơn (có đạo hàm bậc
càng cao ) thì chuỗi Fourier của nó hội tụ (đến hàm đó) càng nhanh, và do
đó việc xấp xỉ nó bởi đa thức Fourier càng tỏ ra chính xác. Trong trường
hợp riêng, khi hàm liên tục tuần hoàn với chu kỳ 2π là trơn từng khúc thì
chuỗi Fourier của nó hội tụ đều đến chính nó.
Định lý 1.1.2. Nếu f là một hàm liên tục trên đoạn [−π; π] và có khai
triển Fourier là
∞

a0
f (x) ≈
+
(an cos nx + bn sin nx)
2
n=1
thì, với mỗi t ∈ [−π; π] , ta có
t

t

f (x)dx =
0

0

t

∞

a0 dx
+
2
n=1

(an cos nx + bn sin nx) dx
0

11


∞

bn
a0 t
an
+
sin nt + (1 − cos nt)
=
2
n
n
n=1

(1.1.37)

và chuỗi vế phải hội tụ đều.

Chứng minh. Xét hàm số
t

f (x) −

F (t) =

a0
dx
2

(1.1.38)

0

Ta nhận thấy, nó là hàm khả vi liên tục trên đoạn [−π, π] và thỏa mãn
điều kiện F (−π) = F (π), cho nên theo nhận xét từ định lý trên ta suy
ra chuỗi Fourier của F hội tụ đều tới F , nghĩa là
∞

A0
F (t) =
+
(An cos nt + Bn sin nt)
2
n=1
trong đó, với n = 1, 2, ... ta có
π

An =

1
π

F (t) cos (nt) dt =

1
sin (nt)
F (t)
π
n

−π

π

π

−
−π

1
nπ

F (t) sin (nt) dt
−π

π

1

=0−
nπ

f (t) −

a0
bn
sin (nt) dt = − ,
2
n

(1.1.39)

−π

an
.
n
Riêng A0 được tính nhờ công thức khai triển với nhận xét F (0) = 0, do

Tương tự, ta có Bn =

đó

∞

∞

A0 = −

An =
n=1

n=1

bn
n

Như vậy
∞

F (t) =
n=1

∞

bn
an
bn
+
sin nt − cos nt
n n=1 n
n
12

(1.1.40)


∞

=
n=1

bn
an
sin nt + (1 − cos nt)
n
n

(1.1.41)

Suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét. Việc xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kì 2 tùy ý
được quy về xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kì 2π nhờ phép
πx
biến đổi t =
, chuyển đoạn [− , ] thành đoạn [−π, π].

1.1.7. Dạng phức của chuỗi Fourier
Sử dụng công thức biểu diễn hàm lượng giác thông qua số phức

cos nx =

1 nxi
i −nxi
e + e−nxi và sin nx =
e
− enxi
2
2

(1.1.42)

Ta có thể viết lại khai triển Fourier dưới dạng
∞

a0
1
1
f (x) ≈
+
(an − bn i) enxi + (an + bn i) e−nxi
2
2
2
n=1

(1.1.43)

Đặt

c0 =

1
1
a0
, cn = (an − bn i) , c−n = c¯n = (an + bn i) ,
2
2
2

ta có

∞

cn einx .

f (x) ≈

(1.1.44)

n=−∞

Lưu ý rằng cos α ± i sin α = e±iα , ta có
π

1
1
cn = (an − bn t) =
2
2π

f (x) (cos nx − i sin nx) dx
−π
π

1
=
2π

f (x) e−inx dx
−π

13

(1.1.45)


π

c−n

1
1
= (an + bn t) =
2
2π

f (x) (cos nx + i sin nx) dx
−π
π

1
=
2π

f (x) einx dx

(1.1.46)

−π

Do vậy, công thức trên có thể viết lại thành
π

∞

1
einx
f (x) ≈
2π n=−∞

f (s) e−ins ds

(1.1.47)

−π

Công thức này được gọi là dạng phức của chuỗi Fourier.
Trong công thức trên, cũng như các công thức sau này, ta hiểu tích phân
của một hàm nhận giá trị phức w (x) = u (x) + iv (x), với u, v là các hàm
số thực, được định nghĩa một cách tự nhiên là
π

π

w (x) dx =
−π

π

u (x) dx + i
−π

v (x) dx.

(1.1.48)

−π

Nếu u, v là những hàm khả tích tuyệt đối thì ta nói w là khả tích tuyệt
đối. Tích phân suy rộng của hàm phức với biến số thực được định nghĩa
hoàn toàn tương tự.

1.2. Tích phân Fourier
1.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier
Cho hàm số f khả tích tuyệt đối trên hàm số thực. Nếu, một cách hình
thức, ta thay việc tính tổng các số hạng theo chỉ số n bằng việc lấy tích
phân theo một tham số y , thì chuỗi Fourier sẽ được thay bằng tích phân

14


sau đây (gọi là tích phân Fourier của hàm f )
∞

[a(y) cos(yx) + b(y) sin(yx)] dy

(1.2.49)

0

trong đó
∞

1
a(y) =
π

∞

1
f (t) cos(yt)dt, b(y) =
π
−∞

f (t) sin(yt)dt.

(1.2.50)

−∞

Dễ dàng thấy rằng
∞

[a(y) cos(yx) + b(y) sin(yx)]dy
0
∞

1

=
π

∞

f (t) [cos(ty) cos(xy) − sin(ty) sin(xy)] dt

dy
0

−∞

∞

1
=
π

∞

dy
0

f (t) cos [y(x − t)] dt.

(1.2.51)

−∞

Tương tự như đã thấy rằng tổng chuỗi Fourier của một hàm sẽ cho giá trị

của chính hàm số (trong một số điều kiện nhất định), chúng ta sẽ chứng
minh rằng tích phân Fourier của một hàm số cũng cho một biểu diễn của
chính hàm số đó. Trước hết ta cần kết quả bổ trợ sau
Bổ đề 1.2.1. Nếu f là hàm khả tích tuyệt đối trên khoảng (a, b) , hữu hạn
hoặc vô hạn, thì
b

lim

b

f (x) cos (vx) dx = lim

v→∞

f (x) sin (vx) dx = 0

v→∞

a

a

15

(1.2.52)


Chứng minh. Tương tự chứng minh hệ số Fourier của hàm khả tích thì
tiến đến 0 khi n tiến ra vô cùng.

Định lý 1.2.1. Nếu hàm f liên tục từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn và
khả tích tuyệt đối trên toàn trục số. Nếu tại điểm x hàm số có đạo hàm
phải f+ (x)và đạo hàm trái f− (x) thì ta có

f (x + 0) + f (x − 0)
1
=
2
π

∞

∞

f (t) cos [y(x − t)] dt,

dy

(1.2.53)

−∞

0

trong đó f (x + 0), f (x − 0), theo thứ tự, là giới hạn phải, giới hạn trái của

f tại x.
Chứng minh. Với η > 0 ta xét tích phân
η

1
S(η) =
π

∞

dy
0

f (t) cos [y(x − t)]dt.

(1.2.54)

−∞

Rõ ràng tích phân Fourier của hàm f đúng bằng lim S(η). Với mỗi số
η→∞

ξ > 0, theo định lý về tích phân của tích phân phụ thuộc tham số, ta có
η

ξ

f (t) cos [y(x − t)]dy =

dy
0

ξ

−ξ

η

cos [y(x − t)]dy

f (t)dt
−ξ

0

ξ

=

f (t)

sin[η(x − t)]
dt
x−t

(1.2.55)

−ξ

(Bởi vì, do tính liên tục từng khúc của f , ta có thể phân chia hình hộp

−ξ ≤ t ≤ ξ , 0 ≤ y ≤ η thành một số hữu hạn các hộp nhỏ (bởi các đường
song song với trục Oy ) sao cho trên mỗi hộp con hàm là liên tục theo cả
2 biến đến tận biên, nếu tại biên ta lấy các giá trị giới hạn phải hoặc giới

16


hạn trái của hàm).
Lưu ý rằng |f (t) cos[y(x − t)]| ≤ |f (t)|, cho nên do tính khả tích tuyệt đối
của hàm f ta suy ra tính hội tụ đều theo tham số y trên đoạn [0, η] của
tích phân sau

∞

f (t) cos[y(x − t)]dt.

F (y) =

(1.2.56)

−∞

Như vậy, hàm số
ξ

f (t) cos[y(x − t)]dt.

F (y, ξ) =

(1.2.57)

−ξ

Hội tụ đều (trên đoạn [0, η] ) đến hàm F (y) khi ξ → ∞. Dễ dàng chứng
minh rằng hàm F (y, ξ) là liên tục theo y cho nên từ công thức (1.2.55),
bằng cách cho qua giới hạn dưới dấu tích phân ở vế trái, ta thu được
∞

1
S(η) =
π

f (t)

sin[η(x − t)]
dt
x−t

(1.2.58)

sin(ηu)
du
u

(1.2.59)

−∞

Đặt u = t − x, ta có
∞

1
S(η) =

π

f (u + x)
−∞

Bằng cách tách tích phân thành hai khúc
∞

=
−∞

∞

0

+
−∞

0

và trong khúc thứ nhất ta làm phép đổi biến u = −t thì ta sẽ thu được
∞

1
S(η) =
π

[f (x + t) + f (x − t)]
−∞

17

sin(ηt)
dt.
t

(1.2.60)


Theo tích phân Dirichlet, ta đã biết rằng
∞

sin(ηt)
π
dt = ,
t
2
0

với mọi η > 0 , cho nên
f (x + 0) + f (x − 0)
S(η) −
2
∞

1
=
π

sin(ηt)

f (x + 0) + f (x − 0)
[f (x + t) + f (x − t)]
dt −
t
π

0
∞

1
=
π

∞

sin ηt
dt
t
0

f (x + t) − f (x + 0)
1
sin(ηt)dt+
t
π

0

∞

f (x − t) − f (x − 0)
sin(ηt)dt
t

0

(1.2.61)
Rõ ràng định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng cả 2 tích phân ở
vế phải đều tiến tới 0 khi η → ∞ . Điều này được suy ra từ các nhận xét
sau:
Do sự tồn tại của các đạo hàm phải của hàm f tại thời điểm x mà hàm
f (x + t) − f (x + 0)
liên tục từng khúc (theo biến t) tại thời điểm 0 và do
t
đó nó là khả tích (tuyệt đối) trên đoạn [0, 1]. Do bổ đề ta có
1

lim

η→∞

f (x + t) − f (x + 0)
sin(ηt)dt = 0
t

(1.2.62)

0

f (x + t)

bị chặn bởi hàm khả tích |f (x + t)| cho
t
nên nó cũng khả tích, và do đó cũng theo bồ đề ta có
Trên miền t ≥ 1 hàm số

1

f (x + t)
sin(ηt)dt = 0
t

lim

η→∞
0

18


∞

sin x
dx hội tụ nên
x

vì
0

∞

∞

sin u
du = 0
u

f (x + 0)
sin(ηt)dt = f (x + 0) lim
η→∞
t

lim

η→∞

(1.2.63)

η

1

kết hợp lại ta suy ra điều cần chứng minh.
Nhận xét. Với các điều kiện của định lý, nếu hàm số f là liên tục tại x
thì tích phân Fourier tại thời điểm x có giá trị của chính hàm f .

1.2.2. Dạng khác của công thức Fourier.
Để việc trình bày được đơn giản hơn, trong phần còn lại ta luôn giải thiết
rằng f là hàm liên tục và thỏa mãn các điều kiện của định lý trên. Khi ấy,
theo nhận xét đã nêu, ta có công thức Fourier sau đây:
∞

1
f (x) =
π

∞

f (t) cos[y(x − t)dt.

dy

(1.2.64)

−∞

0

Do biểu thức dưới dấu tích phân theo dy là hàm chẵn theo y nên
∞

1
f (x) =
2π

∞

f (t) cos[y(x − t)dt

dy
−∞

(1.2.65)

−∞

Lưu ý rằng |f (t) sin[y(x − t)]| ≤ |f (t)| cho nên, theo dấu hiệu Weierstrass,
tích phân

∞

f (t) sin[y(x − t)dt
−∞

19


là hội tụ đều (theo y trên toàn trục số) và là hàm liên tục theo biến y . Vì
vậy, với η > 0, tích phân
η

∞

f (t) sin[y(x − t)]dt

dy
−η

−∞

tồn tại và do hàm số dưới dấu tích phân là lẻ theo y , tích phân này bằng

0. Tuy nhiên, điều này không đảm bảo cho sự tồn tại của tích phân suy
rộng

∞

∞

f (t) sin[y(x − t)]dt

dy
−∞

−∞

(vì nó không định nghĩa như giới hạn của tích phân với các cận đối xứng
qua gốc, mà là với các cận tùy ý). Chính vì lẽ này, người ta đưa ra khái
niệm giá trị chính của tích phân
∞

ϕ(x)dx
−∞

(với ϕ là hàm khả tích trên các đoạn hữu hạn bất kỳ) định nghĩa như sau
 ∞

η
∞

v.p.

ϕ(x)dx := v.p. 

−∞

ϕ(x)dx := lim

η→∞
−η

−∞

ϕ(x)dx

(1.2.66)

Một cách tương tự, người ta định nghĩa được giá trị chính của tích phân
suy rộng tại một điểm nào đó (chứ không nhất thiết tại ∞ như trên).
Rõ ràng, nếu tích phân hội tụ thì giá trị chính của tích phân và bản thân
tích phân là bằng nhau.
Thí dụ. Các tích phân suy rộng
∞

1

dx
x

xdx và
−∞

−1

20


là không hội tụ, nhưng giá trị chính của chúng vẫn tồn tại và bằng 0.
Trở lại với tích phân Fourier ta có
∞

v.p.

f (t) sin[y(x − t)]dt = 0

dy

−∞

Nhân tích này với

∞

−∞

i
và cộng với (1.2.64) ta suy ra
2π
∞

1

f (x) = v.p.
2π

∞

f (t)eiy(x−t)dt

dy
−∞

−∞

Đây chính là một dạng khác của công thức thích phân Fourier

1.3. Biến đổi Fourier
1.3.1. Định nghĩa
Nếu ta đặt

∞

1
Φ(y) = √
2π

f (t)e−iyt dt

(1.3.67)

−∞

thì dạng nói trên của công thức tích phân trở thành
∞

1
f (x) = v.p. √
2π

Φ(y)eixy dy

(1.3.68)

−∞

người ta gọi phép ứng mỗi hàm f với hàm số
∞

1
f (y) = Φ(y) = v.p. √
2π

f (t)e−iyt dt
−∞

là phép biến đổi Fourier và thường được ký hiệu là F . Nghĩa là

fˆ = F [f ] = Φ
21

(1.3.69)