tóm tắt lý thuyết toán 11

Lý thuyết Toán 11
I/KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I./CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1.CÔNG THỨC CỘNG
2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos2a = cos2a – sin2a
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
= 2cos2a –1
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
= 1 – 2sin2a
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
sin2a = 2.sina.cosa
tan(a + b) =
tan2a =
tan(a - b) =
1 + cos 2a
3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos2a =
2
sin2a =
4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2.cos .cos
cosa - cosb = -2.sin .sin
sina + sinb = 2.sin .cos
sina - sinb = 2.cos .sin

tan a + tan b =

sin(a + b)
cosacosb

sin(a − b)
cosacosb
5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)]
sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)]
tan a − tan b =

sin acosb=
cosasinb=

1
[ sin(a + b) + sin(a − b) ]
2

1
[ sin(a + b) − sin(a − b) ]
2

II/Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản :
•

sin 2 α + cos 2 α = 1

•

cot α =

•
•

cos α
( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z )
sin α
1
cot 2 α + 1 =
( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z )
sin 2 α
kπ
tan α cot α = 1 ( với ∀α ≠
,k ∈ Z )
2

Cung hơn kém k2π và kπ :
sin ( x + k 2π ) = sin x
•
•
•
•

tan ( x + kπ ) = tan x

Cung đối :

sin α
π
( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z )
cos α
2
1
π

2
* tan α + 1 =
( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z )
2
cos α
2
* tan α =

cos ( x + k 2π ) = cos x
cot ( x + kπ ) = cot x

sin ( − x ) = − sin x

cos ( − x ) = cos x

tan ( − x ) = − tan x

cot ( − x ) = − cot x

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 1 -)


Lý thuyết Toán 11
Cung bù :

sin ( π − x ) = sin x
•
•

tan ( π − x ) = − tan x

Cung phụ :
π
•
•


sin  − x ÷ = cos x
2

π

tan  − x ÷ = cot x
2


Cung hơn kém π/2 :
π

•
•

sin  + x ÷ = cos x
2


π

tan  + x ÷ = − cot x
2


Cung hơn kém π :
sin ( π + x ) = − sin x
•
•

tan ( π + x ) = tan x

cos ( π − x ) = − cos x
cot ( π − x ) = − cot x
π

cos  − x ÷ = sin x
2

π

cot  − x ÷ = tan x
2

π

cos  + x ÷ = − sin x
2


π

cot  + x ÷ = − tan x
2


cos ( π + x ) = − cos x

cot ( π + x ) = cot x

Công thức chia đôi :
•
•

x
1 − cos x
=±
2
2
x
1 − cos x 1 − cos x
tan = ±
=
2
1 + cos x
sin x

sin

cos

x
1 + cos x
=±
2
2

Công thức nhân ba :
•
•
•
•

sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x
cos3 x = 4cos 3 x − 3cos x
3tan x − tan 3 x 
π

tan 3 x =
 ∀x,3 x ≠ + kπ ÷
2
1 − 3tan x 
2

3
cot x − 3cot x
cot 3 x =
( ∀x,3 x ≠ kπ )
3cot 2 x − 1

Công thức hạ bậc :
•
•

1
( 1 − cos 2 x )
2
1 − cos 2 x 
π

tan 2 x =
 ∀x ≠ + kπ ÷
1 + cos 2 x 
2


sin 2 x =

GV : Phạm Hồng Phượng

1
( 1 + cos 2 x )
2
1 + cos 2 x
cot 2 x =
( ∀x ≠ kπ )
1 − sin 2 x

cos 2 x =

. ĐT : 0976.580.880

(

- 2 -)


Lý thuyết Tốn 11
•

sin 3 x =

3sin x − sin 3 x
4

Cơng thức theo t = tan
•

sin x =

6.BẢNG
r
a -π
d
đ
-180o
ộ

x

cos3 x =

x
:
2

2t
1+ t2

cos x =

1− t2
1+ t2

tan x =

3cos x + cos3 x
4

2t 
x π

∀x, ≠ + kπ ÷
2 
1− t 
2 2


GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT

-

-

-

-

-

-150o

-135o

-120o

-90o

-60o
-

sin

0

-

-

-

-1

cos
tan
cot

-1
0
||

-

1
1

-

0
||
0

-

-

-

0

-45o

-30o

0

-

-

0

1

-

1
0
||

0
||
0

-1
-1

π
30o

45o

60o

90o

1
1

120o

135o

150o

0
-

-1
-1

KIẾN THỨC CƠ BẢN
y = sinx
Tập
xác đònh
Tập
giá trò
Chu kỳ
Tính

y = cosx

y = tanx
π
+ kπ}
2

D=R

T = [– 1 ; 1 ]

T = [– 1 ; 1 ]

R

R

T = 2π
Lẻ

T = 2π
Chẵn

T=π
Lẻ

T=π
Lẻ

GV : Phạm Hồng Phượng

D=R\{

y = cotx

D=R

. ĐT : 0976.580.880

180o

D = R \ {kπ}

(

- 3 -)

-

-1
0
||


Lý thuyết Tốn 11
chẵn lẻ

Sự biến
thiên

Đồng biến trên:
 π

π
 − + k2 π ; + k2π ÷
2
 2

Nghòch biến trên:
π

3π
+ k2π ÷
 + k2π ;
2
2

x

Bảng
biến
thiên

y = sinx

–π

−

π

2

0

Đồng biến trên:
( −π + k2π ; k2π )
Nghòch biến trên:
( k2π ; π + k2π )

0

π
2
1

0

Đồng biến trên mỗi
khoảng:
 π

π
 − + kπ ; + kπ ÷
2
 2


π

x

0

y = tanx

–1
x

–π

π
2

π
2
+∞

–∞
0
1

π

x

y =cosx

0
+∞

π

y = cotx
–1

Đồ thò

−

Nghòch biến trên mỗi
khoảng: ( kπ ; π + kπ )

–1

–∞

a

a

y = sinx
……………………………………………………………………………….
y = cosx

y = tanx
…………………………………………………………………………………….
y = cotx

II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1.Phương trình sinx=a.( -1≤ a ≤ 1)

 x = arcsina+k2π
 x = α +k2π
sinx = a ⇔ 
; k ∈ Z +sinx = sinα ⇔ 
; k ∈ Z ( a = sinα)
 x = π − arcsina+k2π
 x = π − α +k2π
sinx = 0 ⇔ x = kπ; k ∈ Z
sinx = 1 ⇔ x = + k2π; k ∈ Z
sinx = -1 ⇔ x = -+ k2π; k ∈ Z
2.Phương trình cosx=a.( -1≤ a ≤ 1)

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 4 -)


Lý thuyết Toán 11
 x = arccosa+k2π
cosx = a ⇔ 
;k∈Z
 x = −arccosa+k2π
cosx = 0 ⇔ x = + kπ; k ∈ Z
cosx = 1 ⇔ x = k2π; k ∈ Z
cosx = -1 ⇔ x = π+ k2π; k ∈ Z
3.Phương trình tanx=a.

π

TXĐ: ¡ \  + kπ , k ∈ ¢ 
2

t
anx=a
⇔
x=arctana+k
π
,k ∈ ¢
+
π
tanx=1 ⇔ x= + kπ , k ∈ ¢
4
π
tanx=-1 ⇔ x=- + kπ , k ∈ ¢
4
t anx=0 ⇔ x=kπ , k ∈ ¢
4.Phương trình cotx=a.
TXĐ: ¡ \ { kπ , k ∈ ¢}

 x = α +k2π
+cosx = cosα ⇔ 
; k ∈ Z ( a = cosα)
 x = −α +k2π

+ tanx=tanα ⇔ x=α +kπ ,k ∈ ¢

+ co t x=a ⇔ x=arccota+kπ ,k ∈ ¢

π
cotx=1 ⇔ x= + kπ , k ∈ ¢
4
π
cotx=-1 ⇔ x=- + kπ , k ∈ ¢
4
π
co t x=0 ⇔ x= + kπ , k ∈ ¢
2

+ cotx=cotα ⇔ x=α +kπ ,k ∈ ¢

III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
1.Phương trình a.sinx+bcosx=c ( a 2 + b 2 ≠ 0 )
⇔

đặt:

a

s inx+

a +b
a

 cosα = 2
a + b2


b

sin α =

a 2 + b2
2

2

b
a +b
2

2

cosx=

phương trình trở thành: s inxcosα + cosx sin α =
⇔ sin( x + α ) =

c
a + b2
2

c
a 2 + b2

c
a + b2
2

*Chú ý

+Phương trình có nghiệm khi c 2 ≤ a 2 + b 2
+Nếu a.b ≠ 0, c = 0 thì: a sin x + b cos x = 0 ⇔ tan x = −

b
a

2.Phương trình : asin 2 x + b s inxcosx+ccos 2 x = 0 (1)
+Nếu a = 0: b s inxcosx+ccos 2 x = 0
cosx=0

⇔ cosx(bsinx+ccosx)=0 ⇔ 
 bsinx+ccosx=0

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 5 -)


Lý thuyết Toán 11
+Nếu c = 0: asin 2 x + b s inxcosx=0
sinx=0

⇔ sinx(asinx+bcosx)=0 ⇔ 
asinx+bcosx=0
2
sin x

s inxcosx
cos 2 x
+Nếu a ≠ 0, c ≠ 0, cos x ≠ 0 : (1) ⇔ a
+
b
+
c
=0
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
⇔ a tan 2 x + b t anx+c=0

IV /Các kết quả thường dùng :
•
•
•
•
•
•
•
•
•

π
π


sin x + cos x = 2 sin  x + ÷ = 2 cos  x − ÷
4

4


π
π


sin x − cos x = 2 sin  x − ÷ = − 2 cos  x + ÷
4
4


π

tan x + cot x = −2cot 2 x  ∀x ≠ k ÷
2

2 
π
tan x − cot x =
 ∀x ≠ k ÷
sin 2 x 
2
3 1
sin 4 x + cos 4 x = + cos 4 x
4 4
5 3
sin 6 x + cos 6 x = + cos 4 x
8 8
π x

1 + sin x = 2cos 2  − ÷
 4 2
π x 
1 − sin x = 2sin 2  − ÷
 4 2
π

2 cos  x − ÷
4

1 + tan x =
cos x

π

2 sin  − x ÷
4

1 − tan x =
cos x

V/ Các hằng đẳng thức trong tam giác :
•
•
•
•
•
•
•
•

•

A
B
C
cos cos
2
2
2
A
B
C
cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin sin sin
2
2
2
tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1
cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 − 2cos A cos B cos C
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2cos A cos B cos C
sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A sin B sin C
cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = −1 − 4cos A cos B cos C
A
B
C
A
B
C
cot + cot + cot = cot cot cot
2

2
2
2
2
2
sin A + sin B + sin C = 4cos

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 6 -)


Lý thuyết Toán 11
•

tan

A
B
B
C
C
A
tan + tan tan + tan tan = 1
2
2

2
2
2
2

VI/Các phương trình lượng giác thường gặp :
Các họ nghiệm cơ bản :
•

•

u = v + k 2π
sin u = sin v ⇔ 
u = π − v + k 2π
π

v ≠ + lπ
tan u = tan v ⇔ 
( ∀k , l ∈ ¢ )
2

u = v + kπ

u = v + k 2π
cos u = cos v ⇔ 
( ∀k ∈ ¢ )
u = −v + k 2π
v ≠ lπ
cot u = cot v ⇔ 
( ∀k , l ∈ ¢ )

u
=
v
+
k
π


1/Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác của u :
−b
( 1)
a
a sin u + b = 0
−b
cos u =
( 2)
a cos u + b = 0
a
;a ≠ 0 →
Có dạng:
a tan u + b = 0
−b
tan u =
( 3)
a
a cot u + b = 0
−b
cot u =
( 4)
a

sin u =

Đối với các phương trình (1) và (2) cần có thêm điều kiện
−b
−π π 
;α ∈
;
a
 2 2

−b
cos α =
;α ∈[ 0; π ]
a
−b
−π π 
tan α =
;α ∈
;
a
 2 2

−b
cot α =
; α ∈[ 0; π]
a

−b
≤1
a

sin α =

Chọn α sao cho

⇒ đưa về các họ nghiệm cơ bản để giải.

1.
2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác của u :
a sin 2 u + b sin u + c = 0
Có dạng:

a cos 2 u + b cos u + c = 0
a tan 2 u + b tan u + c = 0
a cot 2 u + b tan u + c = 0

sin u = t 
 t ≤1
cos u = t 
; a ≠ 0 . Đặt tan u = t
cot u = t

⇒ Phương trình bậc hai at2 + bt + c = 0
Giải phương trình tìm t (xét điều kiện nếu có) ⇒ các họ nghiệm cơ bản, giải tìm x
3. Các dạng khác :
Dạng của phương trình
Dạng 1 : Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối
với f(x),trong đó f(x) là một biểu thức lượng giác

GV : Phạm Hồng Phượng

Phương pháp giải
Đặt ẩn phụ t = f(x).

. ĐT : 0976.580.880

(

- 7 -)


Lý thuyết Toán 11
nào đó.
Cách 1 :
Biến đổi vế trái về dạng C sin ( x + α ) với

C = a 2 + b 2 ,α là số thực sao cho
Dạng 2 : Phương trình bậc nhất đối với sin x và
cos x .

cos α =

a
a2 + b2

và sin α =

b
a2 + b2

.

Cách 2 :
•

Tìm nghiệm thỏa cos

•

Với cos

x
=0.
2

x
x
≠ 0 thì đặt t = tan ta có:
2
2
2
2t
1− t
sin x =
;
.Đưa
2 cos x =
1+ t
1+ t2

phương trình đã cho thành phương
trình bậc hai theo ẩn t.
Dạng 3 : Phương trình đối xứng với sin x và
cos x :
•
•

a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = 0
a ( sin x − cos x ) + b sin x cos x + c = 0

Đặt

π

t = sin x ± cos x = 2 sin  x ± ÷∈  − 2; 2 
4

2
 t −1
thì sin x cos x = ± 
÷
 2 

Cách 1 :
• Tìm nghiệm thỏa cos x = 0 .
• Với cos x ≠ 0 thì chia hai vế của
Dạng 4 : Phương trình thuần bậc hai đối với
phương trình cho cos 2 x dể đưa
sin x và cos x :
phương trình đã cho về dạng phương

2
2
trình bậc hai theo ẩn tan x .
a sin x + b sin x cos x + c cos x = 0
2
2
2
Cách 2 :
Với a + b + c ≠ 0
• Tìm nghiệm thỏa sin x = 0
• Với sin x ≠ 0 thì chia hai vế của
phương trình cho sin 2 x dể đưa
phương trình đã cho về dạng phương
trình bậc hai theo ẩn cot x .
Dạng 5 : Phương trình thuần bậc ba đối với
Cách giải tương tự như phương trình thuần
nhất bậc hai nhưng chia hai vế cho cos3 x
sin x và cos x :
a sin 3 x + b cos3 x + c sin 2 x cos x + d sin x cos 2 x +hoặc sin 3 x và chú ý áp dụng các hằng đẳng
thức lượng giác cơ bản.
+ e sin x + f cos x = 0
4. Kết hợp công thức nghiệm :

Kết hợp công thức nghiệm trong các PTLG chẳng những giúp cho ta có thể loại được nghiệm ngoại lai
mà còn có thể có được một công thức nghiệm đơn giản hơn, từ đó việc giải quyết bài toán trở nên đơn
giản hơn (giống như bài toán mà ta vừa xét ở trên). Đôi lúc việc kết hợp công thức nghiệm cũng tương tự
như việc giải một hệ phương trình lượng giác cơ bản bằng phương pháp thế. Ở đây ta không đề cặp đến
phương pháp này mà ta chỉ nói đến hai phương pháp chủ yếu sau :

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 8 -)


Lý thuyết Tốn 11
a) Đường tròn lượng giác
* Các khái niệm cơ bản :
•

Đường tròn lượng giác: là đường tròn có bán kính đơn vị R = 1 và trên đó ta đã chọn một chiều

•

dương ( + ) (thơng thường chiều dương là chiều ngược chiều kim đờng hờ)
Cung lượng giác: »AB (với A, B là 2 điểm trên đường tròn lượng giác) là cung vạch bởi điểm M

•

di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến B.
Góc lượng giác: khác với góc bình thường góc lượng giác có một chiều nhất định

*Phương pháp biểu diễn góc và cung lượng giác :
• Biểu diễn các điểm ngọn của cung lượng giác biết số đo có dạng α + kπ :
2π
.
m

Một số cơng thức chính được dùng nhiều ở phương pháp này :
1. cot gx − tgx = 2 cot g 2x
Ta đưa số đo về dạng α + k

2. cot gx + tgx =
3.

2
sin 2 x

1
− cot gx = − cot g 2x
sin 2 x

TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
Bài 1. QUI TẮC ĐẾM

1/ QUY TẮC CỘNG
QUY TẮC
Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành
động kia có n cách thực hiện khơng trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì cơng việc đó có m+n
cách thực hiện.
Chú ý . Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều trường hợp.
2/ QUY TẮC NHÂN
QUY TẮC
Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ
nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hồn thành cơng việc.
Chú ý . Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều trường hợp.

Bài 2.HOÁN VỊ - CHỈNH HP - TỔ HP

HOÁN VỊ
1. Đònh nghóa : Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1) . Mỗi kết quả của sự sắp thứ tự n phần tử của tập hợp
A được gọi là một hoán vò của n phần tử đó

1. Giai thừa:

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 9 -)


Lý thuyết Tốn 11
n! = 1.2.3…n
Qui ước: 0! = 1
n! = (n–1)!n
n!
= (p+1).(p+2)…n
(với n>p)
p!
n!
= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)
(n − p)!
2. Hoán vò (không lặp):
Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó
được gọi là một hoán vò của n phần tử.
Số các hoán vò của n phần tử là:

Pn = n! = 1.2.3………(n-1).n
3. Hoán vò lặp:
Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n 1 phần tử a1,
n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán
vò lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử.
Số các hoán vò lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử là:
n!
Pn(n1, n2, …, nk) =
n1 ! n2 !...nk !
4. Hoán vò vòng quanh:
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là
một hoán vò vòng quanh của n phần tử.
Số các hoán vò vòng quanh của n phần tử là: Qn = (n – 1)!

CHỈNH HP
1. Đònh nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử( n ≥ 1) .
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp thứ tự chúng theo một thứ tự nào đó
được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đcho.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :
Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là

k

A

n

thì

k

A

n

=

n!
.
(n − k )!

1. Chỉnh hợp (không lặp):
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nào
đóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
n!
k
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: An = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) =
(n − k )!
• Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.

• Khi k = n thì Ann = Pn = n!
2. Chỉnh hợp lặp:
Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 10 -)


Lý thuyết Tốn 11
lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất đònh được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của
n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: Ank = n k

TỔ HP
.Đònh nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử ( n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A ( 1 ≤ k ≤ n ) được gọi
là là một tổ hợp chập k của n phần tử .

1. Tổ hợp (không lặp):
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp
chập k của n phần tử.
n!
Cnk =
Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
k !(n − k )!

• Qui ước: Cn0 = 1
Cn0 = Cnn = 1
Cnk = Cnn −k

Tính chất:

Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1
n − k + 1 k −1
Cnk =
Cn

k

2. Tổ hợp lặp:

Cho tập A = { a1; a2 ;...; an } và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một
hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:

Cnk = Cnk+ k −1 = Cnm+−k1−1

3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:

• Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức:

Ank = k !Cnk

• Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự.
⇒ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vò trí các phần tử –> chỉnh hợp
Ngược lại, là tổ hợp.
• Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k ≤ n):
+ Không thứ tự, không hoàn lại:

Cnk

+ Có thứ tự, không hoàn lại:

Ank

+ Có thứ tự, có hoàn lại:

Ank

Bài 3 .NHỊ THỨC NIUTƠN
1. Cơng thức nhị thức Niu tơn

( a + b)

n

0

1

2

k

n −1

n

= C na n + C na n −1b + C na n− 2b 2 + ....... + C na n− k b k + ...... + C n a.b n −1 + C nb n (1)
n

=

∑C a
k =0

k

n

n−k

b k (*)

Hệ quả

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 11 -)


Lý thuyết Tốn 11
0
1
n
Với a=b=1, ta có : 2 n = C + C + ... + C
n
n
n
Với a=1;b=-1, ta có : 0 =

Cn − Cn + ... + ( − 1) Cn + ... + ( − 1) Cn
0

k

1

n

k

n

Chú ý .Trong biểu thức ở vế phải của cơng thức (1)
a/ Số các hạng tử là (n +1).
b/ Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n , nhưng tổng các số mũ của
a và b trong mỗi hạng tử ln bằng n ( qui ước a0=b0=1)
c/ Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
2. Tam giác Pa-xcan
n=0
1
n=1
1
1
n=2
1
2
1
n=3
1
3
3

1
n=4
1
4
6
4
1
n=5
1
5
10
10
5
1
Nhận xét

C kn = C kn −−11 + C kn −1

1. Công thức khai triển nhò thức Newton: Với mọi n∈N và với mọi cặp số a, b ta có:
( a + b )n =

n

∑ Cnk an−k bk

k =0

2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk an −k bk ( k =0, 1, 2, …, n)
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:
Cnk = Cnn −k
5) Cn0 = Cnn = 1 , Cnk −1 + Cnk = Cnk+1
* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhò thức Newton, ta gán cho a và b những giá trò đặc biệt thì ta
sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + ... + Cnn

⇒

Cn0 + Cn1 + ... + Cnn = 2 n

(x–1)n = Cn0 x n − Cn1 x n −1 + ... + (−1)n Cnn

⇒

Cn0 − Cn1 + ... + (−1)n Cnn = 0

Bài 4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 12 -)


Lý thuyết Tốn 11

IPHÉP THỬ, KHƠNG GIAN MẪU
1/ Phép thử
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết
quả có thể của phép thử đó.
2/ Khơng gian mẫu
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là khơng gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω
IIBIẾN CỐ
Biến cố là một tập con của khơng gian mẫu
Tập ∅ được gọi là biến cố khơng thể . Còn tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.
IIIPHÉP TỐN TRÊN CÁC BIẾN CỐ
Tập Ω \A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A
Tập A∪B được gọi là hợp của các biến cố A và B.
Tập A∩B được gọi là giao của các biến cố A và B.
Nếu A ∩B=∅ thì ta nói A và B xung khắc.
Chú ý : A∪B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra .
A∩B xảy ra khi và chỉ khi A và B đờng thời xảy ra . Biến cố A∩B còn được kí hiệu A.B
A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng khơng khi nào cùng xảy ra.

Bài 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I / ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT
Định nghĩa
Giả sử A biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đờng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số

n (A)
là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)
n ( Ω)

Vậy

P(A) =

n (A)
n (Ω )

Chú ý

n(A) là số phần tử của A
n( Ω ) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
II/ TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT
1/ Định lí
a/ P(∅) =0, P( Ω )=1
b/ 0 ≤P(A)≤1, với mọi biến cố A
c/ Nếu A và B xung khắc thì P( A ∪ B ) = P(A)+P(B)
Hệ quả : Với mọi biến cố A, ta có P A = 1 − P ( A)
III/ CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CƠNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT
A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)

( )

1. Biến cố
• Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
• Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A ⊂ Ω.
• Biến cố không: ∅
• Biến cố chắc chắn: Ω
• Biến cố đối của A: A = Ω \ A
• Hợp hai biến cố: A ∪ B
• Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B)
• Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅
• Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
2. Xác suất

n( A)
• Xác suất của biến cố: P(A) =
n(Ω )
• 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1;
P(∅) = 0
• Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Mở rộng: A, B bất kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
• P( A ) = 1 – P(A)

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 13 -)


Lý thuyết Tốn 11
• Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)
1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
• X = {x1, x2, …,xn}
• P(X=xk) = pk
p1 + p2 + … + pn = 1
2. Kì vọng (giá trò trung bình)

• µ = E(X) =

n

∑ xi pi
i =1

3. Phương sai và độ lệch chuẩn

• V(X) =

n

n

i =1

i =1

∑ ( xi − µ )2 pi = ∑ xi2 pi − µ 2

• σ(X) = V ( X )

CHƯƠNG III
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC
A. LÝ THUYẾT
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị ngun dương n, ta thực hiện
như sau:
• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 14 -)


Lý thuyết Toán 11
• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1), chứng minh rằng mệnh đề
đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ≥ p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ≥ p và phải chứng minh
mệnh đề đúng với n = k + 1.

§2. DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập ¥ * các số nguyên dương gọi là dãy số vô hạn.
*
Kí hiệu u : ¥ ® ¡ . Đặt un = u (n) . Ta gọi un là số hạng tổng quát ( hay số hạng thứ n) của dãy số.
n a

u (n)

2. Cách cho một dãy số:
• Cho bằng công thức của số hạng tổng quát
• Cho bằng công thức truy hồi
• Cho bằng cách mô tả
3. Dãy số tăng, dãy số giảm:
• (un) là dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N*.
un+1
> 1 với ∀n ∈ N* ( un > 0).

⇔ un+1 – un > 0 với ∀ n ∈ N* ⇔
un
• (un) là dãy số giảm

⇔ un+1 < un với ∀n ∈ N*.
⇔ un+1 – un< 0 với ∀ n ∈ N* ⇔

un+1
un

< 1 với ∀n ∈ N* (un > 0).

4. Dãy số bị chặn:
• (un) là dãy số bị chặn trên ⇔ ∃M ∈ R: un ≤ M, ∀n ∈ N*.
• (un) là dãy số bị chặn dưới ⇔ ∃m ∈ R: un ≥ m, ∀n ∈ N*.
• (un) là dãy số bị chặn ⇔ ∃m, M ∈ R: m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N*.

§3. CẤP SỐ CỘNG
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
(un) là cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d, ∀n ∈ N*
un = u1 + (n − 1)d
2. Số hạng tổng quát:
với n ≥ 2
3. Tính chất các số hạng:

GV : Phạm Hồng Phượng

uk =

uk −1 + uk +1
2

(d: công sai)

với k ≥ 2

. ĐT : 0976.580.880

(

- 15 -)


Lý thuyết Toán 11
4. Tổng n số hạng đầu tiên:

Sn = u1 + u2 + ... + un =

n(u1 + un )
2

=

n  2u1 + (n − 1)d 
2

§4. CẤP SỐ NHÂN
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:

(un) là cấp số nhân ⇔ un+1 = un.q với n ∈ N*

2. Số hạng tổng quát:

un = u1.q n−1

(q: công bội)

với n ≥ 2

3. Tính chất các số hạng:

uk2 = uk −1.uk +1

4. Tổng n số hạng đầu tiên:

 Sn = nu1

n
 S = u1 (1 − q )
 n
1− q

với k ≥ 2
vôùi q = 1
vôùi q ≠ 1

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un
có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:
lim u = 0 hay u n → 0 khi n → +∞.
n→+∞ ( n )
GV : Phạm Hồng Phượng
. ĐT : 0976.580.880
(
- 16 -)


Lý thuyết Toán 11
b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô
cực ( n → +∞ ), nếu lim ( un − a ) = 0. Kí hiệu: lim ( un ) = a hay u n → a khi n → +∞.
n →+∞

( un ) = lim ( un ) .
 Chú ý: nlim
→+∞

n →+∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt.
1
1
*
a) lim = 0 , lim k = 0 , n ∈ ¢ +
n
n

n
b) lim q = 0 với q < 1 .
c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số.
a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : vn ≤ un ≤ wn ∀n ∈ ¥ * và
lim ( vn ) = lim ( wn ) = a ⇒ lim ( u n ) = a .

( )

b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:
lim ( un ± vn ) = lim ( un ) ± lim ( vn ) = a ± b
lim ( un .vn ) = lim un .lim vn = a.b
lim

un lim ( un ) a
=
= , ( vn ≠ 0 ∀n ∈ ¥ *; b ≠ 0 )
vn lim ( vn ) b

lim un = lim ( un ) = a , ( un ≥ 0 ,a ≥ 0 )
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q < 1.
u
lim Sn = lim 1
1− q
5. Dãy số dần tới vô cực:
a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực ( un → +∞ ) khi n dần tới vơ cực ( n → +∞ ) nếu un
lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= +∞ hay
un → +∞ khi n → +∞ .
b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu lim ( −un ) = +∞ .Ký hiệu:
lim(un)= −∞ hay un → −∞ khi n → +∞ .

c) Định lý:
1
*
o Nếu : lim ( un ) = 0 ( u n ≠ 0 ,∀n ∈ ¥ ) thì lim = ∞
un
1
o Nếu : lim ( un ) = ∞ thì lim = 0
un
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
P ( n)
1. Giới hạn của dãy số (un) với un =
với P,Q là các đa thức:
Q ( n)
o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì
GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 17 -)


Lý thuyết Toán 11

a0
.
b0
Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả
:lim(un)=0.

Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)= ∞ .
f ( n)
Giới hạn của dãy số dạng: un =
, f và g là các biển thức chứa căn.
g( n)
Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp.
Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp
chia tử số và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : lim ( un ) =

o
o
2.

o

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới
hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn ∈ K và xn ≠ a , ∀n ∈ ¥ * mà
lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim  f ( x )  = L .
x →a

2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b) Định lý 2:Nếu các giới hạn: lim  f ( x )  = L , lim  g ( x )  = M thì:
x →a

x →a

lim  f ( x ) ± g ( x )  = lim  f ( x )  ± lim  g ( x )  = L ± M

x →a

x →a

x →a

lim  f ( x ) .g ( x )  = lim  f ( x )  .lim  g ( x )  = L .M
x →a

lim
x →a

x →a

x →a

 f ( x )  L
f ( x ) lim
= x →a
=
,M≠0
g ( x ) lim  g ( x )  M
x →a

lim f ( x ) = lim  f ( x )  = L ; f ( x ) ≥ 0, L ≥ 0
x →a
x →a
c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ
điểm a), g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ K , x ≠ a và
lim  g ( x )  = lim  h ( x )  = L ⇒ lim  f ( x )  = L .

x →a

x →a

x →a

3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có
lim[f(xn)]= ∞ thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: lim  f ( x )  = ∞ .
x →a

b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = ∞ đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới
hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu: lim  f ( x )  = L .
x →∞

c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a ∀n ∈ ¥ *
, thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : lim+  f ( x )  . Nếu chỉ đòi hỏi
x →a

*

với mọi dãy số (xn), xn < a ∀n ∈ ¥ thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí
hiệu: lim−  f ( x ) 
x →a

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 18 -)


Lý thuyết Toán 11

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
f ( x)  0 
1. Giới hạn của hàm số dạng: lim
0÷
x →a g ( x )
 
o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên
hợp.
f ( x)  ∞ 
2. Giới hạn của hàm số dạng: lim
∞÷
x →∞ g ( x )
 
o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x → +∞ thì coi như
x>0, nếu x → −∞ thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
∞
 f ( x ) .g ( x )  ( 0.∞ ) . Ta biến đổi về dạng:  ÷
3. Giới hạn của hàm số dạng: lim
x →∞
∞
 f ( x ) − g ( x )  ( ∞ -∞ )
4. Giới hạn của hàm số dạng: lim

x →∞ 

f ( x) − g( x)
lim
. Đưa về dạng: x →∞
f ( x) + g( x )

HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:
o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0
∈ (a;b) nếu: lim  f ( x )  = f ( x0 ) .Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián
x → x0

đoạn của hàm số.
o f(x) xác định trên khoảng (a;b)
 f ( x )  = lim−  f ( x )  = lim  f ( x )  = f ( x 0 ) .
liên tục tại điểm x0 ∈ (a;b) ⇔ xlim
x → x0
→ x 0+ 
x → x0
o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục
tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.
o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục
 lim+  f ( x )  = f ( a )
 x →a
trên khoảng (a;b) và 
 f ( x )  = f ( b )
 xlim
→b− 

2. Một số định lý về hàm số liên tục:
o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì:
f ( x)
f ( x ) ± g ( x ) , f ( x ) .g ( x ) ,
( g ( x ) ≠ 0 ) cũng liên tục tại x0 .
g( x)
o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định
của chúng.
GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 19 -)


Lý thuyết Toán 11
o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung
giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó.
• Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một
điểm c∈ (a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(a;b).

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

 g ( x )
1. Xét tính liên tục của hàm số dạng: f ( x ) = 
a
o Tìm lim  g ( x )  .Hàm số liên tục tại x0 ⇔ lim  g ( x )  = a .

x → x0

( x ≠ x0 )
( x=x 0 )

x → x0

g ( x )
( x
( x=x 0 )
2. Xét tính liên tục của hàm số dạng: f ( x ) = a

( x>x 0 )
h ( x )
 lim−  f ( x )  = lim−  g ( x ) 
x → x0
 x → x0

o Tìm :  lim+  f ( x )  = lim+  g ( x )  . Hàm số liên tục tại x = x0
x → x0
 x → x0
 f ( x0 )

⇔ lim+  f ( x )  = lim−  f ( x )  = f ( x0 ) = a .
x → x0

x → x0

3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).

o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].
o Chứng tỏ f(a).f(b)<0
Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).
Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh
f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng
f(x)=0 đều có nghiệm.

CHƯƠNG VI
ĐẠO HÀM
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
o Định nghĩa : Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a ; b ) và x0 ∈ ( a ; b ) , đạo
•

hàm của hàm số tại điểm x0 là :

f ' ( x0 ) = lim

x→ x0

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

.

o Chú ý :
GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 20 -)


Lý thuyết Toán 11
• Nếu kí hiệu ∆x = x − x0 ; ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
thì :
f ' ( x0 ) = lim

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
x − x0

x→ x0

∆y
.
∆x → 0 ∆x

= lim

• Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
o Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C )
• f ' ( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) tại
M 0 ( x0 , y0 ) ∈ ( C ) .
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) ∈ ( C ) là :
y = f ' ( x0 ) ×( x − x0 ) + y0 .
o Ý nghĩa vật lí :
• Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s = s ( t ) tại

thời điểm t0 là v ( t0 ) = s ' ( t0 ) .
• Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q ( t ) tại thời điểm t0 là : I ( t0 ) = Q ' ( t0 ) .
3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
o Các quy tắc :
Cho u = u ( x ) ; v = v ( x ) ; C : là hằng số .
• ( u ± v ) ' = u '± v '
⇒ ( C.u ) ′ = C.u ′

• ( u.v ) ' = u '.v + v '.u

,
C.u ′
 u  u '.v − v '.u
 C ′
•  ÷=
,
v
≠
0
⇒
(
)

÷ =− 2
2
v
v
u
u
• Nếu y = f ( u ) , u = u ( x ) ⇒ y′x = yu′ .u′x .

o Các công thức :
• ( C )′ = 0 ; ( x)′ = 1
•
•

( x ) ′ = n.x
( x )′ = 2 1x
n

n −1

( ) ′ = n.u .u′ , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2)
u′
′
, ( x > 0) ⇒ ( u ) =
, ( u > 0)
2 u
n −1

⇒ un

• ( sin x ) ′ = cos x

⇒ ( sin u ) ′ = u.′ cos u

• ( cos x ) ′ = − sin x

⇒ ( cos u ) ′ = −u ′.sin u

• ( tan x ) ′ =
•

1
2

⇒ ( tan u ) ′ =

= 1 + tan 2 x

cos x
1
( cot x ) ′ = − 2 = − 1 + cot 2 x
sin x

(

)

u′
2

(

)

= 1 + tan 2 u .u′

cos u
u′

⇒ ⇒ ( cot u ) ′ = − 2 = −u ′ 1 + cot 2 u .
sin u

(

)

4. Vi phân

o Định nghĩa :

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 21 -)


Lý thuyết Toán 11
• Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 vi phân của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0
là :
df ( x0 ) = f ′ ( x0 ) .∆x .
• Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) thì tích f ′ ( x ) .∆x được gọi là vi phân của
hàm số y = f ( x ) . Kí hiệu : df ( x ) = f ′ ( x ) .∆x = f ′ ( x ) .dx hay dy = y′.dx .
o Công thức tính gần đúng :
f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) .∆x .
5. Đạo hàm cấp cao
o Đạo hàm cấp 2 :

• Định nghĩa : f ′′ ( x ) =  f ′ ( x ) ′
• Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f ( t ) tại thời điểm t0 là
a ( t0 ) = f ′′ ( t0 ) .
′
o Đạo hàm cấp cao : f ( n ) ( x ) =  f ( n−1) ( x )  , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2 ) .



CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP :
1. Tìm đạo hàm theo định nghĩa

•

o Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau :
• Cách 1 : Theo quy tắc
o Bước 1 : Cho x một số gia ∆x và tìm số gia ∆y tìm ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) . Lập
tỉ số
o

∆y
∆x

∆y

Bước 2 : Tìm giới hạn ∆lim
x → 0 ∆x

• Cách 2 : Áp dụng công thức: f ' ( x0 ) = xlim
→x

0

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

o Phương pháp :
• Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = f ( x ) tại M ( x0 ; y0 ) , có phương trình
là : y = f ' ( x0 ) . ( x − x0 ) + y0 ( 1 ) .
• Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = f ( x ) có hệ số
góc là k thì ta gọi M 0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ f ' ( x0 ) = k (1)
 Giải phương trình (1) tìm x0 suy ra y0 = f ( x0 )
 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : y = k ( x − x0 ) + y0
 Chú ý :
 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M ( x0 , y0 ) ∈ ( C ) là k = f ′ ( x0 ) = tan α Trong
đó α là góc giữa chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến .
GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 22 -)


Lý thuyết Toán 11
 Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng

nhau .
 Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng −1 .
• Biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( x1 ; y1 ) :
 Viết phương trình tiếp tuyến của y = f ( x ) tại M 0 ( x0 ; y0 ) :
y = f ' ( x0 ) . ( x − x0 ) + y0

( 1)

 Vì tiếp tuyến đi qua A ( x1 ; y1 ) ⇒ y1 = f ' ( x0 ) . ( x1 − x0 ) + f ( x0 ) ( *)
 Giải phương trình(*) tìm x0 thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến .

ĐẠO HÀM
1.Tóm tắt lý thuyết
 Đạo hàm của f (x) tại x0 , kí hiệu f ' ( x0 ) hay y ' ( x0 )

f ' ( x0 ) = lim

∆x →0



f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
f ( x) − f ( x0 )
= lim
x → x0
∆x
x − x0

dạng.

y − y 0 = f ' ( x 0 )( x − x 0 )

 Các công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hằng số:
Đạo hàm của x:

( x)' = 1

(x )

n '

= n.x n −1
1
( x )' =
2 x
'

1
1
  =− 2
x
 x

(C)’= 0
Đạo hàm của hàm hợp:

( ku ) ' = k ( u ) '

(u )

n '

= n.u n −1 .u '
'
1
u =
.u '
2 u

( )

'

1 '
1
  = − 2 .u
u
u

(v = v(x) ≠ 0 )

Đạo hàm của Tổng, Hiệu, Tích, Thương:

( u + v − w) ' = u ' + v ' − w '
( uv ) ' = u ' v + v 'u
(u + v) ' = u' + v'
(u − v) ' = u' − v'

Giới hạn của

'

'
'
u u v−vu
(v = v( x) ≠ 0)
  =
v2
v

sin x
x

sin x
=1
x →0
x

lim

Đạo hàm của hàm số lượng giác:
GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 23 -)

Lý thuyết Toán 11

( sin x ) ' = cos x

( sin u ) ' = u ' cos u

(sin n u ) ' = n sin n −1 u.( sin u )

( cos x ) ' = − sin x

( cos u ) ' = −u ' sin u

(cos n u )' = n cos n −1 u.(cos u )'

'

(tan n u )' = n tan n −1 u.(tan u )'
u'
( tan u ) = 2
cos u
'
(cot n u )' = n cot n −1 u.(cot u )'
( cot ) ' = − u2
sin u
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u ' x và hàm số y = f (u ) có đạo hàm tại u là y ' u thì
hàm hợp y = f ( g ( x)) có đạo hàm tại x là:
1
cos 2 x
( cot x ) ' = − 12

sin x

( tan x ) ' =

'

y ' x = y 'u .u ' x

2. Các bài toán cơ bản:
Bài toán 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
 Phương pháp giải
Bước 1: Gọi ∆x là gia số của x tại x0 , tính
∆y = f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 )
∆y
Bước 2: Lập tỉ số
∆x
∆y
Bước 3:Tìm ∆lim
x →0 ∆x

Bài toán 2: Chứng minh hàm số không hoặc có đạo hàm tại x0
 Phương pháp giải: Để chứng minh hàm số y = f (x) không hoặc có đạo hàm tại x =
x0 ta làm như sau:
Tìm giới hạn xlim
→0

+

f ( x) − f ( x0 )
f ( x) − f ( x 0 )

lim−
và
của hàm số y = f (x) sau đó so
x →0
x − x0
x − x0

sánh
f ( x) − f ( x0 )
f ( x) − f ( x 0 )
lim−
và
:
x →0
x →0
x − x0
x − x0
f ( x) − f ( x0 )
f ( x) − f ( x 0 )
lim−
 Nếu xlim
=
thì hàm số y = f (x) có đạo hàm
+
→0
x →0
x − x0
x − x0
tại x0 .
f ( x) − f ( x0 )

f ( x) − f ( x 0 )
lim
≠
 Nếu xlim
thì hàm số y = f (x) không có
→0 +
x →0 −
x − x0
x − x0
đạo hàm tại x0 .
Bài toán 4: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f (x)
Dạng 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(
x0 ; y 0 )
lim+

 Phương pháp giải:
Bước1: Xác định tọa độ x0 ; y 0
Bước 2: Tính đạo hàm của f ' ( x) tại x0
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M( x0 ; y 0 ), có dạng:
y − y 0 = f ' ( x0 )( x − x 0 )

GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 24 -)

Lý thuyết Toán 11
Bài toán 6: Giải bất phương trình.
 Phương pháp giải: Để giải bất phương trình ta làm các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số f (x) và g (x) (nếu có)
Bước 2: Xác định điều kiện bất phương trình rồi thay f ' ( x) và g ' ( x) (nếu có) vào điều
kiện tìm nghiệm x0
Bước 3: Lập bảng xét dấu rồi kết luận tập nghiệm của bất phương trình.

CHƯƠNG 1 HÌNH HỌC 11
(các dạng bài tập chính)
I - PHÉP TỊNH TIẾN
1) tóm tắt lí thuyết uuur r
a) Tvr ( A ) = A ' ⇔ AA ' = v

r uuuuuur
Tvr ( M ) = M ' uuuu
⇒ MN = M ' N '
Tvr ( N ) = N '

b) 

 x ' = x + x0
 y ' = y + y0

r

c) Biểu thức thọa độ: Với v = ( x0 ; y0 ) , M = ( x; y ) , Tvr ( M ) = M ' ( x '; y ') thì 
2) Dạng bài tập
GV : Phạm Hồng Phượng

. ĐT : 0976.580.880

(

- 25 -)